一 二財の場合
生産計画について考えるにあたって最も基本的な問題は︑その計画が生産資源の効率的な配分を保証しているか
どうかである︒この問題について原理的に考えていくには︑つぎの順序によるのが便利であろう︒まず始めにあら
ゆる可能な生産計画について考え︑つづい⁚てその可能な計画のうちから効率的な計画をえらび出す︒ここで問題が
二つに分れるがこの二連の問題のうち前者については︑拙稿﹁生産技術の基本的性膚﹂香川大学経済論叢第三〇巻
第二︑三号において述べておいた︒ここではこの後者について考える︒そのためには︑技術的に可能な生産計画を
任意に二つとり出し︑劇方が他方より優れているか劣っているかについて考えればよい︒もし二つの生産計画をと
り出すとき︑山方が他方より優れているときまれほ︑生産計画の基本的問題︑どの生産方法をどのように稼動すれ
ば生産資源を最も効率的に配分できるかという問題は解決されることになる︒
しかしこのようにして生産計画の優劣を決めることが出来れば好都合であるが︑不幸にしてそれほ稀である︒そ
の時には問題を二つに分けて考える︒すなわち可能な生産計画の中からまず第一に技術的に劣ると分るものは除
く︒その後に残る多くの生産方法︑それは互いに他より技術的に劣っていない生産方法であるけれども他より優れ
︵二九九︶ 四五 技術的に劣る坐産計画
技術的に劣る生産計画
今
正
︵三〇〇︶ 四六 第三十二奄∴第三号 ているかどうかはわからないものであるが︑その中から︑なんらかの基準に照して最もよい生産計画を選ぶ︒
従来の経済理論に率いては︑この後者が利潤最大という原理に照して考察されているけれども︑前者の考察ほほ
とんど試みられることがなかった︒ここで考察するのは︑これまで注目されることの少なかったこの前者の問題で
ある︒すなわち技術的に劣る生産計画がどのようなものであるかを明らかにし︑それを技術的に可能な生産計画め
中から除き去ることがここでの課題である︒
そのた′めいま石炭を投入してコークスを生産する会社を例にして考えよう︒いき﹂の会社の利用できる生産方法
にAl裁裁の三つがあるものとする︒このそれぞれほ石炭︑コークス二っの安東の数量にょって特性が示されてい
る︒それほコークスの数鼓動を横軸に︑石炭の数量諏を縦軸にとる平面においては︑三つのベクトルで表わすこと
ができ︑技術貯に可能な生産計画ほこのベクトルの韻る扇形内にある︒︵図の斜線の部分︶︒いま考察の便宜上︑生
産方法Alの稼軌水準をはかる単位をつぎのよづに定める︒すなわちこの生産方法Alにょって︑＝単位の石炭な投入
するときをこの生産方法Alの稼動水準の一単位とする︒このように定めるときにはAlの第二の要素の値ほ﹂とな りヾ第一の要素は石炭山単位の投入によってえられるコークスの数量すなわち石炭の平均生産
力を表わす︒裁Aをはかる単位も同じように定めておく︒このときには三つの生産方法を図示
すると︑上のようにその端は盲＝⊥のところを通る水平線上にある︒︵二つの生産方法が全
く等しい場合ほ除いておいた︒︶この図を見ると石炭を同じだけ投入してもそれから得られる コークスの数量は稼動する生産方法によって興っていることが分る︒生産物数量は多いはどよ
いと考えることが自然であろうご⁝でほこのように考えておく︒こCとき上の図で示されて
いるような状況のもとで埠裁は裁より技術的に劣っており︑裁はAより技術的に劣っているこ
とが容易に分る︒このようにして∴苫＝⊥を投入して得る︑したがってその示す水平線上にある二つの生産計画
︹￥lこ︹封−︑においては︑その産出量の間にもしさVyという関係があれば前者は後者より技術的に劣っている
ということができる︒これはまたつぎのようしにいうことができる︒すなわち注目している生産計画ヅより出発して
他の計画︹さ十e−︶1こへ到達することができるとき︵ただし石炭の投入最は一単位であるから第二の要素はTで
ある︶もし産出量が多ければγは技術的に劣ると考えねばならない︒切断操守＝⊥上においては左にあるものは
ど技術的に劣る生産計画と考えられる︒この簡単な場合には技術的に優れている場合を見分けることが容易にでき る︒なおここでは稼動水準をはかる匿あたって石炭の投入量を単位につかい切断線の上の生産計画について考えた が︑これは当面の問題にとって大切なものを残し︑不必要な復権さをさけるための便宜的な約束にすぎない︒ しかしいつもこのような約束ができるとは限らなぃ︒第⊥の踏産方法では電気を投入して熱湯を産出するが第二 の生産方法方法によると投入物産出物の地位が逆転して熱湯を投入して電気を産出するように︑つかう生産方法が かわれば投入物産出物の役割りが表することもありうる︑また後で考えるように投入物産出物の種類がふえるこ ともある︒このときにほ上のように約束しで説明することが難かしくなる︒そのときにも説明できるためにほこの 約束をせずに技術的に劣る生産計画について考えておかねばならない︒ここでこれを試みる︒そのためいま注目し
