資料置場 コマの物理から素粒子のスピン

剛体の力学

コマはなぜ倒れないのか?

https://sites.google.com/site/komaspin/

色々なコマ

コマの特徴

・ 歳差運動をする

・ 自立する 極端なものは　『眠りコマ』　としてしられている

・ 起き上がるものもあるし、不思議な動きをするものもある

回転体の力学を考える上では　『地球ゴマ』　が最適

コマは　『枠』　の中に設置。コマの回転軸と、床などが直接接しない。

コマの運動：　歳差運動

軸と床の間の摩擦を考えない場合

地球ゴマ・ジャイロ等

固定点

z

x

y

I

=I

= I  I

コマには　『安定な回転軸』　があり、

外力によるモーメントが定常的に 0 である場合、 瞬間的にわずかなモーメントが作用しても、

回転軸は若干回転軸まわりに振動するのみで『安定』。 重力

コマを水平な床の上に置く場合、

コマの軸が鉛直方向を向いていれば、

重力によるモーメントは０であり、回転軸は一定。

軸が傾いている場合、床との接点（固定点）まわりの モーメントが発生する。

その場合の　剛体の運動を考える。

コマの運動

剛体中に『安定な回転軸』があるとはどういうことだろうか？

x

y

z _{ }

剛体に慣性主軸がある場合（必ずあるわけですが）、 その剛体の角速度ベクトル ω が安定であるとは 外力によるモーメントがない場合に

d ^ 

dt ⁼⁰

剛体に固定された系（慣性主軸）から見て、

角速度ベクトルが時間的に変化しないということ。

『安定な回転軸』のもつ条件を考える

コマの歳差運動は、重力によるモーメントが働く

・　　自由落下するコマ

・　　直立しているコマ

等の回転軸に関する考察に相当する

地球ゴマ：　横に倒した時の動き

固定点

z

x y

地球ゴマの回転軸を水平に倒した時の回転軸の動き を考える。

回転軸の一端が固定されている場合

・　糸で吊り下げられている

・　棒の上に固定

重力によるモーメントがコマに作用する。

ジャイロの動き

d L

dt ^{=  N}

e

_N ^

l

M _g



d  L=  N dt

d L= N dt ^{d }

L

d 

dt ⁼

∣d  L∣

∣ L∣ ⁼

∣  N∣

∣L∣

N  _{=l M e}

_×g

N 

外力による角運動量の変化は

重力による固定点に対するモーメント 微少時間での角運動量変化量は

円板が非常に高速で回転　軸のと角運動量の向きが同じ

_{ L =I   e}

r

モーメントと角運動量が直交　　→　角運動量は大きさを変えず、円運動

角運動量の回転の　『角速度』　は

『ジャイロスコープ効果』

数値計算

こまの軸の直径 _{4.5 mm}

　　円周は π×4.5 mm ~ 14 mm こまを回すのにつかった紐の長さ _{約 60cm}

紐を引くと軸は 600 / 14 = 42.9 回転 紐を引くのにかかる時間 _～　1秒

軸の角速度 42.9 × 2π / 1 秒 ~ 270 radian/s

円板の直径 _{5.4 cm}

軸の長さ _{4.5 cm}

支点から重心までは _{～ 3 cm}

歳差運動の周期 _{3秒くらい}

歳差運動の角速度 2π/4 = 2 radian/s

= ˙ ^{d }

dt ⁼

∣d  L∣

∣ L∣ ⁼

∣  N∣

∣L∣ ⁼

l M g

I 

I = ^{l M g}

 ˙ ⁼

3.0 _cm ×80 g×980 cm s

2 _s

_{×270 s}

^{=435 g cm}

2

コマ 直径 枠 合計

大 _{60.1 g 5.5 cm 18.8 g 78.9 g}

小 _{26.6 g 4.0 cm 9.9 g 36.5 g}

コマ 直径 枠 合計

大 _{60.1 g 5.5 cm 18.8 g 78.9 g} 小 _{26.6 g 4.0 cm 9.9 g 36.5 g}

地球ゴマの質量・サイズ

コマ 直径 枠 合計

大 _{60.1 g 5.5 cm 18.8 g 78.9 g} 小 _{26.6 g 4.0 cm 9.9 g 36.5 g}

ほとんどが円板のの質量だと仮定すると、 コマの軸周りの慣性モーメントは

大 60 g × (2.8 cm)² / 2 = 235 g cm² 小 26.6 g × (2.0 cm)² / 2 = 53.2 g cm² 半径 r0、質量 M の円板の慣性モーメントは

I = ¹

2 ^{M r}

2

_

L = ¹

2 ^{M r}

2

  e

剛体の回転エネルギー

T = ¹

2 ^∑

i=1 N

m

_v

_⋅v

T = ¹

2 ^∑

i=1 N

m

_{ ×r}

_ ⋅ _{ ×r}

_

T = ¹

2 ^{⋅ } _ ^∑

i=1 N

m

_r

× _{ ×r }

_{ }

=L

T = ¹

2 ^{⋅L }

剛体の力学的エネルギーは

 R

r _i ^'

