E in Me05 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in Me05 ans

22 4 ^{自由落下・放物運動}

4 ^{自由落下・放物運動}

4.1 自由落下と垂直投げ上げ運動

例題_1. 高さ_y0から初速度₀で自由落下する質点^*13について以下の問いに答えよ。

mg

mg

t=0

v

=0

t

v

y

y

図₁₄ 1-1.^{鉛直上方を}y軸に選び，運動の概略が分かるように図示せよ。高さの基準と

して地面を_{y = 0}とする。 1-2.^{運動方程式を書け。}

m^d

2y

dt^{2 = −mg. (4.1)}

1-3.^{運動方程式を}t^{で積分し，時刻}t^におけるy^{方向の速度}vy(t)^{を求めよ。} (4.1)^より

d²y dt^{2 = −g}

∫ _d2

y dt^{2dt =}

∫

(−g)dt dy

dt ^{= −gt + C1 (4.2)}

となる。

初期条件₍境界条件_{): t = 0}のとき_vy(0) = 0 → C¹= 0^{と定まる。これを}(4.2)^{に代入して} vy(t) = ^dy

dt ^{= −gt. (4.3)}

1-4.^{運動方程式をもう一度}t^{で積分し，時刻}t^での高さy(t)^{を求めよ。}

∫ _dy dt^{dt =}

∫

(−g)tdt y(t) = −¹

2^gt

2+ C² (4.4)

となる。

初期条件_{: t = 0}のとき_{y(0) = y}0→ C2= y0と定まる。これを_(4.4)に代入して y(t) = −¹

2^gt

2+ y⁰ (4.5)

となる。

*13

質点：大きさ₀，質量だけを持つ理想的な粒子。

1-5.質点が地面に落下する時刻_t1を求めよ。また，得られた_t1の次元が時間_T であることを確認せよ^*14。

y(t1) = −¹ 2^gt

2

1+ y0= 0 (^{地面の高さは}0) t²1=^2y0

g t¹=^{√ 2y0}

g ^{∵ t1> 0 (4.6)}

物理量_Aの次元を_[A]と表すと

[t¹] = [y⁰]¹²[g]⁻¹² = [L]¹²[LT⁻²]⁻¹² = T (4.7)

よって_t1の次元は，時間_T である。

1-6. vy(t)^とy(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

【解答】図₁₅の通り。

0.5 1 1.5 2 ^t@sD

-20 -15 -10 -5 5 v@msD

(a)^速度v(t)

0.5 1 1.5 2 ^t@sD

5 10 15 20 25

y@mD

(b)^高さy(t) 図₁₅

mg

mg

t=t

v

=0

v

y

y

v

v

t=t

v

図₁₆ 問題_21. 地面から初速度_v0で質点を垂直に投げ上げた場合について以下の問いに答

えよ。

21-1.^{鉛直上方を}y軸に選び，運動の概略が分かるように図示せよ。高さの基準

として地面を_{y = 0}とする。

【解答】右図の通り。 21-2.^{運動方程式を書け。}

【解答】質点に働く力は重力だけなので

m^d

2y

dt^{2 = −mg. (4.8)}

21-3.^{運動方程式を}t^{で積分し，時刻}t^におけるy^{方向の速度}vy(t)^{を求めよ。}

*14長さ_L，質量_M，時間_T，電荷_Q，温度_Θを基本量と考えることで，全ての物理量は基本量の組み立て単位として表すことがで きる。_SI単位系における基本量の単位はそれぞれ_m，_kg，_s，_C，_Kである。ただし_SI単位系の基本単位には，電荷でなく電流 Aが採用されている。電流の次元は_CT⁻¹である。更に_SI単位系の基本単位には物質量_molと光度_{cd (}カンデラ₎が含まれる。

24 4 ^{自由落下・放物運動}

【解答】_(4.8)より d²y

dt^{2 = −g}

∫ _d2

y dt^{2dt =}

∫

(−g)dt dy

dt ^{= −gt + C1 (4.9)}

となる。ここで初期条件より_{vy(0) = C}1 = v0と決 まるので

vy(t) = ^dy

dt ^{= −gt + v0 (4.10)}

が上向きの速度である。

21-4.^{運動方程式をもう一度}t^{で積分し，時刻}t^での高さy(t)^{を求めよ。}

【解答】_(4.10)より

∫ _dy dt^{dt =}

∫

(−gt + v⁰)dt y(t) = −¹

2^gt

2+ v0t + C2 (4.11)

