スポットダンシング状態にあるピーム波の波形歪み

長崎大学工学部研究報告第1

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スポットダンシング状態にあるピーム波の波形歪み

立 居 場 光 生 *

Waveform  D i s t o r t i o n  o f   Wave Beams  i n  t h e  S t a t e  o f   Spot Dancing 

by 

Mitsuo T  A  TEIBA  ( D e p a r t m e n t  o f  E l e c t r o n i c s )  

A  g e n e r a l  s o l u t i o n  o f  t h e   2 n t h   o r d e r   moment e q u a t i o n   i s   e x p r e s s e d  i n   t h e   form o f   an i n f i n i t e   s e r i e s   w i t h   a d i f f e r e n t i a l   o p e r a t o r

s t a r t i n g   w i t h   wave  f u n c t i o n s  i n  t h e   s t a t e  o f  s p o t  d a n c i n g .   The f i r s t  a p p r o x i m a t i o n  o f  t h e  s o l u t i o n   i s   a n a l Y p e d   f o r  a  g a u s s i a n   wave beam and  a s p e c i f i c   s t r u c t u r e   f u n c t i o n   o f   random  m e d i a .   The a n a l y s i s   l e a d s  t o  t h e  r e s u 1 t   t h a t  t h e r e   a r e  t w o  t y p e s  o f   waveform d i s t o r t i o n  i n  t h e  beam wave: t h e  d o m i n a n t  d i s t o r t i o n  i n d e p e n d e n t  o f   t h e  beam p a r a m e t e r s  and t h e  s u b o r d i n a t e  d e p e n d e n t  on t h e m .  T h i s  r e s u l t  p r o v e s   t h a t  t h e  c o n d i t i o n s  f o r  s p o t  d a n c i n g  t o  b e  o b s e r v a b l e  c a n  b e  s a t i s f a c t o r i l y  o b t a i n e d   by  c 1 0 s e  i n v e s t i g a t i o n  o f  i n t e n s i t y  f

u c t u a t i o n  o f  p l a n e  w a v e s .  

5 7  

1.  まえがき

波の到達点が不規則に変動する現象は，スポットダ ンシング

(SD)

SD

理想的な

SD

本稿の解析は，ビーム波の歪み具合を具体的に与える ことから，先に求めた理想的な

SD

特に理論的には，波形は歪まず到達点が変動すると いう理想的な

SD

SD

SD

昭和田年

9

2 1

*電子工学科

解析はモーメント方程式を基礎とし，摂動法 lとより 行われる。そのため，特定の媒質構造に対してモーメ ント方程式の解を，形式的ではあるが，徴分作用素を 含む無限級数で表す。乙の表現は，平面波入射の場合，

その特殊構造に対するモーメント方程式の厳密解を導 くのに有用である2)。

以下の解析では，時間因子を

exp(

j ω t )

2 .  