r _i

K = ¹

2 ^∑

N

m

_{ ˙r}



K = ¹

2 ^∑

i =1 N

m

 ˙ R ˙ _r



K = ¹

2 ^{M ˙ R}

2

 _{ ∑}

i =1 N

m

_˙r

_ ⋅ ˙ R _∑

i=1

N

1

2 ^m

^˙r

' 2

=0

K = ¹

2 ^{M ˙ R}

2

 _∑

i=1

N

1

2 ^m

^˙r

' 2

もう少し具体的に運動を考えてみましょう

n

e

e

l

r

O

 j

e

e



j= ^e

^×n

∣ _e

_×n∣



= ˙  e

 ˙ j ˙ n

３つの軸まわりの角速度で動きを記述する

回転軸まわりの 高速回転

水平面内の 回転 上下方向への

回転



n

e

j

上から見た図 横から見た図

回転軸に沿って 見た図

慣性主軸に角速度を分解



= ˙  e

 ˙ j ˙ n

n

e

e

l

r

O

j



n=sin  e

^{cos } _ ^{cos } e

^{−sin } e

_

e

e



n

j=cos e

−sin  e



n

e

j

=  _ ˙sin  ˙cos cos _{ e}

=   _ ˙cos− ˙ cossin  _  ^e

=   _  ˙ _˙  sin  _{ } e

角速度ベクトル　→　角運動量ベクトル

=  _ ˙sin  ˙cos cos _{ e}

=   _ ˙cos− ˙ cossin  _{ } e

=   _  ˙ _˙  sin  _{ } e

回転体の慣性主軸 回転軸を z 軸

z 軸に垂直に x, y 軸 慣性乗積は 0

慣性テンソルは I_zz, I = I_xx = I_yy

 L= _I  

 L = _ ˙ sin  ˙cos cos  ^I  ^e

 L=  _ ˙cos− ˙cos sin   ^I e

 L=  _  ˙ ˙  sin  _ I

_ e

力学的エネルギーの保存

力学的エネルギー

E = ¹

2 ⋅LMgl sin  ^

回転の

運動エネルギー ^{円板の位置エネルギー} 力学的エネルギーは保存する

= _˙sin  ˙cos cos_e_x

= _˙cos − ˙ cos sin _e_y

= _ ˙˙  sin _e_z

L=_I 

L=˙ sin  ˙cos cosIe_x

L=˙cos − ˙cos sin Ie_y

L=_ ˙˙  sin _ I_zze_z

E = ¹

2 ^{   ˙ ˙  sin  }

2

I

 _  ^˙

 ˙ 

^cos

 _ I _ Mgl sin 

e_x

e_y



n



n

e_z j

n

e

e

l

r

O

j



=

^=

^

保存する

運動方程式

n

e

e

l

r

O

j



M g

N =l   e

× M g =l e

×−M g n

重力による支点まわりのモーメント

N ⊥  _e

N ⊥  _ n

とうぜんながら

N

=0

N

=0

空間に固定された系 n では

L ^˙

=N

˙L

=0

L

_=L⋅n

L

= I

_  ˙ ˙  sin  _ ^sin I ˙ cos



L=_I

L= ˙ sin  ˙cos cosI e_x

L=˙cos− ˙cos sin  Ie_y

 _{ ˙˙  sin  }

n=sin  e

n= cos cos  _e

n= −cos sin  _ e

一定

運動方程式つづき

n

e

e

l

r

O

j



M g

剛体に固定された系 _e

z ^では

オイラーの方程式

N

= I

 _˙

 I

− I

 



=0

 ˙

=0

= _˙sin  ˙cos cos_e_x

= _˙cos− ˙ cossin _e_y

= _ ˙˙  sin _e_z

_

_{=   ˙ ˙ sin  }

一定

三個の保存量

E = ¹

2 ^{   ˙ ˙  sin  }

2

I

 _ ˙

 ˙

^cos

 _ I _ Mgl sin 

L

= I

_  ˙ ˙ sin  _ ^sin I ˙ cos





= _  ˙ _˙ sin  _

初期条件 ( t = 0 )

=0

=0 ˙

e_x

e_y



n



n

e_z j

n

e

e

l

r

O

j



回転軸が水平

水平方向の回転はしていない



= _  ˙ _˙ sin  _{ = ˙t=0}

L

= I



^sin I ˙cos

=0

= ˙ ^−I

^

^{sin }

I cos



水平方向への回転

= ˙ ^{−I zz  z sin }

I cos ² 

e_x

e_y



n



n

e_z j

n

e

e

l

r

O

j



=0 ^{=0 ˙}

初期条件が

_=0

つまり回転しない

n 軸まわりの角速度は

回転軸の水平からの傾きが大 →　角速度　大 回転軸まわりの角速度大 →　角速度　大 である事が分かる

回転軸の水平に対する角度の時間的変化

E = ¹

2 ^{   ˙ ˙  sin  }

2

I

  ˙ ˙cos  

I _ Mgl sin 

時間微分

I ˙ ¨I ˙  ¨  cos

−I ˙ 

˙cos sin M g l ˙ cos=0

一定

L

= I

  ˙ ˙ sin   ^sin I ˙ cos



I ¨  cos

−2 I ˙ ˙cos  sin I



˙ cos=0

一定

I ¨=− _ M g l −I



I ˙ ^˙ 

^sin  _ ^cos 

参考資料

●

_{比較的簡単な読み物}

●

「コマの不思議」　黒須　茂　著

–

_山文社

–

ISBN-10: 4879260762

–

ISBN-13: 978-4879260765

●

演習問題として、コマの力学を解いてみたい人向け

●

「こまはなぜ倒れないか」　大槻義彦・小牧研一郎　編

–

物理学 One Point、　共立出版株式会社

–

ISBN-10: 4320033620

–

ISBN-13: 978-4320033627