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全文

(1)

ゲーム理論

Lecture 2:ナッシュ均衡

(2)

イントロダクション



テキスト

 天谷研一『図解で学ぶゲーム理論』



第一回:戦略的状況とゲーム理論

 テキスト1~2章



第二回:ナッシュ均衡

 テキスト2~3章



第三回:より複雑なゲーム

 テキスト3章



第四回:ゲームを後ろから解く

(3)

コーディネーションゲーム:利得表



共同作業のために新しいパソコンを購入する

 相手と異なるOSでは全く意味がないとする

 (Mac, Mac)の方が(Win, Win)よりも2人にとってベター

プレイヤー

プレイヤー プレイヤー

プレイヤー

2

プレイヤー

プレイヤー プレイヤー

プレイヤー

1

Windows Mac

Windows 1

1

0 0

Mac 0

0

2 2

(4)

コーディネーションゲーム:分析1



最適戦略(支配戦略)は存在しない!

 相手がMacなら自分もMac、相手がWinなら自分もWinが得

 最適な行動が相手の行動によって変化する!



個人の合理性だけからでは問題を解くことができない

 囚人のジレンマのようにはいかない

 「ナッシュ均衡」「ナッシュ均衡」の考えを使う必要がある!「ナッシュ均衡」「ナッシュ均衡」



一見するとベストな結果(Mac, Mac)が選ばれそうだが…

 まずはナッシュ均衡の定義をおさらいしよう!

(5)

ナッシュ均衡の定義



プレーヤーたちの選択した行動の組がナッシュ均衡

であるとき

1.

(すべてのプレーヤーにとって)自分一人だけが行

動を変更しても利得を上げることができない



安定的な状況をうまく描写できる

2.

プレーヤー同士がお互いの行動を正しく予想してそれ

に対して最適な行動を選択し合っている

 合理的な結果の予測として優れている



数学的には全く同じ定義でも多様な解釈ができる!

(6)

コーディネーションゲーム:分析2



このゲームには2つナッシュ均衡がある!

 (Mac, Mac)と(Win, Win)のどちらもナッシュ均衡



コーディネーションゲームのように

 (一般に)ナッシュ均衡は複数存在する場合がある

 プレイヤー全員にとってあるナッシュ均衡よりも別のナッシュ 均衡の方が望ましい場合もある



良い均衡(Mac, Mac)ではなく悪い均衡(Win, Win)が選

ばれてしまう危険性がある

「コーディネーションの失敗」

「コーディネーションの失敗」「コーディネーションの失敗」

「コーディネーションの失敗」と呼ばれる

(7)

男女の争い:利得表



妻(プレイヤー1)と夫(プレイヤー2)が休みの日にどこに

遊びに行くかをそれぞれ決定

 別々の場所に行くのは2人にとって最悪

 妻は遊園地、夫は野球観戦の方が好き

遊園地

遊園地

遊園地

遊園地 野球 野球 野球 野球

遊園地

遊園地

遊園地

遊園地

1

3

0 0

野球 野球

野球 野球

0

0

3 1

(8)

男女の争い:分析



このゲームにもナッシュ均衡が2つ!

 (遊園地、遊園地)と(野球、野球)のどちらもナッシュ均衡



今回は “良い”(“悪い”)均衡は存在しない

 状況が対称的でどちらの均衡が実現しそうか分からない



理論以外の要素ーたとえば慣習や文化、規範などーに

よってどちらのナッシュ均衡が選ばれるかが決まる

 例)レディファースト⇒(遊園地、遊園地)

 例)男社会(?)⇒(野球、野球)

(9)

タカ ―ハト・ゲーム(チキンゲーム)



交渉事に強気(タカ戦略)でのぞむか弱気(ハト戦略)でのぞ

むかをそれぞれのプレーヤーが決定

 ナッシュ均衡は非対称な行動の組:(ハト、タカ)と(タカ、ハト)

 現実に、ハト戦略とタカ戦略のどちらも観察されることに対応

プレイヤー

プレイヤー プレイヤー

プレイヤー

2

プレイヤー

プレイヤー

プレイヤー

プレイヤー

1

ハト

ハト

ハト

ハト タカ タカ タカ タカ

ハト

ハト

ハト

ハト

2

2

3 0

タカ

タカ

タカ

タカ

0

3

-1 -1

(10)

ストーリーとしてのナッシュ均衡



なぜ/どのようにしてナッシュ均衡は実現するのか?

 少なくとも次の4つのストーリー(理由)が考えられる

1.

合理的な推論によって導かれる

2.

(理論以外の理由で)結果がそもそも目立つ

3.

話し合いの結果

4.

時間を通じた調整(試行錯誤)



状況に応じて、どのストーリーがよくあてはまりそうかは

違ってくる

(11)

1. 合理的な推論



個々のプレーヤーの合理性だけで解けるゲームもある

 合理性:自分にとってより高い利得をもたらす行動を選ぶ

 最適戦略(支配戦略)がある場合:例)囚人のジレンマ



すべてのプレーヤーに支配戦略が無いゲームでも解け

る場合がある

 「支配される戦略の逐次消去」(後述)



(お互いの行動に関する)「正しい予想の共有+合理性」

によってナッシュ均衡は実現する!