ている生産釘画が技硝行列の張る扇形劫卜前頁の図では斜線をつけた部分−のどこにあるか︑そのプチに摩るかあ ・一−1＼ るいほその内部にあかかに分けて考えてみよう︒まづこの後の場合からはじめる︒このときには豊新しい原点に して︑もとの座標に平行な座標を描くとき︑その第一象現内に別の生産計撃プをとることができる︒このような 生産計画すほ芸り少い投入量を用いてより多くの産出量が得られることを表わしているのであるから生産計画
良枝術的に劣るということができる︵産出量ほ多いはどよく︑投入量ほ少いほどよいことはいうまでもない︶プ
︵三〇一︶ 四七 技術的に劣る塾醸計画
︵三〇二︶ 四八 第三十ご巻第三号
が扇形のプチで裁のうえにあっても同じようにいえる︒この二つか場合に対しプがプチAlの上にあるときにほ︑上
のようにこのグを原点とする新しい座標を描いてもその第一象現内に生産計画をたてることは技術的に可能でな
い︒︵その第仙象現内にほ扇形の点ほ含まれない︒︶したがってこの場合にほツは技術的に可能などのような生産計
画にくらべても技術的に劣るとほいえない︒上でみたように︑ある︺つの生産計画から出発し︑新しく作った座標
の第一象現にある生産計画に移ることができれぼツ嫁技顔的に劣るといわれるのである︒これを扇形を用いていい
かえておこう︒プから出発し少しでも計画を変更できる方向ほヅを始点とし技術的に可能な生産計画を終点とする
ベクトルが集ってつくる扇形である︒これを桝と表わそう︒もしこの扇形がヅを原点とする座標の笛二象現−これ ︵
も扇形であるからSと表わそう1とカナメ以外に共通部分をもっておれぼこのγほ技術的に劣っている︒すなわち
プが技術的に劣るときには︑上のようにして作った二つ・の扇形印とSとにはカナメ以外に共通部分があることにな ︵
る︒ 上ではtyから少しでも計画を変更できる方向を仮︑りに朝とあらわしたがこれはどのような佐官のものであろう
か︑これは与えられたもとの技術行列Aの張る扇形Aとどのようか関係にあるであろうか︑これについて考えるに ．・し
も補助線を用いよう︒しかし補助の直腺ではなく生産計画プを中心にする半径7・の円を使う︒この円周上に点す
〜−J／ をとりそれが技術的に可能な生産計画となるかどうかについて調べてみる︒いまこの円の中心点であるγを扇形A ︵
内にとるとこの円周上の点はどれでも技術的に可能な生産計画をあらわす︒もっともこのとき描いた円がこの扇形
からはみ．出すときには︑その半径を半分︑三分の仙と適当に小さくとっておきその補助円が扇形からはみ出さない
ようにしておく︒すなわち円の半径をユ∨○︶を十分小さくとっておきさえすればその円周上のどこに生産計画す
を定めてもこの一夕が扇形内にあるようにすることができる︒このときにはグのところに座標の原点を移すとその
前にのぺたように生産計画ヅが技術的に劣ることはこの生産計画ヅから出発して右上方︵上あるいは右も含む︶
の方向に生産計画を移すことができることによっ
が分ればよいのであって︑移せる距離がどれはどであるかは当面の問題でほない︒いいかえると補助再の半径の大
きさほ問題でない︒このためヅから出発し円周上の甘︵甘ゝ へ計画を変更できるときにほグから出発しすで終る
ベクトルへ7■Sを適宜ユ∨○︶倍してス†ヾ︶について考えればよい一︒︵カツコ印で扇形を表わす場合と︑それを表
わさなない単純なカツコの場合とがある︑ここでは両者を混用しているから特に注意︶このようなベクトルは集って
︶ 扇形を描くがそれを図示したものが右の図である．︒︵ただし扇のカナメのところは含まない︶これを上では岬とい
︶ ぅ記号で表わし七おいたのであるが︑これともとの技術行列の張る扇形Aとはどのような関係にあるであろうか︒
．′l＼ 技術的に劣る瞳産計画 ︵三〇三︶ 四九 第山象現にこの円上の点がある︒すなわちその第一象現の点の示す生産計画が技術的に可能であ︸㌢ところがもし ッが扇形のプチにあるときにほ︑補助円上の点0生産計画の中にはへ円をどのように小さく描いても︶技術的に可 能でないものが出来る︒この場合には技術的に可能なものは扇形のプチの片側︑右上方あるいは左下方︵プチを含 む︶ にあるものに限られる︒︵つぎの図を参照︶
︵三〇四︶ 五〇 第三十一巻 第三号 なお上ではヅを始点とするベクトルといったが︑ベクトルに関する普通の約束にしたがってすべてもとの原点を始
点にして描いておく︒︶この桝はAを用いるとT盲︶′と表わすこことができる︑これをつぎに示そう︒ ︵
ユヤ︺︶は原点0から出発するベクトルであるが︑これほ二つのベクトル卦ス1Sめ和とみることができる︒