58 スポットダンシング状態にあるビーム波の波形歪み  媒質定数ε，μ，σが次式で与えられるランダム媒

質を取扱う。

 ε＝ε。（1＋δε（r，乞））1／2，μ一μ。，σ一〇   （1）

ここで，r＝ε遥＋ら鮎ε。，μ・は定数，δε（ア，乞）は一

様ガウス過程に従い，その平均値及び相関関数は

 ｛

      （2）

  〈δε（r十rノ，1と十Zノ）δε（r，2ノ）〉＝B（r，乞）

で表されるとする。〈・〉は集合平均を示す。更に，

 B（0，0）《1，々♂》1

を仮定する。々は自由空間（ε。，μ。）中の波数，Z・は

β（r，z）から定まる媒質の相関長である。この仮定の 下では，電磁波の偏波の効果を無視することができ，

最初から，スカラー場を考えればよい。その上，前方 散乱の仮定と近軸近似がこのランダム媒質中の伝搬を 論ずるのに有効である。

 前方散乱を繰返しながら伝搬する波π（r，2：）の任意

次数モーメント．Mμ．を次式で定義する。

      ツ

 ル「μレ＝〈π駕（εm，乞）π麗＊（ま。，2）〉    （3）

     m＝！        n富1

但し，上記号＊は複素共役を示す。このMμッは三軸近 似の範囲内でいわゆるモーメント方程式を満足する。

ここでは，以下の議論に必要なμ雪ツに限りその方程 式を示す。特に混乱の恐れがない場合には．MμレをM

［霧ブ影．（7い塩）］M

       m需1

一｛書∫：嘘1匝概1歪D倫一

 ち，ガ）十D（㌔一 、，zノ）一D（8瓜一8．，z！）一D（㌔一

ち…））〕M

M｝。。。一触L。    （4）

但し，

 D（7。，z）＝・2（B（o，τ）rB（r，乞））       （5）

ク，一ε。∂／∂￠＋〜，∂／∂ダ

嶋一画（隔（・。，繍㌔1→ ⑥

    m孟1

である。π童。（r，z）は媒質に揺らぎがない（δε（r，の華

0）とき伝搬するであろう波，すなわち，入射波を表

す。

3．モーメント方程式の形式解

 変数変換

  rm＝（εm十rm）／2， r＿m＝3m一重m ^（7）

を行って，式（4）を書直せば，次式を得る。

〔霧ニノナ諺1（7。。・・。．m）〕M一」｛芽∫：認

  ン       リ

［訊D（㌦・の九国（D（害㌦＋…・の

．＋D（乳m

      （9｝

と書ける。ここで，．B2亀ん（オ＝0，1）はそれぞれ D（r，ののβとr 項による媒質の影響を表わしてお

り，次式で与えられる。

      滝2 z

      ｛1①

一㌦・の一D侮二一噛・の）］｝M（4，）

特に，Z）ぴ，2）を近似的に．

D（r，21）謂う。（乞）ド＋62（乞）r4      （8｝

で表すことができる場合置）には，式（4！）は

〔器づ圭誰，（・ぺ7耽m）〕M一（恥）施）

＋B・（・）孟（晦・L・））M

β・・（・）一二ー∫う・・（の4・1・・一・・1

ゐ㈲一（塩誹     α1）

     m＝1

施，?｛続姫・・蝋帰㌦）

  ツ

  ロ〉皿

（r．。・（rバア㌔））］｝ ．  α2

rα＝｛r1， r2，…，㍉｝β稽．α＝｛r．1，「r．2，…， r．。｝

ろ・・（・）一〔・チ朔）Dα・・）］．』。／［2（．＋1）（ψ＋・）璽］2

      （13 rに関するフーリエ変換とその逆変換を次式で定義す

る。

⑦（・）一∫ψ（・）・湖4・

ψω一（2・）ザ⑦（・）ノκず4・

式⑨の両辺にフーリエ変換を施し，その方程式に

〔霧＋去髪（κ。・・。．m）〕倉ω一瑞（・）路㈲

    m＝足

    倉（o），．。一盒，。（。。，。一。，0）

       立 の解倉（o）を初項として反復法を繰返し適用すれば，

       ム

式（9）の解のフーリエ変換Mは次式で与えられる1）。

倉（κα・「．α・乞）一篇の（κ。，㌃。，・）・α萄

         n驕0

盒（o）＝盒！n（κ。，r一α，乞）IA（竃）     ⑮

M④一A＠）∫：画…∫ひ一1西

〔（A−1（・・）B・（・・）孔（ブ・。。・死。一乞…z1κ。）A（・1））

  …（、4−1（2a）B・（㍉）丑（ブ・。1・死。一堵ヂκ・）

  A（％）〉〕酌M∴（・。・し。，・）

       〈       α⑤

但し，

且（21）一意〔∫1咄（・一α一乞葦ガκ・）認〕

      働

である・式α⑤において・丑（ブ・・。∴α一乞qκ・）の・・α

はその中のκαには作用せずに，渥σクκ．，r．α一

乞子κ・）の後に続くκ。の麟A（・・），A（・…）及

