理論ゼミ（前期） 2016 P3 05

課題研究 ^P3 理論ゼミ

第 ⁵ 章 原子核の幾何的な形

加須屋春樹

2016 _年 5 _月 10 _日

原子核はどのくらいの大きさか、どのような形をしているのか。

このようなことを知るには例えば陽子やα粒子を原子核にぶつけて散乱を測定すればいい。しかしそのような実験 から詳細な情報を得るのは難しい。その理由は第1に陽子やα粒子はそれ自身拡がりを持っているため散乱断面積は 標的だけでなく入射粒子の構造をも反映してしまう、第2に標的との間には電磁的な相互作用だけでなく核力が働く ためその相互作用は複雑であるから。

小さな物体を研究するには電子散乱が適している。なぜなら電子は内部構造を持たない点状の粒子と考えられてお り、原子核と電子の間の相互作用はよくわかっている電磁相互作用によって起こるものであるから。また電磁相互作 用の結合定数αは1よりずっと小さいので高次の補正はわずかしか効かない。

5.1 電子散乱の運動学

電子の静止質量は小さい(mec² ≃ 0.511[MeV])ので、散乱実験における運動は相対論的に扱う必要がある。古典 力学では標的が入射粒子に比べてずっと重い場合、散乱の前後で入射粒子のエネルギーは変化しないとしてよい。相 対論でもこのようなことは言えるだろうか。

4元運動量pの電子が4元運動量Pの原子核によって弾性散乱される場合を考える。我々が知っているのは4元運 動量の保存:

p + P = p^′+ P^′ (1)

とローレンツ不変の式:

p²= p^′2= m²_ec² (2)

P²= P^′2 = M²c² (3)

である。

さて、目標は散乱前後の電子のエネルギーの間の関係をみつけることである。まず(1)を自乗して

p²+ 2pP + P²= p^′2+ 2p^′P^′+ P^′2 (4) (2),(3)を用いれば

p · P = p^′· P^{′ (5)}

となる。たいていの場合、反跳を受けた粒子は測定されず、散乱された電子のみが測定される。そこで(1)よりP^′を 消去して

p · P = p^′· (p + P − p^{′) = p′p + p′}P − m²e^{c2 (6)}

を得る。実験室系で標的は衝突前には静止しているとして、4元運動量はそれぞれ次のようになる。

p = (E/c, p), p^′= (E^′/c, p^′), P = (M c, 0), P^′= (E^′_P/c, P^′). (7) これらを用いて(6)から

EM c²= E^′_{E − |p||p}^′_{| cos θ c}²+ E^′M c²_{− m}²_ec⁴ (8)

が得られる。ここで pとp^′ の成す角(散乱角)をθ とした。ここまでは厳密な計算。ここで m²_ec⁴ を無視し、 E ≈ |p|c, E^′ ≈ |p^′|cとして計算してもよいが、折角なのでこのまま厳密に計算を進める。_{e ≡ E/Mc}², e^′ _≡ E^′/M c²_{, s ≡ m}e/M と無次元化して

e = e^′_{e −}^√e²_{− s}^2√e^′2_{− s}²cos θ + e^′_{− s}²

∴_{{(e + 1)}²_{− (e}²_{− s}²_{) cos}²_θ}e^′2− 2(e + 1)(e + s^{2)e′+ (e + s2)2+ (e2}− s^{2)s2cos2θ = 0 (9)} よって

e^′= (e + 1)(e + s²_{) ±}^√(e + 1)²(e + s²)²_{− {(e + 1)}²_{− (e}²_{− s}²) cos²_{θ}{(e + s}²)²+ (e²_{− s}²)s²cos²_θ}

(e + 1)²_{− (e}²_{− s}²) cos²θ ⁽¹⁰⁾

となる。ただし複合は0 ≤ θ ≤ π/2^のとき+,π/2 ≤ θ ≤ π^のとき−^{をとる。s = 0とすると簡単になって}

e^′= ^e

1 + e(1 − cos θ) ⁽¹¹⁾

∴_E^′₌ ^E

1 + E/M c²· (1 − cos θ) ⁽¹²⁾

このように弾性散乱では散乱された電子の散乱角θとエネルギーE^′の間には1対1の関係が成り立つ。なお、電子 と原子核の散乱では標的が陽子1個であっても_{s ≈ 1/1800}であるから(10)と(11)はほぼ等しい結果を与える。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

