小西　保則＊・桑野　信治＊＊ 小村　司＊＊＊・上田　大　作＊＊＊＊

トラス部材の最適設計手法に関する研究

小西 保則＊・桑野 信治＊＊

小村 司＊＊＊・上田 大 作＊＊＊＊

The Method of Optimum Design of Truss Member by

Yasunori KONISHI＊， Sinji KUWANO＊＊， Tsukasa、OMURA＊＊＊

and Daisaku UEDA＊＊＊＊

  As the scale of construction of structures expands， their configuration becomes more compli−

cated， the number of analytical member eletnents becomes larger and the number of design variables and constraints increases． It would be better to develop an oやtimum design using suboptimization，

so that the number of design variables and constraints can be decreased． In a method of optimum design using suboptimization， it is neとessery to obtain the optimum values of des1gn variables bf individual sections of member elements． It is necessary to select the most economical and precise computation． As examples of optimum design， the comparison of methods for design of continuous trusses includes the SLP， the SUMT and the feasible direction methods．

1．概  要

 構造物が長大化し複雑になると変数・制約条件式共 にその数は多くなる．そこでSuboptimizationによれ ば変数・制約条件式の数を減ずることが出来ることは

すでに述べたIL2L 3）． Suboptimizationの方法として1

部材要素の最適値を求める必要があるので，1本の部 材（圧縮材，引張材）の最適値を求める手法として，

最も計算時間が少なく且つ精度の高い手法を選ぶ必要 がある．そこで手法の比較最適設計例として，連続ト

ラスの1部材（圧縮材，引張材）について，SLP法

（Sequence of Linear Programming Method），

SUMT法（Sequence of Unconstrained Minimiza−

tlon Teghnique），可能方向法（Feasible Direction

Method）の各手法について比較した．

2．トラス部材の最適設計

 Fig．1に示す連続トラスについて考える．④部材は 図の荷重が作用した場合は圧縮部材となり，又⑧部材 は引張部材となる．各部材断面形状は図に示すように 正方形の箱形でβが部材断面幅，Tが板厚である．構 造物の最適設計，特に1本の部材の最適設計の場合，

制約条件が全く無い時には最適値は設計変数がゼロの 場合となる．従って一般には応力の制約条件がクリチ カルになる場合が多い．特に支間が長い場合には変形 の制約条件がクリチカルになる場合もある．応力の制 約条件のみによる設計空間を考慮して，圧縮部材と引

昭和58年4月30日受理

 ＊土木工学科（Department of Civil Engineering）

 ＊＊㈱長大橋設計センター 東京郡中央区（Long Span Bridge Consultants， Inc．， Tokyo）

＊＊＊ r谷建設コンサルタント㈱広島市中区（Aratani Construction Consultant， Co．， Hiroshima）

＊＊＊＊ 纉c産業㈱ 福岡豊前市（Ueda Industry Company， Ltd．ラFukuoka）

張部材とに分けて，トラス部材の最適設計についての

べる．

 （1）圧縮部材

 Fig．1に示す④部材について考える．設計変数はβ とTの2変数とする．制約条件式は応力制限：g1，細 長比〃7が120以下の制限：g、，板幅と板厚比が80以 下の制限：g3，設計変数の上下限制限：g、〜g，とす る．Fig．2に目的関数等高線図と設計空間を示す．明ら

かに最適点はP。である．この点は（B−2T）／T＝

29．1の直線と応力の制約条件式の交点である．すなわ

ち局部座屈を考慮する必要のない板幅と板厚の比が

29．1である点が最適値である．又Fig．2から断面積刃

＝1538．50〃z2と91の接点は凡と可成異っている．圧 縮部材の最適値はFully stressed状態になっているが，

全応力設計では必ずしも最適値は得られないことに注 意すべきである．又許容応力度は昭和55年2月に改訂 され，従来は局部座屈が生じない様板厚の比が制限さ れていたが，局部座屈を考慮し，許容圧縮応力度を逓 減することになった．従って目的関数として重量を選 んだ場合でも，設計変数として断面積でなく，板幅，