 いかにして正しい予想が形成されるかが重要…

(12)

2. 目立つ均衡(フォーカル・ポイント)



個々人の推測だけから正しい予想が共有されることも!



実験)都内の地下鉄の駅を一つを選んで駅名を紙に書く

 一番多い答えを書いていれば勝ち(利得が1)

 それ以外は負け(利得は0)

 周りのプレーヤーが書きそうな駅名をうまく予想するのがミソ

⇒どんな駅名が“目立つ”のかを考えよう!



潜在的なナッシュ均衡は駅名の数だけ存在する

 しかし、状況によって非常に目立つ均衡がある場合も

(13)

3. 自発的に守られる口約束



ナッシュ均衡は、ゲームの外部で罰則や報酬がいっさい

与えられない状況でも口約束によって達成できる

 相手が口約束にしたがって(ナッシュ均衡の)行動をとるので あれば、自分にとっても約束した(ナッシュ均衡の)行動を選 ぶのが最適!⇒合意が“自己拘束的”



ナッシュ均衡ではない結果は達成不可能

 口約束の結果がナッシュ均衡ではないので、少なくとも一人 は約束をやぶって他の行動をとることで得できる人がいる



ナッシュ均衡=「自己拘束的な合意」

(14)

4. 試行錯誤の結果



繰り返しゲームを行い経験を積むことで予想を共有



コーディネーションゲームの例

 エスカレーター(左側と右側どちらに並ぶか)

 ビデオテープ規格(VHS vs. ベータ)

 キーボード配列(QWERTY型 vs. DVORAK型)



ゲームが行われる初期の段階でどのような行動がとら

れたか、という“歴史”が均衡を決定する上で重要

 ポール・デイヴィットが提唱⇒「経路依存性」「経路依存性」「経路依存性」「経路依存性」

(15)

合理的なプレーヤーの行動



合理的なプレーヤーは

 支配戦略があれば常にそれを選択する

 強く支配される戦略は絶対にとらない



戦略Aが戦略Bに強く支配される

 相手がどんな行動をとってきたとしても、自分が戦略Aを選ん だ場合の利得が戦略Bを選んだときの利得よりも常に大きい



戦略Aが戦略Bに弱く支配される

 相手がどんな行動をとってきたとしても、自分が戦略Aを選ん だ場合の利得が必ず戦略Bを選んだときの利得以上になる

(16)

合理的な豚:利得表



大豚(プレイヤー1)と子豚(プレイヤー2)が同じオリの中

でエサをまっている

 エサ箱のスイッチを押すか待つかをそれぞれ決定

 エサは5単位、スイッチを押すのに1だけコストがかかる

子豚

子豚

子豚

子豚

大豚

大豚

大豚

大豚

スイッチ押す

スイッチ押す

スイッチ押す

スイッチ押す 待つ 待つ 待つ 待つ

スイッチ押す

スイッチ押す

スイッチ押す

スイッチ押す

-1

4

3 1

待つ 待つ

待つ 待つ

-1 0

(17)

合理的な豚:分析



子豚には最適戦略(支配戦略)が存在する!

 大豚の行動によらず「待つ」のが常に最適

 子豚が合理的ならば絶対にスイッチを押さない

 子豚の「スイッチを押す」は可能性から消去される



大豚は子豚が「待つ」を選ぶので「スイッチを押す」

 子豚の行動を織り込んでしぶしぶスイッチを押す羽目に…



(スイッチを押す、待つ)が実現される

 これがこのゲームの唯一のナッシュ均衡

合理的な推論からナッシュ均衡が導かれた!

(18)

合理的な推論で解ける例:利得表



どのようにして答えを導くことができるだろうか?

 プレイヤーたちの合理性だけからゲームは解いてみよう! 2

1

左 左

真ん中真ん中真ん中真ん中

右 右 右 右

0

1

2 1

1 0

下 下

下 下

3

0

1 0

0 2

(19)

支配される戦略の逐次消去



強く支配される戦略はとられないことに注目!

1. プレイヤー2の「右」は「真ん中」に強く支配される

 プレイヤー2の「真ん中」を消去

2. プレイヤー1の「下」は「上」に強く支配される

 プレイヤー1の「下」を消去

3. プレイヤー2の「左」は「真ん中」に強く支配される

 プレイヤー2の「左」を消去

4. (上、真ん中)のみが逐次消去によって生き残る!



この結果(上、真ん中)は唯一のナッシュ均衡に一致



一見すると複雑なゲームでも合理的な推論から解けた!



逐次消去で残った行動の組にナッシュ均衡は含まれる?

(20)

合理的な推論とナッシュ均衡の関係



自分が合理的なだけでなく、相手が合理的なこともお互

いに知り合っていないと消去が進まない点に注意



支配される戦略の逐次消去は多くの場合不十分

 消去のプロセスが途中で(場合によっては最初から)止まる

 理論的な結果(の予測)をあまり絞ることができない



ナッシュ均衡の概念の方がより“強い”

 逐次消去の途中でナッシュ均衡においてとられる行動が消去 されることは絶対にない!

 もしも逐次消去で唯一の行動の組が生き残った場合には、そ れは必ずナッシュ均衡になっている!

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参照

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