林『ミクロ経済学 増補版』へのコメント
三原麗珠 (H. Reiju Mihara)
∗香川大学図書館
2014 年 1 月 17 日
林貴志『ミクロ経済学 増補版』(2013,ミネルヴァ書房)への補足や訂正などを以下に列挙する．これらの コメントは初版第1刷(2013年9月25日)にたいするものである．それより新しい「刷」では誤りは修正さ れていることがある．
第 3 章 選好
• 29頁14行目．x ! yは通常は「x ! yであってy ! x でないこと」と定義される．関係!が30頁で 定義する完備性を満たせば，これは「y ! x でないこと」と同値である．
• (蛇足) 30–31頁，例3.1と例3.2. 2重人格と3重人格の例は本物の解離性同一性障害をイメージしな い方がいい．たとえば例 3.1ではS氏がxをy以上に好むかどうかは，そのペアにたいする2つの人 格S1とS2の選好が一致するかどうかで決まるとある．しかしそれが可能なためにはS1とS2をより 高位なレベルで統合するような人格が存在するはずであり(じっさい「統合的人格」と書いてある)，そ のような統合ができないことこそが，(おそらく)解離性同一性障害のポイントだから．
• 30頁下から7行目．推移性が要求することは文字通りであり，選択肢が順序づけられることを表現し ていると捉えることができる．一方，!が有限個選択肢間で循環しないような選好!は「非循環性」を 満たすと言われ，選好!の推移性は非循環性を含意する．
• (練習問題) 31頁7行目．!が推移性を満たすとき，x ! yかつy ! zかつz ! xとならないことをし めせ．ただし!は29頁14行目へのコメントにあるように定義する．
第 30 章 選好の集計と社会的選択
• 450頁，例30.2. x, y, z を点とし，xがyに多数決で勝つときx → yと矢印を描く有向グラフをイ メージするとよい．
• 例30.3. 個人A, B, C が他人の選好を知って先読みする可能性は排除している．このような投票行動
は「正直投票」(sincere voting)とも呼ばれる．
• 453頁，最終段落．「独立性は言い換えれば，「社会的選好を構成するに当たり考慮されるのは個人の序
数的選好のみであり，基数的効用情報は排除される」という要請に当たる」という主張は専門家によっ てもしばしば行われるが，私の理解に反する．私の理解では，「選好集計ルール」そのものが定義(460
∗http://www5.atwiki.jp/reiju/(リンク)
頁)によって序数的選好のみをインプットとして要求するため，独立性を要求するまでもなく「考慮さ れるのは個人の序数的選好のみであり，基数的効用情報は排除される」という要請を満たす．ボルダ ルールも選好集計ルールの定義に該当するため，当然その要請は満たすことになる．
(異なる選択肢にたいする無差別を排除すれば) ボルダルールのインプットとして各人iが表明する のは選好 !iともみなせるし，最善のものから最悪のものまで選択肢を列挙したリストともみなせ るし，選択肢の個数分の値を取る効用関数ともみなせる．以下，最後の見方をして各人 iが表明し ているのが効用関数Ui であると考えれば，たしかにボルダルールは451頁の意味での社会厚生関数 W (U1(x), . . . , Un(x))にも該当するし，しかも異なる個人の効用を足すといった「基数的」操作を行っ ているため基数的効用情報が考慮されているように見えるかもしれない．しかし各人が表明する効用関 数Uiがそれによって導かれる序数的選好の持つ情報を越える情報を持てるためには，同じ選好に複数 の効用関数が対応し，それらの効用関数のなかからどれかを各人が選んで表明できるような自由度がな ければならない．そのような自由度を実現するためには，効用関数の取りうる値を選択肢の数より多く 用意しておかなければならないのは明らかだろう．ボルダルールでは選好が決まれば効用関数は一意に 決まるので，そのような自由度はない．
ボルダルールが満たさないのは，あくまで選好集計ルールに対する追加的条件である独立性である．そ してボルダルールが独立性を満たさないのは，各選択肢の点数を決めるときに，それが選択肢全体の集 合X に依存するように決めるためである．たとえばx, y の順序は，X の他の要素であるzやuも考 慮した上で決定する．個人の選好でxがyよりどれだけ好ましいかを，x, yの間にどれだけ選択肢が あるかで表現していることになるが，これは序数的選好の枠内でできる．少なくとも選択肢の全体集合 が固定されていれば問題なくできる．つまり全体集合が何であるかが重要であり，それを無視して特定 の選択肢ペアの順序を決めるようにはなっていないのだ．かりに x, y の順序を決めるとき，全体集合