などに作用すると仮定している。

4．ビーム波の波形歪み

 入射ビーム波は堵＝一20に最小スポットサイズω。

をもつガウスビーム波とする。従って，，M曇．及び

・M！nはム

      ツ      ン 臨（・。・・．α・・）一i箒）卿〔一審「∴鑑

＋ブU1（塩・r。m）一包釦⑱

盒・・（κ，r，乞α 一α）一五・exp〔一誓5κ蓋

       皿零重

    ン       レ

＋をΣ（・∴。）一鎖5・亀・］ （19

    皿＝＝1

      m＝乳

 τ砂＝ωoV 1十ρ2，1り＝2（2：十τo）／（んω2）  〔2①

       0

光 生       59 式㈲から，M（o）は一般磁で与えられる？

M（o）i㌔，ち。，・）一（2・）憎2り 轤Sκ・…∫4κ。

砿（κα・「一α・乞）・卿｛∫逸）［義（㌔

＋のκ調］齪一伽・㌦

一∫鵡二一％か倫ゆ｛一÷［ト ブ穿）蟻死』2−T（2）（蒙ゴ｝鋤

但し，

選書∫1画灘）既丁（1）一蓄

 丁（2）＝皿       ⑫

     4乞2

である。

緕ｮに式（19を代入すれば，ビ」ム波のモーメ

     を得る。

M（0）i・ぬ・・）一M、。（…㌃…）、＋寒心／ω・）

・御

o T／21＋レ（T／㎜2）［（景一罫（つ）

  ・翫。ネブが㌔］2

   孤＝！       m＝1

一（T（2） Z）（矯。）2｝⑳

 強度に関するモーメントは，上式においてr噸駆0 と置くことにより，

M（o）（・ご・・）一M，。（・…）、＋。モT／ω・）

・ゆ〔、＋。轡輪）・舞（μ，Σ7● 皿）2〕 ⑳       m＝1

で表される。観測点（r；のにおける強度のソ次モー

ハ4（o）iち・）一（器ブ、＋。（券／ω，）

・卿〔    11＋ン．（T／ω2）・審・・2〕 ㈲ 以上のM（o）はD（r，の＝う（のr2に対するモーメント       0

方程式（4｝の厳密解である。従って，．M（o）は理想的

なスポーットダンシング状態にあるビーム波のッ次モ

ーメントを表しており，その状態にある波の統計的性

60 スポットダンシング状態にあるビーム波の波形歪み 理想的スポットダンシングを惹き起こす媒質の構造は

D（r，2：）の中に〆項に限られ，高次項72n（π≧2）

は波形を歪ませることも知られている3）。しかも，式

（8）が近似的に成立する場合は，波形の歪みが小さく，

スポットダンシングが観測されることが，入射平面波 に対する解析から，求まっている1）。そこで，式⑧で 与えられる媒質の構造を考え，〆項による波形歪みの 効果を調べることにする。

 式α③のM（1）はr4項による一次摂動解であるから，

それを求めれば，波形の歪み具合とビームパラメータ

ントに注目すれば，すなわち，r＿α甥0とすれば，

M（1）（㌔・・）一 i券∫4喧・・個∫。幽

吻〔一春（T（・）一丁（・1））（ムげ

   ツ＋ゴΣ・。・κ。〕B・（・・）・ろ（ブ・梅・乞デ1κ。）

  m＝1

卿〔一辺・毒κ・一丁（・・ 8 ．皿  8）（当弟

       m＝1

を得る。、7κに関する演算などを行って，上式を整理

M（1）笈黶^{i2詞西…∫4一}

興（ レブ・Σr・κ  ＝o   

m）

   m留1

・｛（一28々・∫＝（・一のV）認）

ま〔  ンκ4＋ヨ（κm・κ．m）（・二＋や〕

m頓重       瓢＞m

＋（去∫τ（・一・ ）36，（・・   0）認））甑〔（ぞプ

（一4（κ［ロ●κo）2＋3（…塩）（・も＋・芸）一2・塩・り

一2鞭の一げ）8幅）〕｝

   （κα，乞）〈（0）

・M

      ビ       ン

ー｛（一翻：＠一の5姻肱〔7鑑

 ン

＋Σ（7r ●7r  m    口）（〆㌔＋へ）〕＋

 n＞m 

       レ   ツ

（去∫1（一・ ）36・（・ ）d♂）ΣΣ

〔（

0

ぜ4

）2（一4（7r ●7r       m     n）

皿＝1n＞皿

2 十3（7， ・7，）

・（7r2十7r 2）一27r27r2

n）一8（誓）

・（7r ●7r m   

n）〕｝Mω）（㌔・め

㈲ 式㈲から観測点（r，τ）における強度のモーメント を計算でき，波形歪みの程度を知ることができる。こ こでは，簡単のため，点（0，2）において強度のモー メントを計算し，波形歪みとビームパラメーターの関 係を検討する。式⑳に式㈱を代入して，微分演算を行 い，㌔＝0，彿謬1，…，ツと置けば，次式を得る。

