管路 にお ける砂-水 界 面の安 定性
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(2) (2) 次 に 図‑2に 示 す よ う に,微 小 要 素 の 流 体 に着 目す る と,微 小 要 素 に 働 く剪 断 力 と圧 力 の 力 の 釣 合 い か ら, 次 式 が 得 られ る.. (3) 図‑3剪. 図‑2微. 断力 の分 布. 小 要素 に作 用す る力 の釣 合 い. 式(3)を 変 形 す る と次 の 式 が 得 られ る.. 図‑4流. れ と座 標 系 の概 念 図. (4) 3.定 こ こ で,圧 力 勾 配‑dp*/dxはy*方 の で,式(4)よ れ る.こ. 向 に 対 して 一 定 で あ る. り勇 断 力 はy*方 向 の 一 次 関 数 と して 表 さ. の 式 を 上 下 そ れ ぞ れ の壁 面 か ら高 さ方 向 に 積. 式化. 前 節 よ り,管 路 内 の 流 れ は 剪 断 力 分 布 に よ り上 下2 つ の 領 域 に 分 け て 考 え る こ とが 出 来 る.今 後,特 りが な い 限 り,支 配 方 程 式 は2つ こ と に 注 意 す る.図‑4で. 分 す る と 次 の 式 が そ れ ぞ れ 得 られ る.. 両 式 で 剪 断 力 が0に. な る 高 さ.H*を 求 め る とそ れ ぞ れ 次. の よ う に な る.. の 図 でx*お よびy*は そ れ. 深 方 向 の 座 標 系 を表 して お り,U*お. よび 〆は それ ぞ れx*,y*方. (5‑a,b). 向 の 流 速 を 表 して い る.y*. は そ れ ぞ れ 管 壁 に原 点 を 持 つ.R*は が0と. の領域 に共通 で あ る. は 管 路 内 の 流 れ の座 標 系 とそ. の 他 の 変 数 を示 して い る.こ ぞ れ 流 下 方 向,水. に断. 対 数分布 則 で流 速. な る砂 面 か ら の 高 さ を表 し,以 後,基 準 高 さ と呼. ぶ 。ま た,H*お よ びZ*は 基 準 高 さの 位 置 か らそ れ ぞ れ 領 域I,IIの. (6‑a,b). 境 界 面 ま で の 高 さお よび 砂 面 の 高 さを 表 し. て い る. 管 路 内 の流 れ は それ ぞ れ 無 次 元化 を行 っ た連 続 の. 境 界 面 ま で の 高 さ をy*と. し,y*と 管 の 直 径 と の 関 係 は. 式 とReynolds平 れ,以. 次 式 で 与 え られ る.. 均 を とっ たNavier‑Stokes方. 程 式で 表 さ. 下 の よ うに な る.. (7). (9). 式(2)お よ び 式(7)を 式(6‑b)に 代 入 す る と次 の 関 係 が 得. (10). られ る.. (11) (8) こ こで は 準 定 常 の 仮 定 を 導 入 した た め,非 こ の 式 の 中 で 右 辺 の 第2項 そ の た め,HI*とHII*は 従 っ て,こ 上 下2つ. が 式(6‑a)のHI*と. 等 し い.. 視 して い る.ま. 同 一 の 点 で あ る こ と が わ か る.. た,管. 定 常項 を無. 路 内 の 流 れ に お い て,以. 下 の無. 次 元 化 を す で に して い る.. の 点 を 境 に して 壁 面 の 影 響 を 受 け る領 域 を. 別 々 に 考 え る こ と が 出 来 る.そ. (12‑a). の 様 子 を 図‑3. (12‑b). に 示 す.. (12‑c,d) 式(12‑a)に お い て,U*fは. ―754―. 摩 擦 速 度 を 表 して い る.同 様.