このうち前者は扇形瑚にあるからそれに上を追加して扇形を︵−盲︶にまで拡大すると︑各1Sは必ずそれ ︵ に含まれる︒つぎにこの逆丁盲︶のベクトルが古−Sの形となるこことを示そう︒それについて考えるに当っ ︶
て︑T盲︶の当面のべクールがAにある場合とその外にある場合とに分けて考える︒まづベクトルgがAにあ ︶ ︵ ︵
る場合について考えよう︒このときには邦の任意の生産計画芸⁝の双方を同時に併用してもその結果えられる l
生産計画等昔叫はやはり州内にある︒ところがこれは少し変形するだけで昔ユ7■S−昔−とあらわすことが ︵
できる︒
つぎにZが︵1盲︶にあるが却にほないときについて考えよう︒このとき是達するためにはプ朗のベクトル ′．．1ヽ ︵
ラJを併用しなけれぼならない甘呈丁立＋S甘ユ上十︵ミ︶乳1J≠これは2が拡大された扇形丁盲︶にあ
ることを表わしているヶこれで上に仲基わしたものが実は︿十もト︶に外ならないことが示された訳である︒この ヽ−ノ
結論を用いると茹技術的に劣る生産計画であれば︵上A︶とSとに共通部分がないセいう︒とができる︒︒のよ うな生産計画は資源の効率的な配分において排除しなければならないものである︒これを排除して後に残るものは
﹁技術的に劣っていない﹂生産計画である︒英語でほこれがーechnica−−y2ffici2n−とよほれて雷これが技術萬 に有効であると訳されることが多いがご﹂れほ決して技術的に優れていることを意味しているのでない点に注意し
なければならない︒
；の生産計画才が技術的に劣っていないときには拡張された扇形丁盲︶とSに共通部分がないといえる︒した
がってある生産計画クが技術的に撃っていないことを確かめるためには︑プの示すベクトルとむきが同じで方向が
丁度逆のベクトルをえがきこれをもとの扇形却に追加してそれを拡張する？このようにしてできる扇形とハとが原 ︵′−︑
点以外に共通部分がなければこのグが技術的に劣っていないことが確められた訳である︒ところで拡張してできた
扇形丁呈のりほもとの扇形瑚のベクトルの方向を逆にした︵マイ芸符号をつけた︶ものであるから︵1盲︶
になっている場合ほ除いておく︶︒ところが上にのべたようにグが技術的に劣っていない ノl＼ にはりとづの若がある︒そのためT喜ほ少くとも半平面であり時には金平面となる︒︵扇形叫が扇をとじ窟 ︵
ときにノはこのT七A︶と
Sとは共通部分があってはならないのであるからそれほ半平面でなければならない︒このときにはグしたがってり
を通る直線を補助線をつかうと︵これほ原点を通る︶その片側がT鼠r︶である︒しかもこれはSとほ原点以外に
共通部分をもたないのであるからその左下方にある︒その補助線が右下りであることほいうまでもない︒このとき
にほこの補助線に対し垂直なべクトルゐ へしたがってモ七＝○︶ をえがき︵原点のところに描く︸俊二象現にあるも
の︵討∨○︶ を法べクールとよぶ︒これは公準AβCによ︑つて保証されている︒︵附記参照︶ このゐはTkA︶ の任
意のベクトルと九十度あるいはそれ以上の角をはさんでいる︒ここに．のべたことをまとめると
守℃＝○﹀ モA机○∵計∨○
となる︒この式ほグが扇形瑚のプチではなくその内部にあっては成立しない︒なぜならそのときにはツから少しで ︵ も計画を変更できる方向を示すベクトルの集り−それほ拡張された扇形︵∴忘︶であるが−は平面全体となる？こ
れに対しては︑平面上のどちらの方向へ滝法ベクトルをえがくことほできない︒仮りに法ベクトルがあるといえば
それはゼロベクトルである︒またツがプチ裁︵二頁の図参照︶上にあるときにはゐの要素はいづれも負となり上の
第三の条件がみたされなくなる︒ここに得た結果を命題の形にまとめておこう︒
技術的に劣る生産計画 ︵三〇五︶ 五︷
︵三〇六︶ 五二 第三十一巻 第三号
定理 生産計画クが技術的に劣っていないときには扇形邦に灯し正の法ベクトルがある︵その要素はすべて正であ ︵
︶ る︶また逆にクにおいてAに対し巌の法べク†ルがあるときにほこのツは技摘的に劣っていない︒
′−＼ この基本定理はきわめて重要であるから蛇足であるが説明をくり返しておこう︒まづ最初にいま注目している生
産計画少が扇形劫の内部にあるか︑あるいはフチの上にあるかによって区別し前者は除いておく︑つぎに二つのフ ︵ チAl︑裁のいづれのうえにあるかを区別するためにつぎの補助線をえがく︵二頁の図参照︶すかわち荒ら出発し︑ ヽ
扇形現に対して垂直に外をむくベクトルをえがく︒このときヅがAlの上にあれば補助線としてえがいたベクトルは
．／．＼ 正の方向をむいており︑︵ベクトルの要素ほすべて正である︶グがムの上にあれば負の方向をむいておる︒もしヅ
