『整関数の微分積分』がよくわからないときに開く 本 改訂版

著者 井上 昌昭

雑誌名 大学数学への道 基礎数学シリーズ

巻 5

発行年 2007

URL http://hdl.handle.net/10173/663

改訂版

高知工科大学

KOCHIUUNIVERSITYNIVERSITYOFOFTTECHNOLOGYECHNOLOGY

井上昌昭 著

Copyright(C) Masaaki Inoue Copyright(C) Masaaki Inoue

よくわからないときに開く本

例題で式の計算がよくわかる！

例題で式の計算がよくわかる！

関数の増減 速度

整関数の不定積分 内容

整関数の微分

定積分 面積

『整関数の微分積分』

『整関数の微分積分』 が

< ^極限値 >

関数 f(x) において，xがa以外の値を取りながら，aに限りなく近 づくとき，f(x) の値が一定の数αに限りなく近づくことを，

x→a のとき f(x)→α または

xlim→af(x) = α

と表し，αを x→aのときの f(x) の極限値という。aに近づく変数は x以外でもよい。

例1 ^lim

x→5

¡x²−3x¢

= 10, lim

x→1

3x x+ 1 = 3

2, lim

h→0

h+ 3 2h+ 1 = 3

例2 lim

x→1

x² +x−2

x²−1 = lim

x→1

(x−1)(x+ 2)

(x−1)(x+ 1) = lim

x→1

x+ 2 x+ 1 = 3

2

例3 lim

h→0

(3 +h)²−3²

h = lim

h→0

(9 + 6h+h²)−9

h = lim

h→0(6 +h) = 6

問 次の極限値を求めよ。

(1) lim

x→2

7x+ 3 x+ 1 =

(2) lim

x→2

x²−x−2 x²−4 =

(3) lim

x→3

x²−2x−3 x−3 =

(4) lim

h→0

(4 +h)²−4²

h =

< ^関数の値 >

一般にy が x の関数であることを y=f(x) のような記号で表す。

例1 ^{関数y=x2+ 5x}₋^{4 を y=f(x) と表すと}

f(x) =x²+ 5x−4 ¡

f(□) =□²+ 5×□−4 ¢ である。このときx= 1 , x= 2 , x= 3 に対応する関数の値 f(1) , f(2) , f(3) は次のように求められる。

f(1) = 1² + 5×1−4 = 1 + 5−4 = 2 f(2) = 2² + 5×2−4 = 4 + 10−4 = 10 f(3) = 2³ + 5×3−4 = 8 + 15−4 = 19

問1 ^{f(x)が以下の場合に関数f(x)}のそれぞれの値を求めよ。

(1) f(x) =x²−3x+ 5 , f(0) = , f(1) = , f(2) = (2) f(x) =x³−2x , f(1) = , f(2) = , f(3) = (3) f(x) = 10 , f(−3) = , f(0) = , f(3) = (4) f(x) = (x²−1)(x+ 1) , f(0) = , f(1) = , f(5) =

例2 f(x) = x²+ 3x のとき

f(1) = 1²+ 3×1 = 4 , f(1 +h) = (1 +h)²+ 3(1 +h) f(a) = a²+ 3a , f(a+h) = (a+h)²+ 3(a+h)

問2 ^{f(x)が以下の場合にf(a)およびf(a+h)を求めよ。ただし k は定数とする。}

(1) f(x) =x³ , f(a) = , f(a+h) = (2) f(x) =x+ 1 , f(a) = , f(a+h) = (3) f(x) = 2x²−5 , f(a) = , f(a+h) = (4) f(x) =x²+ 3x , f(a) = , f(a+h) = (5) f(x) =k , f(a) = , f(a+h) =

< ^{平均変化率} >

関数y=f(x) において,

x の値がa から b まで変化するとき , x の変化量は b−a

y の変化量は f(b)−f(a)

である。このとき A

yの変化量

xの変化量 = f(b)−f(a) b−a

を, x の値がa から b まで変化するときの f(x) の 平均変化率 という。

例 f(x) = x² に対し, x が 2 から5 まで変わるときの平均変化率は f(5)−f(2)