E'/E

θ[°]

E=1MeV A=50 E=500MeV A=50 E=10GeV A=50 E=1MeV A=1 E=500MeV A=1 E=10GeV A=1

図1: E^′/Eの角度依存性

図から分かるように、古典論の場合と異なり、me_{≪ M} であってもE^′とEが大きく異なることがありうる。す なわち相対論では、入射粒子の静止質量を含む全エネルギーと比べて標的粒子の全エネルギーがずっと大きい場合に

E ≈ E^′となる。相対論ではエネルギーと質量は等価であり、この結果はもっともである。

5.2 ラザフォードの散乱断面積

電子と原子核の散乱における断面積は相対論的量子力学によって正確に記述される。しかしまずは非相対論的に、 スピンの効果を無視し、散乱中心の空間的な拡がりも無視して考えよう。この場合に電荷Zeの標的による電荷ze運 動エネルギーEkinの粒子の散乱の微分断面積を与える式はラザフォードの散乱公式として知られる。

( dσ dΩ

)

Rutherford

= ^(zZe

2₎2

(4πε0)²(4Ekin)²sin^{4 θ}₂ ⁽¹³⁾

この式は古典的な計算によって得られたものであるが、非相対論的量子力学での計算によってもまったく同じ式を 得る。そのためラザフォードの散乱公式(13)は実に様々な導出が可能であり、今回は古典力学から2種類、非相対論 的量子力学から2種類の導出を紹介する。

古典力学による導出その _{1 ∼} オイラー・ラグランジュ方程式を解く _∼

ポテンシャルU (r) = a/rの中を質量mの粒子が運動する。この系のラグランジアンは極座標で

L = ¹₂^{m( ˙r2+ r2˙θ2}) − U(r) ⁽¹⁴⁾

と書ける。従ってオイラー・ラグランジュ方程式は d

dt(m ˙r) = mr ˙θ²+^dU

dr ⁽¹⁵⁾

d dt^(mr

2_{˙θ) = 0 (16)}

第2式からmr²˙θ = const. = L。第1式から

E = const. = ¹ 2^{m( ˙r}

2_{+ r}2_˙θ2_{) + U (r)}

= ¹ 2^{m ˙r}

2₊ ^L2

2mr^{2 + U (r) (17)}

ゆえに

dr dt ⁼

√2

m(E − W (r)) W (r) = ^L

2

2mr^{2 + U (r)}

∴ ^dθ dr ⁼

dθ dt

dt dr ⁼

√L 2m

1

r^2√_{E − W (r)} ⁽¹⁸⁾

φ θ r_min

b 散乱角をϕとして図より

π − ϕ = √^2L 2m

∫ ∞ rmin

1

r^2√_{E − W (r)} ⁽¹⁹⁾ ただしrminはE − W (r) = 0^{の根。W (r)の具体形を代} 入しb = L/^√2mE, s = b/r, c = a/Ebとすると

ϕ = π − 2

∫ b/rmin

0

√ ds

1 − cs − s²

= π − 2



cos^{−1 s +}

c

√ 2

1 + ^c₄²





b/rmin

0

= π − 2 cos⁻¹ √^c/2 1 +^c₄²

∴_cos^{( π} 2 ⁻

ϕ 2

)