が扇形の内部にあれば︑このような補助線をえがくことはできないりこの補助線であるベクトルはつぎの二つの条
件を満足していなければならない︒
l︑劫より外へ向いている︒すなわちタから出発し一郎の任意の点を終点とす竃ベクトルをどのようにえがいてもそ ■し′−︑
れと重なることはない︒いいかえると︑このようなベクトルと補助線とのはさむ角はゼロでない︒そのうえ
2︑▲この角は直角に等しいかそれより大きい︒
との補助線は上の二つの条件を満足しておればよいのであ．ってその長さについては限定はしない︒この点に注目
するときにはベクトルという表現は適切で庭ないけれどもいまはこの点に注意した上でこの補助線を﹁ヅにおける
ゝ○切に対する法ベクトル﹂あるいは簡単に法ペグトルとよんでおく︒この法ベクトルを用いて生産計画が技術的
に劣っているかどうかを調べるにはつぎのようにすればよい︒まづ第一の条件を満足する︵ゼロでない︶ベクトル
がえがけるためには夕は扇形劫のフチの上になければならない︒更にこのベクトルが第二の条件を満足するために
は︑このベクトルほ扇形から外に向ってそのプチに対し垂直でなければならない︒生産計画タから出発してこの法
ベクトルをえがくときプが技術的に劣っていないときには法ベクトルは正の方向をむいていなければならない︒そ
のためには︑このプほ扇形のフチAlの上になければならない︒しねがって生産計画プが技術的に劣っているときに
ほその法ベクトルが正の方向をむいていないといえるし︑また逆にプの法・ベクトルが正の方向をむいておらなけれ
ほ茹技術的に劣る生産計画であるということができる︒生産計画少かプチAの上にあるときそれは技術的に劣っ
ていない︒このときグにおいて法ベクトル聖﹂＝︹悪賢甘○︶をえがくと︑これとAとほちょうど九十度の角をはさ
んでいる︒したがってそのコサインはゼロである︒
聖ゝ−＝ぎ昏−＋厨昏−＝○
ぎぎが与えられているとき︑これをミ厨について解くことができる︒しかもこの比は一義的に決る︒なぜな
らAlの要素ぎ声はいづれもゼロでないから︒
このように扇形のフチAlほ技術的に劣っていないから︑その上の生産計画γにおいては扇形に対して正の法ベク
トルがあるが︑同じことはAlな通る半値繰上のどこの生産計画においてもいえる︒このためAl上の生産計画ヅが技
術的に劣っていないという代りに生産方法Alあるい放そのプチが技術的に劣っていないということができるであ
ろう︒ぎたAl上の生産計画における法べ′クトルはどの生産封画のものも同じ方向をむいていることはいうまでも
ない︒なお法ベクトルゐは生産方法Alを用いてできる生産計画との間に′ちようど九十度の角を開いているが︑この
ゐはその他の技術的に可能な生産計画との間には九十度以上の角を嫁さんでいる・︒したがってそのコサインをつく
ってみると︑前者の場合ほゼロ︑後者の場合は負となる︒≡−＝○︶聖ゝ悼∧○﹀電崇∧○ところで前にのべたように
きA拍︶ゝUを稼動してできる生産計画ほ℃汀皐き十ゝ§N十AJきとあらわすことができるが︑これを用いて考える
ときにはAlの示す生産方法たけを稼動してできる生産計画はきVUも＝○妄−10でなけれほならない︒したがっ
︵三〇七﹀．五三 技術的に劣る生産計画
第三十劇巻 第三号
ー 定 −
一−一一 −一昔『』己 −−
︵三〇八︶ 五四
て上にのべたことはまた 芸︷州∞ 闊∞ 互恵
と表わすことができるであろうひ
さきに﹁生産技術の基本的性質﹂においてのべたように公準A︑β︑Cがみたさ
︶ れているときには扇形Aはつぎの性質をもっている︒半開きの扇のカナメのところ ︵ を通る直線を適当に定めれば︑扇はその直線の左下方にあり扇のプチのところがこ
︶ の補助線にふれないようにすることができる︒このときには扇形刃に﹂を追加して ︵ ︵ 拡大した扇形︵−トゝ︶についても同じことがいえる︒ここでこの補助線を左下方に
平行に移すとそれは扇形の︵−㌣P︶ のどちらのプチとも交わる︒いまこのように平
行に移した補助線を切断線に用いその上で考えよう︒この切断線上で瑚の切口を ︵ β︑ダ︑T占の切口を〃︑Ⅳ としよを︵上の図参照︶公準Cがみたされているとき
にはβ︑ダの双方が線分きく内にある場合は除かれる︒このためここでは図のよ
︶． うにAの右のプチダが ≧宅 の右側にあると考えるが︑こうして良二般性を失うこ ︵ とほあるまい︒このダはAのベクトルA3の示す生産方法であるとする︒
さて拡げられた扇形︵1トゝ︶の切口はこの切断線上で四点のうち二番右にある点
ダと四点のうち二番左にある点とでつくられる線分となる︒その劇番左の点ほ〃の
場合とβの場合との二つの場合がある︒このうち左にあるものがβであるときそれ
が技術的に劣っていない︒もとの傘形でいえば技術的に劣っていないものは︵・⊥ゝ︶
