講義案内 前田研究室 maedalab Partialdiff01

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偏微分方程式と差分法

Partial Differential Equations and Finite Difference Method

1. ２階の偏微分方程式の区分 (Clarification of partial differential equations with

2

^nd

order)

1.1 ^{円錐曲線 二次曲線} (Conical curve geometry and quadratic curve on the section of conical)

  ^{x y}

u

u _ ,

(1)

G

Ey

Dx

Cy

Bxy

Ax

²

_{ }

²

_{  }

(2)

)

B

²

_{ AC} 4 _ 0

: ^{楕円 円を含む} Ellipse

)

B

²

_{ AC} 4 _ 0

: ^放物線(Parabola) )

B

²

_{ AC} 4 _ 0

: ^双曲線(Hyperbola) 1.2 ^{偏微分方程式 種類} Partial Differential Equations

  ^{x y}

u

u _ ,

,

x

u

_x

u

 



^,

y

u

_y

u

 



^, 2

2

x

u

_xx

u

 



^, 2

2

y

u

_yy

u

 



^,

y

x

u

_xy

u



 ^



^{2 (3)}

G

Fu

Eu

Du

Cu

Bu

Au

_xx

_

_xy

_

_yy

_

_x

_

_y

_{ }

(4)

)

B

²

_{ AC} 4 _ 0

: ^{楕円型方程式}: ^{定常状態 現象} steady state

Laplace Eq. ₂

0

2 2

2



 

 



y

u

x

u u

_xx

_ u

_yy

_ 0

(5)

Poisson Eq.

f

y

u

x

u 

 

 



2 2 2 2

f

u

u

_xx

_

_yy

_

(6)

)

B

²

_{ AC} 4 _ 0

: ^{放物型方程式}: ^熱流(heat flux) ^拡散(diffusion) ^圧密(consolidation)

2 2 2

x

u

t

u



 



 _

xx

t

^u

u _{ }

² (7)

)

B

²

_{ AC} 4 _ 0

: ^{双曲型方程式}: ^振動 undulation, vibration ^波動 Wave propagation

2 2 2 2 2

x

u

t

u

 

 

 _

xx

tt

^u

u _{ }

² (8)

Conic Sections

Cicle

Ellipse

Parabola Hyperbola



^{B2 AC4 0}





^{B2 AC4 0}





^B24AC0



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2. ２ 階 の 偏 微 分 方 程 式 の 差 分 化 (Finite difference equation of differential

equations with 2

^nd

order)

2.1^放物型(Parabola type): ^{熱伝 方程式 差分化} finite difference equation of thermal conduction Taylor’s expansion of a temperature T(t, x) as function of time t and location x.

 ^,    ^, ₂ ¹ _!  

²

₃ ¹ _!   ^x

³

^O _{ }   ^x

⁴

x

x T

x

x T

x

x T

t

T

x

x

t

T _{  }

 



 

 

 

 







⁽⁹⁾

 ^,    ^, ₂ ¹ _!  

²

₃ ¹ _!   ^x

³

^O _{ }   ^x

⁴

x

x T

x

x T

x

x T

t

T

x

x

t

T _{  }

 



 

 

 

 







⁽¹⁰⁾

By eq.(9) and eq.(10),

From (9)-(10):

_ T _ x x t _{ } T x x t _{ }

x

x

T

_x

T , ,

2

1     

 

 



⁽¹¹⁾

From (9)+(10):

     

 

    ^{            }  ^













 

 

 

t

x

t T

x

x

T

t

x

x

T

x

t

x

T

t

x

x

T

t

x

x

x T

x

T

_xx

T

2 ,

,

,

2

,

2

,

1 ,

2 2 2

2

    ^{            }  ^

 

 

  ^{T x x t T x x t} _{T x t}

x x

T

t

T ,

2

,

,

2

2 2

2



2 ⁽¹²⁾

   _{  }

 

       _

 

 ^{T x x t T x x t} _{T x t}

t

T ,

2

,

,

(13)

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-

T _{ } x , t

^{近傍点 温度 平均 さい}

T

_xx

_ 0

:

x

^{熱流量 流入}(inflow)

When Tx is lower then that around x, Txx >0 and heat flux flow in region x. -

T _{ } x , t

^{近傍点 温度 平均 等しい}

T

_xx

_ 0

:

x

^{へ熱流量 し}(no flow)

When Tx equals to that around x, Txx =0 and no heat flux generates.