5−2 = 5²−2²

5−2 = 25−4 3 = 21

3 = 7

問1 f(x) が次の各場合に, x が 1 から 3 まで変わるときの 平均変化率を求めよ。

(1) f(x) = 4x

(2) f(x) = 2x²

問2 f(x) が次の各場合に, x が a から b まで変わるときの 平均変化率を求めよ。

(1) f(x) = 4x

(2) f(x) = x²

B

< ^微分係数 1 >

関数y=f(x) に対し，xの値が a からa+h に変わるときの 平均変化率

yの変化量

xの変化量 = f(a+h)−f(a) h

を考える。

ここでxの増分h をかぎりなく 0に近づけたとき，平均変化率が，

あるきまった数に近づくならば，その極限値を，関数 y=f(x) の x=a における 微分係数 といい，f⁰(a) で表す。

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h (x=a における微分係数)

例 f(x) = 5x² の x= 3 における微分係数 f⁰(3) を求める

f⁰(3) = lim

h→0

f(3 +h)−f(3)

h = lim

h→0

5(3 +h)²−5×3² h

= lim

h→0

5(9 + 6h+h²)−5×9

h = lim

h→0

30h+ 5h² h

= lim

h→0(30 + 5h) = 30

問 f(x) と a が以下の場合にf⁰(a) を求めよ。

(1) f(x) = 4x, a = 2, f⁰(2) =

(2) f(x) = 2x², a= 1, f⁰(1) =

(3) f(x) = 10, a= 5, f⁰(5) =

< ^微分係数 2 >

例 関数f(x) = 3x² に対し，次の微分係数を求める。

f⁰(1) = lim

h→0

f(1 +h)−f(1)

h = lim

h→0

3×(1 +h)²−3×1²

h = lim

h→0

6h+ 3h²

h = lim

h→0(6+3h) = 6 f⁰(2) = lim

h→0

f(2 +h)−f(2)

h = lim

h→0

3×(2 +h)²−3×2²

h = lim

h→0

12h+ 3h²

h = lim

h→0(12+3h) = 12 以下同様に f⁰(3), f⁰(4) 等を求めたい。

そこで一般にx=a における微分係数 f⁰(a) を求めておく。

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h = lim

h→0

3×(a+h)² −3×a²

h = lim

h→0

6ah+ 3h²

h = lim

h→0(6a+3h) = 6a であるから，f⁰(a) = 6a より，f⁰(3) = 6×3 = 18 f⁰(4) = 6×4 = 24 等が求まる。

このように，同じ関数のいくつかの微分係数は，ひとつひとつを計算しなくても，

x=a における微分係数 f⁰(a) を求めておいて，

a に必要な値を代入することによって求められる。

問 関数f(x) = 4x² に対して，次の問を求めよ。

(1) f⁰(a) を求めよ。

f⁰(a) =

(2) f⁰(3), f⁰(0), f⁰(−1), f⁰(−5) を求めよ。

f⁰(3) = f⁰(0) = f⁰(−1) = f⁰(−5) =

< ^接線 >

放物線の外側にある点Aを通る直線は図1の ように3通りある。放物線と直線との交点の 個数で分類すると，

①:交点なし

②:交点は1個

③:交点は2個

となる。直線②を接線といい，そのときの交 点を接点という。

図2のように点Aが放物線上にあるときは，

直線②が接線であり，点Aが接点である。

図2の接線②を求めるためには，図3のように 放物線上にA以外の点Bをとり，直線ABを引 く。点Bを点Aに近づけると直線ABは接線に 近づく。

問 放物線y =x²上の点A (1 , 1)を接点とする 接線を求めたい。小さい正数hに対し，放物 線上の点をB ( 1 +h,(1 +h)² )とする(図4)。

(1) 直線ABの傾きをhで表せ。(できるだけ簡単な 式になおす。)

(2) h= 0.1のときのABの傾きを求めよ。

(3) hが限りなく 0に近づくとき, AB の傾きは何に近づくか？

< ^{接線の傾き} >

微分係数の意味を関数のグラフについて考えてみる。

関数y=f(x)のグラフ上に，x座標が，それぞれ，

a , a+hである2点A , Bをとると，y=f(x)