のプチでしかも︵﹂︶のプチでないものであるといえる︒／これは図を見れば明らかであるが︑この敢密な証明はつ
ぎのとおりである︒ここで証明しょうとする命題はづぎの通りである︒
定理 扇形現を﹂を用いて拡大し︵−とごをつくるとき︑そめうちでT上のプチであるものほ技術的に劣る︒ ︵
︵ぁの要素にゼロがある︶T⊥忘︶のプチでしかも瑚のプチであるもののみが技術的に穿っていない︒ ′し
いま︵1誌︶のフチの上の点から出発し少しでも計画を変更できる︵しばらくの問→⊥ゞ︶が技術的に可能な扇
形であると考えて説明する︒︶方向を示す扇形︵半平面︶をつくり︑これに対する法ベクトルをゐとしよう︒この
ゐは︵1忘︶のベクトルとは九十度あるいほそれ以上の角を開いている︒富帆○このゐについてはそ・の二つの要
素はどちらも負でないことは明らかであるからいまそれを二つに分けておこう︒1︑ぁの要素の仙つがゼロの場合
2︑どちらの要素もゼロでない場合︑前者の場合はゐは座標軸←にあり︑後者は座標軸上にない︒またαはT≡︶
の両プチのベクトルを用いそのつくる平行四辺形の第四の頒点としてあらわすことができる︒なお上のように
T⊥ゞ︶の右側のプチがAであるとき︑これに対しちようど九十度の角を開いている法ベクトルゐの要素が双方とも
正であることは明らかであるからこれは下でほ考えない︒下で考えるのほT≡︶の左側のプチである︒これには
へ負の︶横軸T〇の場合と扇のフチ︵A−︶の場合とがある︒まづそれが負の横軸︵1よのときには︑それと
ちようど九十匿の角を開いている法ベクトルぁほ縦軸上にあり︑その要素の仙つはゼロである︒これほ明らかであ
る︒逆にゐの要素の山つにゼロのものがあり︑しかもそれがいま縦軸と量っているときにはそれに対するT⊥ゝ︶
の左側のプチほTごである︒これほ直ちにあきらかであろう︒これによってT﹂ゝ︶のプチとちようど九十皮
の角を開いている法ベクトルゐの要素にゼロのものがあれほ︑右の図のようにT臣︶の左のプチは︵1ごであ
ることがわかった︒またゐの要素にゼロのものがなけれは︑それは︵A−︶である︑すなわち︵﹂こではない︒
︵三〇九︶ 五五 技術的に劣る生産計画
これまでは複雑になることをさけるために︑投入物も産出物もそれぞれ仙種の場合に考察を限定した︒
っぎに産出物あるいは投入物を二種ふやし全部で三種の商品がある場合について考えよう︒ほじめに投入物が山
種産出物が二種′の場合︑石炭を投入しガスとコークスが得られる場合について考える︒この会社の稼動できる生産
方法は四つAl裁裁4があるものとし︑それを図示したものが左の図であるとする︒・このときには技術的に可能な生
産計画ほこの四つの為によって張られる傘形叫すなわち凸四角錐内のベクトルで示すことができる︒︵なお便宜上石 ︵
炭を十単位投入する場合を稼動水準の単位と定めておく︒︶この三次元の空間における四角錐の性質について考える
ことは容易でない︒そのためこの傘の形の錐を切断して考えよ㌢︒うまく切断しさえすれば錐について必要な知識
を得ることができる︒いまはこれを．涛＝1−の平面で切断する︒その切口が左の図に示されている︒これほ一単位 第三十一巻 第三骨
二 三財の 場合
−．．．．−⁚ ／
‰． ＼ ＼﹁ ︑しバ ト㍑ ／ ＼ハ＼ハ＝．．．．
／
⁚ ／ん ・・ ・ ：．．一．ハ ／′′・／ ′ ゝ′卜′／ ／︑ ／ −．．．．− ﹁ノ ＼
ヽ． ＼ ＼
＼ ＼
／′／
︵三山○︶ 五六
の石炭を投入して得られる産出物の観合せを示している︒この場合には石炭を二単位投入して第二の生産方法のみ
を稼動すると勉の示す産出量の組合せが得られるが︑この勉が技術的に他より劣っているかどうかについて考えよ
う◇そのため補助線として勉︵これほ旨＝⊥の切断面上のべ㌢トルをあらわす︶あるいはその延長と勘勘の尖を
結ぷ線分との交点をぁとする︒この∂ほ石炭を＼・単位投入し欝﹁と欝四の生産計画を適当に組合せて稼動すること
によって得られる生産物数長の組合せを示す︒と′こかが同じく仙単位の石炭を投入して第二の生産方法のみを稼動
するときにほ戦が得られる︒この∂と勉とを比較すれば明らかなように二種の産出鼠はどちらも∂の方が多い︒し
たがってこの場合には勉ほ∂より技術的に劣るということができる︒ところが釣と∂とを比べるときは事情が変
る︒この場合にほどちらが劣っているともいえない︒いまこのように劣っているといえないものほ残し技術的に劣
ると分っているものを除くと右上方に凸形の折れた線︑等投入藍線をうる︒∵ ︵実線で示す︶
つぎに二嘩の投入物より山種の産出物がえられる場合︑石炭と機械を諏諏だけ投入して自動蕃を動だけ得る場合
について考えよう︒このときにはさ＝−の示す切断面上においては上のようにして出来る∂と勘とを比べると勘の
方が劣る︒技術的に劣るものを除くと前と同じように右上万灯凸形の折線が得られる︒最後に労働力がいつでも投