-

T _{ } x , t

^{近傍点 温度 平均 大 い}

T

_xx

_ 0

:

x

^{熱流量 流出}(outflow)

When Tx is higher then that around x, Txx <0 and heat flux flow out of region x.

x

^{熱変化速度}

t

T

 

近傍点 温度 平均 そ 点

_x

温度差 比例し そ 増減

差 符号 従う

- ^温度

T _{ } x , t

^{近傍点 温度 平均 さけ}

x

^{温度 昇}

When Tx is lower then that around x, temperature Tx in region x increases.

- ^温度

T _{ } x , t

^{近傍点 温度 平均 等しいけ}

x

^{温度変化 し}

When Tx eauals to that at x, temperature Tx in region x does not change.

- ^温度

T _{ } x , t

^{近傍点 温度 平均 大 け}

x

^{温度 降}

When Tx is higher then that around x, temperature Tx in region x decreases

Temprature



^{x xt}

 x

T _,



^{x xt}



T

_{ } ,

  ^{x t}

T ,

   

2

,

,

t Tx xt x

x

T

_{    }

Temprature Distribution at time t

x

x _{ } x x _{ } x

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2.2 (hyperbola type): finite difference equation of wave

propagation

   

 ^{u x x t u x x t} 

x

x

u , ,

2

1     

 

 

₍₁₄₎

     

 

    ^{            }  ^













 

 



t

x

t u

x

x

u

t

x

x

u

x

t

x

u

t

x

x

u

t

x

x

x u

x

u

2 ,

,

,

2

,

2

,

1 ,

2 2 2 2

(15)

- ^変位

u _{ } x , t

^{近傍点 変位 平均 さけ}

u

_xx

_ 0

: ^{向 復元力}

- ^変位

u _{ } x , t

^{近傍点 変位 平均 等しいけ}

u

_xx

_ 0

: ^{復元力 し}

- ^変位

u _{ } x , t

^{近傍点 変位 平均 大 け}

u

_xx

_ 0

: ^{向 復元力}

    ^{            }  ^

 

 



 ^{u x x t u x x t} _{u x t}

x x

u

t

u ,

2

,

,

2

2 2

2 2 2

2



⁽¹⁶⁾

   _{  }

 

  ^{    } _

 

 ^{u x x t u x x t} _{u x t}

t

u ,

2

,

,

2 2

(17)

x

^加速度 ₂

2

t

u

 

近傍点 変位 平均 そ 点

_x

変位 差 比例し そ 加減

差 符号 従う

- ^変位

u _{ } x , t

^{近傍点 変位 平均 さけ}

x

^{向 加速度}

u

_tt

_ 0

^を得

向 力をうけ

- ^変位

u _{ } x , t

^{近傍点 変位 平均 等しけ}

x

^加速度

u

_tt

_ 0

^{力を受け い}

- ^変位

u _{ } x , t

^{近傍点 変位 平均 大 け}

x

^{向 加速度}

u

_tt

_ 0

^を得

向 力をうけ

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2^次元 ₂

2

x

u

 

(a)^頂部で

_

²

u _ u

_xx

_ u

_yy

_ 0

(b)^底部で

_

²

u _ u

_xx

_ u

_yy

_ 0

2.3^楕円型(Elliptic type) ^差分化

Laplace^方程式

2

0



 u

Poisson^方程式

f

u _



²









²

^u

^{: 静電場ポテンシ ル}

  ^{x y}

g

T ,

2

_{ }



^{: 定常状態温度分布}

^{g ( x , y )}  ⁰

^熱発生,

^{g ( x , y )}  ⁰

^熱吸収 Helmholtz^方程式

2

0





 ^u  ^u

^{: 太鼓 膜 振動 ード}

-2 -1

0 1

2 -2

-1 0

1 2

0 0.25 0.5 0.75 1

-2 -1

0 1

2

-2 -1

0 1

2^-2 -1

0 1

2

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0

-2 -1

0 1

2