のx=aからx=a+hまでの平均変化率 ^{f(a+h)−f(a)} h

は，直線ABの傾きを表す。ここでhを0に近づけると，

f(a+h)−f(a)

h −→ f⁰(a) （h →0のとき）

であるから，直線ABは，傾きがf⁰(a)であるような 直線ATに限りなく近づいていく。この直線ATを

点Aにおける曲線y =f(a)の接線といい，点Aを接点という。

関数y=f(x)のx=aにおける 微分係数 f⁰(a) は，この関数 のグラフ上の点¡

a , f(a)¢における 接線の傾き である。

例 関数f(x) =x²の微分係数は f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h = lim

h→0

(a+h)²−a² h

= lim

h→0(2a+h) = 2a であるから，

点(2, 4)における接線の傾きはf⁰(2) = 2×2 = 4

点(−1, 1)における接線の傾きはf⁰(−1) = 2×(−1) =−2 である。

問 関数f(x) = 2x²に対して，次の問いに答えよ。

(1) 微分係数f⁰(a)を求めよ。

f⁰(a) =

(2) 点(3 , 18)における接線の傾きを求めよ。

< ^導関数 1 >

例1 ^{関数f(x) = x2}₋^{5xに対し，微分係数f0(a)は，}

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h = lim

h→0

¡(a+h)²−5(a+h)¢

−(a²−5a) h

= lim

h→0(2a−5 +h) = 2a−5

となる。f⁰(a) = 2a−5はx=aにおける接線の傾きを意味する。

たとえば

f⁰(1) = 2×1−5 =−3 よりx= 1における接線の傾きは−3 f⁰(3) = 2×3−5 = 1 よりx= 3における接線の傾きは1 である。f⁰(a) = 2a−5は，aをいろいろな値をとる 変数とみれば，aの関数になっている。

そこで，f⁰(a) = 2a−5のaをxでおきかえた f⁰(x) = 2x−5

を，関数f(x) = x²−5xの 導関数 という。

一般に関数f(x)に対して，x=aにおける微分係数 f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a) h

をaの関数とみて，aをxでおきかえた関数 f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

¡f(x)の導関数¢ を，関数f(x)の 導関数 という。

例2 f(x) = x²−3x+ 2の導関数は f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim

h→0

¡(x+h)²−3(x+h) + 2¢

−(x²−3x+ 2) h

= lim

h→0

2xh+h²−3h

h = lim

h→0(2x+h−3) = 2x−3

問 f(x) = x²−5の導関数を求めよ。

< ^導関数 2 >

関数y=f(x)の導関数

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

を求めることを，関数f(x)をx について微分する，あるいは，単に微分するという。

例題 関数f(x) = x³を微分せよ。

(解)

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

= lim

h→0

(x+h)³−x³ h

= lim

h→0

x³+ 3x²h+ 3xh²+h³−x³ h

= lim

h→0(3x²+ 3xh+h²) = 3x²

問 次の関数を微分せよ。

(1) f(x) = x, f⁰(x) =

(2) f(x) = x², f⁰(x) =

(3) f(x) = 1, f⁰(x) =

< ^{パスカルの三角形} >

例 (a+b)³ = (a+b)(a+b)² = (a+b)(a²+ 2ab+b²)

=a(a²+ 2ab+b²) +b(a²+ 2ab+b²)

=a³+ 2a²b+ab²+ba²+ 2ab²+b³

=a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

問1 次の展開式を求めたい。 　 の中に適当な数字を入れよ。

(1) (a+b)⁴ = (a+b)(a+b)³ = (a+b)(a³+ 3a²b+ 3ab²+b³)

= 　 ×a⁴ + 　 ×a³b+ 　 ×a²b²+ 　 ×ab³+ 　 ×b⁴ (2) (a + b)⁵ = (a + b)³

　 ×a⁴+ 　 ×a³b+ 　 ×a²b²+ 　 ×ab³ + 　 ×b⁴ ´

= 　 ×a⁵+ 　 ×a⁴b+ 　 ×a³b²+ 　 ×a²b³+ 　 ×ab⁴ + 　 ×b⁵

問2 (a+b)ⁿ の展開式の係数だけを取り出すと，右のようになる。

(a+b)⁰= 1· · · · 1 (a+b)¹= 1×a+ 1×b · · · · 1 1 (a+b)²= 1×a²+ 2×ab+ 1×b² · · · · 1 2 1 (a+b)³= 1×a³+ 3×a²b+ 3×ab²+ 1×b³ · · · ·1 3 3 1