入されるが須典ほ生産方法によってほ投入物になりまた生産物にもなる場合に︑技術的に劣るものを除くと右上方
いまは三次元の空間における傘形の四角錐について考えているのであるが︑それも出来ることなら平面において
得た結果と関連づけるようにすれば理解し易いであろう︒これから考える問題にとってほ二つのベクトルAl・やを通
る平面を切断面としているのが便利である︒この平面上で技術的に可能な生産計画は二つの生産方法Al裁を適当に
＼′ 稼動すればよい︒それが平面上で扇形となっていることはいう迄もない︒いまこれをげとあらわそう︒ここにダは
︵三脚こ 五七 技術的に劣る生産計画 に凸形の折線が得られる︒︵一番下の図︶
︵三一二︶ 五八 第三十劇巻 第三号
Alと裁との集り句＝‖忘−塗である︒い亨︼の扇形円の生産計画ツから出発し少しでも生産計画を変更できる方向 ︵
を作ってみよう︒いまは切断面上に考察を限定しているのであるから︑前に平面上において考えたのと同様それは
T箋︶とあらわすことができるっこのグを扇形岬のフチのところにとらずその内部にとっておけば︵1箋︶は
扇形ののある平面全体すな︑琶丁顎︶に等しい︒︵∴ち︶＝Tも3
上では生産計画ツから出発し少しでも生産計画を変更できる方向について考えるのに︑二つのベクトルAl︑裁を
通る切断面上で考えた︒けれどもこれは理解し易くするための約束に過ぎない︒いまの場合技術的に可能な生産計
画はこの平面上にとどまらない︒その片側の四角錐内の点はどれでも技術的に可能である︒したがっていまプを
＼． と書き改めることができる︒すなわち扇形岬の内部︵邑ati諾interi︒r︶の点から出発し少しでも討画を変更できる
方向は経でT句ととあらわされる︒これは二つのベクトルAl裁を通るる平面を切断面として空間を切断すると
きできる半空間であって四角錐のある側をあらわす︒これは生産計画のある扇形円がきまりさえすれば確定しその ︵
扇形のどこに生産計画があるかによてては左右されない︒この切断面に対し垂線をおろし四角錐とほ反対の方向に ダの張る扇形の内部でプチ以外のところにとればその点から少しでも生産討画を変 更出来る方向は空間において上にのべた切断面の片側⁝⁚由角錐のある方の側⁝⁝ 全部となる︒これはこれまでの書き方を用いると︵−モごが半空間をあらわすとい うことがで︑ぎる︒ところで上にとり出した二つの生産方法句＝︹b−ゝ蛤︺ はAの脚部 であるから四角錐 ︵1セ金 をダで拡大しても︑もとのままにとどまる︒すなわち ︵1七句ゝ︶ も上と同じ半空間をあらわす︒これほまた上に得た関係を利用すると
︵−短句A︶＝︵−句句金＝︵〜きP︶
︶ あるもの⁚・・・これは法ベクトルである・⁝⁚は生産計画をげのとこにとっても同一のものをうる︒
定理 錐瑚の扇形岬の内部︵プチほ除く︶︑に一つの生産計画・ッをとりこの点における剣に対する法ベクトルを作る ヽ︑一 ︵ ′・・・−︑ −1＼ ︶ と︑それほヅをとる位置によって変ることほない︒ツがげの内部にありさえすればよい︒
この定理があるために扇形即の内部のヅにおける坤に対する法ベクトルという代りにダの張る覇形内部の瑚に対 ′lヽ︵︵
する法ベクトルということができるであろう︒
上で法ベクトルを描くに当って特に注意して扇形のフチの部分ほ除いておいたがこ︑のプチの所ではどうなるであ
ろうか︒これについて考えるために切断面を用いるが︑ここではつぎの平面を用いる︒まづ最初に原点を通る平面を
適当に定め維却がその片側にあり原点以外でほ共通部分がないようにする︒︵公準A参照︶つぎにこの平面を左下 ︵ 方に︑すなわち三つの座標とも負である象現の方向に平行に移し︑これを切断面に用いる︒︵公準β参照︶この切
断面上においては四角錐却の切口は凸四角形とな▲？ており二次元の面錐は辺となっている︒また一次元の錐︵半直 ′−＼
線︶は点となっている◇い要﹂の凸四角形の辺に対する垂線で外にむいているものを図のようぼαβ等と呼ぶこと
にする︒このとき︑生産計画を辺成上︵ただし端ほのぞく︶にとりこれから出発して︵この切断面上で︶少しでも生
技術的に劣る塗産計画 産計画を変更出来る方向をつくると︑これ′ほ虜を通る直線によって仕切られる半平面となる︒ また∂のところに生産計画を定めるとぎにはふ更訂の張る扇形となる︒この前者に対する法ベ クトルはαとなりこの後者に対する法ベクトルの集りトト後者のどの生産計画とも九十度ある いはそれ以上の角を開いているベクトルの集り︵ネガデイブポーラとよばれる︶1は︑αとβ とで張る扇形となる︒したがって端を除いた辺虎に矧する法ベクトル︵これもネガデイブポー ラである︶は端みにおける法ベクトルの集り︑ネガデイブポーラである︒しかもここに補助的
