ミクロ経済学第 4 回課題解答
今井 陽介
2016 年 12 月 8 日
1 確認問題
1.1 用語の確認
1. ある消費者の オファーカーブ とは、初期保有量を所与としたときの、価格変化に伴う需要関数の軌跡 を指す。
2. 消費者をA, Bと、財を1, 2と表す。各消費者の選好は合理的かつ連続的であると仮定し、効用関数 をui(i = A, B)と書く*1。ここで、各消費者iの消費計画をxi = (x1i, x2i) ∈ Xi = ℜ2+と、初期保 有量をωi = (ω1i, ω2i) ∈ ℜ2+(いずれもi = A, B)と表す。また価格ベクトルをp = (p1, p2) ∈ ℜ2+ と表し、全ての消費者がプライステイカーであると仮定する。最後に、実現可能な資源配分の集合を F = {(xA, xB) ∈ ℜ4+ xlA+ xlB= ωlA+ ωlB, ∀l = 1, 2}と表す（以上の仮定や表記は設問3でも断 りなく用いる）。
このとき、ワルラス均衡を以下の様に定義することができる。
価格ベクトルと消費計画の組(p∗,(x∗A, x∗B)) ∈ ℜ6+ が ワルラス均衡 である。
⇐⇒
{∀i = A, B, u(x∗i) ≥ u(xi), ∀xi∈ Bi(p∗, p∗・ωi) = {yi∈ ℜ2+ p・yi≤ p・ωi} (∗) (x∗A, x∗B) ∈ F
3. ある資源配分(xA, xB) ∈ ℜ4+が(x′A, x′B)( ̸= (xA, xB)) ∈ ℜ4+を パレート支配 する*2。
⇐⇒
{∀i = A, B, u(xi) ≥ u(x′i)
∃i = A, B, u(xi) > u(x′i) 資源配分(x∗∗A, x∗∗B) ∈ Fが パレート効率的 である。
⇐⇒ (x∗∗A, x∗∗B)をパレート支配するような資源配分(xA, xB) ∈ F が存在しない。
*1より一般に、選好を表現する効用関数が存在しない場合でも、ワルラス均衡を定義することはできる。その際定義の (*) の部分は、
∀i= A, B, x∗i ⪰ixi, ∀xi∈ B(p∗, p∗・ωi) と書き換えればよい。
*2設問 2 の場合と同様に、選好が連続性を満たさない場合は、定義を以下の様に書き換える必要がある。 {∀i= A, B, xi⪰ix′i
∃i= A, B, xi≻ix′i
4. 市場の普遍性 とは、全ての財・サービス（の所有権や使用権）を取引できる市場が存在することを指 す。他方で 完全競争市場 とは、全ての経済主体が価格を所与として行動する市場を指す。
5. 一括型の税（補助金）とは、経済主体の行動に依らずに定まる税（補助金）を指す。なお、課題2の標 準問題2.2「政府の課税と生産」にある「直接課税」は、一括型の税の一例である。
1.2 パレート効率的な資源配分
A, B, Cが受け取るCDを組で表す。このとき、実現可能なCDの配分は以下の6通りである。下の
配分を左から1, 2...6と表す。
(R, S, T ), (R, T, S), (S, R, T ), (S, T, R), (T, R, S), (T, S, R) {R, S, T }上のk(= A, B, C)の選好順序⪰kを以下の様に定める。
R≻kS and S≻kT and T ≻kR 配分 1 2 3 4 5 6 パレート支配する配分 5 6 2 1 4 3
このとき各配分とそれをパレート支配する配分は、上の表の通りとなる。この表から明らかな様に、パ レート効率的な配分は存在しない。今回の例の様に選好の合理性は、パレ―ト最適な配分の存在を裏付 ける要素になりうる。*3。
2 標準問題
2.1 消費者 1 人・企業 1 人の経済
1. 利潤最大化問題は以下の様に定式化できる。
Π(p, w) = M axz[pf (z) − wz]
s.t.
{f(z) =√z z≥ 0 2. 効用最大化は以下の様に定式化できる。
M azx1,x2[u(x1, x2) = logx1+ logx2]
s.t.