となる。初期条件より_{y(0) = C}2= 0^なので y(t) = −¹

2^gt

2+ v0t (4.12)

が質点の高さである。

21-5.質点が最高点に到達する時刻_thとその高さ_yhを求めよ。

【解答】最高点では速度_vyが₀になることと_(4.10) より

vy(th) = −gth+ v⁰= 0, th= ^v0

g ^(4.13)

よってその高さは

yh= y(th) = ^v

2 0

2g ^(4.14)

である。

21-6.^{地面に落下する時刻}t^{1とその瞬間の速度}v^{1を求めよ。また}t^1とthにはどんな関係があるか_{? v}1と v⁰にはどんな関係があるか_?

【解答】落下点では高さが₀であるので_(4.12)お よび_t1> 0^より

y(t1) = −¹ 2^gt

2

1+ v0t1= 0, t1

(

−¹

2^{gt1+ v0} )

= 0,

∴_t1₌^2v 0

g ^{. (4.15)}

t¹= 0の解は出発時に対応する。またそのときの速 度は_(4.10)より

v¹= vy(t¹) = −v⁰. (4.16)

つまり打ち上げ時と落下時では速度の向きは逆だが その速さは同じである。また_t1= 2th^{なので打ち上}

げから落下までの中間の時刻で最高点に達する。

21-7. vy(t)^とy(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

【解答】図₁₇の通り。

0.5 1 1.5 2 ^t@sD

-10 -5 5 10 v@msD

(a)^速度v(t)

0.5 1 1.5 2 ^t@sD

1 2 3 4 5 y@mD

(b)^高さy(t) 図₁₇ 初速v0_{= 10m/s}。

4.2 ^放物運動

mg y

V

vy

α x

図₁₈ 問題_22.水平面のある方向を_x軸，鉛直上方を_y軸とする。_xy平面内

の仰角_αの方向に^*15原点から初速度V で質点を投げる場合を考える。

22-1.運動の概略が分かるように図示せよ。

【解答】図₁₈の通り。

22-2.^初速度のx^成分とy^成分をV := |V |^とα^{を用いて表せ。}

【解答】図より

vx(0) = V cos α, vy(0) = V sin α. (4.17)

22-3. x^方向，y方向の運動方程式を書け。

【解答】質点には重力しか働いていないので

m¨x = 0, (4.18)

m¨y = −mg. (4.19)

22-4. x方向の運動は容易に解けるので，先に積分してその速度_vx(t)と位置_x(t)を求めよ。

【解答】_(4.18)より_x方向には等速度運動なので

vx(t) = vx(0) = V cos α, (4.20)

x(t) = V t cos α. (4.21)

22-5. y^{方向の運動方程式を}t^{で積分し，時刻}t^での速度vy(t)^{を求めよ。}

【解答】垂直投げ上げ運動との違いは，初速度が_{V sin α}になっているだけなので

vy(t) = −gt + V sin α. (4.22)

*15

高い所にある対象を見上げる場合，観測する視線と水平面とがなす角を仰角と言う。対象を見下ろす場合，その視線と水平面との なす角を伏角または俯角と言う。観測者が地球の中心にいる場合，北緯が仰角に，南緯が伏角に相当する。

26 4 ^{自由落下・放物運動}

22-6. y方向の運動方程式をもう一度_tで積分し，時刻_tでの位置_y(t)を求めよ。

【解答】同様に

y(t) = −¹ 2^gt

2+ V t sin α. (4.23)

22-7.質点が最高点に到達する時刻_thとその高さ_yhを求めよ。

【解答】最高点では速度_{vy(th) = 0}なので，_(4.22)および_(4.23)より th=^V

g ^{sin α, (4.24)}

yh= y(th) = ^V

2

2g ^sin

2α. (4.25)

22-8.^{地面に落下する時刻}t1と落下地点の_x座標_x1を求めよ。また_t1と_thにはどんな関係があるか。

【解答】落下時には高さ_{y(th) = 0}より y(t¹) = t¹

(

−¹

2^{gt1+ V sin α} )

= 0,

∴ _t1= ^2V

g ^{sin α = 2th. (4.26)}

他の解_t1= 0は投げ上げ時に対応する。落下点は

x¹= x(t¹) = V cos α^2V g ^{sin α}

= ^V

2

g ^{sin 2α. (4.27)}

真上に投げた場合，_αmax₌^π

2 ^{なのでx1= 0となる。}

22-9. x1が 最 大 と な る 投 射 角 度 を_αmaxと す る 。_αmax と そ の 到 達 距 離_{l := x}1(αmax)^{を 求 め よ 。}V ^が 40m/s^{の場合*16，}l^は何m^になるか?

