是枝正啓是枝正啓

推測的変化，割引をともなうくり返しゲーム

のナッシュ均衡戦略

是枝正啓

目 次 1.序

2.  線形需要関数と屈折反応関数

3.  推測的変化，割引をともなう複占くり返しゲームのナッシュ均衡 戦略

4.  弾力性逓減の非線形需要曲線

5.  非線形需要曲線のもとでのナッシュ均衡戦略

1.序

Bowleyに始まって最近まで寡占の研究においては，企業が利潤最大化行 動をとる場合，競争企業の産出量とそれに対する自己の最適な産出量との組 を表わす反応関数における推測的変化をどのように定式化するかが一つの焦 点であった。この古典的アプローチは，反応関数を通して寡占において相互 依存関係が存在することを明確に示したことに大きな意義をもっ。しかし寡 占企業の行動の本質にかかわる二つの問題点をもつことも事実である。

第lは，推測的変化をどのように定式化しでも，均衡点以外の点において，

その推測的変化の値が競争企業の最適反応を表わす反応関数の傾きと一致し ないかぎり，競争企業の反応を正確に推測しているとはいえず， したがって その定式化が不適当なものであったということである。これは，均衡への動 学的調整過程を考えるとき，企業は誤った推測と知りながらなおそれを均衡 まで続けることを意味し，企業の合理的行動を適確にとらえているとはいい 難い。第2は，古典的アプローチはl期間の分析で，それによって競争相手 を意識した戦略的行動を十分に分析できないということである。寡占企業の 関心は短期の利潤最大化よりもむしろ長期的な利潤最大化にあり， したがっ て寡占企業聞の相互依存関係は多期間にわたる企業行動を分析することによ ってその特徴をとらえることができる。このため，多期間にわたる企業行動 の分析がより重要である。

第1の点については， Bresnahanによって，費用関数が二次の増加関数

の場合には，推測的変化の値と競争企業の反応関数の傾きが一致する，すな わちコンシステントな推測が存在することが示されつの解決が与えられ fこ。

第2点の企業の長期的利潤最大化行動の分析にあたっては，企業はある場 合には短期の利潤を犠牲にして自ら協調的行動をとり，またある場合には協 調的行動をとらせるために競争相手に対して脅しゃ報復の手段をとるなどの 行動を考慮に入れるべきであろう。このような多期間にわたる寡占企業の戦 略的行動様式を多期間のくり返しゲームとして分析する方法はきわめて有用 であり，また寡占企業聞の相互依存関係を明確な形で示すことができる。し かしくり返しゲームが無限に続くならば期かぎりのゲームのナッシュ均 衡がただ 1つしかない場合でも，ある範囲内に無限個の完全均衡利得が存在 し，それに対応する均衡戦略も無限個存在することがフォーク定理で知られ ている。

現在のくり返しゲームの研究の中心課題はどのような条件のもとでこれら の無限個の均衡戦略を狭め，さらには特定することができるかにあるといっ てよい。この1つの試みとしてKalaiand Stanfordは伝統的寡占理論におけ る推測的変化を導入したくり返しゲーム・モデルを提示した。本稿はこの Kalai and stanfordをとり上げ，このモデルにおける定常的ナッシュ均衡の 存在を検討したい。

2.  線形需要関数と屈折反応関数

いま逆需要関数は線形で，企業1， 2の産出量X，y，財の価格Dに対して ρ=α‑b(x+y) α> 0， b> 0 

で与えられたとしよう。このとき企業の費用はゼロであると仮定すれば，例 えば企業 1のt期の利潤 πltは

πlt=Xt(α‑b(Xt+Yt)) 

と表わされる。ここでXt，Ytはそれぞれ企業1， 2のt期の産出量である。

企業のlの目的は，ある与えられた割引率 αε[0，1)に対して

z 

企業の生産設備を一定とした場合，産出量は設備の制約のために上に有界 でなければならなし、。その選択範囲を 1=[0， la/bJ(l"?;，  1) と表わす。こ の情況を表わすために次のような屈折需要関数f:R→Iを導入しよう。

