基礎解析学 I 演習 1

(1)

基礎解析学

I

演習

1

1.

三角不等式

|| x | − | y || ≤ | x ± y | ≤ | x | + | y |

を示せ.

2. a ∈ R

に対し,

^∀ ϵ > 0, a < ϵ

なら

a ≤ 0. (特に, ^∀ ϵ > 0, | a | < ϵ

なら

a = 0.) 3.

次の集合はどのような集合か. 簡単に表し,説明せよ.

(1)

∪ ∞ n=1

[ 1, 2 − 1

n ]

(2)

∩ ∞ n=1

[ 1, 1 + 1

n ]

(3)

∩ ∞ n=1

( 1, 1 + 1

n )

(4)

∩ ∞ n=1

[ 1 + 1

n , 2 + 1 n ]

4. a n → α

なら

| a n | → | α | . (α = ±∞

も許す,但し

| ± ∞| = ∞

とする.)

5. n → ∞

での極限を求めよ. (a

∈ R, k ∈ N.)

(1) n (√

1 + 1 n − 1

) (2) n

{(

1 + a n

) k

− 1 }

(3) (

1 + 1 n ²

) n

(4) (

1 + a

√ n ) n

(5) n( √

ⁿ

a − 1) (a > 0) (6) n sin π

n (7) na ⁿ (8) [1 ² + 3 ² · · · + (2n − 1) ² ]/n ³ 6.

極限を求めよ.

a ∈ R.

(1) lim

x →∞

√ x( √

x + 1 − √

x) (2) lim

x →∞ [ √ x]/ √

[x] (3) lim

x →±∞ (1 + a/x) ^x (4) lim

x → 0 (1 + sin x) ^1/x 7.

次の定義を述べよ. ただし

S

は

R

の部分集合,

I

は区間を表すものとする.

(1) sup S = α (2) inf S = β (3) f (x): I

上の連続関数

8. R

の部分集合

S ̸ = ∅

に対して, sup

S = α ⇒ ^∃ { a n } ⊂ S; a n ↑ α

を示せ.

9.

閉区間上の連続関数について

(1)

中間値定理

(2)

最大・最小値定理を述べよ.

10.

関数

f (x), g(x)

がともに連続なら, (f

∨ g)(x) := max { f (x), g(x) } , (f ∧ g)(x) := min { f (x), g(x) }

も連続であることを確かめよ.

11.

区間

I

上で関数

f (x), g(x)

がともに連続で,各

x ∈ Q ∩ I

に対して

f (x) = g(x)

ならば

I

上

f = g

となることを示せ.

12.

関数

f (x)

が区間

[a, b]

で一様連続であることの定義と,その否定命題を述べよ.

13.

区間

I

上の連続関数

f (x)

に対して,

I

が閉区間であれば

f (x)

は

I

で一様連続となることを背理法を用いて示せ.

14. f (x) = sin(1/x)

が

(0, 1)

で一様連続でないことを示せ.

[

公式

] (a) lim

x →±∞ (1 + 1/x) ^x = e, (b) lim

h → 0 h ⁻ ¹ log(1 + h) = 1, (c) lim

h → 0 h ⁻ ¹ (e ^h − 1) = 1, (d) lim

x → 0

sin x x = 1.

1

場合分け

or 2

乗.

2.

背理法.

5.

逆有理化, 二項展開, logで公式

(b), log

と場合分け,公式

(d), r := ^∃ lim | a _n+1 /a _n | or ^∃ lim √

ⁿ

| a _n | (r = ∞

も可)で, 0

< r < 1 ⇒ a _n → 0, r > 1 ⇒ | a _n | → ∞ .

∑ n

k=1

k ² = 1

6 n(n + 1)(2n + 1).

6. [x]: x

の整数部分

(ガウス記号); x

を超えない最大の整数

→ x − 1 < [x] ≤ x, 8. S

非有界のときは

sup S = ∞

とする.

10. a ∨ b := max { a, b } , a ∧ b := min { a, b }

を和と差,絶対値を用いて表す.

14. 1/x = 2nπ, (1/2 + 2n)π.