= sin^ϕ 2 ⁼

c/2

√ 1 + ^c₄²

∴_tan^ϕ 2 ⁼

c 2 ⁼

a 2Eb

∴_{b =} ^a 2E

1

tan ϕ/2 ⁽²⁰⁾

bは衝突パラメータであり、bを用いて断面積を表せば

dσ = 2πb|db| = 2πb  

db dϕ  

dϕ dΩ^dΩ

∴ ^dσ dΩ ⁼

b sin ϕ

db dϕ  

=^{( a} 4E

)2 ₁

sin⁴ϕ/2 ⁽²¹⁾

古典力学による導出その _{2 ∼} 運動量移行を用いて _∼

φ θ

F_z

b z

θ0

入射粒子の運動量をp、散乱粒子の運動量をp^′とする。 標的が十分重く_{|p| = |p}^′_|が成り立つとして

運動量移行q_{= p − p}^′

|q| = 2|p| sin^ϕ₂ ^{ϕ :散乱角 (22)} 運動量の変化は力積に等しく

|q| =

∫ ∞

−∞

Fzdt =

∫ θ0

−θ0

a r^{2cos θ}

dt dθ^dθ 角運動量L = mr^2dθ

dt ^{= |p|bより}

|q| =

∫ θ0

−θ0

a r^{2cos θ}

mr²

|p|b^dθ

= 2^ma

|p|b^{sin θ0= 2} ma

|p|b^cos ϕ

2 (ϕ = π − 2θ0) (23) よって

2|p| sin^ϕ₂ ^{= 2ma}

|p|b^cos ϕ 2

∴_{b =} ^a 2E

1

tan ϕ/2 ⁽²⁴⁾

あとはその1と同様。

非相対論的量子力学による導出その _{1 ∼} シュレディンガー方程式を解く _∼

略(猪木・川合等参照)

拡がった電荷分布による散乱

( 非相対論的量子力学による導出その _{2 ∼} フェルミの黄金律を用いて _∼)

ここではフェルミの黄金律を用いて非相対論量子力学によって計算する。この方法が他より優れているところは中 心の電荷が空間的に拡がっている場合も同じ取り扱いができる点にある。そこでそのような場合も同時に扱うことに する。

入射粒子の(静止質量含む)エネルギーと比べて標的の静止質量が大きく、反跳が無視できる場合について考える。 その場合には3元運動量によって計算できる。Zeが小さければ、すなわち

Zα ≪ 1 ⁽²⁵⁾

ならば、すなわち電磁相互作用が小さければ、ボルン近似を使い、入射電子および散乱後の電子の波動関数ψiとψf

を平面波で記述することができる:

ψi =√¹ V^e

ip·x/ℏ_{, ψ} f= √¹

V^e

ip^′·x/ℏ ₍₂₆₎

規格化 _∫

V ^|ψ

i_|²dV = naV ここでV =^Na

na ⁽²⁷⁾

第4章より黄金律を用いて、微分断面積は(4.19)より dσ

dΩ ⁼ V va

2π

ℏ | ⟨^{ψf|Hint|ψi⟩ |}

2 ^d2n

dE^′Ω ⁽²⁸⁾

状態密度は(4.16)より

d²n =^{V |p}

′_|2_d|p′_|dΩ

(2πℏ)^{2 =} 1 (2πℏ)²

( E^′ c

)2

dE^′

c ^{dΩ (29)}

ここで_|p^′_{| ≈ E}^′/cを用いた。va_{≈ c}となるので、以上より dσ

dΩ⁼

V²E^′2

(2π)²(ℏc)^{4| ⟨ψf|Hint|ψi⟩ |}

2 ₍₃₀₎

を得る。

次に遷移行列要素_⟨ψf_|Hint_|ψi_⟩を求める。電気的ポテンシャルϕ中での電荷eの相互作用演算子は_Hint = eϕだ から

⟨ψ^f|H^int|ψⁱ⟩ = _V^e

∫

e^{−ip′·x/ℏ}ϕ(x)e^ip·x/ℏd³x (31) 運動量移行q_{= p − p}^′として

= ^e V

∫

ϕ(x)e^iq·x/ℏd³x (32)

e^iq·x/ℏ_{= −ℏ}²_/|q|²_{△ e}^iq·x/ℏ

= − ^eℏ

2

V |q|²

∫

ϕ(x) △ e^{iq·x/ℏd3x (33)}

グリーンの定理:^∫(u △ u − v △ u)d^{3x = 0 for∀u, v s.t. ∫}(u∇v − v∇u) · ndS = 0

= − ^eℏ

2

V |q|²

∫

△ϕ(x) e^{iq·x/ℏd3x (34)}

Poisson方程式: △ϕ(x) = −ρ(x)/ε0 (電荷密度: ρ(x))

= ^eℏ

2

ε0V |q|²

∫

ρ(x) e^iq·x/ℏd³x (35)

電荷分布関数f (x) : ρ(x) = Zef (x) 規格化条件:^∫ f (x)d³x = 1

= ^{Z · 4παℏ}

3_c

|q|^2V

∫

f (x)e^iq·x/ℏd³x (36)

F (q) =^∫f (x)e^iq·x/ℏd³xを形状因子(form factor)と呼ぶ。F (q)はf (x)をフーリエ変換した形になっている(詳 しくは後述)。

