微積分◇演習ファイナルトライアル
(情報メディア学科1年次科目)樋口さぶろお1 配布: 2004年01月21日更新: Time-stamp: ”2004/01/30 Fri 16:15 hig”
注意
1. 出席チェックのときに学生証を見せてね.
2. 過程も答えよう. 最終的な答えが正しいことがわかるような過程を記そう.
3. 問題文に現れない記号を使うときは, 定義を記そう.
4. すべての問で x, y ∈Rです.
5. 外部記憶ペーパー作成 10分 +答案作成 80分
1
1. 関数 f(x) = e3x−1 の, x=−2 のまわりのテイラー級数を求めよう. ex のマクローリン級数 の公式を理由なしに用いてもよい.
2. 関数 g(x) = log(2 +x) の, x = 1 のまわりの2次のテイラー展開を求めよう. 剰余項 R3(x) は,パラメータ 0< θ <1 を用いて表そう.
2
次の不定積分, 定積分(広義積分も含む)を求めよう.
1.
Z 3
−1
e−2x+1 dx.
2.
Z 5
−2
2sgn(x−1) dx. (グラフから図形の面積を利用して求めてもよい)
3.
Z √
π/2 0
xsin(x2) dx. (t=x2 とおいて置換積分を用いてもよい) 4.
Z −∞
2
x·e3x dx. (部分積分を用いてもよい) 5.
Z x2−2x−6
x2−x−2 dx. (部分分数展開を用いてもよい. これは不定積分) 6.
Z 1
0
√ 1
1−x2 dx.
7.
Z π
0
e3ix dx. (i=√
−1. できるだけ簡単化して, e の残らない形で答えよう) 8.
Z +∞
−∞
e−x
2
2a2 dx. (a >0 は定数. ガウス積分 Z +∞
−∞
e−x2 dx の公式は理由なしに使ってよい)
1Copyright c°2004 Saburo HIGUCHI. All rights reserved.
http://hig3.net/(講義のページもここからたどれます),http://www.math.ryukoku.ac.jp/~hig/,
3
1. 直交座標 (x, y) で書かれた2重積分 I1 =
Z Z
D
(2xy+y2)dxdy, (D は (−1,0),(0,0),(−1,−2) を3頂点とする3角形) の値を求めよう.
2. 直交座標 (x, y) で書かれた2重積分 I2 =
Z Z
D
xdxdy, D={(x, y)|15x2+y2 54,−x5y5+x}
考える.
(a) 積分範囲を図示しよう.
(b) 積分I2 を極座標 (r, θ)を用いて書き直そう. ヤコビアンは公式を用いてよい.
(c) 変数r, θ についての2重積分を計算し, I2 の値を求めよう.
3. 直交座標 (x, y) で書かれた2重積分 I3 =
Z Z
D
y2 dxdy, D={(x, y)|05x+ 2y 52,052y−x51}
を考える.
(a) 変数変換 u=x+ 2y,v = 2y−xを行う. ヤコビアン J(u, v) = ∂(x,y)∂(u,v) を求めよう.
(b) 変数u, v についての2重積分を計算し, I3 の値を求めよう.
2
微積分◇演習ファイナルトライアル ( 略解 )
(情報メディア学科1年次科目) 樋口さぶろお2 配布: 2004年01月21日更新: Time-stamp: ”2004/01/30 Fri 16:15 hig”1
1. マクローリン展開 ex = X∞
k=0
1
k!xk を利用して, f(x) = e−7e3(x+2) = e−7
X∞
k=0
(3(x+ 2))k
k! =
X∞
k=0
e−73k
k! (x+ 2)k. (1)
2.
g(0)(x) = log(2 +x), g(0)(1) = log 3. (2)
g(1)(x) =x+21 , g(1)(1) =13. (3)
g(2)(x) =− (2+x)1 2, g(2)(1) =−19 (4)
より,
g(x) = log 3 +13(x−1)− 181(x−1)2+R3(x). (5) また, g(3)(x) = (2+x)2 3 より,
R3(x) = 3!1 (2+1+θ·(x−1))2 3(x−1)3. (6)
2
1.