が{x, y}であるとみなした上でボルダルールを適用できるのであれば，452頁の例でも453頁の例で
も考慮すべきは453頁の2番目の表になるため，xの得点4，yの得点5と決まり，両ページの例でち がいはない．ボルダルールではx, y の順序も，それら以外の選択肢をある意味積極的に考慮すること にによって決まるようになっているからこそ，独立性を破るのである．
• 455頁，定理30.1．通常アローの定理においては，個人の数は2人以上とされる．1人でも成り立つけ
れど，そのケースはあまり意味がない．結論の「独裁制」は「誰か固定された1人の選好に常に従う」 とあるが，「ただしその1人が無差別である場合を除く」とでも追記した方がより正確．この件は定理 30.5へのコメントで再び取り上げる．
• 455頁4行目．「上の要請を満たす民主的な」
• 456頁，定理30.3. ３番目の条件は通常“faithfulness” (忠実性?) と呼ばれる．異なる2つの選好プロ ファイル (選好の組合せ)を比較する条件ではないので「単調性」とは呼ばない方がいいだろう．
• 460頁13行目．選好の組合せは通常「(選好)プロファイル」(profile) と呼ばれる．
• 460頁下から5行目．xはyより望ましいと読み．
• 461頁4行目．「任意の!= (!1, . . . , !n) ∈ Dnについて，R(!)は完備性と」
「順序性」は集計ルールRの定義にふくまれている．これは新しい要件というよりは，すでに仮定して あることの再確認である．
• 461頁，独立性．前提条件を「全てのi = 1,. . . , nについて(x !i y ⇐⇒ x !′i y) & (y !i x ⇐⇒
y !′ix)」とした方がいい．この条件は (選好!iと!′iが完備性を満たすとき)
∀i [!i∩{x, y}2= !′i∩{x, y}2]
とも書け，三原の講義では“! and !′ agree on {x, y}” と読むことにする．
前提条件を「全てのi = 1,. . . , nについてx !iy ⇐⇒ x !′i y」だけにしても間違いではないが，独 立性の要求が不必要に強くなる．たとえば10人の個人がいて最初の6人がxをyより好み，残り4人 が yをxより好むプロファイル!で集計選好が xP (!)yになる場合もとの独立性の定義にしたがう と，最初の6人がxとyに無差別で，残り4人がyをxより好むプロファイル!′でxR(!′)yとなる
ため，yP (!′)xとなる可能性は排除される．一方，修正された独立性の定義にしたがうと，!と!′の
組は前提条件をみたさないため，yP (!′)xとなる可能性は排除されない．なお，上記の修正を施したば あい証明も修正する必要があるが，後述のように微修正に留まる．
• 461頁，定理30.5 (アローの定理)．前出のとおり2人以上としてよい．より重要なのは結論部で，
「x !iy =⇒ xP (!)y」しか言えないことに注意．つまり独裁者iがxとyに無差別であったとき，集 計選好がxとyに無差別になるとは限らない．このセクションで証明されているのはこの修正された 結論である．
• 461頁，定義30.1. ある集団Gがxをy の上に置く半決定権を持つとき，三原の講義では“G is
semidecisive for x over y”あるいはより簡単に“G is semidecisive for (x, y)”と言うことにする．「決 定権を持つ」(decisive) についても同様．Gがxをyの上に置く決定権を持つとき，定義によりGが xをyの上に置く半決定権を持つことに注意．
• 462頁最初．アローの定理の証明の概要をここで述べておく．最初に field expansion lemma とか
contagion lemma などと呼ばれる補題30.3で，決定権が「伝染する」こと，つまり「なんらかのペア
(x, y)にたいする半決定権を持つ集団は，じつは任意のペア(v, w)にたいする決定権を持つ」ことをし
めす．次にgroup-contraction lemma とも呼ばれる464頁の議論で，決定権を持つ集団が「縮小する」 こと，つまり「2人以上からなる集団があるペアにたいして半決定権を持つならば，その集団は何らか のペアにたいする半決定権を持つより小さな集団をふくむ」ことをしめす．
なお，補題30.1と補題30.2は補題30.3の特殊ケースであることに注意．補題30.1は補題30.3で v = xとしたケースに該当し，補題30.2は補題30.3でv = yとしたケースに該当する．補題30.1と
補題30.2はx, y, z を点とするグラフで視覚化すると見通しがよくなるはずである．たとえば前者はx
からyに(半決定権を表す)破線の矢印が向かうならば，xからzに(決定権を表す)実線の矢印が向か うことと表現できる．