定義1 f[xJ = 0  if xく O

=x  if X  E 1 

=la/b  if x >la/b  とする(図1。)

また CjE[ー 1， 1 ] (i= 1， 2)，αε[ 0， 1) に対して ぇ a(1 +αC 1 ) 

b[( 2 +αCl) (2+αC2) ‑ 1 ] ' 

y= α( 1 +αC2) 

b[( 2 +αC}) (2 +αC2) ‑ 1 ] 

︑ ︑ ︐ ︐

F'EEA 

︐ ︐

EE︑

とおく。

このような屈折反応関数fとムタに通して次の補助定理が成り立つ。

f(x) 

la/b 

O  la/b  x 

図

補助定理1 σ= Cσ1，σ2，…， σt，…)εI∞に対して a dα‑bCa₁ +タ))+ 1: αt‑1 atCα‑b(ん+タ+C2(aト 1‑X))) 

三三σ1(α‑b(σ1+反))+ 1: at‑1 σt(α‑bCσt+冗タ+C2(σtー1‑x)])  となるふ=(れ，長2，… ，Gt，…)εI∞が存在する。

(証明)Kalai and Stanford参照。

3.  推測的変化，割引をともなう複占くり返しゲームのナ ッシュ均衡戦略

本節では，完備情報のもとで意思決定(手番)が同時に行われるゲームに 一定の推測的変化と割引を導入したときのナッシュ均衡戦略について考察し

ょう。

いま各企業は各期の終りに相手の前期の産出量を知らされ，それに基づい て今期の産出量を一定の推測によって決めるという戦略を考えてみよう。そ れは

fXl =XE 1  fY1 =YE 1 

~ ^{‑ ，̲，}  L̲ ‑‑ (2) 

lXt+ 1 (ht) =JIX+Cl (Ytータ)] lYt+ 1 =冗長+C2(Xt‑X)] 

という戦略である。ここで CiE [ ‑  1， 1] C i = ， 1 2) ，αε[ 0， 1)， ht 

= (X 1， Y 1， X 2， Y 2 ，・・・ ，X ，f Yt) E (I

x n

り立つ。

定理1 (1)，  (2)のように定義される任意の戦略はナッシュ均衡戦略であ る 。 さ ら に は，y)は， Cl， C2および αが与えられたとき ，(X，タ)と異な 1)  Kalai and Stanfordはこの戦略をconstantconjectural variation (CCV) strategyと名付

けている。

るどのような (i，y)を代入しでも(2)はナッシュ均衡戦略ではないという意 味で一意である。

(証明)前節の補助定理によって，企業2の戦略を企業1の利潤最大化問題 におきかえることができる。それは

Maxσdα‑b(σ1+タ))+ L αt‑lσt(α‑b(σt+タ+C2(σt‑l一元))) (3) 

l1eI回 t=2 

と表わされる。したがって，任意σ=(Xl'  X2，…， Xt，…) El∞に対して x(α‑b(え+タ))+ Lαt‑¹x(α‑b(云+タ)) 

~Xl (α‑b(Xl +タ))+ Lαt‑1Xt(α‑b(Xt+タ+C2(Xt‑l一元)) ) 

を示せば，a =  (x， X，…， X，…)は最大化問題の解であり， (2)で与えら れる戦略はナッシュ均衡戦略であることを示したことになる。同様のことが 企業2に対していえる。

いま，任意の σ=(Xl'  X2，…， Xt，…) El∞に対して

N 

HN(σ) =Xl (α‑b(Xl +タ)) + L at‑1 Xt (α‑b(Xt+タ+C2(Xtー1‑X)))  とおけば(3)の最大化問題は結局 σEl∞に対して H∞(長)孟H∞(σ)を示すこと に帰着される。そこで