3. [1, 2), { 1 } , ∅ , { 2 } . 5. 1/2, ka, 1, [a > 0, = 0, < 0 ⇒ ∞ , 1, 0], log a, π, [ ∞ (a ≥ 1), 0( | a | < 1),

発散

(a < − 1)], 4/3. 6. 1/2, 1, e ^a , e.

(2)

基礎解析学

I

演習

2

1.

次の関数を微分せよ.

(1)x log | x | − x (2) log | cos(ax + b) | (3) log | x + √

x ² + a | (a ̸ = 0) (4)log | (x − a)/(x + a) | (5) tan ⁻ ¹ x

a (a > 0) (6) sin ⁻ ¹ x

a (a > 0).

2.

ロピタルの定理を用いて極限を求めよ.

(1) lim

x →∞ e ^x /x ^α (α

定数)

(2) lim

x →∞ log x/x ^α (α > 0) (3) lim

x →∞ x ^1/x (4) lim

x → 0

x − sin x

x ³ (5) lim

x → 0

a ^x − b ^x

x (a, b > 0) 3.

次の極限値を求めよ.

(1) lim

x → 0

e ^2x − 1

e ^3x − 1 (2) lim

x → 0 (1 + x + x ² ) ^1/x (3) lim

x → 1 x ^1/(1 ⁻ ^x) (4) lim

x → 0

1 − cos x

x ² (5) lim

x → 0

sin x − tan x

x ³ (6) lim

x → 0

√ | x | sin 1 x

4.

原点に関して対称な区間で定義された関数

f (x)

は

f (x) = g(x) + h(x); g(x)

偶関数,

h(x)

奇関数の形に一意的に表されることを示せ. 更に

[ − π, π]

で定義された関数

f (x) = 2 sin x (0 ≤ x ≤ π), = 0 ( − π ≤ x ≤ 0)

に対して上の

g, h

を求め,なるべく簡単な式で表せ.

5.

次の極限値を求めよ.

(1) lim

x → 0

tan x − x

x ³ (2) lim

x → 0

( 1 x ² − 1

sin ² x )

(3) lim

x → 0

e ^x − e ^sinx

x ³ (4) lim

x → π/2

e ^sinx − e log sin x (5) lim

x → 1

x ^x − x

1 − x + log x (6) lim

x → 0

(1 + x) ^1/x − e

x (7) lim

x → 0

( a ^x + b ^x 2

) 1/x

(a, b > 0) (8) lim

x →∞

{

x − x ² log (

1 + 1 x

)}

(9) lim

x →∞ log x log (

1 + 1 x

)

6. f (x)

が

x = a

で微分可能なら

lim

h,k → 0+

f (a + h) − f (a − k)

h + k = f ^′ (a) 7. f (x)

が

x = a

の近くで

C ²

級なら

lim

h → 0

f(a + h) + f (a − h) − 2f (a)

h ² = f ^′′ (a)

ロピタルの定理：適当な条件のもと不定形の極限

lim

x → a f (x)/g(x) = lim

x → a f ^′ (x)/g ^′ (x).

(

条件

: f, g

が

a

のある近傍

U

で

a

を除いて可微分かつ

g ^′ ̸ = 0, [共に a

で連続,

f (a) = g(a) = 0]

または

[ lim

x → a g(x) = ∞ ]

をみたし, しかも

^∃ lim

x → a f ^′ (x)/g ^′ (x) ∈ [ −∞ , ∞ ]

なら成立.

また

a

を

a ± 0, ±∞

にかえても成立. 例えば

[ f, g

は十分大きい

x

について可微分かつ

g ^′ ̸ = 0, f ( ∞ ) = g( ∞ ) = 0, i.e., lim

x →∞ f (x) = lim

x →∞ g(x) = 0]) 1. log | x | , − a tan(ax + b), 1/ √

x ² + a, 2a/(x ² − a ² ), a/(a ² + x ² ), 1/ √

a ² − x ² . 2. ∞ , 0, 1, 1/6, log(a/b).

3. 2/3, e, 1/e, 1/2, − 1/2, 0. 4. g(x), h(x)

は

f (x), f( − x)

の和と差を用いて表される.