• 462頁，補題30.1の証明．最初の文は「ある集団Gがxをyの上に置く半決定権を持つとする．Gが xをzの上に置く決定権を持つことをしめすため，全てのi ∈ Gについて . . .」とした方が見通しがい いだろう．導きたい結論はその証明の3段落目の最後にあるxP (!)zである．
次に，「z (= x, y」という表記は分かりにくいので「x, yいずれとも異なるz」とか「z /∈{x, y}」とし たい．これと同様な表記は後にも登場するが，いちいち指摘しない．
また，唐突に!′ が登場するのは分かりにくいだろう．選好プロファイル!がx, zにたいして持つ関 係をそのまま保つような別のプロファイル!′を導入するのがポイントなので，!′の性質を2つ列挙す る直前に「すべてのiについて (x !′i z ⇐⇒ x !i z) & (z !′i x ⇐⇒ z !i x)」(!′ and ! agree
on {x, z})という条件を置いた方がいいだろう．そのような!′を取ることが出来る理由 (3段落目に
ある)は，!′を導入した直後に述べるといい．
• 462–3頁，補題30.2の証明．補題30.1の証明にたいするコメントと同様．
「全ての j /∈Gについて z !′j x, y !′jx」でz !′jxは仮定しなくても証明は通る模様．
最後の文にある「前補題をx = y, y = z, z = xとして適用すれば」は，「前補題で(x, y, z)を(y, z, x) で置き換えれば」と言い直した方が分かりやすいだろう．この文の主張自体は，補題30.1を表現した グラフで理解すると分かりやすい．
• 463頁，補題30.3の証明．冒頭部を「v = xおよびv = yのケースは既に証明されている．ここで
v /∈{x, y}とすると」とする．
• 464頁．ここでλ(x, y)とかλを導入する必要はない．以下のように始めて3段落目に飛べば十分だろ
う．「選択肢ペア(x, y)を固定する．パレート原理より，社会全体は xをyの上に置く半決定権を持 つ．xをyの上に置く半決定権を持つ集団で最小サイズのものをGとする．Gが一個人のみから成り 立つばあい，(その個人が独裁者となるため)証明終了である．よってGが2人以上の個人からなると する．」
「全てのk /∈Gについて」の条件は該当者がいなくても構わないことに注意．社会全体に個人が2人だ けいてもこの証明は成立する．
(練習問題)最終段落で「G \ {i}がzをyの上に置く半決定権を持つ」と言える理由を述べよ．(iがx をzの上に置く半決定権を持つことも同様に示せる．)
第 31 章 社会的選択の遂行可能性
• 466頁6行目．「. . .メッセージと書」
• 466頁から．31章での目標が31.2節でギバード=サタースウェイトの定理を理解することならば，定
義31.2, 31.3, 31.4および定理31.1は省略可能．
• 467頁，定義31.3．通常は「任意のiと任意の!iと任意のsi∈Siと任意のs−i∈S−iに対して」と した上で，最後の数式を「g(σi∗(!i), s−i) !i g(si, s−i)」とする．次ページに従えば3ヶ所現れるσを σ∗に置き換えるのが著者の意図のようだが，σi∗が支配戦略といえるためにはσ∗−iが全射であることが 必要ではないか．
• 467頁．定義31.5. f がこの条件を満たすことを「f が耐戦略性を満たす(strategyproof)」「fが戦略 的操作不能である」とも言う．
• 468頁．定理31.1の証明．定義31.3に上記の修正を加えたばあい，この証明の最初の式だけの行は修
正する必要がある．あとはそのままで問題ない．
• 469頁，定理31.2. 最後の式はf (!) !i xになる．ところで Gibbard は「ギバード」と発音するん じゃないのかなあ. . .．
• 471頁，定義31.8．「集合N E(!, Γ)が存在して」は「集合N E(!, Γ)が非空となり」が正しい．
• 471頁，定義31.9．ここで定義した単調性はナッシュ均衡による遂行の文脈においては「マスキン単調
性」とも呼ばれる．
• 471頁下から3行目．「このとき，もしx /∈P (!′)ならば，あるyが存在して全ての. . .」とした方が分 かりやすいだろう．
• 473頁ケース1直前に「x ∈ g(N E(!, Γ))とするとx = g(s)となるようなナッシュ均衡sが存在す る」と入れた方が分かりやすい．ケース1の2行目は「任意のiとx !′iyとなるような帰結y」とす
る．ケース1の下から２行目は「だが仮定よりx = g(s)でsはナッシュ均衡だから」とする．ケース 1, 2, 3も適宜修正する．
• 474頁．付録の冒頭に証明の概要を挿入すると分かりやすいだろう．定理31.2を証明するには，補題