Z 3
−1
e−2x+1 dx=−12[e−2x+1]3−1 = 12(e3−e−5). (7) 2.
Z 5
−2
2sgn(x−1) dx= 2 Z 1
−2
sgn(x−1) dx+ 2 Z 5
1
sgn(x−1) dx=−6 + 8 = 2. (8) 3.
Z √
π/2 0
xsin(x2) dx=£
−cost 12¤π/2
0 = 12. (9)
2Copyright c°2004 Saburo HIGUCHI. All rights reserved.
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4. Z −∞
2
x·e3xdx=£
x13e3x¤−∞
2 −
Z −∞
2 1
3e3xdx=−59e6. (10)
5. 積分定数を C として, Z x2−2x−6
x2−x−2 dx= Z ¡
1 + x+11 − x−22 ¢
dx=x+ log (x−2)|x+1|2 +C. (11) 6. x= sint とおくと, dx= cost dt,t : 0→ π2 で,
Z 1
0
√ 1
1−x2 dx= Z π/2
0
cost
costdt= π2. (12)
7. e3πi = eπi=−1 に注意して, Z π
0
e3ix dx= 1
3i[e3ix]π0 = 3i1(e3πi−1) = −23i = 2i3. (13) 8. t = √x2·a とおいて,
Z +∞
−∞
e−x
2
2a2 dx=√ 2·a
Z +∞
−∞
e−t2 dt =√
2π·a. (14)
3
1.
I1 = Z 0
−1
½Z 0
2x
(2xy+y2)dy
¾ dx=
Z −2
0
(Z y/2
−1
(2xy+y2)dx )
dy= Z 0
−1
−203x3 dx= 53. (15) 2. (a) 略. 1 5r52,−π4 5θ5+π4.
(b) dxdy =r dr dθ に注意して, I2 =
Z 2
1
dr Z +π
4
−π 4
dθ r2cosθ. (16)
(c)
I2 = Z 2
1
r2 dr× Z +π
4
−π 4
cosθ dθ= 7√32. (17)
3. (a) x= 12(u−v), y = 14(u+v) より,J(u, v) = 14. (b)
I3 = Z 2
0
du Z 1
0
dv (14(u+v))2· 14 = 216
Z 2
0
(u2+u+ 13)du= 121. (18) 成績は1月31日までに, 龍大(生協)インターネットのメールアドレス
(学籍番号+1文字)@ryukoku.seikyou.ne.jp
に連絡します. 携帯メールなど, 他のアドレスで受け取りたい人は, ページ http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~hig/course/mail.html
(http://hig3.netからも行けます)の説明にしたがって,あらかじめ転送設定しておいてください.
4
1
冬のプチテスト範囲の再出題です.
2
1. 2003/12/11 のquizの類題です.
2. 面積を利用して考えるときは, x 軸より下の部分は負の面積として考えることを思いだしま しょう.
3. 2003/12/17 のquizの類題です.
4. 2004/01/07 のquizの類題です.
5. 2003/12/18 のquiz の類題です. 部分分数展開するときは, いきなり x+aA + x+bB とおくので
はなく, まず ‘多項式部分,’ 今の場合なら 1 を取り出して, 分子の次数 < 分母の次数として
からしましょう.
6. 置換 x = sint を思いつくか, 原始関数が Arcsinx となることをおぼえているかが期待され
ます.
7. 複素数の指数関数も, 形式的に実数の場合と同じように積分できます. e3πi はオイラーの公 式を使って簡単化できます.
8. 演習問題 13.1.3 の類題です. 変数変換でガウス積分に帰着させられること, ガウス積分の公
式をおぼえていることが必要です.,
3
1. 2004/01/14 のquizの類題です.
2. 演習問題 13.3.2 の類題です.
3. 演習問題13.3.1の類題です. ヤコビアンを求めるには,まず連立方程式を解いて, x, y を u, v で表して, 偏微分する必要があります.