︵三一三︶ 五九
第三十一巻 第三号 ︵三〟四︶ 六〇
に使った切断面ほ錐を輪切りにするものであれはどのようなものでもよいから︑ここに得た関係はもとの凸四角錐
についてもいえる︒すなわち一つの開いた面錐におけるネガタイプポーラはその面錐のフチのところのものに含ま
れる︒これを定理とし七述べておこう︒
定理 凸四角錐の仙つの面錐における法ベクトルの集りすなわちネガティプポーラをつくってみる︒このとき面錐
内︵プチを除く︶にあるネガデイブポエフはプチにあるものに含まれる︒
さて生産計画グが技術的に劣っていないときには︑このツにおける割に対する法ベクトルには正の方向をむいで ︵ い恵ものがある︒これは前節で得た基本定理であったがこれといまの定理とを結び合せることによってつぎの二つ
の命題をもとめることができる︒
四角錐の一つの面錐内︵プチ邑ati完bOundary＼は除く︶にある生産計画少が技術的に劣っていないときに甘
その面錐のプチのところの生産討画も技術的に劣っていない︒︵すなわちそれも正の法ベクトルをもっている︶
一つの凸四角錐瑚の三の面錐のが技術的に劣っていないときにはつぎの条件を満足するベクトルゐがある︒ ．し
聖b帆挙∵塗句＝○﹀ 討∨○
︵逆も成立するノ︶前にのべたことからつぎのことが分る︒すなわち生産計画が四角錐卯のプチにないときは技術的
′′．＼ に劣る︒技術的に劣らない生産計画は四角錐のプチのところにある︒そのプチほ二次元の面錐かあるいは仙次元の
面錐である︒もしそれが二次元の面経であるときには行列ダのランクほ二であり上の式の第二の姦件モ句＝○より
ゐの要素の比を決めることが出来るの
定理 凸四角錐のプチのところの生産計画γにおいて︑法ベクトル︵の要素の比︶が二義的に決るためにはそれほ
二次元の面錐内になければならない︒
この命題が成立しているとすると法ベクトル︵の要素の比︶はその面錐に対応するモ句軒占 の式を解けばよい︒
また前の命題における第一および第三の条件雫皐机￠染∨？ほゐの符号を適当に定めさえすればみたすことがで
きる︒
再び四角錐を輪切りにする平面上において考をよう︒そこでは前にのべ∴たように四角形の一つの辺虎の上からは
じめ少しでも生産計画を変更できる方向をつくると出発点が端の点α︑∂ぼない豊ぐにほ︑半平温となり︑端∂に
おいてそれをもとめると︑それは辺ね︑加佐よって張られる扇形となる︒このよ㌢にしてでをる扇形のどのベクト
ルに対し七も九十度あるいほそれ以上の角を閃くベクトルの集りすなわもネガデイブ計上フは前者に対してほαと
なり後者に対してはαとβとの張る扇形となる︒これは前にのぺておいた通りである︒なおいま辺虎に対してその
両端を含めて考えその上から出発し︑少しでも生産計画を変更出来る方向を示す・ベクトルをつくり︵ただしこのベ
クトルは原点の位置にえがく︶ これらのどのベクトルに対しても九十皮あるいほそれ以上の角を開いて．いるベクト
ルの集り︵ネガティプポーラ︶ をつくってみよう︒いうまでもないことであるがそれほつぎの三つのものの共通部
分である︒闇端を除いた辺励から出発t少しでも生産計画を変更できる方向をつくるときそのネガティプポーラ
②点．αから出発するもののネガディプポープ．脚点やのネガテ．ィプポーラ︒し㌧たが．って端を含めて辺虎のネガティ
プポーラほ点∂のネガデイブポーラに含まれるノこれほ辺舶の方がるを含んでいるのともようぜ対象的である︒
ここに用いた切断面株凸四辺錐を切断しさえすれは︑どのようなものでもよい︒したが？てつぎの定理を得る︒
定理 三次元の空間における凸阻角錐において二次元の面錐を払○吋とし更にそのプチである仙次元の面維を○﹄
とする︒いまこの面錐の生産計画から出発し少しでも生産計画を変更出来る方向を示す錐をつくりそのネガデイブ
ポーラをつくってみる︒この上せには面錐ゝ○恥︵のラチを含む︶のネガデイブポーラはOAのネガティプポー
︵三山五︶ 六劇 衣術的に劣る塊産計画
ラに含まれる︒
これは記号を用いて表わせはつぎのようにいえる︒いま注目している三次元の空間における凸四角錐Aの二次 ︵ ヽノ︑ノ 元の面錐をげとしこのげの表元の面錐を的とあらわす︵句︶∪︵G︶このときには円上の点から少しでも計画を変更 ︵
できる方向は︵1句しご︑︵G︶上の点から少しでも計画を変更でき方向は ︵−Cゝ︶ となる︒これらに対するネガティ
ブポーラをつくるとその間には ︵1句A︶﹂∩︵卜GA﹁という関係がある︒ここにカツコの示す錐のネガデイブポー
ラほそのカツコの右肩にマイナスの符号をつけておいた︒切断面上においてほたとえば左辺がαであり右辺がαβ
のつくる扇形である︒上の式では三次元の空間においてαが集って左辺の半平面をなしているのである︒