以上より散乱の微分断面積は

dσ dΩ⁼

4Z²α²(ℏc)²E^′2

|qc|^{2 |F (q)|}

2 ₍₃₇₎

となる。

ラザフォード散乱では標的の空間的な拡がりは無視するためf (x) = δ(x) i.e. F (q) = 1として ( dσ

dΩ )

Rutherford

=^4Z

2_α2_(ℏc)2_E′2

|qc|^{2 (38)}

仮定により反跳を無視し、電子のエネルギーと運動量の絶対値 は相互作用の前後で変化しないとすると図より

|q| = 2|p| sin^θ₂ ⁽³⁹⁾ であり、E = γmc², |p| = βγmc^を用いて

( dσ dΩ

)

Rutherford

= ^Z

2_α2_(ℏc)2

4(β²γmc²)²sin^{4 θ}₂ ⁽⁴⁰⁾

を得る。

β → 1 β^2γmc2≃ γmc^{2= E (41)}

β → 0 β^2γmc2≃ β^{2mc2= mv2= 2Ekin (42)}

であるから、相対論的には

( dσ dΩ

)

Rutherford

= ^Z

2_α2_(ℏc)2

4E²sin^{4 θ}₂ ⁽⁴³⁾

非相対論的には

( dσ dΩ

)

Rutherford

= ^Z

2_α2_(ℏc)2

(4Ekin)²sin^{4 θ}₂ ⁽⁴⁴⁾

となり、(44)は(入射粒子の電荷_{e → ze}として)古典的な計算によって得られた(13)に一致する。

場の理論による考察

いままでの議論を場の理論から眺めてみる。場の理論の言葉では電磁相互作 用は光子の交換によって起こる。光子は、それ自身は電荷を持っておらず、相 互作用をしている双方の電荷に結合する。その結果、遷移行列要素に_{Ze · e}、 断面積に(Ze²)²の寄与をする。3元運動量移行qは交換された光子が持ち運 ぶ運動量であるから、光子の換算ド・ブロイ波長は

λ– = ^ℏ

|q| ⁼ ℏ

|p| 1

2 sin^θ₂ ⁽⁴⁵⁾

となる。もしλ–が標的の空間的な拡がりよりもずっと大きければ内部構造は分解されず、標的粒子は点状なものとみ なされる。λ–が大きくなるのは運動量_|p|が小さい場合と散乱角θが小さい場合であり、したがって標的の内部構造 を知るには高エネルギーで_|p|を大きくすればよいこと、小さい角度の散乱には内部構造の影響が少ないことがわか る。しかし後述するように非常に小さな_|q|からわかる情報もある。

光子は質量を持っていないので、行列要素のなかの伝播関数は1/Q²、非相対論的近似では_1/|q|²である。この伝 播関数は断面積の中に自乗で入ってくるので、電磁相互作用においては、断面積は_1/|q|⁴で特徴的に急激に減少する。

5.3 モットの散乱断面積

ここまでスピンを無視してきたが、相対論的なエネルギーではラザフォードの散乱断面積はスピンの効果のため変 更を受ける。モットの散乱断面積は電子散乱を電子スピンによる効果を考慮に入れて記述するもので、相対論的量子

力学から ( dσ

dΩ )∗

Mott

=^{( dσ} dΩ

)

Rutherford

· (

1 − β^2sin2θ 2

)

(46) と導出される。*は標的粒子の反跳が無視されていることを示す(反跳が無視できない場合は第6章で)。(40)を用

いて ( dσ

dΩ )∗

Mott

= ^Z

2_α2_(ℏc)2

4(β²γmc²)²sin^{4 θ}₂ (

1 − β^2sin2θ₂ )

(47)

と書ける。相対論的なエネルギーでのモットの散乱断面積は、散乱角が大きくなるにつれラザフォードの散乱断面積 よりもずっと速く減少することがわかる。_{β → 1}の極限では

