数学入門 - レジメ 1

(1)

数学入門 - ^レジメ 1

2015

年前期

,

西岡

1

無限と実数

1.1

無限のパラドクス

現代数学では無限を日常的に取り扱う

.

その際

,

一見奇妙なことが生じる

.

例題

1.1.

次の等式を証明せよ

.

(1.1) 0.999 · · · = 1. ⋄

例題

1.2 (

アキレスと亀

).

俊足のアキレスが亀と競争することになった

.

しかし「アキレスは俊足

,

亀は鈍足」の定評があり

,

亀にハンディキャップを与えることにした

.

するとゼノンが「このハンディキャップは極めて有効で

,

アキレスは亀に追いつけない」との論証を以下のように展開した

:

(i)

アキレスが亀のスタート地点

a

に到着したとき

,

亀は地点

b

まで進む

.

(ii)

アキレスが

(

亀の居た

)

地点

b

,

亀はさらに先の地点

c

まで進む

.

(iii)

アキレスが

(

亀の居た

)

地点

c

,

亀はさらに先の地点

d

まで進む

.

.. .

(iv)

これは無限回繰り返すが

,

それぞれの繰り返しには正の時間が必要で

,

結局アキレスは亀に追いつけない

.

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6

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この論証は正しいのか

? ⋄

[

例題

1.1

証明

] Step 1 (

簡単な方法

).

小学校で学ぶ割り算

(1.2) 1

3 = 0.333 · · ·

を認めるなら

,

極めて簡単に

(1.1)

が証明できる

. (1.2)

の両辺に

3

を掛けて

1 = 3 × 1

3 = 3 × 0.333 · · · = 0.999 · · ·

となる

.

つまり

(1.2)

と

(1.1)

は同値である

.

(2)

Step 2.

しかし厳密には

,

「無限小数

0.333 · · ·

^に

3

を掛ける」演算が可能かどうかに疑問点が残る

.

そこで

x ≡ 0.999 · · ·

とおき

, 10 x − x

を計算する

:

10x = 9.999 · · · +) − x = − 0.999 · · ·

9x = 9.000 · · ·

つまり

9x = 9 ⇔ x = 1. 2

[

例題

1.2

解答

]

むろん正しくない

.

例えば

,

アキレスが

10m/sec,

亀が

1m/sec

で

100m

先からスタートとしてみる

.

1

アキレスが亀のスタート地点に到着するまで

10 sec., 2

その間に亀は

10 m

進む

( b

地点

),

3

アキレスが

b

地点到着するまで

1 sec, 4

その間に亀は

1 m

進む

,

.. .

結局

,

アキレスが亀に追いつくのに要する時間は

10 + 1 + 1

10 + 1

100 + · · · = 10 · 1

1 − 0.1 = 11.11 · · · sec

で

11.2

秒足らずである

. 2

•

^{現代数学の特徴は}

,

無限を頻繁に扱う点にあるが

,

例題

1.1, 1.2

に示されるように

,

無限を扱うには特別の注意が必要である

.

•

さらに現代数学では「小さな無限

,

大きな無限

,

より大きな無限

, · · ·

」など無限の大小関係を比較することが可能である

.

•

^本節では

,

「小さな無限

=

自然数」から「大きな無限

=

実数」をどうやって作り

,

得られた実数がどのような性質を持っているかを大雑把に述べる

.

•

^{基礎数学の目的である}

‘

微積分

’

の根底にあるものは極限であり

,

この極限は実数の上で展開される

.

そのため，極限＝微積分を理解するためには「無限の厳密な理解」および「実数の理解」

(=

無理数論

)

が是非とも必要となる

.

1.2

^{自然数から有理数へ}

まず自然数

N

^とは

,

N = { 1, 2, 3, · · · }

のことである

. m, n ∈ N

^にたいし

(1.3)

四則演算

:

和

m + n,

差

m − n,

積

m × n,

除

m

n

を自由に使いたい

.

(3)

(i)

しかし

(1.3)

の差

m − n

が一つの集合の中で完結するためには

,

自然数の全体

N

^では不十分で

,

整数

Z = {· · · , − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, · · · }

まで広げなければならない

.

(ii)

さらに

(1.3)

の除

m/n

が一つの集合の中で完結するためには

,

整数の全体

Z

^{でも不十分で}

,

有理数

Q = { m

n : m, n ∈ Z , n ̸ = 0 }

まで広げる必要がある

.

