杉原敏夫杉原敏夫

構造変化を含む時系列分析への適応モデルの適用について

杉原敏夫

構造変化を含む時系列分析への適応モデルの適用について

abstruct 

An adaptive dynamical approach to  economic time series analysis  with structure changes is  presented. This adaptive approach is  based  on Kalman Filter Technique inc1uded Control Factors.For such a case，  static approach as Multi Regression Model with time sequence in‑ troduces Dummy variables and represents the structure changes as  regression‑parameters shifts. On this analogy， some control factors cor‑ responding to  structure changes are introdeced to  Kalman Fi1ter's  State Transition Equation. The merits of this model are adaptive and  rea1time processing. The verification case is  Domestic Electric Power  GenerationへThistimeseries is  smooth comparatively， therefore filter  does not diverge at changing points. Consequently， mean square error  of this model is  highly lower than those of other static models. 

t .はじめに

273 

経営・経済領域における時系列分析においては，通常，モデル化の方法は 取り上げられた変数群についての過去の時点における時間的な振る舞いを基 本とする。すなわち，過去の時間的な振る舞いから現在，将来の時点の動き を推定・予測する回帰方式によるものが多い。そのようなモデル化に際し，

対象とされる変数の時間的な変化と同時にそれ以外の不連続的な構造変化に より，全体のシステムが大きな影響を受ける場合，取り上げた変数だけの回 帰モデルだけでは十分な説明が出来ないことも事実である。特に，そのよう な不連続的な構造変化はモデル化のための固有なシステム以外の外的なイン パクトに基づくことが多く， 1970年代のオイルショック，近年においてはバ ブル経済の崩壊など個々の分析モデルの範囲を超えた政治的，経済的なイン パクトに起因するものと考えられよう。

このような，システムの構造変化に対してのアプローチとしては，静的な 時系列分析のアプローチでは，構造変化の前後においてそれらを区別する新 たな構造変数を導入する(例えば，ダミー変数を導入した時系列重回帰モデ ルなど)方法が考えられた。この方法では，対象とする時系列の全体区間を 見渡して，システムの構造変化の時点に対応するダミー変数を導入し，ダミー 変数を含んだ変数全体のサンプル値に基づいて回帰分析を行うことによって 構造変化をモデルに吸収している。

一方，動的なモデル化技法においては，時系列の時点ごとの動きを逐次的 に入力し，その時点ごとの振る舞いに対応した推定を行うというリアルタイ ム的な処理方式が基本であるため，システムの構造変化には静的な方式と比 較して，対処がしやすいものと考えられ，このような方法を採用することに より，リアルタイム的な処理と併せ，より合理的な対処が出来るものと考え られる。

ここでは，以上のことを考え，時系列モデルの外部からのインパクトを吸 収する動的な適応モデルを考え，事例(国内における発電量時系列)により，

適用の検証を試みる。なお，時系列分析における動的な適応モデルとしては カルマンフィルタを基本としたモデル化を考える。

2.基本モデル

2. 1.力ルマンフィルタの構成

カルマンフィルタは R.E.Kalmanによって， 1960年に発表され，古典的 な最小2乗法の自然、な延長としての最適線形フィルタを構成するアプローチ である。カルマンフィルタの最大のポイントは N.Wienerによって提唱さ れた定常過程に対する最適線形フィルタを非定常過程に拡張し，さらに，パ ワースペクトラムを代表とする古典的な周波数領域での扱いに対して，コン ピュータでのリアルタイム処理を意識した時間領域での取扱を可能にしたこ

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とである。その特徴をまとめれば次の4点に集約されよう。

・原則として多入力多出力であること

一複数の変数が同時に推定・予測される

・状態系と観測系が分離されていること

275 

ーモデルの立て方によっては，少ない観測変数で多くの 状態変数が推定・予測できる

・フィルタゲインが自動的に調節される

一外部に対する適応型の機構を持つ

・逐次的なデータ処理，予測が可能である 一一リアルタイム計算に適している

カルマンフィルタを構成するためには，状態ベクトルと観測ベクトルおよ び状態系のダイナミクスを表す状態遷移行列，状態ベクトルから観測ベクト ルへの変換行列が定義されていなければならない。同時に，状態方程式の記 述のためには状態雑音，観測方程式の定義のためには観測雑音の確定が必要 である。これらをまとめると次のようになる。