(3) に 式(12‑b)で,l*は ,y)はReynolds応. 混 合 距 離 を 表 し,式(12‑c)でT*ij(i,j=x 力,式(12‑d)でv*Tは. 渦動粘 性係 数 を. 表 し て い る.無 次 元 化 は ρ*,H*0お よ びU*f0を 用 い て 行 っ て い る.ρ*は 水 の 密 度,H*0は で の 高 さ,U*f0は. な の で そ の 結 果 は ス ペ ー ス の 都 合 上,省. 略 す る.. そ れ ぞ れ の 領 域 の 底 面 と境 界 面 で,次. 式 を満 たす 境. 界 条件 を 与 身 る.. 基 準 高 さか ら境 界 面 ま. 摩 擦 速 度 で あ る.ま. 平 坦 床 等 流 状 態 を 示 し て い る.無. (20‑a). た 添 え 字 の0は. (20‑b) (20‑c). 次 元化 で用 い て い る. (20‑d). は 平 坦 床 等 流 状 態 の 圧 力 勾 配 を 用 い て 以 下 の よ U*f0 う に 表 わ され る.. こ こ でuは. 流 速 ベ ク トル(=(u,v)),ensお. よびetsは 境. 界 面 に 対 す る 法 線 お よ び 接 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル,. (13). お よ びetbは 底 面 に 対 す る 法 線 お よ び 接 線 方enb 向の 単 位 ベ ク トル,Vhは. 式(9)お よび(10)に 現 れ るReynolds応. 力 は混 合距 離 モデ. ル を用 い る と,次 の よ うに 表 され る.. 境 界面 にお ける法線 方 向 の流速 で あ. り,未 知 数 と して 与 え て い る.Tは. 応 力 テ ン ソル で,. 次 式 の よ うに 表 す こ とが で き る.. (21) (14‑a,b,c,d,e) こ こ で,kは. カ ル マ ン 定 数 で0.4で. 式(9)か ら(11)を 解 く た め に,流. ある. こ こ で,解. くべ き偏 微 分 方 程 式 は4階. の 境 界 条 件 が 必 要 で あ る.し. れ 関 数 Ψ を 導 入 す る.. 知 数Vhが. で あ る の で4つ. か し,境 界 条 件 の 中 に 未. 含 ま れ る の で,さ. らに 条 件 が 必 要 で あ る.そ. 流 れ 関 数 を 用 い る と,流 速 は 以 下 の よ うに 表 す こ とが. の 条 件 は 領 域IとIIの. 境 界 面 で 与 え られ,そ. で き る.. 接 続 条 件 と呼 ぶ こ と とす る.接. 続 条 件 は2つ. の条件 を あ り,境. 界 面 に お い て 流 速 と圧 力 が 連 続 で あ る こ とで あ る.ま. (15). ず,流. 速 の 接 続 条 件 は 次 の よ うに 表 す こ とが で き る.. (22). これ を 式(9)に 代 入 す る と以 下 の よ うに な る. 上 式 で 領 域IとIIで. は,図‑4で. 示 した よ うにy座. 正 の 向 き が反 対 で あ り,領 域Iの. (16). め,VIIに. 標の. 座 標 に 適 応 させ る た. 負 号 が つ い て い る.γ は 無 次 元 化 を した 流 速. で 表 す た め に 導 入 し た 値 で,両. 領域 の摩 擦 速度 の比 で. あ る. 同 様 に 式(10)に も 流 れ 関 数 を代 入 し,そ か ら圧 力Pを. 消 去 す る と以 下 の4階. の 式 と式(16). の偏微 分 方程 式 が. (23). 導 き 出 され る. 上 式 中 で 基 準 高 さRは 境 界 面 ま で の 高 さHに 常 に 小 さ い た め,無. (17). 視 した.無. 比 べて 非. 次 元化 を行 った圧 力 を. 用 い る と,圧 力 の 連 続 の 条 件 は 以 下 の よ う に な る.. (24) 上 式 を 解 く に あ た り,底 面 お よ び 境 界 面 で の 境 界 条 件 を 適 用 しや す くす る た め に,次. の よ うな 変 数 変 換 を. 4.線. 形 安 定解析. 行 う.. (18) 上 式 よ り変 数 変 換 後 の ηは0か. ら1の 値 を と る.無. 流 れ 関 数 や 圧 力 な ど に 対 し て,次. の よ うな 摂 動 展 開. を 導 入 す る.. 次. 元 混 合 距 離 に 対 して も 同様 の 変 数 変 換 を行 う と,以 下. (25). の よ うに 表 す こ とが で き る. こ こ で,添. (19). え 字 の0と1は. そ れ ぞ れ 基 本 状 態 と摂 動. を 与 え た 状 態 を 表 して い る.前. 記 の 摂 動 展 開 され た. 各 変 数 を 式(17)に 代 入 し,整 理 す る と εの オ ー ダ ー ご 式(17)に 対 して も 同 様 の 変 数 変 換 を 行 うが,式. が複 雑. ―755―. と に ま とめ る こ とが で き る..