(iii)

ところが

,

一辺の長さ

1

の正方形

ABCD

の対角線

AC

の長さ

x

は

,

有理数

Q

^{の範囲に留ま}

らないことが証明できる

(

有理数の不完全性

,

例題

1.3 ).

A D

C B

(iv)

また

x

²

= 2

という方程式を解こうとすると

,

有理数

Q

の中では解が見つからないことも証明できる

(

例題

1.3 ).

(v)

さらに

,

近代数学では

,

頻繁に極限操作を行うが

, √

2 = 1.41421 · · ·

^{に収束する数列}

a

₁

= 1, a

₂

= 1.4, a

₃

= 1.41, a

₄

= 1.414, · · · ,

を考えると「収束先が見つからない」という不都合がおこる

.

(vi) 0.3333 · · ·

などの無限小数の存在はよく知られているが，すべての無限小数で四則演算が可能

かどうかは自明ではない

.

例えば末位の数字が判らない場合の乗法

1.73205 · · · × 2.23607 · · · (= √

3 × √ 5)

はどうやって計算するのだろうか

?

など多くの不具合が発生する

.

そのため

Q

をさらに広げる必要がある

.

例題

1.3.

辺の長さが

1

である正方形

ABCD

の対角線

AC

の長さ

x

は有理数ではない

. ⋄ [

例題

1.3

解答

]

まずピタゴラスの定理より

(1.4) x

²

= (AB)

²

+ (BC)

²

= 1

²

+ 1

²

= 2.

つぎに

,

もし

x

が有理数だとすると

,

ある整数

k, j

があり

(1.5)

 



x = j/k, k ̸ = 0,

j, k

は既約

(

つまり

1

以外の公約数を持たないこと

)

(4)

と表される

.

ところで

(1.4)

より

j

²

k

²

= x

²

= 2 ⇒ j

²

= 2 · k

²

⇒ j

は偶数

⇒

^ある整数

q

があり

, j = 2 · q

すると

2 · k

²

= j

²

= (2 · q)

²

= 4 · q

²

⇒ k

²

= 2 · q

²

⇒ k

は偶数

⇒

^ある整数

r

があり

, k = 2 · r.

結局

j k = 2 · q

2 · r

となり

(1.5)

で仮定した既約に反する

.

よって

, (1.5)

が間違っており

, x

は有理数ではない

.

なお上記の議論により

, x

²

= 2

の解が有理数でないことも示されている

. 2

1.3

有理数から実数へ

そこで私達は前述

I, (v)

の不具合を解消するために

,

「次に述べる

(1.6)

の方法」で

,

有理数

Q

^を拡大する

.

すると具合の良いこと

, § 1.2, (iii) – (vi)

の難点もすべて解消されることが証明できる^*1

.

有理数からなる数列 で「基本列」と呼ばれる性質

(1.7)

を 備えたものの極限全体を考え

,

それを実数

R

^とよぶ

.

(1.6)

直ぐには理解しにくいが

,

これが実数

R

^で

,

「数直線上の全ての点の集合と直感できる」ことが示される

.

まず基本列 の定義を述べる

.

定義

1.4. (

実数でも有理数でも

)

数列

{ a

n

}

^が^基本列^とは

,

任意の

ε > 0

にたいし

,

ある自然数

N

があり

, m, n ≥ N → | a

_m

− a

_n

| ≤ ε

(1.7)

をみたすことである

. ⋄

注意

1.5. (i) (1.7)

の言い方が「

ε, δ

論法」の典型例である

.

(ii) (1.7)

の意味を大雑把ににいう

.

基本列

{ a

n

}

^とは

, n

が大きくなるにつれ

, | a

n

− a

n+1

|

^がいくらでも小さくなる数列のことである

.

任意の基本列

{ a

n

}

の極限をすべて付け加えて

,

実数

R

^を作ったので

,

前述

(v)

の不具合は解消された

. ⋄

こうやって得られた実数

R

は次のような良い性質を備えている

.

命題

1.6 (

実数の性質

). (i) (

四則演算が閉じている

) a, b ∈ R

⇒ a + b, a − b, a × b ∈ R , b ̸ = 0

なら

a/b ∈ R .

*1この拡大の方法とか

,

それで不具合が解消されることなど論ずることが

,

「実数論」である

.

またどちらも無限個だが

,

「実数の個数

>

有理数の個数」となることが証明できる

.