HN(σ) = HN(σ)‑αNbc2XXN  H∞σ) ( =limHN(σ) 

N→∞ 

と定義し，ある σE['∞に対してH∞σ)( >H.∞(ふ)と仮定しよう。この仮定が矛 盾を導けばわれわれは目的を達成する。

いま E>0に対して ，Ji∞(ふ)+ε= H，∞(σ)となるとしよう。そのときすべ て の はtーい Xt)ε[2に対して

I Xt(α‑b(Xt+タ+C2(Xtー 1‑x))) I豆m

となる mER が存在することは明らかである。そこで ν ~Nl ならば mL αt^ーl豆E/8となる N1，およびν孟N₂ならば，すべてのιεIに対してが bC2XXν豆E/8となる _{N 2}を選び，_N=max{N1， _{N 2}}としよう。そのとき

ν"i;;Nに対して

I H.∞ (σ)-~ν(σ) ¹ = ¹ L atXt+ 1 α(‑b(Xt+ 1 +長+C2(Xt‑X))) 1 

~mL αt~三 E/8 11丸山‑H.ν(長)1 =a~bC2 仇自/8 11五 (σ)-~ν(σ) ¹ =a~bC2 仇主主/8

IH.∞(ふ)-H~(ã) ¹豆E/8 となる。これから

E/4"i;;  1 H.∞(ふ)-~ν (ã) ¹ + ^IlLν(長)-H~(ã) ¹ 

"i;;  1 H.∞(ふ)‑lL^ν(長)1 

E/4孟 IH.∞(σ)‑lLν(σ) 1 + 1瓦(σ)-H~(σ) ¹ 

"i;;  1 H.∞(σ) -H~(σ) ¹  を得る。そしてこの2式より

E/2ミIH.∞(長)‑lLν(長)1 + 1 H∞，(σ) ‑lLν(σ) 1  孟 I~ν(ふ) +E-H~(σ) 1 

が導かれる。もしこのような ν に対して Hν (ã) ミ H~(σ) ならば，仮定 H∞(ふ) +E=H∞，(σ)に矛盾する。以下，H，ν(ふ)孟Hν(σ)を示そう。

H~の 1 階の最大化条件は

aHu(a) 竺

ーコ今一一=‑2 bXr +α‑by‑αbC2X2 = 0 

O.A. 1 

aH.ν(σ) 

でアー=αt‑2 {ー2bXt+aーが ‑abC2Xt+r ‑bC2 (均一l‑X)}=O (4) 

U.A.t 

(t= 2， ・・・， ν‑1 ) 

aH.レ(σ)

一友ア=ανー 1{‑2 bx汁α‑by‑αbC2X‑bc2(丸一1‑x)} =^・0

であるoy =α( 1 +αC2)  /b[(2 +cr) (2 +αC2) ‑1 ]とすれば，計算に よってXl=れ ι=X=α(1 +αCl)  /b[( 2 +αCr)( 2 +αC2)  ‑1 ]が (4)の解になることが確かめられる。さらにこの解が2階の条件をみたすこ

とも示すことができる。まず(4)によって瓦のヘッセ行列をFvとすると

‑2 b ーαbC2 0  一αbC2 一2αb ‑α2 bC2 

0 一α2bC2  ‑2α2b ‑α3 bC2  Fν= 

2'o 

p b t A  

'O

一ー

u u '  

一α

α U M︐ 

ヮ

一一

' O 2  

q︐

Fし一︐o

u l  

α一

つ 白

Uα 

一一

内4

FU  

Lu 

n f 

u u '