5. 1/3, − 1/3, 1/6, e, − 2, − e/2, √

ab, 1/2, 0. 7.

テイラーの定理.

(3)

基礎解析学

I

演習

3

1.

次の関数を微分せよ.

(1)x log | x | − x (2) log | cos x | (3) log | x + √

x ² + 1 | (4)log | (x − 1)/(x + 1) | (5) tan ⁻ ¹ x (6) sin ⁻ ¹ x 2.

上の結果を用いて不定積分を求めよ（a

̸ = 0

とする,積分定数は略してよい）.

(1)

∫

log | x | dx (2)

∫

tan(ax + b)dx (3)

∫ dx

√ x ² + a (4)

∫ dx

x ² − a ² (5)

∫ dx

a ² + x ² (6)

∫ dx

√ a ² − x ²

3.

次の和の

n → ∞

での極限値を定積分を用いて求めよ.

(1) 1 n √ n

∑ n

k=1

√ k (2)

∑ n

k=1

1 n + k (3)

∑ n

k=1

√ 1

n ² + k ² (4)

∑ n

k=1

n

n ² + k ² (5)

∑ 2n

k=1

n n ² + k ² 4.

次の積分の値を求めよ.

(1)

∫ 1 0

log xdx (2)

∫ 1

− 1

√ dx

1 − x ² (3)

∫ _∞

0 x ² e ⁻ ^x dx (4)

∫ _∞

−∞

dx 1 + x ² (5)

∫ _∞

0 dx e ^x + e ⁻ ^x 5.

次の広義積分が絶対収束することを確かめよ.

(1)

∫ π 0

√ dx

sin x (2)

∫ π/2 0

log(sin x)dx (3)

∫ _∞

0 e ⁻ ^x

²

dx

6. (1)

∫ _∞

0 sin x

x dx

は収束することを示せ.

(2)

∫ _∞

0 sin x x

dx

は発散することを示せ.

7. f (x)

が区間

I

で

C ⁿ

級のとき,任意の

x, a ∈ I

に対して,

f (x) =

n ∑ − 1

k=0

f ^(k) (a)

k! (x − a) ^k + 1 (n − 1)!

∫ x a

f ⁽ⁿ⁾ (t)(x − t) ⁿ ⁻ ¹ dt.

8. [a, b]

で

f (x), g(x)

は連続,

g(x) ≥ 0

とすると, 次をみたす定数

c

が存在することを示せ:

∫ b a

f (x)g(x)dx = f (c)

∫ b a

g(x)dx (a ≤ c ≤ b).

広義積分

:

区間

I

上

g(x)

は有界

(bdd), h(x)

が可積分なら

f (x) = g(x)h(x)

も可積分.

コーシーの判定条件

: a → ∞

のとき

F(a)

が収束

⇐⇒ ∀ ϵ > 0, ∃ K > 0; | F(a) − F(a ^′ ) | < ϵ ( ∀ a, a ^′ > K ).

3. 2/3, log 2, log(1 + √

2), π/4, tan ⁻ ¹ 2. 4. − 1, π, 2, π, π/4. 5.

有界関数

(1) √

x/ sin x on (0, π/2]

(2) x ^α log(sin x) (0 < α < 1) on (0, π/2) (3) x ^α e ⁻ ^x

²

(α > 1) on [0, ∞ ) 6. (1)

部分積分を用いて

∫ a

^′

a

sin x

x dx → 0 (a, a ^′ → ∞ )

を示す. (2)

∫ nπ 0

sin x x

dx ≥ 2 π

∑ n k=1

1 k

を示す.

7.

部分積分.

8.

中間値の定理

(4)

基礎解析学

I

演習

4

1.

定積分を用いて

(1) ∑

n ≥ 1

1 n ^p (2) ∑

n ≥ 2

1 n(log n) ^p

は

p > 1

なら収束,

p ≤ 1

なら発散を示せ.

2.

正項級数についての判定法を駆使して収束・発散を調べよ

(ただし, 0 ≤ a < 1, b, p

は定数).