(a)状態系の記述

・状態ベクトル:X(Xl， X2，…・・……・…， X_n) 

・外乱ベクトル :V(Vl' V2， ....・^H ・‑……， V_n) 

・状態遷移行列:φk+ ，1k(nXnの行列)

・状態方程式

Xk+l =φk+ 1.  kXk+Vk 

(b)観測系の記述

・観測ベクトル:y(y 1， Y2，………， Ym) 

・外乱ベクトル:W(Wl，W 2，………， Wm) 

・観測行列:Hk(mxnの行列)

‑状態方程式

Yk=HkXk+Wk 

一一一(1 ) 

一一一(2 ) 

( c )外乱の定義

・状態系への外乱 E{VkiVkU =VkOij  E{VkiV 1 a = VkOk 1 

・観測系への外乱 E{WkiWkj}=WkOij 

(d)状態変数の誤差共分散

・誤差共分散

E{ WkiW 1 a = W kOk 1 

Pk，kー1= E {支k，kー1処，kーd

Xk，k‑1 = Xk ‑ Xk，k‑1 

xk:k時点での状態ベクトルの推定値

( 3 ) 

一一一(4 ) 

一一一(5 ) 

Xk.k‑1 : (kー 1)時点でのk時点の状態ベクトルの予測値

以上の (a) '""  (d)までの要素によって，カルマンフィルタは構成され るが，その推定の手順と処理のアルゴリズムを示すと，図‑1 ， 2のように なる。

図‑1 力ルマンフィルタの構成 状 態 系

状態の更新 I Xk+ l，k=φk+ 1，kXk  Xk  r(状 態 方 酌 状 態 雑 音

1 )

… 

!  一

^￨ 

測値の取り込み 予測値の出力

Yk (観測信号+観測雑音)Yk+ l，k 

観 測 系

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図‑2 処理のアルゴリズム

step 1 初期化

Xk(状態推定ベクトル)の初期化 Xk.k一1(状態予測ベクトル)の初期化 Pk.k‑l (予測値誤差共分散行列)の初期化 step 2 観測値入力

Ykの入力 step 3 予測値の計算

Xk.k一1=φk.k一lXk‑l Yk.kー1=HkXk.kー1 step 4 カルマンゲインの計算

Bk=Pk.kー lH~[HkPk.k一 lH~+WkJ 一 l step 5 推定値誤差共分散の計算

Pk.k=口‑BkHkJPk.kー1[トBkHkJt+ Bk W kB~

=[Pk. ~-1 +H~Wk 1HkJ一1

( 1は単位行列) step 6 推定値の計算

Xk=Xk.kー1+Bk[Yk‑Yk.k一1J =Xk.k一l + Bk[Yk‑HkXk.k一1J 

Yk=HkXk 

step 7 予測値誤差共分散の計算

Pk.kー 1=φk.kー 1Pk‑1 .k‑1φい^{‑1+Qkー 1}

277 

以上のスキームにおいて， step 2から step7までを繰り返す。推定値は step 6にて，予測値は step3にて出力される。

2.2.状態雑音，観測雑音の設定

カルマンフィルタはそのドライブの根源を状態雑音においている。したが って，その合理的設定は非常に重要なものであるが，これがなかなか困難な 問題である。状態雑音は状態方程式(1 )から次のようにかける。

Vk=Xk+ 1一φk+1.kXk  一一一(6 ) 

これは， k+ 1時点の状態ベクトルをシステムのダイナミクスで表現した式 と考えれば，状態雑音Vkは，ダイナミクスで表現しきれなかった誤差と考 えられる。たとえば，第2項のダイナミクスを重回帰式と考えれば，誤差部 分は重回帰式の決定係数の残りの部分と言うことも出来よう。すなわち，こ の場合，決定係数を R2とすれば，状態雑音の共分散