(4) 代 入 し,整 理 す る と摂 動 項 は 次 の よ うに ま と め る こ と が で き る.. 4.1O(1) O(1)で は 平 坦 床 等 流 を 基 本 状 態 と 考 え て い る.こ と き,式(9),(14‑a),(14‑c)お. よ び(14‑e)は. の. (32). 次 に の よ うに. (33). 簡 略 化 さ れ る.. (26‑a). こ こ で,￡iお よびPi(i=Ψ,H,R)はiに 算 子 を表 して い る.た. (26‑b). (26‑d) 上 式 で‑dP0/dξ る.式(26‑a,b,c,d)か. は 式(12‑c)お らU0を. よ び(13)の. た め,1で. あ. だ し,そ の 詳 細 は ス ペ ー ス の都. 合 上 省 略 す る.上 式 中 で も,領 域IIで はR1が0の 式(32)の 第3項. (26‑c). 対 して の 線 形 演. と式(33)の 第4項. は0に. な る.同 様 の 理. 由 に よ り,領 域IIで は今 後 もR1に 関 す る項 は 含 ま れ な い. 底 面 の 境 界 条 件 を 用 い る と次 式 が 得 られ る.. (34‑a,b). 解 くた め に 次 の 境 界 条 件 を. こ こ でDはd/dη. 用 い る. (η=0). (27‑a,b). た め,. を 表 して い る.境 界 面 に お け る 法 線 方. 向 の 流 速Vhを. εVh1exp[i(αζ‑Ωt)]と 展 開 す る と,V=. Ψ,ζで あ るか ら境 界 条 件 は 次 の よ う に な る. ‑. 以 上 よ り,次 の 対 数 分 布 則 を求 め る こ とが で き る.. (35) (28). こ こ で(). ,ζ は 括 弧 内 を ξで 偏 微 分 す る こ と を 表 して. い る. 前 式 と式(15)を 変 数 変 換 した も の を 用 い て 解 く と Ψ0が 得 られ る.ま た,上 式 を η=0か. ら1の 間 で 積 分 す る と,. 次 の 抵 抗 則 が 得 られ る.. Ψ1を 求 め る た め にChebyshev多 項 式展 開 に よるス ペ ク トル 法 を用 い る .Ψ1を 次 の よ うにChebyshev多 項 式 展 開 を行 う.. (29) こ こ でCは. 抵 抗 係 数 で あ り,U*0は. 平 均 流 速 を 表 して. い る.. こ こ でTn(ζ)はChebyshev多 多 項 式 の 係 数 で あ る.こ. こ こ で,基 本 状 態 に お け る 基 準 高 さR0の 値 を 検 討 す る.ま ず,式(9),(10)お わ ず,流. (36). よ び(11)に 対 して 変 数 変 換 を 行. 域 は[‑1,1]で. あ り,こ. を 対 応 さ せ る た め に,次. 項 式 で あ り,anはChebyshev こ でChebyshev多. 項式 の 定義. の 定 義 域 と変 数 変 換 後 の 領 域 と の 変 数 変 換 を 行 う.. 速 分 布 を 求 め る と次 の 対 数 分 布 則 に な る. (37). (30). こ の 変 換 で 底 面(η=0)はζ=‑1に,境 に 対 応 す る.こ. れ ら を 式(32)に. 界 面(η=1)は. こ こ でksお よ びdsは そ れ ぞ れH0*で 無 次 元 化 した 等 価. で そ れ ぞ れ 式 を 評 価 す る.Gauss‑Lobatto点. 粗 度 高 さ お よ び 砂 の 粒 径 で あ り,mは. に 表 さ れ る.. 無 次 元 化 され た. 等 価 粗 度 高 さ と粒 径 の 比 で あ る.上 式 か らU0が0と る 高 さR0を 求 め る と,R0=mds/30と 粗 度 高 さは 粒 径 の1か は1か. ら3倍. は次 の よ う. な. (38). な る.