(5)

(ii) a, b ∈ R ⇒ a < b , a = b , a > b

のどれかが成立^*2

. (iii) a, b ∈ R , a < b ⇒ a < c < b

となる

c ∈ R

^{が存在する}^*3

.

(iv)

実数列

{ a

_n

} ⊂ R

^が

(1.7)

を満たせば

,

必ず

lim

_n_→∞

a

_n

∈ R

^{が存在する}^*4

. ⋄

注意

1.7.

命題

1.6

の証明には

, ‘

実数論

’

と呼ばれる理論に体系付けられており

,

ここでは述べない

.

厳密な実数論の教科書を挙げるので

,

興味がある人は通読されたい

.

•

^田中一之

,

鈴木登志雄

,

数学のロジックと集合論

, 2003,

培風館

; ISBN4-563-00337-9 C3041

•

^{高木貞治}

,

解析概論改訂第

3

判

, 1983,

岩波書店

; ISBN-10: 4000051717.

注意

1.8.

有理数

Q

^を

(1.6)

の方法で拡大し

,

実数

R

^{が得られた}

.

•

^では

,

実数

R

^{をさらに拡大して}

,

命題

1.6

の性質を備えたものが得られるだろうか

?

⇒

得られないことが証明されている

.

つまり実数

R

^は

,

頻繁に極限操作を行う現代数学の出発点として丁度よい物と言える

. ⋄

2

無限の数え方

現代数学の特徴の一つは「無限を頻繁に扱う」ことである

.

ここでは「無限」を分類し

,

小さな無限

,

大きな無限などが有ることを述べる

.

無限を数えるための準備を行おう

.

2.1

数の数え方

学生

a, b, · · · ,

から数人を選び

,

集合

X

を

X ≡ { a, b, c, d, e, }

と定義する

. X

の人数は

5

と直ぐに数えられるが

,

ここで 数える とはどういうことかを説明する

: U

を自然数の部分集合

U ≡ { 1, 2, 3, 4, 5 }

とすると

X

と

U

とに

1 : 1

関係がある

=

次で定義するが

,

簡単に言うと「

X

の要素に番号をつ

ける」

.

定義

2.1.

ある集合

A

と

B

とに

1 : 1

関係があるとは

,

以下の条件をみたす関係式

h : B → A

が存

在することである

:

x ∈ B

にたいし

h(x) ∈ A

かつ

h(B) = A, x, y ∈ B

かつ

x ̸ = y ⇒ h(x) ̸ = h(y).

(2.1)

(

この

(2.1)

をみたす関係式を全単射

, bijection

とよぶ

.) ⋄

注意

2.2. (i)

とくに

B

が自然数の部分集合

B = { 1, 2, · · · , n }

^の場合

,

「集合

A

の要素の個数は

n

個」という

.

例えば

,

前述の

X

と

U

の場合

,

全単射

h

は

*2 この性質を線形順序性という.

*3 この性質を稠密性という.

*4 この性質を実数の完備性という.有理数全体Qは完備性を備えていない.

(6)

集合

U 1 2 3 4 5

全単射

h ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

集合

X a b c d e

つまり

h

は

a, · · · e

に番号を振ることである

.

(ii)

定義

2.1

の方法を使えば

(

数を数えられなくても

)

「集合

A

と

B

が同数」を確かめられる

.

定義

2.3. (i)

集合

A

と

B

の要素の個数が同数^*5

, ( Card [A] = Card [B]

という記号を使う

. )

⇔ A

と

B

とに

1 : 1

関係式

h

が存在することである

.

(ii)

集合

A

の要素の個数は

B

より少ないか等しい

. ( Card [A] ≤ Card [B]

という記号を使う

.)

⇔ B

の部分集合

C

で

,

「

A

と要素の個数が同数」のものが存在する

. ⋄

例題

2.4.

学生の集合

X = { a, b, c, d, e }

^{と椅子の集合}

Y = {

^ア

,

イ

,

ウ

,

エ

,

オ

,

カ

}

^{の要素の個数} を比較せよ

.

[

例題

2.4

解答

] X

と

Y

の間には

,

どんな全単射も存在しない

.

a b c d e

アイウエオカ

1:1 対応がない

つまり

,

二つの集合

A, B

の要素の個数が同じでなければ

, A

と

B

の間には全単射が存在しない

. ⋄

2.2

可算無限

自然数の全体

N = { 1, 2, 3, · · · }

の要素の個数は無限個だか

,

この無限を特に 可算無限

ℵ

0

(

アレフゼロ

)

と呼ぶ

( ⇔

^「

N

^の濃度は

ℵ

0」

).

