統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限） Toshihide Kitakado's Website Lec3

統計学 ル

統計学 ル

門 利英 海洋生物資源学科

Lecture 3

前回 復習

基本事項

確率 公理

 ^{確率 公理}

 ^{確率 基本性質}

 ^{条件付確率 定義}

 ^{全確率 公式}

 ^{全確率 公式}

 ^{イ 定理}

例 ：ウイ 感染確率

今日 容

基本事項

確率変数 導入

 ^{確率変数 導入}

 ^{確率分布 確率変数 確率的規則性}

 ^{期待値 分散}

例

 ^{生物個体数 確率分布}

 ^{生物個体数 確率分布}

 ^St.  Petersburg paradox

確率変数 確率分布

確率変数 確率分布

確率変数 標本空間 定義

定義 確率変数

確率変数 _{(random  variable)}

確率的 カニ 変 数

標本空間 (sample space)

標本空間 _{(sample  space)}

確率変数 取 う 値 集合

確率変数 取 う 値 集合

確率変数 例

定義 確率変数

確率変数 _Y  

) ^{サイコ 振 た 出}

標本空間

1) ^{サイコ 振 た 出}

目 数

=      ₌ 

2) ^{インド洋 サンプ ン}

たキハダ ₃₀ 個体 う

ち 数

ち 数

3) ^{日本近海 サンプ ン}

た ア プ ー ョン

値 ₍ 体高÷体長

4)

5)

5)

確率変数 種類

定義 確率変数

1 ^{次元 確率変数}

• 離散型確率変数：整数や自然数 離散的 値

• 離散型確率変数：整数や自然数 離散的 値

• 連続型確率変数：数直線 値 連続的 値

前 確率変数 ち？

前 ー 確率変数 ち？

多次元 確率変数

多次元 確率変数

2 ^{以 確率変数 組 離散 連続 組 合わせも可}

例 体長 体重

例 体長 体重

群 距離 群 サイ

数 確率的変動

数 確率変動 確率変数

年目 数

数 確率変動 確率変数

0 ¹

Y _{0 }

1 ^{{1, 2}}

Y _

( 1) 0 5

P Y ( ₁ 1) 0.5

( 2) 0 5

P Y

P Y

 

 

( 1 2) 0.5

P Y _{ }

年目 数

数 確率変動 確率変数

0 ¹

Y _

1 ^{{1, 2}}

{1 2 3 4}

Y

Y





2 {1, 2, 3, 4}

Y _

( 1| 1) 0 5

P Y ₂ Y _{1 P Y ( 1| Y 2) 0}

2 1

( 1| 1) 0.5

( 2 | 1) 0.5

P Y Y

P Y Y

  

   ² ₂ ¹ ₁

( 1| 2) 0

( 2 | 2) 0.25

P Y Y

P Y Y

  

  

2 1

( 3 | 1) 0

( 4 | 1) 0

P Y Y

P Y Y

  

   ^{2 1}

( 3 | 2) 0.50

( 4 | 2) 0 25

P Y Y

P Y Y

  

  

2 1

( 4 | 1) 0

P Y _ Y _{ }

2 1

( 4 | 2) 0.25

P Y _ Y _{ }

全確率 定義 ₍ 復習 ₎

数 確率変動 確率変数

年目 数

数 確率変動 確率変数

2 {1, 2, 3, 4}

Y _

2 1 2 1 1 2 1

( 1) ( 1) ( 1| 1) ( 2) ( 1| 2) 0.25

P Y _{ } P Y _ P Y _ Y _{ } P Y _ P Y _ Y _{ }

( 2 2)

P Y ( _{2  } 2)

P Y

( 2 3)

P Y _{ }

( 2 4)

P Y _{ }

確率分布

定義 確率分布

確率分布

確率変数 う 値 対 確率的規則性 表 たも

例

サイコロ

確率 _{1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6}

( ) 1/ 6 ( 1, 2,..., 6)

P Y ( _{ } i ) 1/ 6 ( i _ 1, 2,..., 6)

P Y i i

年目 数 確率分布

数 確率変動 確率変数

( 2 1) 0.25

P Y _{ } ^{2 年目の}

メスの数

( 2 2)

P Y _{ }

メスの数

確率

( 2 3)

P Y _{ }

( 2 4)

P Y _{ }

barplot(c(0.25,  0.375, 0.25, 0.125), names.arg=c(1,2,3,4), 

 number of female individuals", ylab="Probability", col="orange")

確率変数 期待値

確率変数 期待値

期待値

定義 期待値

( ^例 )

確率 ％ 万 当た ％ 当た 宝く

確率 ₂₀ ％ ₁ 万 当た ， ₈₀ ％ ₁₀₀₀ 当た 宝く

あ ．こ 宝く 買 た あた 期待

値 いく ？

値 いく ？

こ 簡単

0 2 ^× 10000 + 0 8 ^× 1000 = 2800

0.2   ^× 10000  _+ 0.8  ^× 1000    ₂₈₀₀

( ^例 ) ^{サイコ 振 た 目 期待値 ？}

( ^例 ) ^{サイコ 振 た 目 期待値 ？}

期待値 定義 ₍ 離散型確率変数 場合 ₎

定義 期待値

一般 ，離散型確率変数 _Y   対

標本空間

確率分布

1 2

{ , y y , _ }

( ) ( 1 2 )

P Y _ y i _

確率分布

与え い ， _Y 期待値 以 与え

( _i ) ( 1, 2,...)

P Y _ y i _

1 1 2 2

[ ] ( ) ( )

E Y [ ] _{ } y y P Y ₁ ( _ y y ₁ ) _{ } y y ₂ P Y ( _ y y ₂ ) _{ }

 _{ }  

1 ^{年目， 年目 数 期待値}

数 期待値 期待値

[ ] 1

E Y [ ] _{1 }

[ ] 2

E Y _

期待値 パ ドッ

St. Petersburg 期待値

皆さ ，こ う 賭け た ，

いく 参加費 出せ ？

いく 参加費 出せ ？

期待値 パ ドッ

St. Petersburg 期待値

1 ^{ } ₁

( 1) 1

P Y _{ } 2

  2

1 1

[2 ] 2 ( ) 2 1

2

Y i i

i

i i

E P Y i

 

 _    _   

2

2

1 1

( 2)

2 2

P Y _{ } ^{ } _{  }

 

1 1

( )

i

P Y _{ } i ^{ } _{  }

・ ・ ・

( )

2 2 ⁱ

P Y i _{ }

 

・ ・ ・

次回 _(5/8) 予定

基本事項

確率変数 特性値 期待値 分散 標準偏差 ₎

 ^{確率変数 特性値} 期待値，分散，標準偏差 ₎

 ^{ンテカ ュ ー ョン}

 ^{大数 法則}

R ^{使 使 う}

例

例

 ^{周率 ンテカ 推定}