(1) ∑ log n

n ² (2) ∑ ( 1 − 1

n ) n

²

(3) ∑

n ^p a ⁿ (4) ∑ (

1 − cos b n

)

(5) ∑ b ⁿ n!

3.

交代級数

∑

( − 1) ⁿ /n ^p (p > 0)

の絶対収束,条件収束を調べよ.

4.

関数列

{ f _n (x) }

が区間

I

で関数

f (x)

に一様収束することの定義とその否定命題を述べよ.

5.

連続関数列の一様収束極限関数も連続となることを示せ. 即ち,

区間

I

上の連続関数列

{ f n }

に対して,

f n → → f on I

なら

f

も

I

で連続.

6.

次の関数列は与えられた区間の上で一様収束するか. ただし, 0

< δ < 1, p

は定数.

(1) f n (x) = nx ⁿ , [0, δ] (2) f n (x) = x ²ⁿ (1 + x ²ⁿ ), [0, 1] (3) f n (x) = n ^p xe ⁻ ^nx

²

, ( −∞ , ∞ ) [

ヒントまず

f n

の各点収束極限

f

を求める. 一様収束でないことをいうには

5

の対偶を用いる.]

7.

整級数の収束半径を求めよ.

(1) ∑

n ≥ 1

n ⁿ

n! x ⁿ (2) ∑

n ≥ 1

(1 + 1/n) ⁿ

²

x ⁿ (3) ∑

n ≥ 0

n ² x ²ⁿ (4) ∑

n ≥ 1

(1 + 1/n) ⁿ

²

x ²ⁿ 8. 0 ≤ a < 1

に対し,

f (x) = 1 + ∑

n ≥ 1 a ⁿ sin nx

とおく. 次を示せ.

(1)

右辺の級数が

( −∞ , ∞ )

で一様収束.

(2) f ^′ (x) = ∑

n ≥ 1

na ⁿ cos nx.

9.

等式

1/(1 + x) = 1 − x + x ² − · · · + ( − 1) ⁿ ⁻ ¹ x ⁿ ⁻ ¹ + ( − 1) ⁿ x ⁿ /(1 + x)

が成り立つことを説明し, これを用いて, log 2 =

∑

n ≥ 1

( − 1) ⁿ ⁻ ¹

n = 1 − 1 2 + 1

3 − · · ·

を証明せよ.

10. ∑

n ≥ 1

sin nx

n ²

は

( −∞ , ∞ )

で一様収束するが,項別微分可能ではないこと示せ.

・ライプニッツの定理

: a _n ↓ 0

なら交代級数

∑

( − 1) ⁿ ⁻ ¹ a _n

は収束.

・正項級数

∑

a n

の収束・発散の判定法［比較

: a _n ≤ Kb _n (n ≫ 1)

の時,

∑

b _n

収束

⇒ ∑

a _n

もそう. コーシー

: ρ := ^∃ lim √

ⁿ

a _n or

ダランベール:

ρ := ^∃ lim a n+1 /a n

のとき, 0

≤ ρ < 1

なら収束, 1

< ρ ≤ ∞

なら発散. ]

・整級数

∑

a _n x ⁿ

の収束半径

: r = 1/ρ if ρ = lim √

ⁿ

| a _n | or lim | a _n+1 /a _n | exists.

・区間

I

上の関数列

{ f n (x) }

に対し,

ワイエルストラスの

M -

判定法

: ^∃ { M n } ; | f n | ≤ M n on I, ∑

M n < ∞

なら

∑

n f n

は一様収束.

項別積分可能定理

: I = [a, b]

有界閉区間で

f _n

連続,

(1) f n → → f

なら

lim

n →∞

∫ b

a f n dx = ∫ b

a f dx. (2) ∑

n f n

一様収束なら

∫ b a

∑

n f n dx = ∑

n

∫ b a f n dx.

項別微分可能定理: 区間

I

で

f n ∈ C ¹ ,

(1) f _n ^′

一様収束,

^∃ x ₀ ∈ I; f _n (x ₀ )

収束なら

^∃ f ∈ C ¹ (I); f _n → f, f _n ^′ → → f ^′ .