板厚をも考慮しなければならない．

 目的関数はcostで計算する．鋼材はSM58を使用し

鋼材費，溶接費の係数はTの関数として次式で計算す

る．

 鋼材費係数 瓦（T）＝0．0348T2−0．08457「＋1．2091        （1）

 溶接費係数 凡（7）＝0．0476T2＋0．19527 ＋0．7572

      （2）

B

P P

    ①

a

H

一L

T

B

 T s SL

B

Fig。1 General View and Cross S㏄tion of

    Continuous Truss

目的関数は次式で計算する．

 Z＝Z1十Z2十Z3十Z4

鋼材費 Z1ニ・4×／×ρ×E（T）×1．11×1・59

組立溶接以外の製作費

 Z2＝／1×！×ρ×μ×11．023×1．25

組立溶接費

（3）

（4）

（5）

  213＝μ×（Sル11ノ）×0．58×／×、＆（T）×0．01×1．25

      （6）

 変数に関係しない製作費

  Z4＝μ×91．0       （7）

となる．ここで

 、4：断面積（o〃￠2），／：部材長（o〃z），ρ：鋼材の単  位重量（ oη／o〃z3）

 （sル1H）：1人1時間当りの工数単価（円／時間）

 1．11：歩留

 1．59：SS41に対するS〃58の鋼材単価比率，

 0．58：1m当りの溶接人工（時間）

 （C躍） ：鋼材の単価（円／ oη），μ＝（5〃H）／［C躍）

である．又断面積は

 、4＝B2一（B−2T）2       （8）

200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100

B（cm）

o

0

0

0

0 oo 96

〃

の

0

＆

o

〜

0 o

のN

o

0 93

^σ，純ﾐ3

^oN

0 o _卜

97

^o寸

^oo

0 _の

0

^！

0

0

0 9 91

0

0

0

0

^鳶エ

。5 0

0 95

0 92

0

 O  l Fig．2

       T〔cm〕

2 3 4 5 6 7 8 91リユ112

Contourlines of Obj ective Function

and Design Space（for Compression and Tension Member）

となる．ρ＝0．785×10｝5 oη／c〃z3であり，④部材長は

／＝763．22c規とする．又本研究では5〃H＝4000円／

時，α4＝80000円〃。η，μ＝4000／80000；0。05とし た．又部材軸力はP＝4000 oηと仮定し，許容応力は鋼 道路橋設計示方書に従うものとする．

 （2）引張部材

 Case 1として， Fig．1に示す④部材について，部材

軸力はP＝4000 oη圧縮部材と同じとして，引張部材

と仮定した．設計変数・目的関数も共に同じとする．

許容応力は鋼道路橋示方書により，使用鋼材SM58に

対してσ。＝260肋g／c〃z2とする．制約条件式は応力制

限：g1，細長比〃アが200以下の制限：g，，二幅と板

厚の比が80以下の制限：g，，設計変数の上，下限制限：

9、〜97とする．Fig．3に目的関数等高線図と設計空間

を示す．明らかに最適点は91とg3との交点几であ

る．

 引張部材のCase 2として， Fig．1に示す下弦材の⑧

部材について，部材軸力はP＝1700 oηとした時の最 適値を求めた．部材長／＝8000〃zである．設計変数は

β，Tとし，目的関数は（3）〜（7）式により求める．許容 応力はS躍58に対してσ。＝2600々g／c〃z2とする．

制約条件式はFig．2において，応力制限：91，細長比

〃7が200以下の制限：g2，板幅 と板厚比が80以下の

制限：g、，設計変数の上下限制限：g、〜g，となる．Fig．

2において目的関数：の最小等高線とg1と接する点P。

が最適値となる．引張部材の場合，特にこのCase 2の 場合は91 と目的関数等高線とがほぼ平行に近いので，

精度のよい手法を用いないと真の最適値を求めること

は困難であることが分る．

3．各種手法の比較

 （1）SLP法（反復線形計画法Sequence of Linear Programming Method）

 制約条件式・目的関数をテーラー展開して線形化し，

線形計画法を繰り返し使用することによって，非線形 最適化問題の最適値を求める方法である．制約条件式 と目的関数の線形化には数値微分を用いたがほとんど 差はなかった．又文献4）の変数変換による方法を用 いると，通常の方法ではmove limitを考慮して1変 数につき4つの制約条件式が必要であるのに対して，

