参考：重要例題集

１

次の作図をせよ。（作図の方法を説明すればよい。以下同）

 ^線分^{が与えられたとき，}^を^：^{に内分する点}^{を作図せよ。}

 ^線分^{が与えられたとき，}^を^：^{に外分する点}^{を作図せよ。}

 ^線分^{が与えられたとき，}^：^：^{を満たす点}^{の軌跡を作図せよ。} 略解：

 ^を^：^{に内分する点}^，^：^{に外分する点}^を^，^{と同様に作図し，} を直径とする円_を作図すれば，円_が求める軌跡である。

［作図が正しいことの証明（数学_範囲での）は，角の二等分線定理を用いて行う］

２

［相似利用］

長さ_，_，_の線分が与えられたとき，長さ_，^

 ，^{の線分を作図せよ。} 略解：

求める長さを未知数として与えられた長さとの間に成り立つ比の式を作り，対応する相似 比をもつ三角形を作図する。順に，_{}とすると，_：_：_，

 とすると，より ：：，^{とすると，：：}

［長さ_の場合］

① _{}，_{}となるように，_つの直線上に_，_，_をこの順にとる。

② _と通って_と異なる半直線をひき，その上に_{}となる点_をとる。

③ _を通って_に平行な直線と②の半直線との交点を_とすると，_が求める長さ

^{をもつ線分である。}

３

［拡大_縮小］ 次の作図をせよ。

 ^{鋭角三角形}^{が与えられたとき，辺}^が^{上にあり，頂点}^が^上， が_上にあるような正方形_{}を作図せよ。_

（このような正方形_{}を，鋭角三角形_{}の内接正方形という）

 ^半円^の直径の^つを^{とする。辺}^が^{上にあり，残りの}^{頂点がともに} 半円の弧上にあるような正方形_{}を作図せよ。（同：半円_の内接正方形） 略解：

 ^が^上，^が^{上にある正方形を}^{つ作図し，}^{を中心として相似拡大}

（もしくは縮小）する。

① _上に適当な点_をとり，_から_に垂線_{}を降ろす。

参考資料：新課程数学Ａ「作図」重要例題集

② _{}を_辺とする正方形を，_が_に対して_と同じ側にあるように作図す る。（実際より小さい正方形を作図した場合，_は△_の内部にくる）

③ 直線_{}と_との交点が_である。_から_に降ろした垂線の足が_，_を 通り_に平行な直線と_との交点が_である（以下略）

４

［円周角_方べき_平方根］ 次の作図をせよ。

 ^円^{とその外部の点}^がある。^を通る円^{の接線を作図せよ。}

 ^半径^の円^{の外部に半径}^の円^{がある。ただし，}^{である。この}^円^，

の共通外接線を作図せよ。

 ^長さ^，の線分が与えられたとき，長さ_{}の線分を作図せよ。

 ^長さ^，の線分が与えられたとき，_次方程式_^_{}^_の正の解を長さと する線分を作図せよ。

略解：

 共通外接線に平行な直線をひき，それを平行移動することを考える。

① 点_を中心として，半径_{}の円をかく。

② _を直径とする円をかき，①の円との交点（の_つ）を_とする。

※_は，_を通る①の円の接線の接点である。接点は_つできる。

③ 半直線_と円_の交点を_とする。

④ _を通り_に垂直な直線_を引くと，_は_円_，_の共通外接線である。

^［解法^{］方べきの定理（}直線が円の内部で交わる）を利用する。

① 直線_をひき，その上に_{}，_{}となる_，_，_をこの順にとる。

② _を直径とする円をかく。

③ _を通る_の垂直をひき，②の円との交点を_とすると，_{}である。

※_交点は_つあり，それらを_，_とすると_{}，_･_{}･_

［解法_］方べきの定理（接線）を利用する。

① 点_から半直線_をひき，その上に_{}，_{}となる_，_をとる。

② _を直径とする円をかく。

③ _を通る②の円の接線をひき，接点を_とすると，_{}である。

 ^{与えられた方程式を} ^ ^と変形し，方べきの定理（接線）の利用を考える。

① 直線_上に_{}である_点_，_をとり，_で_に接する直径_の円をかく。

② _と①の円の中心を通る直線を引き，_交点のうち_に近い方を_とすると，

^{である。（}^{から遠い方を}^{とすると，}^は ^ ^^{の解となる）}

参考資料：新課程数学Ａ「作図」重要例題集

５

 ^直線^{に関して同じ側に}^点^，^{がある。直線}^上に点^をとり， ^  ^が 最小となるようにしたい。このような点_を作図する方法を述べよ。

 ^円^{の内部に，}^{と異なる点}^{がある。円}^{の周上に点}^をとり，^が最 大となるようにしたい。このような点_を作図する方法を述べよ。

※_次の_{}，_は，作図法としては中_内容の延長であるが，作図が正しいことの証明ま で求めるならば，高校生にとっても適度な難易度の問題と思われるが，どうだろうか。

 ^直線^{に関して異なる側に}^点^，^{がある。直線}^上に点^をとり，  が最大となるようにしたい。このような点_を作図する方法を述べ，その作図が正し いことを証明せよ。

 ^円^{と，その外部の異なる}^点^，^{がある。円}^の直径^を，^とな るように作図せよ。

略解：

 ^の中点をとすると，中線定理より_{ }^ _{ }^

_

_

［作図法］ _の中点_から_に垂線を引くと，_との交点が求める点_である。

 ^点^，^，^を通る円^が円^{に内接するとき，}^{は最大となる。もし円}

^が円^{に内接しない場合，}^円は^{点で交わるから，点}^を円^{の内部にくるよう} に動かせば，_{}をより大きくできるからである。

① _，_を通る十分に大きい円をかき，円_との_交点を_，_とする。

② _直線_，_をひき，その交点を_とする。

※_{}とすると_が中心であることに反するので_{}である。

※_方べきの定理より_･_{}･_が成り立つ。

③ _から円_に接線をひくと，接点が_である。

※_②で作図した_から接線をひいているから_･_{ }^，これと②より

^･ ^が成り立つから，方べきの定理の逆より，_は_点_，_，_を 通る円_に接する。

※_図は作成中

参考資料：新課程数学Ａ「作図」重要例題集