(2) ∑

n f _n ^′

一様収束,

^∃ x 0 ∈ I; ∑

n f n (x 0 )

収束なら

∑

n f n

各点収束, (

∑

n f n ) ^′ = ∑

n f _n ^′ .

3. p > 1 ⇒

絶対, 0

< p ≤ 1 ⇒

条件.

6. f n (x) ≤ nδ ⁿ → 0, f n (x) → f (x) = 1/2 (x = 1), = 0 (x ∈ [0, 1)), p > 1/2 ⇒

基礎解析学 I 演習 1

I

1

1.

|| x | − | y || ≤ | x ± y | ≤ | x | + | y |

2. a ∈ R

∀ ϵ > 0, a < ϵ

a ≤ 0. (特に, ∀ ϵ > 0, | a | < ϵ

a = 0.) 3.

(1)

∪ ∞ n=1

[ 1, 2 − 1

n ]

(2)

∩ ∞ n=1

[ 1, 1 + 1

n ]

(3)

∩ ∞ n=1

( 1, 1 + 1

n )

(4)

∩ ∞ n=1

[ 1 + 1

n , 2 + 1 n ]

4. a n → α

| a n | → | α | . (α = ±∞

| ± ∞| = ∞

5. n → ∞

∈ R, k ∈ N.)

(1) n (√

1 + 1 n − 1

) (2) n

{(

1 + a n

) k

− 1 }

(3) (

1 + 1 n 2

) n

(4) (

1 + a

√ n ) n

(5) n( √

a − 1) (a > 0) (6) n sin π

n (7) na n (8) [1 2 + 3 2 · · · + (2n − 1) 2 ]/n 3 6.

a ∈ R.

(1) lim

x →∞

√ x( √

x + 1 − √

x) (2) lim

x →∞ [ √ x]/ √

[x] (3) lim

x →±∞ (1 + a/x) x (4) lim

x → 0 (1 + sin x) 1/x 7.

S

R

I

(1) sup S = α (2) inf S = β (3) f (x): I

8. R

S ̸ = ∅

S = α ⇒ ∃ { a n } ⊂ S; a n ↑ α

9.

(1)

(2)

10.

f (x), g(x)

∨ g)(x) := max { f (x), g(x) } , (f ∧ g)(x) := min { f (x), g(x) }

11.

I

f (x), g(x)

x ∈ Q ∩ I

f (x) = g(x)

I

f = g

12.

f (x)

[a, b]

13.

^∀ ϵ > 0, a < ϵ

a ≤ 0. (特に, ^∀ ϵ > 0, | a | < ϵ

1 + 1 n ²

n (7) na ⁿ (8) [1 ² + 3 ² · · · + (2n − 1) ² ]/n ³ 6.

x →±∞ (1 + a/x) ^x (4) lim

x → 0 (1 + sin x) ^1/x 7.

S = α ⇒ ^∃ { a n } ⊂ S; a n ↑ α

x →±∞ (1 + 1/x) ^x = e, (b) lim

h → 0 h ⁻ ¹ log(1 + h) = 1, (c) lim

h → 0 h ⁻ ¹ (e ^h − 1) = 1, (d) lim

(d), r := ^∃ lim | a _n+1 /a _n | or ^∃ lim √

| a _n | (r = ∞

< r < 1 ⇒ a _n → 0, r > 1 ⇒ | a _n | → ∞ .

k ² = 1

(a < − 1)], 4/3. 6. 1/2, 1, e ^a , e.

x ² + a | (a ̸ = 0) (4)log | (x − a)/(x + a) | (5) tan ⁻ ¹ x

a (a > 0) (6) sin ⁻ ¹ x

x →∞ e ^x /x ^α (α

x →∞ log x/x ^α (α > 0) (3) lim

x →∞ x ^1/x (4) lim

x ³ (5) lim

a ^x − b ^x

e ^2x − 1

e ^3x − 1 (2) lim

x → 0 (1 + x + x ² ) ^1/x (3) lim

x → 1 x ^1/(1 ⁻ ^x) (4) lim

x ² (5) lim

x ³ (6) lim