E in Me05 最近の更新履歴 物理学ノート

力学演習

mg

mg t=0 v⁰=0

t v^y y

y0

1-1.^{鉛直上方を}y軸に選び，運動の概略が分かるように図示せよ。高さの基準と して地面を_{y= 0}とする。

1-2.^{運動方程式を書け。}

m^d

2y

dt^{2 = −mg. (1)}

1-3.^{運動方程式を}t^{で積分し，時刻}t^におけるy^{方向の速度}vy(t)^{を求めよ。} (1)^より

d²y dt^{2 = −g}

∫ _d²_y dt^2dt=

∫

(−g)dt dy

dt ^{= −gt + C1 (2)}

となる。

初期条件₍境界条件_{): t = 0}のとき_vy(0) = 0 → C¹= 0^{と定まる。これを}(2)^{に代入して} vy(t) = ^dy

dt ^{= −gt. (3)}

1-4.^{運動方程式をもう一度}t^{で積分し，時刻}t^での高さy(t)^{を求めよ。}

∫ _dy dt^dt=

∫

(−g)tdt

y(t) = −¹ 2^gt

2+ C² (4)

となる。

初期条件_{: t = 0}のとき_{y(0) = y}0→ C2= y0と定まる。これを₍₄₎に代入して y(t) = −¹

2^gt

2+ y0 (5)

となる。

1-5.質点が地面に落下する時刻_t1を求めよ。また，得られた_t1の次元が時間_Tであることを確認せよ^*2。

y(t1) = −¹ 2^gt

2

1+ y0= 0 (^{地面の高さは}0) t²1=^2y0

g t1=^{√ 2y0}

g ^{∵ t1>0 (6)}

物理量_Aの次元を_[A]と表すと

[t¹] = [y⁰]¹²[g]⁻¹² = [L]¹²[LT⁻²]⁻¹² = T (7)

よって_t1の次元は，時間_T である。

1-6. vy(t)^とy(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

*1

質点：大きさ₀，質量だけを持つ理想的な粒子。

*2

長さ_L，質量_M，時間_T，電荷_Q，温度_Θを基本量と考えることで，全ての物理量は基本量の組み立て単位として表すことがで きる。_SI単位系における基本量の単位はそれぞれ_m，_kg，_s，_C，_Kである。ただし_SI単位系の基本単位には，電荷でなく電流 Aが採用されている。電流の次元は_CT⁻

1

である。更に_SI単位系の基本単位には物質量_molと光度_{cd (}カンデラ₎が含まれる。

2

問題_1. 地面から初速度_v0で質点を垂直に投げ上げた場合について以下の問いに答えよ。

1-1.^{鉛直上方を}y軸に選び，運動の概略が分かるように図示せよ。高さの基準として地面を_{y= 0}とする。 1-2.^{運動方程式を書け。}

1-3.^{運動方程式を}t^{で積分し，時刻}t^におけるy^{方向の速度}vy(t)^{を求めよ。} 1-4.^{運動方程式をもう一度}t^{で積分し，時刻}t^での高さy(t)^{を求めよ。} 1-5.質点が最高点に到達する時刻_thとその高さ_yhを求めよ。

✎最高点では速度_vyが₀になることを用いる。

1-6.地面に 落下 する 時刻_t1と その瞬 間の 速度_vy(t1)^{を求め よ。ま た}t1と_thにはど んな 関係 があ るか_? vy(t1)^とv0にはどんな関係があるか_?

1-7. vy(t)^とy(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

問題_2. 水平面のある方向を_x軸，鉛直上方を_y軸とする。_xy平面内の仰角_αの方向に^*3原点から初速度V で質点を投げる場合を考える。

2-1.運動の概略が分かるように図示せよ。

2-2.^初速度のx^成分とy^成分をV := |V |^とα^{を用いて表せ。} 2-3. x^方向，y方向の運動方程式を書け。

2-4. x方向の運動は容易に解けるので，先に積分してその速度_vx(t)と位置_x(t)を求めよ。 2-5. y^{方向の運動方程式を}tで積分し，時刻tでの速度vy(t)^{を求めよ。}

2-6. y方向の運動方程式をもう一度_tで積分し，時刻_tでの位置_y(t)を求めよ。 2-7.質点が最高点に到達する時刻_thとその高さ_yhを求めよ。

✎最高点では速度_vyが₀になることを用いる。

2-8.^{地面に落下する時刻}t1と落下地点の_x座標_x1を求めよ。また_t1と_thにはどんな関係があるか。 2-9. x1が最大となる投射角度を_αmaxとする。_αmaxとその到達距離_{l:= x}1(αmax)^{を求めよ。}V ^が40m/s の場合，_lは何_mになるか_?

2-10. vx(t), vy(t), x(t), y(t)^をtの関数としてグラフで表せ。

2-11. y^をxの関数として表し運動の経路を求めよ。またこの経路が放物線となることを確認せよ。

2-12.^{この質点を点}P = (X, Y )にある的に当てるには投射角_αをどう選べばよいか。的に命中するとき

の角度_αを求めよ。（_{tan α}を求めればよい。）

2-13.^初速V で命中させることのできる領域を求めよ。

*3

高い所にある対象を見上げる場合，観測する視線と水平面とがなす角を仰角と言う。対象を見下ろす場合，その視線と水平面との なす角を伏角または俯角と言う。観測者が地球の中心にいる場合，北緯が仰角に，南緯が伏角に相当する。