( dσ dΩ

)∗ Mott

= ^Z

2_α2_(ℏc)2

4E²sin^{4 θ}₂ ^cos

2^θ

2 ⁽⁴⁸⁾

と書ける。これはθ = 180^◦で0になる。

この意味を考えよう。_{β → 1}の極限では、スピンsの運動方向p_/|p|への射影は保存量である。この量をヘリシ ティ(helicity)と呼び

h = ^{s· p}

|s||p| ⁽⁴⁹⁾

と定義される。スピンが進行方向を向いている粒子はヘリシティ+1を持っており、スピンがその反対方向を向いて いる粒子はヘリシティ₋₁を持っている。

180^◦ 方向への散乱の場合、運動量は散乱の前後で180^◦ 向き を変えるため、ヘリシティの保存のためにはスピンもその射影 の向きを変えなければならない(スピンフリップ)。しかし、全 角運動量は保存されるため、標的のスピンがゼロの場合、これは 不可能である。散乱の際の軌道角運動量は運動の方向に垂直な ので、角運動量の運動の方向の成分を変えないから。したがっ て_{β → 1}の極限では180^◦散乱は完全に抑制される。

標的がスピンを持つ場合は、標的のスピンが変化することで 角運動量が保たれうるため、180^◦散乱は可能となる。

5.4 原子核の形状因子

運動量移行_|q|が大きくななると仮想光子の換算波長が小さくなり空間分解能が上がる。すなわち原子核のカタチ が見える。

原子核の空間的な拡がりは形状因子F (q)により記述される。以下では球対称な系の形状因子に話を限り、F (q²) と書く。

実験では、形状因子の絶対値はモットの散乱断面積と実験で得られた断面積の比として決定される: ( dσ

dΩ )

実験

=^{( dσ} dΩ

)∗ Mott

· |F (q²)|^{2 (50)}

図は形状因子を測る典型的な装置。電子ビームは線形加速器により供給され、薄い標的にぶつけられる。散乱され た粒子は磁気スペクトロメータによって測定される。様々な角度θで測定できるように標的のまわりで装置を回転さ せることができる。

前述の通り、反跳が無視でき、ボルン近似が使えるという条件の下では、形状因子F (q)は電荷分布f (x)をフーリ エ変換した形になっている:

F (q) =

∫

f (x)e^iq·x/ℏd³x (51)

球対称な場合はf (x) = f (|x|) = f(r)^であり

F (q²) =

∫

f (r)ei|q|r cos θ/ℏ_r2dϕd(cos θ)dr

= 2π

∫

f (r)r^{2 ℏ} i|q|r

[

ei|q|r cos θ/ℏ^]1

−1^dr

= 4π

∫ ∞ 0

f (r)r^{2sin |q|r/ℏ}

|q|r/ℏ ^{dr (52)}

規格化

1 =

∫

f (x)d³x =

∫

f (r)r²dϕd(cos θ)dr = 4π

∫ ∞ 0

f (r)r²dr (53)

原理的には、実験によって決定された形状因子のq²依存性から逆フーリエ変換により動径方向の電荷分布f (r)が得 られる:

f (r) = ¹ (2π)³

∫

F (q²)e^−iq·x/ℏd³q (54)

しかし実際には、f (r)としていくつかのパラメータをもつモデルを考え、それを用いてF (q²)を計算し、測定データ とよく一致するようにパラメータを動かすということを行う。

10^-15 10^-10 10^-5 10⁰ 10⁵

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

dσ/dΩ[b/sr]

θ[°]

Rutherford Mott Experiment

図2: 電子散乱による微分断面積(¹²CにE = 420 MeVで電子を入射した場合のシミュレーション。電荷分布は一様 球を仮定。)

電荷分布から形状因子の計算

• ^点状f (x) = δ(x)

F (q²) =

∫

δ(x)e^iq·x/ℏd³x = 1 定数 (55)

例)電子

ρ(r)

r 図3: ρ(r)

|F(q2)|

|q| 図_{4: |F (q}²_)|

• ^{指数関数型 f (r) = a}

3

8πexp(−ar) (a > 0) F (q²) = 4π

∫ ∞ 0

a³

8π^exp(−ar)r

2sin |q|r/ℏ

|q|r/ℏ ^dr

=^a

2

2 ℏ

|q|^Im [∫ ∞

0 r exp[(i|q|/ℏ − a)r]dr ]