1変数について上下限制限はただ1個になる．従って

計算時間も少くてすむ．Fig．4aに圧縮部材のSLP法

による収束状態図を示す．図中①は探索の出発点で，

①，②……⑤点は移動点で，⑥点が最適点である．又

Fig．4bに引張材Case 1のSLP法による収束状態を

Brcm）

10

00

^，4

go

80 P

70 60

50 θ

の ド

40 9 9

91

6

30

20

o

^{oφ げ「・}

ﾊ

10 o 炉

00 90

80

^oの

70 60 50 40

σ

o 30

20 10 0

 012345678910

Fig．3  Contourlines of Obj ective

    and Design Space （for     Member）

    T（cm、

11 1a 13

Function

Tension

示す．図の⑥点は探索の出発点で，①，②……⑦点は 移動点で，⑧点が最適点である．このように2制約条 件式の交点が最適値であるときは収束状態もよく，比 較的少い繰り返し回数で最適値に収束している．

 （2）SUMT法（無制約最少化反復法， Sequenee of Unoconstrained Minimization Technique）

 制約条件式のある問題をSUMT変換して制約条件

式のない問題とし，無制約関数としての罰金関数の最 適値を求める．この場合Davidon−Fletcher−Powellの 手法を用いた．1次元探索の方法とし．て巌，Fibonacci 探索法を用いた ）．SUMT変換の罰金項の係数を1〜、