31.1と補題31.6を証明すればよい．そして補題31.6でアローの定理を適用するために，補題31.2を 援用しつつ定義31.13で社会的選択関数fを選好集計ルールRfに変換している．関数Rf を決めるに は，任意のペア(x, y)とプロファイル!についてxRf(!)yかどうか，つまりxがy以上に望ましい のかどうかを決める必要がある．ところがプロファイル!をそのまま用いた場合f (!)はxもyも選 ばないかもしれず，どちらが望ましいか情報を与えてくれない．そこで各人のもとの選好におけるx, y の順序を保ちつつそれらを上位2位以内に押し上げたような選好からなるプロファイル!′を作り，そ れにf を適用することにする．結果としてはxまたはyのいずれかが選ばれるはずであるが，たとえ ば結果がf (!′) = xであれば，xがy以上に望ましいとみなす．このように定義した関数Rf がアロー の定理の条件を満たすことを補題31.3, 31.4, 31.5でしめして独裁者の存在を導き，あとはその独裁者 にとっての最大元を fが選ぶことをしめすことになる．
• 474頁，定義31.11. f (!) = xと書いた上で定義31.9の流儀で書き直した方が分かりやすいだろう． この定義の中に現れる「あらゆるiとy ∈ Xについてx !iy =⇒ x !′i y」という条件(ただしそこで
はx = f (!))は，プロファイルが!から!′に変わっても，各個人の選好でxのポジションが下がら
ない(x以下だった選択肢が変化後の選好でxより上に来ることはない)ことを意味する．三原の講義 ではこの条件が満たされることを“!′ maintainsx’s position in !”と言うことにする．
• 475頁6行目．「このとき，!′1∈P より」
• (練習問題) 475頁8行目．f (!′1, !2′, !3, . . . , !n) = f (!1, . . . , !n)となることをしめせ．
• 475頁9行目．「以下同様のことを繰り返すとf (!′) = f (!)なる結論を得，f が単調であることが示 せる．」
• 475頁，定義31.12. !′が!のX′-優先化であるとき，三原の講義では“!′ takes X′ to the top from
!”と言い，!′∈TopX′(!)と書くことにする．
(練習問題) !′∈TopX′(!)がX \ X′上でも!と一致するとき，!′を!のX′-狭義優先化と呼ぶこと にする．これ以降の証明で「優先化」を「狭義優先化」にすべて置き換えた場合，補題31.2は不要にな る(プロファイル!のX′-狭義優先化となるプロファイルは一意に決まるため)が，それ以外の部分で はどのような不都合が起きるか．
• 475頁，補題31.2の証明．３ヶ所で!′i あるいは!′′i のサブスクリプトが抜けている．３行目の「それ はもし X′」は「それはX′」とする．
• 475頁，定義3.13. この段階ではRf の値は2項関係であることしか分かっていない．Rf がじっさい に選好集計ルールとなることは補題31.3で初めて分かる．
• 476頁，補題31.3. ２行目は「異なる選択肢の間で無差別にはならない」
• 476頁，完備性．2行目最後はyRf(!)x
• 476頁，強選好．xとy が異なるとき，補題31.2より異なる!′, !′′∈Top{x,y}(!)についてx = f (!′) かつy = f (!′′)となることはありえないので，xRf(!)yとyRf(!)xの両方は成り立たない．
• 476頁，推移性．「任意の!とx, y, zについて，xRf(!)y . . .とする」は誤解しやすいので，「!とx, y, zを任意に選び，xRf(!)y . . .とする」あるいは単に「xRf(!)y . . .とする」と書いた方がよい．(同 様の指摘は複数文にかかっている他の「任意の. . .について，」にも該当する．)そして「一般性を失う
ことなくx, y, z は異なる選択肢とみなせる」と続けるといい．
この証明の第2段落以降は誤りがある．たとえば {x, y, z}-優先化である!′′は一般には(好ましい順 に) zyx . . .といった選好を含みうるため，{x, y}-優先化や{x, z}-優先化にならないためである． (練習問題)この証明の第2段落以降を修正せよ．
• 476頁，補題31.4の証明2行目．「弱パレート性よりf (!′) = xだから」
• 477頁，補題31.6の証明2行目．「!i∗ の最大元をx」
• 477頁，補題31.6の証明4–5行目．「. . .を取ればf (!)は「∀i∀v(f (!) !iv =⇒ f (!) !′i v)」を満た すから，単調性によりf (!′) = f (!)となる．したがってRf の定義からf (!)Rf(!)xとなり，矛盾 が得られる．」