一 般 に等 価. と言 わ れ て い る た め,m. ら3の 値 を と る.そ の とき,R0はds/30か. ζ=1. 用 い,Gauss‑Lobatto点. 式(32)と 式(38)か ら次 のN+1個. の 方 程 式 が 得 られ る,. らds/10. ま で の 値 を と る.. O(ε)で各 変 数 は 次 の よ う に な る.. (31). こ こ で ε,aお. よ び Ωは そ れ ぞ れ 摂 動 を 表 す 振 幅,摂. の 波 数 お よ び 複 素 角 周 波 数 で あ る.こ 定 床 で あ る た め,R1=0と. な る.支. 動. こ で 領 域IIは 固. 配 方程 式 に上 式 を. ―756―. (39).
(5) こ こで. は ηか ら ζに変 数 変 換 を 行 っ た線 形 演 算 子. 式(48)を 式(33)に 代 入 す る と圧 力Pは. で あ る.境. 界 条 件 は 次 の よ うに な る.. れ る.. 次 の よ う に表 さ. (50). (40) ここで. (41). (51‑a,b,c) 式(48)と(50)は 領 域IとIIで. (42) 式(39),(40),(41)お 用 い,anを. よ び(42)に. 決 定 す る.こ. 底 面 と 境 界 面 の 式3つ. 対 し て ス ペ ク トル 法 を. の3本. の 境 界 条 件 を 式(39)の. と 交 換 し線 形 代 数 の 操 作 を 行 い,. ,を 決 定 す る こ と が で き る.式(39),(40),(41)お (42)を 行 列 の 形 に 整 理 す る と,次. よ an び. で き,Ψ1やP1の. そ れ ぞ れ 求 め る こ とが. 中 に含 まれ るh1,R1,Vh1は. 接続 条件. を 用 い て 消 去 す る こ と が で き る.式(48)とU1=DΨ1に よ り,接 線 方 向 の 流 速 の 接 続 条 件 は 次 の よ うに 書 く こ と が で き る.. の よ う に な る.. (52). (43) こ こ でL,a,h,rお. よ びvは. そ れ ぞ れ 次 の よ うに 表 さ. 前 述 した よ う に領 域IIのR1に. れ る.. 関 す る項 が な い こ とに. 注 意 す る.ま た 式(22)の 関 係 よ り以 下 の 関 係 が 得 られ る.. (53) 式(24)と 領 域IとIIの. 式(50)よ り次 式 が 得 られ る.. (54) 管路 の高 さと領 域IとIIの 境界 面 まで の 高 さは次 の 関 係 を満 た さな けれ ばな らない. (55) こ こ で 無 次 元 化 を 行 い,摂. 動 展 開 した 項 を 代 入 す る と. (ε)の 項 で 次 の 条 件 が 求 め られ る.. O. (56) (44,45‑a,b,c,d) 式(52)と. 上 式 を 解 く と次 式 が 得 られ る.. 式(54)に. 対 し,式(53)と. びV*II1を 消 去 す る と.以. 式(56)を. 用 いH*II1お. よ. 下 の よ う に な る.. (46) ベ ク トル のi番. 目の 成 分 を ＜ ＞iで 表 す と ,係 数 ベ ク ト. (57). ル の 成 分 は 次 式 で 表 され る.. (58) (47). 式(57)お. よ び(58)よ. りH1お. よ びVh1をR1で. 表 す と次 の. よ う に な る.. 上 式 を 式(36)に 代 入 す る と次 式 が 成 立 す る.. (59‑a,b). (48) こ こで. こ こ でHお. よびVを. 次 に 示 す.. (60). (49‑a,b,c). ―757―.