{px2≤ w(1 − x1) + Π(p, w) xi≥ 0(i = 1, 2)
*3価格理論の諸定理では、暗黙のうちに経済主体の合理性が仮定されている場合が多い。通常の問題演習では、この仮定をあまり強 く意識しないだろう。しかしながら、これらの定理を実例に応用する際には、この暗黙の仮定が成り立っているのかを逐一検証す る必要がある。
3. 利潤最大化問題
利潤最大化の一階条件より
z∗= p
2
4w2 (1)
これより、利潤関数と供給関数は以下の通りとなる。
Π(p, w) = p
2
4w, f(z
∗) = p
2w (2)
効用最大化問題
L(x1, x2, p, w , λ) ≡ u(x1, x2) + λ(w (1 − x1) + Π (p, w ) − px2), λ≥ 0 Lに関する一階条件 ∂L
∂xi
= 0 (i = 1, 2)より
x∗1=w+ Π(p, w) 2w x∗2=w+ Π(p, w)
2p
(3)
需給均衡条件
{1 − x∗1= z∗
x∗2= f (z∗) (4)
(1)から(4)より、ワルラス均衡は以下の通り。 ( p
∗
w∗,(x
∗
1, x∗2), (z∗, f(z∗))) = (
2
√3,( 2 3,
1
√3), ( 1 3,
1
√3) )
4. 企業の利潤は単に企業から消費者へ全て移転されているだけなので、社会厚生を考えるときには、実現 可能な資源配分を行ったときの消費者の効用水準uのみを考慮すればよい。
M axx1,x2[W = u(x1x2)]
s.t.
1 − x1= z x2= f (z) x1∈ [0, 1], x2≥ 0
L′(x1, x2, λ) ≡ u(x1, x2) + µ(f (1 − x1) − x2), µ≥ 0 ラグランジュアンを上式で定義し、L′ に関する一階条件 ∂L
′
∂xi
= 0 (i = 1, 2)を求める。すると、 ((x1, x2), (z, f (z))) = ((2
3, 1
√3), ( 1 3,
1
√3)
)となり、先の設問のワルラス均衡と一致する。設問3のワ ルラス均衡は、各経済主体が自らの利益を追求して経済行動（休暇・消費、生産）をした結果である。 当設問で見てきた様に、その均衡状態での資源配分によって社会厚生が最大化される。このことは翻っ て、市場での各経済主体の利己的な経済行動に任せておけば、政府が全ての生産・消費計画を立案・実 行しなくても、社会的に「望ましい」状態が達成されうるということを意味している。以上の様に、ロ ビンソン・クルーソーモデルのような極めて単純なモデルであっても、アダム＝スミスの「見えざる手」 の存在を確認することができる。
2.2 『ミクロ経済学演習』（抜粋）
【同書の解答・解説を参照】
2.3 レオンチェフ型効用関数
1. 消費者i(= A, B)の効用最大化問題は以下の通りである。 M axx1i,x2iu(x1i, x2i) s.t. p1x1i+ p2x2i≤ p1ω1i+ p2ω2i
レオンチェフ型効用関数は微分可能な関数ではないので、ラグランジュの未定乗数法を用いることはで きない。ここではp1, p2の値で場合分けをして、各々の場合の需要関数を導出する。
• 消費者Aの需要関数 p1>0かつp2>0のとき
x1A< x2Aの場合、u(x1A, x2A) = x1Aとなる。予算制約式から、x1A≤ −p2x2A+ p1ω1A+ p2ω2A p1
であり、これを目的関数へ代入すると、x1A< x2Aの場合では解が存在しないことがわかる。同様 にx1A> x2Aの場合でも解が存在しない。よって、x1A= x2Aの場合のみを考慮すると、需要関 数は(x∗1A, x∗2A) =( p1ω1A+ p2ω2A
p1+ p2
,p1ω1A+ p2ω2A p1+ p2
) = ( 30p1 p1+ p2
, 30p1 p1+ p2
)となる。
p1>0かつp2= 0のとき
予算制約式p1x1A≤ p1ω1Aから、x1A≤ 30となる。これを考慮した上で先の様にx1Aとx2Aの 大小関係で場合分けをすると、需要関数は(x∗1A, x∗2A) = (30, x2A), x2A≥ 30と求められる。 p1= 0かつp2>0のとき
予算制約式p2x2A≤ p2ω2Aから、x2A≤ 0すなわちx2A= 0となる。このときu(x1A,0) = 0と なるので、需要関数は(x∗1A, x∗2A) = (x1A,0), x1A≥ 0と求められる。
• 消費者Bの需要関数 p1>0かつp2>0のとき
x1B ̸= (x2B)12 の場合、消費者Aのときと同様にして解が存在しないことがわかる。よって x1B = (x2B)12 の場合のみを考慮すると、需要関数は (x∗1B, x∗2B) = (s(p),√s(p))となる。た だし、
s(p) =
−pp1
2 +
√(pp1
2)
2+ 80
2 p1>0かつp2= 0のとき