ここで生産技術が与えられるとき︑技術的に劣っていない生産方法をもとめる方法についてのぺておこう︒それ
はつぎのように定理の形でのべられる︒
定理 傘の形彗に︵1−︶を追加して†⊥ゞ︶をづく告そのプチでしかも瑚のフチであるものだけが技術的に劣っ ︵ ︵
ていない︒
公準AぎCがみたされているときには傘の形瑚にT︑︶′を追加してT臣︶をつくってみる︒これほ半開きの傘
の形のものであり傘の頂点のところを通る平面を適当に定めればその下側︵負の象限の側︶貯傘の全体があり傘の
屋根がその面にふれないようにすることができる︒この補助平面を下にすなわち傘の柄の方に平行に移すとそれほ
傘瑚針輪切りして四辺形となる︒またそれはT〇を輪切りにして三角形となるであろう︒しかも公準Cがみたさ ︵ れるために︑四辺形が三角形の申に入ってしまうことほない︒したがってつぎの四つの場合が考えられる︒三角形
の頂点βダGの三つとも四辺形内はある場合︑こぁうち二つだけが中にある場合︑一つだけがある場合︑一つもな
い場合であるっ 第三十一巻 第三号 ︵三一六︶ 六二
図において点線は四にTJを追加したために拡大された後のTぶ富口票している︒ここでほTさ ︶
切口が五角形になっている︵ただし最初だけほ四角形︶この切断面の上で考えると上の命題はつぎのようになる︒
定理 四辺形に三角形を追加して五角形をつくる◇この五角形の辺のうち︑もとの四辺形の辺であるものだけが
技絹的に劣っていない︒
この命題が証明されたら瑚に︵⊥︶を追加して傘を拡大し︵1臣︶をつくるとき︑そのプチでありしかも︑もと ︵ のAのプチとかわっていないものたけが︑技術的に劣らないものであるということができる︒つぎにこの命題を証明 ︑−ノ ′し しよう︒いまT忘︶︑のどのベクトルとも九十度あるいは︑ノそれ以上の角・を開いているベクトルをゐとしよう︒こ
のときには︵ざ帆○︶である︒αは†−との任意のベクトルである︒このゐは正象現のべク・トルであるが︑その
象現の内部にある場合とそのプチにある場合とを分けることができる︒ところでαは︵⊥ゝ︶のベクトルであるか
ら聖屯は
︑こ︑︑︑︑ ．⁚．一∴ ミ・︑︑︑ご・
技術的に劣る佐藤計画 NVO 鴇W〇．モゝ帖○
、−⊥ニニ
︵三一七︶ 六三
︵三山八︶ 六四 第三十一巻 第三号
と書き改められる︒ここでまづゐが正象現の内部にあり︑その全ての要素が正で︑季′Q場合について考えよう︒上ハ
等式の最後の項は非正であるからN甘○のときモQ∧○となり聖？110が成立するのほN＝＝○のときだけである︒す
なわちT〜A︶ のベクトルαとちょうど九十度の角を開いているベクトルゐの全ての要素が︑正であるためにほ
ヽノ N＝＝○でなければならない︒いいかえるとこのαはAのベクトルでなければならない︒しかもゐがαとちょうど九十 ︵ ︶ 度の角を開いているためにはαはAのプチのベクトルでノなければならない︒
／．．■＼ ︶ ︶ これでゐの要素にゼロがなければαがAのプチにあることを示した︒らぎにゐの要素にゼロがあれほ︑αがAの
′一l＼ ′−＼ プチにないことを示そき︒なお︑こゝにαは上にのべたように︵−トe のフ≠にあるベクトルである︒
ゐの要素にゼロのものがあることはぁが正象限のフチにあることな意味する︒これは︑それが座標軸諏上にある
とき︑およびその座標軸上にほないが鍍勃の軸を通る平面上にある場合とに・ついて考えてみれほ十分であろう︒︵図
参照︶
．u♂
いうことである︒こめような直線は︑
の辺でないことほあきらかセある︒これによってつぎのことが示されたことになる︒ U まづゐが座標軸勤上にあれぼ∂はムムを通る平面上たあることはいう までもない︒ところがこの平面は補助の切断面で切られるとβダを通る 瞳線になっている︒虻たカ諏の二つの座標軸を通る平面上︵正象現にお ける︶ にあるときにはαほムー智通る平面上になければならない︒この平 面は切断面上ではガを通る直線となっている︒このいづれの場合にも共 通な性質ほ切断面上では︑それが三角形の頂点βを通る直線上にあると
一九貢の図において五角形の副辺となっているとき︑それがもとの凸四辺形
文献ならびに公準については拙稿﹁生産技術の基本的性質﹂香川大学経済論叢第三十巻二三号︑昭和三二年七
月を参牌されたい︒ ぁの要素にゼロがなければdほ四辺形のプチ庭ある︒ ゐの要素にゼロがあればdは四辺形のプチにない︒
こ1にdは五角形のプチの上の点をあらわす︒これをもとの傘の形でいえば
ゐの要素にゼロがなければαは瑚のフチにある︒
′l＼ ︶ ゐの要素にゼロがあればゼはAのフチにない︒ ︵ こ1にαほT臣︶のフチにあるベクトルを示す︒′ゐの要素にゼロがないことが技術的に劣ってい庵いことと︑
どのような関係にあるかについてはすでにのべたからくり返さない︒
技術的に劣る生産計画 附
︵三山九︶ 六五