α   

となる。行列の性質より ，t= 1， 2，・1 ν に対して 2 C2  0 

αC2  2  C2 

1F_t 1=(ー 1)tB  0αC2  2  C2 

αC2  2  C2  0αC2  2 

が得られる。ただし B=αt(t‑1 )/2btである。そこでわれわれは民が負定値 符号行列であることを示そう。

任意のX=(X 1， X2，…， Xν)εj?Jに対して xFx' = ‑2 bx t ‑αbC2X 1X2 

一αbC2X1X2‑_2αbx~ ‑α2 bC2X2X3 

一α2bC2X2X 3一2α2bx3一α3bc 2X3X 4 

一να一2bC2丸一l丸一2‑ 2 a¥l‑2 bX¥l2̲ 1 ‑a¥l‑1 bC2丸一l丸 一να一1bC2丸 一 2aV‑1 bX¥l2 

= ‑(L 2α^{悶 ー}1bxJ + L 2αmbC2XmXm+ 1)  n= 1  m= 1 

となる。ただしx'はxの転置行列である。そこでこれを

xFx' = GV= ‑bXt ‑L (αl一1bx?‑+ 2α1bc2X戸1+1+αlbxλ 1  )ーが一1bx} 

と書きかえると νG の符号の決定には ，1= 1， 2， νに 対 し て (i )  Xl Xl+ 1 > 0， (ii) Xl Xl+ 1くOの二つのケースを考えればよいことがわかる。

( i )均Xl+1> 0のケース。 o>C2孟 ‑1の場合の考えれば十分である。

b> 0，αε[0， 1)より

bxr + 2αbC2均Xl+1 +αbx?‑ト 三bxr+ 2αbC2均Xl+1 +α 2 bxl‑+ 1ミbxr‑

2αbx戸l+1+α2bxr+ 1 =b(x/一αXl+1 ) 2ミO したがって

G

ν三三一bXt‑~ α1‑1 b(x/一αXl+1) 2 ‑av‑1 bXv2_くO

( ii) XIXl+ 1くOのケース。 0くC2豆1の場合を考えれば十分である。

bxr + 2αbC2X/Xl+ 1 +αbxr+ 1孟bxr+ 2αbC2X/X/+ 1 +α 2bxl与l孟b(x/+α x/+ 1)  > 0 

となる。よって G

ν壬‑bxt‑~ α/‑1 b(x/+αx/十1)2 ‑av一1bXv2くO

以上で νGが負定値符号行列であることが示された。これによって Hバσ)が X1=X2=…=ι=xにおいて最大となる。

一意性はつぎのように証明することができる。いま

G(x， y，ムタ)=x(α‑b(x+タ))+ ~ a^t一lX(α‑b(x+タ+C2(X‑X))) 

I(x， y，ムタ)=y(α‑b(y+云))+ ~ at‑1y(α‑b(y+x+c ¹ (y‑ji)))  (5)  とおこう。そのとき，ナッシュ均衡戦略(2)における x，jiは上の証明で明ら かなように

Gi=~G(x， ^y， 

x

x

dy  I J ‑ J  

をみたす。そこで(2)において ，x，タの代りにi，Yを代入した戦略がナッシ ュ均衡戦略であるならば

oG(x， y，ムタ)1 ̲ f ¥   T ̲OI(x， y， i，タ)

G_i一『ー Ix=i= 0， I_y U.L \~， '， ) ~， )'} I y=y= 0  (7) 

J  oy  ^I J ‑ J  

をみたさなければならない。 (5)の GおよびIはえとタに関して線形である か ら ￡ と yに関しても線形となる。ゆえに(6)をみたす (i，ji)と(7)をみた す (i，j)は 一 致 す る 。 .