例題

2.5.

以下を証明せよ

.

(i)

偶数の全体の個数は可算無限

ℵ

0

. (Card [

偶数の全体

] = ℵ

0

.) (ii)

整数の全体

Z

^{の個数は可算無限}

ℵ

0

. ( Card [ Z ] = ℵ

0

. )

(iii) 2

次要素整数の全体

Z

²

= { (n, m) : n, m ∈ Z}

^{個数は可算無限}

ℵ

0

. ( Card [ Z

²

] = ℵ

0

.) (iv)

有理数の全体

Q

の要素の個数は可算無限

ℵ

0

. ( Card [ Q ] = ℵ

0

.)

*5Aの要素の個数が無限個の場合も許す. 我々は「無限」を更に詳しく分類したいので,有限を前提とする「個数」の用語は不適切.そこで「個数」の代わりに,「Aの濃度(Cardinal number)」と言う.

(7)

[

例題

2.5

解答

] (i)

偶数の全体を

E

^とおく

. k ∈ N

^にたいし

h(k) ≡ 2 k

とおく

. h(1) = 2, h(2) = 4, h(3) = 6, · · ·

h : N → E

^{は全単射だから}

N

^と

E

^{の要素の個数は同じ}

. (ii)

関係式

h

を

h(k) =

{ − 2k + 1 k ≤ 0

2k k ≥ 1

とおく

.

· · · , h( − 2) = 5, h( − 1) = 3, h(0) = 1, h(1) = 2, h(2) = 4, h(3) = 6, · · ·

-2 -1 0 1 2 3

となるので

, h : Z → N

^{は全単射}

.

これは

,

上図の方法で整数

Z

^{を数えることである}

.

(iii) 2

次要素整数の

Z

² を漏れなく数え上げる方法を言えばよい

.

図で示すと

,

下図の方法がそれ

.

(iv)

ある整数

m, n (n ̸ = 0)

があり

, x = m/n

と表現できる数の全体が有理数

Q

^である

.

このとき

x = m

n ∈ Q

^にたいし

φ(x) = (m, n) ∈ Z

² という対応を考えると

, Q

^{の要素の個数が}

Z

²^{より少ないことが判る}

.

(

例えば

, 1/2 ∈ Q

^{に対応する}

Z

² ^の要素は

(1, 2), (2, 4), · · ·

^{と無限個ある}

.

また

n ̸ = 0

なので

(1, 0), (2, 0), · · · ∈ Z

² ^{に対応する}

Q

^{の要素は存在しない}

.)

一方

, Q ⊃ N

^なので

Q

^{の要素の個数は}

N

^{の要素の個数}

(=

可算無限

ℵ

0

)

より多い

.

(8)

つまり

(iii)

の結果を使うと

ℵ

0

= Card [ N ] ≤ Card [ Q ] ≤ Card [ Z

²

] = ℵ

0

となり

, (iv)

が証明された

. 2

2.3

非可算無限

前節では

,

可算無限

ℵ

0の例しか提示しなかった

.

では

ℵ

0より大きな無限は有るのか

?

この疑問に答えるため

,

数直線上の区間

I ≡ { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 }

に属する要素の個数を考える

.

定理

2.6. I

の要素の個数は可算無限

ℵ

0 より真に大きい

. ⋄

定義

2.7. I

の要素の個数を非可算無限^*6

c (

シー

)

と呼ぶ

. ⋄

次の命題が証明されたものとして

,

定理

2.6

を証明する

.

命題

2.8.

集合

B

の要素の個数が可算無限

ℵ

0 なら

, B

の大きさ

(=

長さ

)

は

0. ⋄

定理

2.6

の証明 もし

I

の要素の個数が可算無限なら

,

命題

2.8

より

I

の長さ

| I |

^は

0.

ところが

| I | = 1

なので矛盾

.

よって

I

は可算無限より大きい無限

. 2

命題

2.8

の証明 集合

B

は可算無限

ℵ

0 なので

, B

の要素には番号がつけられる

: B = { b

1

, b

2

, b

3

, · · · }

この

B

の長さ

| B |

^を計る

. δ

を任意の小さな正の数とすると

, b

1

− δ

2 < b

1

< b

1

+ δ

2 , b

2

− δ

2

²

< b

2

< b

2

+ δ

2

²

, · · · , b

n

− δ

2

ⁿ

< b

n

< b

n

+ δ

2

ⁿ

, · · · .