∫ ∞

0 r exp[(i|q|/ℏ − a)r]dr = [

r ¹

i|q|/ℏ − aexp[(i|q|/ℏ − a)r] ]∞

0

−

∫ ∞ 0

1

i|q|/ℏ − aexp[(i|q|/ℏ − a)r]dr

= − ¹

(i|q|/ℏ − a)²[exp[(i|q|/ℏ − a)r]]^∞0

= ¹

(i|q|/ℏ − a)²

= ¹

(a²_{+ (|q|/ℏ)}²)^2{a

2− (|q|/ℏ)²+ 2ia|q|/ℏ}

∴_{F (q}²_{) =} ^a

2

2 ℏ

|q|

2a|q|/ℏ (a²_{+ (|q|/ℏ)}²)^{2 =}

1

(1 + |q|^{2/a2ℏ2)2 双極子型 (56)}

ρ(r)

r 図5: ρ(r)

|F(q2)|

|q| 図_{6: |F (q}²_)|

例)陽子

• ^{ガウス型 f (r) =( a}

2

2π )³₂

exp (

−^a

2_r2

2 )

F (q²) = 4π

∫ ∞ 0

( a² 2π

)³2

exp (

−^a

2_r2

2 )

r^{2sin |q|r/ℏ}

|q|r/ℏ ^dr

= 4π^{( a}

2

2π )³_{2 ℏ}

|q|

∫ ∞ 0

r exp (

−^a

2_r2

2 )

sin(|q|r/ℏ)dr

∫ ∞ 0

r exp (

−^a

2_r2

2 )

sin(|q|r/ℏ)dr = [ 1

−a^2e

−^{a2 r2}₂

sin(|q|r/ℏ) ]∞

0

−

∫ ∞ 0

1

−a^2e

−^{a2 r2}₂ |q|

ℏ cos(|q|r/ℏ)dr

= ¹ a²

|q| ℏ

1 2

∫ ∞

−∞

exp (

−^a

2

2 ^r

2_{+ i}|q|r ℏ

)

| {z }

−^a2₂₍r−i^|q|

a2ℏ⁾ 2− ^|q|2

2a2ℏ2

dr

= ¹ 2a²

|q| ℏ

√2π a ^exp

(

− ^|q|

2

2a^2ℏ2 )

∴_{F (q}²_{) = 4π}^{( a}

2

2π )³_{2 ℏ}

|q| 1 2a²

|q| ℏ

√2π a ^exp

(

− ^|q|

2

2a^2ℏ2 )

= exp (

− ^|q|

2

2a^2ℏ2 )

ガウス型 (57)

ρ(r)

r 図7: ρ(r)

|F(q2)|

|q| 図_{8: |F (q}²_)|

例)⁶Li

• ^{一様球 f (r) =}







3/4πR³ _{(r ≤ R)} 0 (r > R)

F (q²) = 4π

∫ ∞ 0

f (r)r^{2sin |q|r/ℏ}

|q|r/ℏ ^dr

= ³ R³

ℏ

|q|

∫ R

0 r sin(|q|r/ℏ)dr

∫ R

0 r sin(|q|r/ℏ)dr = [

r (

− ^ℏ

|q|cos(|q|r/ℏ) )]R

0

+

∫ R 0

ℏ

|q|cos(|q|r/ℏ)dr

= −R ^ℏ

|q|cos(|q|R/ℏ) + ( _ℏ

|q| )2

[sin(|q|r/ℏ)]^R0

= −R ^ℏ

|q|cos(|q|R/ℏ) + ( _ℏ

|q| )2

sin(|q|R/ℏ)

∴_{F (q}²_{) =} ³ R³

( _ℏ

|q| )3(

sin(|q|R/ℏ) −^|q|R_ℏ cos(|q|R/ℏ) )

= 3α⁻³(sin α − α cos α) ^{振動する (58)} ただし_{α = |q|R/ℏ}

ρ(r)

r 図9: ρ(r)

|F(q2)|

|q| 図_{10: |F (q}²_)|

sin x − x cos xのゼロ点をニュートン法を用いて計算すると

x0= 4.49, 7.75, 10.9, · · · ⁽⁵⁹⁾

となった。一様球のモデルを図の測定データに適用すると、 R = 4.49 × ^ℏ

|q|

≃ 4.49 × ^ℏc 2E sin^θ₂

≃ 4.49 × 200 [MeV · fm] 2 × 420 [MeV] × sin⁵¹2^◦

≃ 2.5 fm ⁽⁶⁰⁾

となる。

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 2 4 6 8 10 12 14

sin(x)-x*cos(x)