予算制約式p1x1B≤ p1ω1Bから、x1B≤ 0すなわちx1B = 0となる。このときu(0, x2B) = 0と なるので、需要関数は(x∗1B, x∗2B) = (0, x2B), x2B ≥ 0と求められる。
p1= 0かつp2>0のとき
予算制約式p2x2B≤ p2ω2Bから、x2B≤ 20となる。これを考慮した上で先の様にx1Bとx2Bの 大小関係で場合分けをすると、需要関数は(x∗1B, x∗2B) = (x1B,20), x1B≥ 2√5と求められる。
以上より各消費者の需要関数は下の表の通りとなる。
p1>0, p2>0 p1>0, p2= 0 p1= 0, p2>0 (x∗1A, x∗2A) ( 30p1
p1+ p2
, 30p1 p1+ p2
) (30, x2A), x2A≥ 30 (x1A,0), x1A≥ 0 (x∗1B, x∗2B) (s(p),√s(p)) (0, x2B), x2B≥ 0 (x1B,20), x1B ≥ 2√5 2. 設問1の結果から、p1= 0, p2>0の場合のみ以下のワルラス均衡が存在する*4（ただしt >0）。
((p∗1, p∗2), (x∗1, x∗2)) = (
(0, t),((x1A,0), (30 − x1A,20)) )
, 0 ≤ x1A≤ 30 − 2√5 3. 設問1の結果から、需要関数は以下のように求められる。
p1>0, p2>0 p1>0, p2= 0 p1= 0, p2>0 (x∗1A, x∗2A) ( 10p1
p1+ p2
, 10p1 p1+ p2
) (10, x2A), x2A≥ 10 (x1A,0), x1A≥ 0 (x∗1B, x∗2B) (s(p),√s(p)) (0, x2B), x2B≥ 0 (x1B,20), x1B ≥ 2√5 今回は以下の3つのワルラス均衡が存在する（ただしt >0）。
((p∗∗1 , p∗∗2 ), (x∗∗1 , x∗∗2 )) =
(
(19 −√41, 1 + √41)t, ((19 −√41
2 ,
19 −√41 2 ), (
1 +√41
2 ,
21 +√41
2 )
) ) (
(t, 0),((10, x2A), (0, 20 − x2A)) )
, 10 ≤ x2A≤ 20 (
(0, t),((x1A,0), (10 − x1A,20)) )
, 0 ≤ x1A≤ 10 − 2√5
ω1A= 30の場合、ワルラス均衡のもとで消費者Aの効用は0である。他方でω1A = 10の場合、ワ ルラス均衡のもとでの消費者Aの効用は、19 −√41
2 ,10, 0のいずれかである。故に、初期保有量の減
少によって、消費者Aの間接効用の水準は引き上げられた。この背景として以下の原因が考えられる。 ω1A= 30のときは、p1>0, p2 >0での需要曲線から明らかな様に、価格が付けられない程財1は過 剰に供給されている。これによって財1の市場価格、及び消費者Aの所得が0となる。結果として、 消費者Bが市場の全ての財2と最低限必要な量だけの財1を購入し、消費者Aは売れ残った財1のみ しか受け取れなくなってしまう。ところがω1A= 10まで初期保有量が減少した場合、財1に正の市場 価格が付けられる可能性が生まれる。これによって、消費者Aは正の所得を得て財2を購入して自ら の効用を高めうる。以上から、ω1Aの減少による財1の過剰供給の解消が、消費者Aの効用水準の上 昇を招いた。
*4交換経済におけるワルラス均衡は、全ての消費者のオファーカーブの交点として表される。今回は消費者が 2 人なのでエッジワー スボックスに、各場合の消費者 A, B のオファーカーブ及びワルラス均衡を図示することができる。
3 発展問題
3.1 厚生経済学の第 1 基本定理
1. 消費集合Xi上で定められた 消費者iの選好⪰iが 単調性 を満たす。
⇐⇒[∀xi, x′i∈ Xi with x′i≫ xi, xi≻i x′i] 2. ワルラスの法則の対偶を証明する。以下を仮定する。
F or given i∈ {1, 2...I} and (p, Wi) ∈ ℜL+1+ , p・xi< Wi
このとき、仮定から
∃x′i∈ ℜL+ s.t. x′i≫ xi and p・x′i≤ Wi
単調性よりxi ≻i x′iとなるので、xi ̸= xi(p, Wi)すなわちxi̸= x∗i となる。以上よりワルラスの法則 が示された*5。■
3. 全ての消費者iの選好が単調性を満たすため、ワルラス均衡においてp= 0は実現しえない。そこで p̸= 0を仮定し、以下の厚生経済学の第1基本定理の対偶（＊）*6を証明する。
✓ ✏
(x1, x2...xI)が(x∗1, x∗2...x∗I)をパレート支配する。=⇒ ∃l ∈ {1, 2...L} s.t. ∑ixli>∑iωli
✒ ✑
（＊）の仮定より、
{∀i ∈ {1, 2...I}, u(xi) ≥ u(x∗i)
∃i ∈ {1, 2...I}, u(xi) > u(x∗i) (5) 全ての消費者の選好が単調性を満たすので、ワルラスの法則より(5)式は下の(6)式と同値である。