【解答】_x1が最大になるのは_{sin 2α}が最大のときなので_αmax=^π

4^{。なのでsin} π

2 ^{= 1より}

l =^V

2

g ^{. (4.28)}

数値を代入すると

l =⁴⁰

2(m/s)²

9.8m/s^{2 ≈ 163m. (4.29)}

22-10. vx(t), vy(t), x(t), y(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

【解答】図₁₉と図₂₀の通り。

22-11. y^をxの関数として表し運動の経路を求めよ。またこの経路が放物線となることを確認せよ。

*1640m/s=144km/hなので高校生以上の投手が投げる球速程度である。

1 2 3 4 ^t@sD 5

10 15 20 25 30 35 40 v_x@msD

(a) ^速度vx(t)

1 2 3 4 ^t@sD

20 40 60 80 100 120 140

x@mD

(b)^水平距離x(t) 図₁₉ 初速V _{= 40m/s}，α₌ ^π

6 ^{= 30}

◦

。

1 2 3 4 ^t@sD

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 v_y@msD

(a)^速度vy(t)

1 2 3 4 ^t@sD

5 10 15 20 25

y@mD

(b)^高さy(t) 図₂₀ 初速V _{= 40m/s}，α₌ ^π

6 ^{= 30}

◦

。

【解答】_(4.21)より_{t =} x

V cos α ^{なのでこれを(4.23)に代入して} y = −^g

2

( _x

V cos α )²

+ V sin α ^x V cos α

= − ^g

2V²cos²α^x

2+ x tan α. (4.30)

y(x)は上に凸の放物線になる。

22-12.^{この質点を点}P = (X, Y )にある的に当てるには投射角_αをどう選べばよいか。的に命中するとき

の角度_αを求めよ。（_{tan α}を求めればよい。）

【解答】P = (X, Y )^{が，軌道の方程式}(4.30)^{の解となれば良いので}

Y = − ^g

2V²cos²α^X

2+ X tan α = − ^g

2V^{2(1 + tan}

2α) + X tan α,

tan²α −^2V

2

gX ^{tan α +} 2V²Y

gX^{2 + 1 = 0,}

∴ _{tan α =} ^V

2

gX ^±

√ V⁴ g²X^{2 −}

2V²Y

gX^{2 − 1. (4.31)}

根号の中が正なら，角度_αを変えた₂通りの投げ方ができる。

28 ^参考文献

-150 -100 -50 50 100 150 ^x@mD 20

40 60 80 y@mD

図₂₁ 初 速V _{= 40m/s}で 届 く 範囲。

22-13.^初速V で命中させることのできる領域を求めよ。

【解答】解_(4.31)が存在しないとき，すなわち根号の中が負になる

様な_{P (X, Y )}には届かない。従って質点が届くための条件は

V⁴ g²X^{2 −}

2V²Y

gX^{2 − 1 ≥ 0 (4.32)}

である。これより

Y ≤ − ^g 2V^2X

2+^V

2

2g ^(4.33)

の放物線の範囲まで質点は届く。等号成立なら投げる角度_αは₁通り しかなく，その軌道は上式に接する。逆に上式は，_αが₁通りしかな い軌道群の包絡線に対応する。上式で_{X = 0}としたときの_Y は，真 上に投げた場合の最高点_yh=

V²

2g ^{に一致し，Y = 0としたときのXは，最長到達距離l =} V²

g ^{に一致する。}

参考文献

[1] ^後藤憲一,^山本邦夫,^神吉健. ^{詳解力学演習}. ^{共立出版株式会社}, 2003. [2] ^原島鮮. ^力学I-^{質点・剛体の力学}-. ^裳華房, 1990.

[3] ^原島鮮. ^力学II -^解析力学-. ^裳華房, 1990. [4] ^{小出昭一郎}. ^物理学. ^裳華房, 2003.

[5] ^砂川重信. ^{電磁気学演習}. ^{物理テキストシリーズ}5.^岩波書店, 1992. [6] ^戸田盛和. ^力学. ^{物理入門コース}1.^岩波書店, 1999.