4.  弾力性逓減の非線形需要曲線

本節では2節の線形需要曲線を弾力性が逓減する非線形需要曲線のクラス に拡張する。そのため次の3つの条件を設定する。

A 1.需要関数 P(x) はすべての x~0に対して定義され，徴分可能である。

また xくχ*に対して P(x*)= 0かっ P(x)> 0となる x*が存在する。さらに P( 0)く ∞ で ，P(x)く 0，P(x)は連続である。

A2.需要の弾力性 E(x) = ‑P(x) / xP (x)はOくxくげに対して厳密に減 少する。

この族の需要曲線に対して，需要の弾力性は区間 [0，x*J上 で + ∞ か らOへと減少する。また任意に与えられた正の弾力性に対応する一意の xが 存在する。後の便宜のために弾力性1の点を xfとする。つまり‑P(舛 ) / xfP (xf) = 1とする。

A3. x E[xf， ∞]に対して ，P(x)は凹で ，x E[O， xfJに対して P(x)亘L₁(X) =XP (xf)  ‑xfP (xf) +P(xf) 

である。

L₁ (x)は (xf，P(xf)) を通り，傾き P(斤)をもっ直線を表わす。仮定 2， 3より Pはxfの左では緩やかな凸性が許され， xfの右側では凹でなけ ればならない。

2) P(x)が線形ならば，この条件をみたす。

なぜなら

dE(x)/dx=一(x(p(x)) 2 ‑P(x)P (X)/(X)P(X)) 2 < 0  となるからである。また徴分可能凹関数についても同様である。

ここで前節の線形の需要曲線の場合のゲームに戻って弾力性の側面から均 衡産出量の性質を補助定理2としてあげておこう。

補助定理2 0くE(x+タ)く l

(証明)E(x) =α/bx‑1，云+タ=a(2 +αCl +αc2)/b[(2+αCl)  (2 +α  C2)ー 1]であるから，

E(元+タ)= (a  α(2 +αCl +αC2) 、

[( 2 +αCl)  (2 +αC2)ー 1]^J  / α ( 2  +αCl +αC2) 

[( 2 +αCl)  (2 +αC2)  ‑1 ] 

︑ ︑ ︐ ︐

︐ ︐ ‑

nFL

・

‑

Fし 一

2一α‑ ︑ ノl

+ 一

ω

け一 +

‑‑EA ︑1‑pb

︑ ト一

αω

+ 一 +

一

2

国

︐

︐

f︑ ︑ ︑

 ••

A

‑

︐ ︐ ︐ ︑ . ︑ .

L(x) 

Le(x) 

P(xf)・一一一一‑‑‑‑‑.‑.一一

O  x 

図 2

となるが， Cl， C2ε [  ‑1， 1]，αε[ 0， 1)より ￨α2C1 C2 Iく1である から，

0くE(え+タ) ^{l+αCl +αC2} +α2C1C2 

く1 2+αCl +αC2 

であることがわかる。) 目 上述した P(x)に対応するスーパーゲームは段階的ゲームの戦略集合を具 体的に示したときに定義される。このために Llはす)= 0となる xす，すな わち

xす=消‑PC舛)/PC舛)

をみたす xすを考え，各企業に対して段階的ゲームの戦略集合として区間 1=[ 0， xす]をとることにしよう。

つぎに定義1の線形需要関数に対する屈折反応関数に対応する関数および 戦略を定義しよう，

定義2 需要曲線が A1‑A3をみたし， Cl'  C2ε[‑l，lJ，α E  [0，  1 )としよう。

またxtが

E(が)= (1 +αCl)  (1 +αC2)  / (2 +αCl +αC2)  をみたすものとし ，(xt， P(xt)を通り傾きP(x"f)をもっ直線を

Le(x) =xP(x"f) ‑xtP (x"f) + P(x"f) 

と表わす。さらにα=P(x"f) ‑xt P(x"f) ， b = ‑P (x"f)とし，屈折関数を g(x) = 0 

=x 

if  xくO if  0 豆Z 三三球 if x >バ

* o  

x 一 一

戦略の組を

X， =X=.r/ ̲  a( 1 +αC 1 ) 

~ ‑ . ‑

I 山 b[(2 +αCl)  (2+αC2) ‑1 ] '  α( 1 +αC2) 

Y1=Y= b[( 2 +αCl)  (2+αC2)ー 1J 

Xt+ 1 (h) =f(X+Cl (Xt‑ji))， Yt+ 1 =f(X+C2 (yt‑ji)) 