{∀i ∈ {1, 2...I}, p・xi≥ p・x∗i = Wi
∃i ∈ {1, 2...I}, p・xi> p・x∗i = Wi
(6)
(6)式から
p・( ∑
i
xi) =∑
i
p・xi>∑
i
Wi= p・( ∑
i
ωi
)
∴p・( ∑
i
xi−∑
i
ωi) > 0 (7)
p∈ ℜL+かつp̸= 0であるので、(7)式から以下が導き出される。
∃l ∈ {1, 2...L} s.t. ∑
i
xli>∑
i
ωli
以上より、厚生経済学の第1基本定理が証明された。■
*5厳密な議論をするためには、p・xi> Wiの場合も考える必要がある。しかしながら、この xiはそもそも予算集合に含まれない ため、xi̸= x∗i となることは自明である。
*6（＊）の結果は、「(x1, x2...xI)が実現不可能な資源配分である」ことを意味する。
3.2 ワルラス均衡の存在定理
1. N2の証明
消費者iを固定して、α >0とp∈ ℜL+を任意にとる。このとき、以下の2つの効用最大化問題は同値 である。
M axxiu(xi) s.t. p・xi≤ p・ωi= Wi
M axxiu(xi) s.t. (αp)・xi≤ (αp)・ωi = αWi
これよりxi(αp, αWi) = xi(p, Wi)が成り立つ*7。故に、
z(αp) =∑
i
(xi(αp, αWi) − ωi) =∑
i
(xi(p, Wi) − ωi) = z(p)■
N3の証明
価格ベクトルp∈ ℜL+を任意にとる。このとき全ての消費者iの選好が単調性を満たすので、ワルラス の法則から
p・z(p) =∑
i
(p・xi(p, Wi) − p・ωi) =∑
i
(Wi− p・ωi) = 0■
2. 任意のp∈ ℜL+に対して、z(p′) = z(∑p
lpl
)とおく。このとき、明らかにp′ ∈ ∆である。またN2よ りz(p) = z(p′)が成り立つ。以上からzの定義域を∆に変更しても一般性を失うことがない。■
3. 証明を完成させると、次のページの通りとなる。なお、後の講義で扱われるナッシュ均衡についても、 その存在定理は、当設問の解答と同様にして証明される。歴史的には、ブラウワーの不動点定理を用い たナッシュ均衡の存在定理が1951年に紹介され*8、その3年後の1954年にアロー・ドブリューらに よって（凸環境下での）ワルラス均衡の存在定理が紹介された*9。
*7この関係式は、「需要関数が価格ベクトルと所得に関して 0 次同次である」ことを示している。
*8 John Nash (1951) “Non-Cooperative Games” The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 54( 2), pp. 286-295.
*9Kenneth J. Arrow and Gerard Debreu (1954) “Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy” Economet- rica, Vol. 22(3), pp. 265-290.
babababababababababababababababababababab
【証明】
超過需要関数を用いると、存在定理は以下の命題と同値である。当証明では、以下の命題が真であ ることを示す。
✓ ✏
超過需要関数z: ℜL+ → ℜLがN2とN3、そしてA4を満たすとき、∃p∗∈ ℜL+ s.t. z(p∗) ≤ 0
✒ ✑
命題の仮定より、価格ベクトルの集合を∆ = {p ∈ ℜL+ p1+ p2+ ... + pL= 1}としても一般性を失 わない（＊）。この∆は明らかに非空かつ凸かつコンパクトである。ここで、各p∈ ∆に対して以 下の関数φl: ∆ → ℜを定義する。
φl(p) = pl+ M ax{0, zl(p)}
1 +∑lM ax{0, zl(p)} (l = 1, 2...L)
ここでφ(p) = (φ1(p), φ2(p)...φL(p)) ∈ ℜL とおくと、任意のp∈ ∆に関して、φl(p) ≥ 0かつ
∑
lφl(p) = 1が満たされることから、φ(p) ∈ ∆となる。すなわち、φは∆から∆への関数である。 さらにA4からφは連続関数である。故にブラウワーの不動点定理より、
∃p∗∈ ∆ s.t. φ(p∗) = p∗ N3よりp∗・z(p∗) = 0であり、不動点定理から
0 = φ(p∗)・z(p∗)
=∑
k
p∗kzk(p∗) + M ax{0, zk(p∗)}zk(p∗) 1 +∑lM ax{0, zl(p∗)}
=
∑
zk(p∗)≥0(zk(p∗)
)2
1 +∑lM ax{0, zl(p∗)} (∵ N 3)
∴zk(p∗) ≥ 0 =⇒ zk(p∗) = 0
∴zl(p∗) ≤ 0, ∀l ∈ {1, 2...L}■