鍔器専一〔書（翻（1撫器が））

・（   11＋レ（T／測3））〃＋ゆ一・）乃〕

但し，

ん一一

     0

h 一一 ・辜[・（・一・・）・う・（の4ガ

      0

Z》」のとき，

Zo≧Oのとき，

ゐ窪h

（27）

e8）

⑳

⑳

       箭・≦蓋   61）

である。式6①はD（r，のの性質から導かれる。式侶1）は

付録で与えられている。

 式伽の右辺がD（r，21）のr4項による波形歪みの効 果を示している。その内，第一項はビーム波のスポッ

トサイズの有限性に依るが，第二項はビームパラメ

果を表す。第一項のッん に掛かる項は全て1より小

項〉第一項の関係が成立し，りが大きくなるに従って，

第一項を無視することができる。平面波入射（ω0→◎O）

の場合，第一項醤0となり，第二項だけが効く。以上 のことから，平面波に対する波形歪みの解析が重要で

 式⑧の近似が有効である場合には，

       h《      11       132＞）

が成立するので，式（3①の関係から，ン雲1，2に対し

      （0）

       （0）

         ，   M22＝M

       （鋤

   M11＝M

       11       22

立居場光 生

となる。つまり，ビーム波の強度が理想的スポットダ ンシングに近い状態で分布する。条件働が入射平面波 に対する解析から導かれたものであることから，平面 波強度の解析により先に求めた理想的スポットダンシ ングの成立条件1）は，一般の波に対して有効である ことが定量的に明らかになった。

5．むすび

 モーメント方程式の一般解を，形式的ではあるが，

理想的スポットダンシング状態の解を初項とする無限 級数で表示した。従って，この表現の第二項は，理想 的スポットダンシングに近い状態にあり，波形の歪み を伴う波の挙動を示す。この第二項をビーム波入射の 場合に解析し，波形歪みとビームパラメータとの関係 を中心軸上で検討した結果，次のことが明らかとなっ た。ビーム波のスポットサイズが有限であるために受 ける波形歪みよりも，波が空間的に一様に被る波形歪 みの方が大きい。このことは，先に平面波強度の解析 から得た理想的スポットダンシングの成立条件が一般 の波に対して充分有効であることを具体的に裏付けた

 謝辞本研究は一部昭和54年度放送文化基金（代

表者九州大学青木和男教授）による助成を受けて行っ たものである。日頃御指導御忌豪いただく安浦亀之助 九州大学教授に感謝する。

         文  献

1）M．Tateiba， An exact solution of the

 follrth−order moment equation for a plane  wave in a particular case ， Summaries of

2）M．Tateiba， An intensity probability−den−

 s量ty function of plane waves propagated  through random media ， URSI−Symposium，

 Seattle，72（Jun．1979）．

3）M．Tateiba， Mechanism of spot dancing  IEEE Trans．，AP−23，493−497（Ju1．1975）．

付  録

￠＝22／（々ω1），￠。露2Zo／（々ω1）と置けば，

      ユ

券一（22ゐω20）〔・＋（2（誹））〕

   の＝1＋（必十諾。）・メ≧0

と書ける。上式を∫（のと書き，￠について微分すれ

ば、

ア（諾）一〔罐聯］・

となり，∫（￠）は￠＝v！1＋エ2。で最大値ん。。＝

 壱V 1＋必2。 ［1＋τ。＋謬2。〉！1＋π2。｝1をもつ。

従って，￠。≧0のときん。．≦％，すなわち，

2乞／＠ω2。）≦ろうとなる。