(6) (70). (61). 6.砂. 面 の摂動 の増 幅 率. 式(69)よ り無 次 元 勇 断 力 が 一 定 の と き,掃 こ の と き,Ψ1は. 次 に 示 す よ うにR1の み を 因 数 に も つ.. 厚 さ は 変 化 し な い.こ. の た め,掃. 流 層 自体 の. 流層 上面 の 高 さは次. の よ うに 摂 動 展 開 で き る.. (62). (71) 基 準 高 さ に お け る 限 界Shields数. 5.砂. の式 中で. 面 変 動 と掃 流 砂 量. (72). 流 砂 の連続 式 よ り砂 面変 動 と単位 幅 当た りの掃 流砂 量 の関係 は 次 の よ うに表 され る.. こ こ でBと. 同 様 に θbに対 して も摂 動 展 開 を 行 う と,次. 式 が 得 られ る.. (63) こ こ でBは. 掃 流 層 上 面 の 高 さ,qB*は. 流 砂 量,λPは (12‑a,b,c,d)お. 間 隙 率 で あ る.こ よ び 式(18)よ. 単 位 幅 あ た りの 掃 の 式 に 対 し て 式. (73). り次 の よ う に な る.. (64). ここで. (65‑a,b) こ こ で Φ は 無 次 元 掃 流 砂 量,Rsは. 砂 の 水 中比 重,tは. で 無 次 元 化 さ れ た 時 間 で あ る.掃 Colombini2)に. 倣 い,局. 流 砂T*量 式 は. 所 勾 配 の 影 響 を 考 慮 した. Meyer‑Peter and Muller公 式 を 用 い る.. (74‑a,b,c,d) Ψ1お よびH1はR1を. (66). 因 数 に 持 つ た め,θb1は 次 式 の よ う. に 表 す こ と が で き る.. (75). (67) 無 次 元 掃 流 砂 量 Φは θbお よ びB,xの. (68‑a,b). 関 数 で あ り次 の よ. うに 摂 動 展 開 で き る.. こ こ で θb,θc,θchおよび Ψ は そ れ ぞ れ 掃 流 層 上 面 に お け るShields数,限 界Shields数. 界Shields数,平. 坦 床 に対 応 す る 限. お よ び 砂 の 静 止 摩 擦 角 で あ る.Colombini3). は 底 面 で 静 止 して い る粒 子 頂 点 か ら掃 流 層 上 面 ま で の 高 さを 掃 流 層 厚 さ と し,次. (76) ここで. の 関 数 で 表 した.. (77) (69). 式(71)お よ び(76)を 式(64)に 代 入 し整 理 す る と,次 の 式 が 得 られ る,. こ こ でhbは. 掃 流 層 厚 さ を 表 し て い る.ま. た,mの. Lee&Hsu3)は0.575,Lee,You&Lin4)は0.511と が,Colombini2)が. 用 い た0.55を. 値 は. 採 用 し た.式(69)で. τc. お よ び τrはそ れ ぞ れ 無 次 元 限 界 剪 断 力 お よ び 基 準 高 さ に お け る 無 次 元 勇 断 力 で あ る.ま さBと. (78). して い る. た,掃. 流層 上 面の 高. 無 次 元 粒 径 の 間 に は 次 の 関 係 が あ る.. ―758―. こ こ で 求 め られ た 複 素 角 周 波 数 Ωの 虚 部 が 摂 動 の 増 幅 率 に 相 当 す る..