Vikは

Vik^ニ (1‑R2) ・(Xikの分散) 一一一(7 )  と設定することも考えられよう。

観測雑音については，経営・経済領域のデータについては工学上の問題と は異なり，設定が非常に難しい。例えば，カルマンフィルタを適用する事前 処理として，時系列を T(Trend)， C (Circular)， S (Seasonarity)， 1 (Irr‑ egular)に分離し，抽出したI成分を観測雑音とすることも考えられる。ま た時点前の観測ベクトルの予測値と観測値の差を観測雑音として設定す る方法も考えられる。その場合，共分散は

Wjk=(Yjk一 1 ‑Hkー1Xk.k一 1) 2  一一一(8 )  となり，サイクルの更新ごとに自動発生できることになる。

以上のように，工夫次第では様々な方法が考えられるが，工学上の問題と は異なり，一律的な方法ではなく，対象とする問題の本質にうまくマッチし た方法を考えるべきである。(注1)

構造変化を含む時系列分析への適応モデルの適用について 279 

2.3.制御項がある場合

カルマンフィルタへの制御項が存在する場合は，状態方程式と観測方程式 は， (9)， (10)で記述することが出来る。

状態方程式

Xk+ 1 =φk+ 1.kXk+Ck+ 1.kUk+Vk  一一一(9 )  観測方程式

Yk=HkXk+Wk  ^'EA  n u   これは， (1) で記述されたフィルタに制御項を取り込んだものである。こ の場合，状態ベクトルXkは，制御ベクトルUkからドライブされるものと考 え，予測値を算出する方式において，次のような変換を考える。

uk=Dkx: 

すなわち，状態ベクトルの推定値の変換として制御ベクトルが得られるとい う考えである。この場合，行列 Dkは (pxn)の大きさを持つ。

Xk+ 1.k= (φk+ 1.k+Ck+ 1.kDk)X:  一一一(12) 一一一(13) Wk+ 1.  k=φk+ 1 .k+Ck+ 1.kDk 

とおけば，制御項をもっ場合の議論は前節での議論をそのまま用いることが 出来る。観測値に関してる次の通りとなる。

Yk+ 1 .k=Hk+ 1 Xk+ 1.k  一一一(14) ゲイン行列Bk'推定誤差共分散行列Pk.k，推定誤差共分散の予測値Pk.kー1 の算出においても， φk.kー1をWk.k一1に置き換えて議論すればよい。この 制御項を持つカルマンフィルタは制御項を時系列の構造変化のパラメータと 考えるならば，構造変化を有する適応型の動的モデルとして取り上げること が出来る。

3 .制御項を有する力ルマンフィルタの適用

3. 1.状態変数とその時系列データ

ここでは，制御項を持ったカルマンフィルタの実際の時系列データへの適 用を試みる。対象とする事例は次のものである。

テーマ:日本国内における発電量の予測 状態変数としては，次のものを考える。

Xlk:時点k(年次)における発電量 X2k:時点k(年次)における推定人口 X3k:時^d点k(年次)における鉱工業生産指数 X4k:時点 k (年次)における実質 GDP XSk:時点k(年次)における外国為替相場

(円/USドル)

X6k:時，点kにおける原油輸入量

上記の各変数の1969年から1994年までの時系列を，表‑1に挙げる。また，

最初の時点を起点にして，各年における時系列の比を表‑2に示す。

発電量の説明変数としては，以上の他にも様々なものが対象とされ得るが，

電力というものの持つ公共的・マクロ的性格を考慮すると，とり上げた変数 は代表的なものと考えられよう。ただし，人口と実質 GDP以外は発電量を 説明する安定したパラメータとはいい難いが，カルマンフィルタの特徴であ る動的な推定方式を前提として，時系列が年間データであること，および発 電量に関する経済状況の動きを表す代表的な指標であることを考慮して導入 を試みた。図‑3に発電量の時系列のグラフを示す。

構造変化を含む時系列分析への適応モデルの適用について 281 

[表ー 1適用とする各時系列]