とした時，Fig．5a，5b，5cに圧縮材で＆＝50，1〜、＝1，

1〜々＝0．02の時の罰金関数の等高線図を，又Fig．6a，6b，

6cに引張材でCase 1の場合の1ぞ々＝50，1〜、＝1， R々＝

0．02の時の罰金関数の等高線図を示す．図中の⑥点は 探索の出発点を示し，①，②……は，移動点を示す．

最終の番号がそれぞれの場合の最適点を示す．又Fig．

5c， Fig．6cの几はそれぞれ圧縮材，および引張材につ

いて，R々が最小となった時の最終の最適点である．

Fig。5で明らかなように，圧縮材については比較的容 易に最適値を求めることが可能であるが，引張材の時

200 190 180 170 160 150 140 130 120 110

1〔｝0

90 80 70

6〔〕

40 B（cm〕

9

θ

0 o

7 3

＼

0

＼髄

0

、＼

0

、 6

玉、

0

^、＼

＼噛

2 6 o      ＼

0

ぎ  ＼

0 o  θ

1 o

、◎

r

^＼

＼9

̲

0 _σ

く⊇   σ

蛭「・ く「  」n

θ ド

0

0

0 ^♂ 95

92

0

0 1

2  3

⁴

5     7  8  9 1【〕 11 1Z

Fig．4a

T〔cm1

State of Convergence by SLP

Method for Compression Member

B（cm）

10

4 00

90

80 ⁷

8 70

60

50 o

^o画

40

7 9 5

        o

@        o

潤@       い亀

ﾑ｝       Ln

96

0      τ煽

r−       r4

30

20

^oの

10

00 ①

90

₉₁

＼

80

70 o _ぐ

60 o の

50 o N

40 o

30

^昌 9S

20 10 u

0  1  2

Fig．4b

3  4  5  6  7  8

910111213

^T（cm）

State of Convergence by SLP

Method for Tension member

T（cm）

190

180

170

160

150

140

130

120

110

100

90

1100

^Rk盟SO

900

750

91

⁷⁰⁰

 75 650 625

95 600 S90

5

1

TIc圃

3．5 4．0 4．5 5．0 5。s 6．0 6．S 7．0 7．5 8．o s．5

Fig。5a Contourlines of．Penalty Function in Case of Rk＝50 for compression Member

は1〜々＝0．02のFig．6cに示すように34．2のコーター

ラインの空間が91に沿って細長く存在してレ）るので，

最適点が求まり難い．又収束判定値を小さく取る必要 があって，従って繰り返し回数が多くなることが予想

される．

（3）FD法（可能方向法， Feasible Method）

 いま制約条件式を

  9f≦0（ガ；1。2，・

とし目的関数を

…η）

Direction

（9）

140

13【

12

11

100

9 R Cm〕

91

聡君3竃

Lハ         o

1

型

も ρ

1〜k＝1．〔⊃

⑨

T（cm〕

4．0     4。5    

5．0     5．5     6．O

Contourlines of Penalt〜z Function in

Case of Rk＝1 for Compression

Member

140

130

12

110

1o

9

3．5

Fig．5b

（cm〕

91

1

2

P 嘱

つ 4 献

3．5

Fig．5c．

T〔cm1

4。0      4。5      5。1〕      5，5      6．O

 Contourlines of Penalty Function in  Case of Rk＝0．02 for Compression

 Member

190

180

B（cm） Rk；50

17

16

．150

14

130

120

110

100

90

1200 93

900

91

675

5

1

T ）

2．0       3．0       4．O       S。0      6．O

Fig．6a Contourlines of Penalty Function in． Case of Rk＝50 for Tension Member

7．0

200

190

180

170

160

150

140

130

120

110

Bcm） ^{94 Rk呂］．0}

2

93 吃

宅 

◇

聖

91

♂

餓

⑨

●

2．0

Fig．6b

      T〔cm）

      3。0       4．0     1        5．∩      6．〔｝

Contourlines of Penalty Function in Case of Rk＝1for Tension Member

200 B（cm）

190

180

170

160

1SO

140

130

Rk＝0．02

9

93

91

の の

●

0

2

曙

害

9

ψ  ψド

 φ．

 5

噛

2

  ρ

0   τ一

『 寝

2

  ρ 0   び

ひ

O

_o

〜

o _♂

／

0

8

_〜

2．0

Fig．6c

       o      T（cm〕

         3．0       4．0       5．0       6●O

Contourlines of Penalty Function in Case of Rk＝0．02 for．the．Tension Member

  z＝∫（認）一→〃z加．      （1①

とする．この方法は

  ♂＋ ＝♂＋α々8々        （11）

の最小化探索の反復を行うが，探索方向餅およびス テップ幅α々を常に認々中1が実行可能領域すなわち制 約条件式を満足する領域にあるように選ぶ．進行方向 Sは次式により求める．   ▽9ガ（灘）8＋β≦0      （12）

  ▽！（」じ々）8＋β≦0      （13）

  ／8／  ≦  1＿0      （14）

  Z ＝β・… 〃zακ       （15）

ここに▽9f（」じ々）は9f（♂）のグラディエント，▽∫（♂）

は∫（α1々）のグラディエントである．これはSLP法が 非線形制約条件式を線形近似するのに対して，本手法 では非線形制約条件式をそのまま用いるので，より正 確な最適値を求めることが可能である．Fig．7aに圧縮 部材のFD法による収束状態を， Fig．7bに引張部材の Case 1の場合FD法による収束状態を示す．図中の⑥ 点は探索の出発点を①，②……は移動点を示し，最終