(7) 7.結. 果 と考 察. 摂 動 の 増 幅 率Im[Ω]は αと ΦR1を 用 い て 式(78)の よ う に 表 さ れ る.ΦR1は EuはEuler数. θb,γ,Euの. 関 数 で あ る.こ. こで. と呼 ば れ る無 次 元 数 で あ り,圧 力 と慣 性. 力 の 比 を 表 して い る.ま た,Euler数. は平坦床 等 流状 態. の 断 面 平 均 流 速 と摩 擦 速 度 を 用 い 次 の よ うに 表 され る.. (79) Froude数. (a). がS1/2U0*U0*/Uf0*と 表 され る こ とを 考 えれ ば,. 管 路 に お け るEuler数. は 開 水 路 に お け るFroude数. に相. 当 す る パ ラ メ ー タ で あ る こ とが 推 測 され る. 摂 動 の 増 幅 率Im[Ω]は,結 局 α,θb,γ,Euの4つ の パ ラ メ ー タ の 関 数 と な るが,こ こ で は γ=1と 仮 定 す る . γ=1の と き式(23)お よび(55)よ り,基 準 高 さか ら境 界 面 ま で の 高 さ と管 の 直 径 の 関 係 は 以 下 の よ うに 表 され る.. (80) 上 式 お よび 式(9‑b),(28)よ. り,両 領 域 で のR0が. 等 しく. な り,基 本 状 態 で は 流 速 分 布 は 管 の 中 央 を境 に し て 対 称 な 対 数 分 布 則 を 示 す こ とが わ か る.す. な わ ち,γ=1. とい う条 件 は 上 下 の 壁 面 の 粗 度 が 等 しい こ と と 等 価 で あ る.移. 動 床 を有 す る管 路 の 場 合,一. の 粗 度 は 異 な る と考 え られ る が,問. 般 的 に は上下 面 題 を簡 単 にす るた. (b). め に こ の 条 件 を 仮 定 した. 図‑5(a)お. よ び(b),(c)は 掃 流 層 上 面 で のShields数. を そ れ ぞ れ0.25お. よ び0.5,1.0と. 幅 率 の コ ン タ 図 で あ る.図. 中,細. 率 が 正 の コ ン タ,太 い 実 線 は0の. い 実 線 は摂 動 の 増 幅 コ ン タ(中 立 曲線),. 破 線 は 負 の コ ン タ を 表 して い る.増. 幅率 が正 で あ る と. き 摂 動 は発 達 し砂 一 水 界 面 は 不 安 定 と な る が,負 れ ば 安 定 と な る.し 砂‑水. θb. した 場 合 の 摂 動 の 増. であ. た がっ て図 中 の太 い実線 の内部 で. 界 面 は 不 安 定 と な り,界 面 波 が 発 生 す る こ と に. な る. 式(66)か ら わ か る よ うに,θbが大 き い ほ ど無 次 元 掃 流 砂 量 は 大 き くな る.こ. こ で,図‑5の. 径 と管 径 の 関係 を表‑1に Euler数. 中 のEuler数. 示 す.表‑1か. が 大 き い ほ どd*s/D*が. と粒. ら分 か る よ うに. 小 さ くな る.す. なわち. (c). 管 径 に 対 す る 相 対 粒 径 が 小 さ く な る ほ ど不 安 定 な 領 域 はEuler数. の 大 き い 領 域 に 広 が り,増 幅 率 が 最 大 と な. る 波 数(卓. 越 波 数)は. 表‑1粒. 若 干 大 き く な る こ とが 判 る.. 径 と管 径 の 比 とEuler数. 図‑5Im[Ω]の. の関係 (a)θb=0.25の. 時,(b)θb=0.5の. 開 水 路 の 場 合,Fr＞1お. コンタ 時,(c)θb=1.0の. よ びFr＜1の. 時. 領 域 で 砂‑水. 界 面 は 不 安 定2)と な り,前 者 の 領 域 で は ア ン チ デ ュ ー ン が,後. 者 の領 域 で はデ ュー ンが発 生す るこ とがわ か. っ て い る.そ れ に対 して 管 路 の 場 合,図‑5に よれ ば砂 一 水 界 面 はEuler数 の 小 さ い 領 域 で の み 不 安 定 とな る. ―759―.