図11: sin x − x cos x^のグラフ

• ^{フェルミ関数ρ(r) =} _{1 + e}^ρ(0)_(r−c)/a ^{(規格化4π∫ρ(r)r2dr = Z)}

∫ ₁

1 + e^(r−c)/ae

iq·x/ℏ_d3_{x = 4π}^∫

∞ 0

1 1 + e^(r−c)/ar

2sin |q|r/ℏ

|q|r/ℏ ^dr

= 4π ^ℏ

|q|

∫ ∞ 0

f (r)g(r)dr (61)

ここでf (r) = 1/(1 + e^(r−c)/a), g(r) = r sin(|q|r/ℏ)^{とした。a}が小さいときゾンマーフェルト展開が使える。 ゾンマーフェルト展開^[1]

✓ ✏

滑らかな任意の関数g(ϵ)とフェルミ分布関数f (ϵ) = 1/(1 + e^β(ϵ−µ))の積の積分を考える。このとき、温 度Tが十分低温であれば積分は次のように展開される。

I =

∫ ∞

0 dϵ g(ϵ)f (ϵ) ≃ G(µ) +^π

2

6 ^{(kBT )}

2_G′′_{(µ) (62)}

ただしG(ϵ) =^∫₀^ϵdtg(t)はg(ϵ)の不定積分であり、G(ϵ)f (ϵ) → 0 (ϵ → ∞)^{であるとする。}

✒ ✑

今_{µ → c, k}BT → a^であり、

G(r) =

∫ r 0

dr^′g(r^′) =

∫ r 0

dr^′r^′_sin(|q|r^′/ℏ)

= [

r^′ (

− ^ℏ

|q| )

cos(|q|r^′/ℏ) ]r

0

+ ^ℏ

|q|

∫ r 0

dr^′_cos(|q|r^′/ℏ)

= − ^ℏ

|q|r cos(|q|r/ℏ) + ( _ℏ

|q| )2

sin(|q|r/ℏ) ⁽⁶³⁾

より

∫ ₁

1 + e^(r−c)/ae

iq·x/ℏ_d3_{x ≃ 4π} ^ℏ

|q| (

G(c) +^π

2

6 ^a

2_G′′_(c)

)

= 4π ( _ℏ

|q| )3(

sin(|q|c/ℏ) −^|q|c_ℏ cos(|q|c/ℏ) )

+ 4π^π

2

6 ^a

2 ^ℏ

|q| (

sin(|q|c/ℏ) +^|q|c_ℏ cos(|q|c/ℏ) )

= 4πc³α⁻³(sin α − α cos α) + ^2π

3

3 ^a

2_cα−1(sin α + α cos α) 振動する (64) ただし_{α = |q|c/ℏ}

ρ(r)

r 図12: ρ(r)

|F(q2)|

|q| 図_{13: |F (q}²_)|

例)⁴⁰Ca

たいへん軽い核を別にすれば、すべての原子核は振動する形状因子を持っている。すなわちある程度明確な縁が ある。

図はカルシウム同位体⁴⁰Caと⁴⁸Caによる電子散乱の微分断 面積。以下の点でおもしろい。

• ^断面積が |q|の広い範囲で測られており、10⁷ものオー ダーで変化している。

• ^{極小値が3}つ観測されており、精密な情報を得ることが できる。

• ^{極小値の位置から48Caの半径が40Caの半径より大きい} ことがわかる

小さな _|q| からわかること

原子核の半径に関する情報は形状因子の極小値の位置によっ てばかりでなく、q² _{→ 0}での形状因子の振舞いによってもわ かる。仮想光子の波長が原子核の拡がりRよりもずっと大きい とき

|q|R

ℏ ^{≪ 1 (65)}

であり、F (q²)は_|q|のべきに展開できる:

F (q²) =

∫

f (x)e^iq·x/ℏd³x

=

∫ f (x)

∑∞ n=0

1 n!

( i|q||x| cos θ ℏ

)n

d³x ここでθ = ∢(x, q)

=

∫ ∞ 0

∫ +1

−1

∫ 2π 0

f (x)

∑∞ n=0

1 n!

( i|q|r cos θ ℏ

)n

r²dϕ d cos θdr

= 2π

∫ ∞ 0

∫ +1

−1

f (r)

∑∞ n=0

(−)ⁿ (2n)!

( |q|r ℏ

)2n

cos²ⁿθ r²d cos θdr

= 2π

∫ ∞ 0

f (r) [_∞

∑

n=0

(−)ⁿ (2n)!