となるので

,

b

₁ の長さ

< δ, b

₂の長さ

< δ

2 , · · · , b

_n の長さ

< δ

2

ⁿ⁻¹

, · · · .

これらを合計して

| B | ≤ δ + δ

2 + · · · + δ

2

ⁿ⁻¹

+ · · · = 2 δ.

ここで

δ > 0

は

,

いくらでも小さくできるので

,

次の練習問題

2.9

より

| B | = 0. 2

練習問題

2.9.

次を証明せよ

:

任意に小さな数

δ > 0

にたいし

, 0 ≤ x ≤ δ ⇒ x = 0. ⋄ ( ∗ )

無限が関わると点の個数に関して

,

いろいろ不思議な事が起きる

.

例題

2.10. (i)

開区間

X ≡ ( − 1, 1)

と開区間

Y ≡ (0, 1)

上の点の個数は等しい

. (ii)

数直線

R ≡ ( −∞ , ∞ )

と開区間

Y ≡ ( − 1, 1)

上の点の個数は等しい

.

[

例題

2.10

証明

]

(i)

定義

2.9

より

A

と

X

間に全単射が有ることを言えばよい

. f (x) ≡ x

2 + 1

とおけば

,

上図左様に

f : X → Y

で全単射の条件を満たしている

.

*6 連続無限ともいい,ℵ¹ (アレフワン)とも記す.

(9)

0 1 1

f(x)= x/2 +1

1/2

-1

(ii)

上図右の関数

f : Y → R; f (x) = 1

1 − x − 1 1 + x

を使い

,

前と同じ議論を繰り返す

. 2

例題

2.11.

次を証明せよ

:

閉区間

X ≡ [0, 1]

と半開区間

Y ≡ [0, 1)

. [

例題

2.11

証明

]

定義

2.9

より

X

と

Y

間に全単射が有ることを言えばよい

.

X

上の点列

B, Y

上の点列

C

を

X ⊃ B ≡ { b

_k

≡ 1

2

^k

, k = 0, 1, · · · } = { 1, 1 2 , · · · , 1

2

^k

, · · · } Y ⊃ C ≡ { c

_k

= 1

2

^k+1

, k = 0, 1, · · · } = { 1 2 , 1

4 , · · · , 1 2

^k

, · · · }

とおく

.

つぎに全単射

f : X ↔ Y

を

f : X → Y ; f (x) ≡

{ x

もし

x ∈ X − B c

k もし

x = b

k

∈ B

1

1/2

1/4 1

1/2

1/4 1/8

0 0

1/8

とする

.

この

f

は

, f (1) = 1

2 , f ( 1 2 ) = 1

4 , · · ·

であり

, B, C

以外の点は同じ点に対応している

.

これは

,

右図のように全単射

X ↔ Y

を定義している

. 2

練習問題

2.12.

次を証明せよ

:

閉区間

X ≡ [0, 1]

と開区間

Z ≡ (0, 1)

.

2.4

まとめ

代表的な無限集合の要素の数は以下の通り

:

(10)

可算無限

ℵ

0 自然数

N

整数

Z k

次要素格子点

Z

^k 点列

{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, · · · }

有理数

Q

非可算無限

ℵ

1 開区間

(0, 1)

の点の数

c

閉区間

[0, 1]

の点の数

実数

R k

次要素実数

R

^k

( ∗ )

いくつかの事実

.

例題

2.13.

「実数

R

^{から有理数}

Q

^{を差し引いた集合}

=

無理数」の要素の数を数えよ

.

[

解答

]

無理数の個数

= ℵ

1 である

. 2

例題

2.14.

可算無限

ℵ

0 と非可算無限

ℵ

1

c

との間には

,

別の大きさの無限が有るのか

?

[

解答

]

「証明が不可能」ということがゲーデル

-

コーエンによって証明されている

.

「無い」という主張が，カントールの 連続体仮説 で

,

こう仮定して不都合が無いことも証明されている

.

一方

,

「有る」と仮定しても不都合は無い

. 2

例題

2.15.

連続無限

ℵ

1 より真に大きい無限が有るのか

?

[

解答

]

この証明も易しくないが

,

「有る」

.

実数

R

^{上の関数全体}

F

^{の要素の個数は}

,

真に

ℵ

1 より大きく

, 2

^ℵ¹ と表記できる

(

カントールの定理

). 2

以上