(8) こ とが わ か る.開 水 路 と管 路 内 で は,現 象 を支 配 す る. 界 面 の 安 定 性 を 調 べ る た め に,線 形 安 定 解 析 を 行 っ た.. 無 次 元 数 が 異 な る た め,そ れ ぞ れ の 場 合 に お け る砂‑. そ の 結 果,次 の 諸 点 が 明 らか とな っ た. ・管 路 内 の 砂‑水 界 面 の 安 定 性 を 決 定 す る主 要 な パ ラ. 水 界 面 の 安 定 性 を 単 純 に 比 較 す る こ と は で き な い が, 管 路 に お け るEuler数. が 開 水 路 に お け るFroude数. に対. 応 す る とす れ ば,管 路 と開 水 路,い ず れ の 場 合 もデ ュ ー ン に 相 当す る よ うな 界 面 波 は 発 生 す る も の の ,管 路 の 場 合,ア. ン チ デ ュ ー ン に 相 当す る界 面 波 は 発 生 し な. い こ と が わ か る.界. 面 波 の 波 長 λ*は次 の よ うに 表 され. る.. (81) 図‑5に. よれ ば 増 幅 率 が 最 大 とな る波 数(卓. 1〜1.5で あ る こ とが わ か る.卓. の 界 面 波 が 選 択 的 に 発 達 す る とす れ ば,実. 方,開. 波 長 は 水 深 の5倍. Euler数 の 小 さ い 領 域 で 砂‑水. よ っ て 変 化 す る が,管 径 の概 ね2〜3倍 で あ る. ・界 面 波 の 卓 越 波 長 はShields数 が 大 き く な る ほ ど小 さ. 際 に形 成 さ. とな るこ とが予. 程 度 とな る5).こ. 参 考 文献 1)Kennedy, J.F.:. こで も 開水 路 と管. 較 す る こ と は で き な い が,開. 3) Lee, H.-Y.. 水 路 の 水 深 が 管 径 の1/2. 路 に発 生 す る デ ュ ー ン の 方 が. に す る た め に解 析 の 条 件 を γ=1の. こで は問題 を簡 単 場 合 に 限 っ た.今 後. 下 面 の 粗 度 の 違 い を 含 め た 解 析 を 行 い,実. J.Fluid. Mech.16,. Part4, 1963. 2) Colombini, M.: Revisiting the linear theory of sand dune formation.. 若 干 短 い 波 長 を持 つ こ と に な る.こ. The mechanics of dunes and antidunes in. erodible-bed channels.. 路 で は 異 な る 無 次 元 化 が 行 わ れ て い る た め,単 純 に 比. は,上. とShields数 に. くな る傾 向 が あ る.. 水 路 に 発 生 す る デ ュー ンの 場 合,. に 相 当 す る とす れ ば,管. 界 面 は 不 安 定 とな り,. 界 面 波 が発 生 す る. ・発 生 す る界 面 波 の 卓 越 波 長 は ,Euler数. 越 波 数 に 相 当す る波 長. れ る デ ュ ー ン の 波 長 は 管 径 の2〜3倍 想 され る.一. 越 波 数)は. メ ー タ はEuler数 とShields数 で あ る. ・α‑Euler数 平 面 上 にinstabilitydiagramを 描 い た 結 果 ,. 験に. J.Fluid. & Hsu, J.-S.:. Investigation of saltating. particle motion. J. Hydraulic Engng. 1994 4) Lee, H.-Y.. You, J.-Y.. 120, pp.831-845,. & Lin, Y.-T.:. Continuous. saltating process of multiple sediment particles. Hydraulic Engng.128,. よ っ て 理 論 結 果 を 検 証 す る こ とが 必 要 で あ る.. Mech. 502, pp.1-16, 2004. J.. pp.443-450, 2002. 5) 吉 川 秀 夫: 流 砂 の 水 理 学. 丸 善 株 式 会 社. pp.170‑177, 8.結. 論. 1985. 自由表 面 の存在 しない管 水 路流れ にお け る,砂‑水. (2008年4月14日. ―760―. 受 付).
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