(a+b)⁴= 　 ×a⁴+ 　 ×a³b+ 　 ×a²b²+ 　 ×ab³+ 　 ×b⁴ · · · · 　 　 　 　 　

(a+b)⁵= 　 ×a⁵+ 　 ×a⁴b+ 　 ×a³b²+ 　 ×a²b³+ 　 ×ab⁴+ 　 ×b⁵ 　 　 　 　 　 　

右のようにピラミッド状に並んだ数をパスカルの三角形という。

これは上の段の数字がわかると，下の段の数字がわかるようになっている。

この法則を発見し，(a+b)⁶ の展開式を求めよ。

(a+b)⁶ = 　 ×a⁶+ 　 ×a⁵b+ 　 ×a⁴b²+ 　 ×a³b³+ 　 ×a²b⁴+ 　 ×ab⁵+ 　 ×b⁶

< ^導関数 3 >

例 f(x) =x⁴を微分したい。4乗の展開式

(x+h)⁴ =x⁴+ 4x³h+ 6x²h²+ 4xh³+h⁴ を使うと

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim

h→0

(x+h)⁴−x⁴ h

= lim

h→0

4x³h+ 6x²h²+ 4xh³+h⁴ h

= lim

h→0(4x³+ 6x²h+ 4xh²+h³) = 4x³

問1 ^{f(x) =x5を微分せよ。}

問2 f(x) =x⁶ を微分せよ。

< ^導関数 4 >

関数 y=f(x) の導関数 f⁰(x) を y⁰ や記号 dy

dx で表すこともある。

例えば，f(x) = x² のとき，f⁰(x) = 2x だから，

y =x² の導関数は y⁰ = 2x と表すこともある。これを更に略して，

¡x²¢₀

= 2x と記す。

問1 ^{表を完成し，右の} に適当な文字を入れよ。

¡x¢0

=

¡x³¢0

=

¡x⁴¢₀

=

問2 ^{上の問から，一般に} y=xⁿ の導関数を類推せよ。

¡xⁿ¢0

=

問3 ^{傾きa，切片b の直線 y=ax+b に対し，}

導関数 y⁰ を求めたい。f(x) =ax+b とおくと，

y⁰ =f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

= lim

h→0

a(x+h) +b−(ax+b) h

である。この計算を完成し，y⁰を求め，

y⁰は元の直線の何を意味するか答えよ。

(解) y⁰ =

問4 ^定数k に対し, 定数関数 y=k の導関数 y⁰ を求めたい。

f(x) = k とおいて f⁰(x) を求めよ。

y⁰ =f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h =

< ^導関数 5 >

問1 ^関数y =mx+k (mとkは定数)

のグラフは，傾きm，切片kの直線を表す。

これを微分せよ。

(解) (mx+k)⁰ =

問2 ^{関数y =k (kは定数)のグラフは，}

傾き0 (ゼロ)の直線を表す。

これを微分せよ。

(解) (k)⁰ =

例 関数 y=x³ の導関数は y⁰ = 3x² である。つまり

¡x³¢0

= lim

h→0

(x+h)³−x³

h = 3x²

である。これを利用して，5x³ を微分する。

¡5x³¢0

= lim

h→0

5(x+h)³−5x³

h = lim

h→05×

½(x+h)³ −x³ h

¾

= 5ס x³¢0

= 5×3x² = 15x² 同様にして，7x³ を微分する。

¡7x³¢0

= 7ס x³¢0

= 7×3x² = 21x²

問3 ^{¡x3¢0 = 3x2を利用してkx3 (kは定数)を微分せよ。}

(解) ¡ kx³¢0

=

問4 (xⁿ)⁰ =nxⁿ⁻¹ (n= 1,2,· · ·)を利用して，次の関数を微分せよ。

(1) ¡ 7x⁴¢₀

= (2) ¡

5x²¢₀

=

(3) µ2

3x

¶0

=

< ^導関数 6 >

例 ^¡x²¢0 = 2x，¡ x³¢0

= 3x²，すなわち

¡x²¢0

= lim

h→0

(x+h)²−x²

h = 2x

¡x³¢0

= lim

h→0

(x+h)³−x³

h = 3x² を利用して x²+x³ を微分する。

¡x² +x³¢₀

= lim

h→0

©(x+h)²+ (x+h)³ª

−©

x²+x³ª h

= lim

h→0

½(x+h)²−x²

h +(x+h)³−x³ h

¾

=¡ x²¢0

+¡ x³¢0

= 2x+ 3x² 同様に ¡

x²−x³¢0

=¡ x²¢0

−¡ x³¢0

= 2x−3x²

問1 (xⁿ)⁰ =nxⁿ⁻¹ (n= 1,2,3,· · ·), (k)⁰ = 0 (kは定数)を利用して，

次の関数を微分せよ。

(1) ¡

x³+ 4¢₀

= (2) ¡

x⁴−x⁵¢0

= (3) ¡

x²−x+ 3¢0

= (4) ¡

4x²+ 5x³−6x⁴¢₀

=

問2 ^{一般の関数f(x)とg(x) および定数kに対して，次の式をf0(x)と}

g⁰(x)とkの式で表せ。

(1) ©

k×f(x)ª0

= (2) ©

f(x) +g(x)ª0

= (3) ©

f(x)−g(x)ª₀

=

< ^{接線の方程式} >

例1 ^{mを定数とする関数}

y=m(x−3) + 2

は，x= 3のときy= 2であるから，

点(3,2)を通り，傾きmの直線の方程式を意味する。

問1 ^{a, b, mを定数とする。点(a, b)を通り，傾きm}の直線の方程式を求めよ。

(答)