B（cm

94

の番号が最適点を示す．圧縮材ではほんの数回で最適 点近くに収束したのに対して，引張材は8回で最適点 に到達している．この方法は1回の繰り返しに対して

関数の評価回数が多い．

 （4）各手法の比較

 圧縮部材④の最適設計結果の各手法の最適値の比較

表をTable 1に示す．圧縮部材についてはSLP法で

は少し小さく，SUMT法は少し大きくなっている．FD 法が最も最適値に近くなっているものと思われる．

CPU TimeはSLP法が0．78 secと最も少い．部材④

を引張材と仮定した時の引張材Case 1の最適設計結 果の各手法の最適値の比較表をTable 2に示す．この

場合SLP法とFD法とは設計変数の値は少し異なる

が目的関数の値は全く同じである．計算時間はSLP法

が0．42secと他の手法の1／3位と非常に少い．又 SUMT法は，引張材の場合は正確な最適値を求める

ことが困難iで，他の手法と可成の相違がある．之は前 述のように制約条件式が目的関数の等高線とほぼ平行 に近いため，厳密な解を求めるためには収束判定値を

   B（cm）

200

150

100

5〔〕

0

93

9

95

9

1 6

8

ξ

o      」∩

諺 塗

2

こ 需

92

96

T〔Cm、

〔〕。0    

2・0     4．0    

60し｝     Sg〔1    10．〔1

Fig．7a State of Convergence by FD Method

     for the Compression Member

200

150

100

50

0

94

97

93

o

6

5 8

o

雷

91  0

9

o

95

8

の

3

鵠 琶

罠§

§

呂

96

T

 0。0    2・0    4●0    6●0    8●0   10。O

Fig．7b  State of Convemgence by FD

     method for the Tension Member

可成小さくとる必要があり，繰り返し回数が可成増加 する．他の手法と比較して，設計変数が可成相達する のに対して，目的関数の値はあまり大きく相違してい

ない．

 下弦材である部材⑧の引張材Case 2の場合，各手法 について最適設計の結果の比較表をTable 3に示す．

この場合も引張材Case 1とほぼ同じ傾向にあり，又

SLP法もFD法に比較して設計変数の最適値は少し

相違しているが，目的関数の値はあまり相違はない．

又繰り返し回数も16回と多い．しかしSLP法の場合

は，CPU Timeは0．35secと他の手法の1／3以下であ

る．

4．結  論

 以上の結果より可能方向法は非線形問題で制約条件

式の少い場合における最適化手法としては，SUMT 法およびSLP法に比べるとより厳密な解を求めるこ

とが可能である．ただ計算時間は引張部材で制約条件

式が目的関数の等高線にほぼ平行な場合にはCPU Timeが可成多い．之に対してSLP法は，可能方向法

よりやく粗雑な結果を与えるが，CPU Timeは可能方 向法の1／3以下でしかも目的関数の値はあまり相違な

Table 1 Comparison of Optimum Values for

Compression Member of Truss

Method

^B

icm）

T（cm）    Z

i×80000yen）

IS

CPU Time

@（sec）

SLP

rUMT eDM

110，606

P11，215 P11，098

3，569 R，578 R，577

34，959 R5，220 R5，181

14

W6

0．78 P．25 P．16

Table 2

Comparison of Optimum Values for

Tension Member of Truss（Case 1）

い．従ってSuboptimizationによる最適設計の場合に は計算時間の少いSLP法が適当と思われる．

 SUMT法は，引張部材のように，制約条件式と目的

関数の等高線がほぼ平行な場合には，最適設計結果の 値も不正確で且つ計算時間も多いため本研究の場合の Suboptimizationの各部材要素の最適設計には不適当 である．可能方向法は，関数の評価回数が多いため計 算時間が多くなったが，この点を改良することによっ て，より有効な手法となるであろう．

 （5）あとがき

 本論文の計算には長崎大学FACOM・M−180，九州 大学FACOM・M−200を使用した．御援助いただいた

計算センターの方々に感謝する．

参考文献

1）小西保則；Suboptimizationによるトラスの最適  設計，土木学会昭和54年度西部支部学術講演会概要

 集，（1979，2）pp．17〜18．

2）小西保則；Suboptimizationによるトラスの最適  設計（第2報），土木学会第35回年次学術講演会概要

 集1 （1 9 8 0， 10）， pp．691〜692．

3）小西保則；Suboptimizationによる1形合成げた

 の全製作費最適設計，長崎大学工学部研究報告第18

 号，（1982，1），PP．43−51．

4）前田幸雄i，林正，坂本良文；SLP法による骨組構  造物の最適設計，日本鋼構造協会 第15回大会研究  集会，マトリックス解析法研究発表論文集（1981年）

5）J．D．コワリック， M． R．オズボーン共著，山本善  之，小山健夫共訳；非線形最適化問題，（1970），pp．

 11〜19，pp．53〜57，培風館

Method

^B

icm）

T（cm）    Z

i×80000yen）

IS

CPU Time

@（sec）

SLP

rUMT eDM

178，684

P48，949

P78，627

2，179 Q，632 Q，180

31，821 R2，680 R1，821

988

0．42

P．20 P．34

Table 3 Comparison of Optimum Values for Tension Member of Truss（Case 2）

Method

^B

icm）

T（cm）    Z

i×80000yen）

IS

CPU Time

@ （sec）

SLP

rUMT eDM

l16，317

V8，963

P09，310

1，422 Q，132 P，516

17，092 P7，617 P7，141

1678 0．35

P．31

P．36