( |q|r ℏ

)2n

cos²ⁿθ 2n + 1

]+1

−1

r²dr

= 4π

∑∞ n=0

(−)ⁿ (2n + 1)!

( |q| ℏ

)2n∫ ∞ 0

f (r)r²⁽ⁿ⁺¹⁾dr (66)

電荷の平均自乗半径(mean square radius)を

⟨r²⟩ =

∫ ∞ 0

r²f (x)d³x = 4π

∫ ∞ 0

r⁴f (r)dr (67)

で定義すると、

F (q²_{) = 1 −}¹ 6

q²_⟨r²_⟩

ℏ^{2 + · · · (68)}

と書ける。したがって_⟨r²_⟩を決めるには形状因子F (q²)をq²のたいへん小さな値まで測ることが必要である。

⟨r²⟩ = −6ℏ^{2 dF (q}

2₎

dq²  

q²=0

(69)

が成り立つ。

原子核の電荷分布

多くの精密測定の結果以下のようなことがわかった

• 原子核の動径方向の電荷分布はよい近似で2つのパラメータをもつフェルミ関数で記述される: ρ(r) = ^ρ(0)

1 + e^{(r−c)/a (70)}

• ^{定数cはρ(r)}が半分まで減少した点の半径、aはぼやけの大きさを表すパラメータであり、大きな原子核では 経験的に

c = 1.07 · A^1/3fm, a = 0.54 fm (71)

である。

• 中ぐらいないし重い原子核では近似的に

⟨r²⟩ = r0· A^{1/3 ここでr}0= 0.94 fm (72) が成り立つ。原子核を一様球(f (r) = 3/4πR³(r ≤ R), 0 (r > R))^{と近似すると}

⟨r²⟩ = 4π

∫ ∞ 0

r⁴f (r)dr = ³ R³

∫ R 0

r⁴dr = ³ 5^R

2 ₍₇₃₎

であるから、定量的には

R = 1.21 · A^{1/3fm (74)}

が成り立つ。半径のこの定義は質量公式(2.8)でも使われた。

• ^{表面の厚さtは電荷密度が最大値の90% から10%} まで減少する領域の厚さとして定義される:

t = r(ρ/ρ0=0.1)− r(ρ/ρ0=0.9) (75) ここでρ/ρ0= X のときの原子核の中心からの距離をr(ρ/ρ0=X)^とした。

1

1 + e^{(r(ρ/ρ0=X)−c)/a = X}

∴_r(ρ/ρ

0=X)= a ln^{1 − X}

X ^{+ c (76)}

より、すべての重い原子核でtはほぼ同じで

t = a (

ln^0.9 0.1^{− ln}

0.1 0.9

)

= 2a ln 9 ≈ 2.40 fm ⁽⁷⁷⁾

である。

• 原子核の中心における電荷密度ρ(0)は、質量数が大きくなるとわずかに減少するが、A/Z · ρ(0),^{すなわち中} 心における核子密度はほとんど全ての原子核で同じになる(飽和):

ρN≈ 0.17^{核子/fm3 (78)}

• いくつかの原子核は球状からずれて回転楕円体に変形している。その正確な形は電子の弾性散乱では決定でき ない。縁がぼやけているように見えるだけ。

• ^{6,7Li,9Be,特に4He}といった軽い核では、原子核の内部で核子密度が一定にならず、電荷分布はむしろほぼガ ウス型をしている。

5.5 非弾性散乱による原子核の励起

弾性散乱の場合は粒子は始状態と終状態で同一であり、標的は反跳を受けるだけで励起されない。入射エネルギー と散乱後のエネルギーは1対1に対応する。

しかし実際の実験では標的が励起されることでより大きなエネルギー移行を伴った非弾性散乱も起こる。そのため 散乱された電子のスペクトルは、弾性散乱の大きなピークの横に、個々のエネルギーレベルへの励起を示すピークが いくつか立つ。

参考文献

[1] 2015年度後期 統計力学C講義資料 [2] ランダウ=リフシッツ 『力学』

[3] 倉澤治樹 原子核物理学講義ノートmitizane.ll.chiba-u.jp/metadb/up/C0000051459/nucleus.pdf [4] 猪木・川合 『量子力学II』

[4]p454∼p456より