例2 ^関数y =x²−4x+ 4 のグラフ上の点A(3,1) における接線の方程式を求めたい。

f(x) =x²−4x+ 4 とおくと，接線の傾きmは x= 3における微分係数f⁰(3)である。

f⁰(x) = (x²−4x+ 4)⁰ = (x²)⁰−4×(x)⁰+ (4)⁰ = 2x−4

2x 1 0

より

m =f⁰(3) = 2×3−4 = 2

となる。点A(3,1)を通り傾きmの直線の方程式は y=m(x−3) + 1 だから y=m(x−3) + 1 = 2(x−3) + 1 = 2x−5

より，接線の方程式はy = 2x−5となる。

問2 y=x² +x上の点A(1,2)における接線の方程式を求めよ。

問3 ^{一般の関数y=f(x)のグラフ上の}

点A(a, b)における接線の傾きはf⁰(a) である。接線の方程式を求めよ。

< ^{関数の増減} 1 >

例 2次関数 y =−x²+ 6x の導関数は y⁰ =−2x+ 6 =−2(x−3)

となる。xの範囲によってy⁰のプラス，マイナス を場合分けする。

(1) y⁰ = 0となるxの値はx= 3である。

このとき，x= 3における接線の傾きy⁰は0 (ゼロ) である。すなわち，2次関数の頂点を意味する。

x= 3のときy= 9より，頂点の座標は(3,9)である。

(2) y⁰ >0となるxの範囲はx <3である。

このとき，接線の傾きy⁰はプラスであるから，グラフは 右上がり(%)になる。yの値は(xの増加とともに)増加する。

(3) y⁰ <0となるxの範囲はx >3である。

このとき，接線の傾きy⁰はマイナスであるから，グラフは 右下がり(&)になる。yの値は(xの増加とともに)減少する。

以上(1),(2),(3)をまとめて，右の表にした。

このような表を増減表という。増減表を 作れば，グラフのだいたいの様子がわかる。

2次関数の場合は，頂点の座標がわかる。

この場合の頂点の座標は(3,9)である。

問 次の2次関数を微分し，増減表を作り，頂点の座標を求めよ。

(1) y=−x²+ 4x+ 3 (2) y= 2x²+ 4x−5

y⁰ = y⁰ =

頂点( , ) 頂点( , )

< ^{関数の増減} 2 >

例 関数 y=x³−3x の導関数は y⁰ = 3x²−3 = 3(x−1)(x+ 1)

となる。この関数の増減表を以下のようにして作る。

(1) y⁰ = 0 となるxの値は x=±1 である。

そこで x= 1 と x=−1で範囲を分ける。

(2) x >1 のとき y⁰ >0

(たとえばx= 2のときy⁰ = 12−3 = 9>0であるから) (3) −1< x < 1 のとき y⁰ <0

(たとえばx= 0のときy⁰ =−3<0であるから) (4) x <−1 のとき y⁰ >0

(たとえばx=−2のときy⁰= 12−3 = 9>0であるから)

右の増減表で，xの範囲は省略した。このように書く時は常に右の 方がxの値の大きい範囲であると約束することにする。この表をもと にグラフを描くと，上図のようになる。

(ア) x=−1 の近くでは，x=−1 のときyは最大になる。

このような場合極大といい x=−1のとき極大値y= 2 と書く。

(イ) x= 1 の近くでは，x= 1 のときyは最小になる。

このような場合極小といい x= 1のとき極小値y=−2 と書く。

(注 1)極大値と極小値とをあわせて，極値という。

(注 2)極大と極小は1個だけとは限らない。(右図参照)

問 次の関数を微分し，増減表を作り，極値を調べよ。

(1) y = 12x−x³ y⁰ =

x= のとき 極大値 y= x= のとき 極小値 y=

(2) y=x³−6x²+ 9x y⁰ =

x= のとき 極大値 y = x= のとき 極小値 y =