時点西暦年度 333h推駁口続君事実5目品P曾FF噌J^主自F

‑ A ヮ

q d d

せ

F hd

にU

月 ︐s Q U Q u n u

‑

‑

っ‑ q d A

吐'hdnb

月 ︐t Q U Q U Q U T i

ワ 山 内

J d

せ

F D F O

ー ム 唱

i唱

1 1 A 1 A

咽I唱

I 1 A 1

ム1AnF臼

n L n L n 4 n L n L n L

1969  27223  10254  1970  30759  10467  1971  32699  10610  1972  36588  10760  1973  40589  10910  1974  39772  11057  1975  41403  11194  1976  44843  11309  1977  46799  11417  1978  49701  11519  1979  52162  11616  1980  51405  11706  1981  52314  11788  1982  52248  11869  1983  55551  11948  1984  58220  12031  1985  60393  12105  1986  60151  12167  1987  64016  12226  1988  66677  12278  1989  70468  12325  1990  75759  12361  1991  78311  12404  1992  78826  12445  1993  79571  12476  1994  84044  12503 

39.5  158945  357.8  16688  45  171661  357.65  19583  46.2  178981  314.75  22104  49.6  193698  301.1  23833  57.1  208470  280  28667  54.8  207182  300.94  28048  48.7  213107  305.15  26281  54.1  222084  293  26859  56.4  232550  240  27789  60.1  243873  195.1  27018  64.5  257371  239.9  28049  67.6  266722  203.6  25683  68.2  276268  220.25  23024  68.5  285002  235.3  21469  70.5  292701  232  20779  77.3  305187  251.58  21460  80.2  320397  200.6  19833  80  328816  160.1  19452  82.1  342315  122  18538  90.7  363567  125.9  19385  96.1  380709  143.4  20969  100  399043  135.4  22876  101.7  416038  125.25  24270  95.5  420622  124.65  25123  91.2  419765  111.89  25514  92  421922  99.83  27081 

(出典:参考文献の18，19) 

[表ー2 適用時系列， 1969年を起点とする比]

時 点 西 暦 年 度 発 電 量 推 定 人 口 鉱 工 業 生 産 実 質GDP外国為替原油輸入量 1969  1.0000  1.0000  1.0000  1.0000  1.0000  1.0000  2  1970  1.1299  1.0208  1. 1392  1.0800  0.9996  1.1735  3  1971  1. 2012  1. 0347  1. 1696  1.1261  0.8797  1. 3245  4  1972  1.3440  1. 0493  1.2557  1. 2186  0.8415  1.4282  5  1973  1. 4910  1.0640  1.4456  1.3116  0.7826  1. 7178  6  1974  1. 4610  1.0783  1.3873  1.3035  0.8411  1.6807  7  1975  1.5209  1. 0917  1.2339  1.3408  0.8529  1. 5748  8  1976  1. 6472  1. 1029  1.3696  1.3972  0.8189  1.6095  9  1977  1. 7191  1. 1134  1.4278  1. 4631  0.6708  1.6652  10  1978  1.8257  1. 1234  1.5215  0.5343  0.5453  1. 6190  11  1979  1.9161  1. 1328  1. 6329  1. 6192  0.6750  1.6808  12  1980  1.8883  1.1416  1.7114  1. 6781  0.5690  1.5390  13  1981  1. 9217  1. 1496  1.7266  1. 7381  0.6156  1. 3797  14  1982  1. 9193  1.1575  1.7342  1. 7931  0.6576  1.2865  15  1983  2.0406  1. 1652  1.7848  1.8415  0.6484  1. 2451  16  1984  2.1386  1. 1733  1.9570  1. 9201  0.71031  1.2860  17  1985  2.2185  1. 1805  2.0304  2.0158  0.5606  1. 1885  18  1986  2.2096  1. 1866  2.0253  2.0687  0.4475  1. 1656  19  1987  2.3515  1.1923  2.0785  2.1537  0.3410  1.1109  20  1988  2.4493  1. 1974  2.2962  2.2874  0.3519  1.1616  21  1989  2.5885  1.2020  2.4329  2.3952  0.4008  1.2565  22  1990  2.7829  1.2055  2.5316  2.5106  0.3784  1. 3708  23  1991  2.8766  1.2097  2.5747  2.6175  0.3501  1.4543  24  1992  2.8956  1.2137  2.4177  2.6463  0.3484  1.5055  25  1993  2.9229  1. 2167  2.3089  2.6409  0.3127  1.5289  26  1994  3.0872  1. 2193  2.3291  2.6545  0.2790  1.6228