とする。ここでん=(x 1， Y 1， X 2， Y 2 ，  Xt， Yt)ε(lxl)tである。

(8) 

3) E(云+y)が需要パラメータ‑aおよびbから独立であることを注意すべきである。

5.  非線形需要曲線のもとでのナッシュ均衡戦略

ここでは前節で定義した弾力性逓減の非線形需要曲線のもとで，定理1に 対応する次の定理2が成り立つことを示そう。

定理2 需要曲線がAI‑A3をみたすとする。 (8)におけるように定義され た任意の戦略はナッシュ均衡戦略である。さらに(ムタ)は Cl，C2および αが与えられたとき， (ムタ)と異なるどのような (i，y)を代入しでも(8)は ナッシュ均衡戦略でないという意味で一意である。

(証明)定理1の証明でみたように， α，Cl， C2および企業2の戦略が与 えられれば，企業1の戦略は各段階でタをとることを指示する。同様のこと が企業2に対していえる。

まず，X=X

，

  ) ，

  ) ，

=p (x')であるから ，X

，

，

弾力性と等しいことがわかる。したがって補助定理2によってLeの云+反に おける需要弾力性も (1+αCl) (1 +αC2)  / (2+αCl +αC2)である。ゆ えに弾力性は線形の需要曲線に対して狭義に減少しているから ，

x +

，

ある。仮定3によって，この X=X

，

Le(x) > P(x)である。これはすべての σ=(Xl'  X2，…， Xt，…) 'e  [0，  xす]∞に対して

エtCα‑b(Xl+タ))+ 2:αt‑lXt(α‑b(Xt+g(X+C2 (Xtー 1‑y))) 

孟XIP(Xl+タ)+2:αt一1P(Xt+g(X+C2 (Xtー 1ータ))) (9)  を意味する。ここでαおよび bは定義2で述べたもので ，l=bxす/αミ1で ある4l定理1の証明から(9)の左辺は [0，Xす]上でその最大値をとる。こ れは σ=(ム ム … ，X，…)が(9)の右辺の最大値を与えることを示している。

したがって(8)のように与えられる戦略のナッシュ均衡戦略の組である。

4 )これは図2からもわかるように，Leはす)=a‑bxす豆Oであることよりいえる。

つぎに一意性を証明しよう。いま，

G (x， y，  ，i:j) =xP(x+タ)+~αtー lXP(X+タ +C2(X‑:i)) 

H(x， y，  ，i:j) =yP(:i+y) + ~αt-lyP(:i +Y+Cl (Y‑j)) 

とおくと，定理1の証明をたどれば明かなように， (8)における(ムタ)の 代りに (:i， j)を代入した戦略がナッシュ均衡戦略ならば

。

oX  I x=i‑V ，  oj  I y=y‑V 

をみたさなければならない。

aG(x， y，  ，i: j)I X=i=P(:i+タ)+:iαP(:i+タ)+一一一1 ‑α (P( :i+タ)+ ( 1 +C2) 

:iP(:i+タ)

= 去 二 附 + タ )+ (1 +αの)的+タ))= 0 

aIH(x， y， ， タi: )

少 I y=戸 川 + タ)+P(何 )+ 1 ~a ^(P(:i+j) 

+ (1 +cdjP(:i+タ)

1 ‑a附+タ)+ (1 +αcdjP( 

であるから，

:i=‑ P(:i+タ) f ‑ P(:i+タ) 一一(1+αC2) P (:i+タ)'j'ー (1+αcd P (:i+タ) となる。そこで，あるs>0に対して

一 笠

‑ w v

‑ V A ‑ 一 一

‑ v d   一 一

pu‑pb α一α

+ 一 十

a x ‑ 一 一 a v d  

とおし計算によって

一一 P(:i+タ) 一(1+αcd (1 +αC2) 

E(:i+タ)一一

J J  (:i+タ)P(:i+タ)