講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ

2017/10/5 入門物理学 B

入門物理学 B

第 3 回 (10/5)

・光の屈折 (フェルマーの最小時間の原理・全反射・レンズ)

第 4 回 (10/12)光の散乱・波

・光の分散

・光の散乱

・波とは (波の用語、波の基本式、横波と縦波)

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治

2016/9/28 入門物理学 B

幾つかの物質の屈折率

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物質  屈折率

真空 1 (定義から) 空気 1.00292

氷 1.309

水 1.3334

ダイヤモンド 2.417

Willebrord Snell (1580-1626)

数学者、蘭 ライデン大学教授 三角測量法による子午線の長さの 最初の実測

画像はWikipedia より引用

なぜ屈折が起こるか? (フェルマーによる最小時間の原理)

Pierre de Fermat (1607? 8? - 1665)

フランスの数学者「数論の父」 フェルマーの最終定理で有名

「光は最小時間で通過できる 経路を進む」

(速いところを沢山走る方が有利) ヘロンの最小距離の原理の拡張

※画像は Wikipedia より引用

2016/9/28 入門物理学 B ³

なぜ屈折が起こるか?(続き)

フェルマーによる最小時間の原理からスネルの屈折の法則を導く。

② 時間が最小になるところでは、少し経路がずれても時間が変わらない。

① 光の物質中での速さは

(約30万km)/ (物質の屈折率) = c/n^物質

(真空や空気中では光の速度が速く、ダイヤモンドでは遅い)

※導出には大学の電磁気学の知識が必要

A ^A

A

通過に必要な時間

A ^A A ^通過点

(真の経路)

2016/9/28 入門物理学 B

なぜ屈折が起こるか?(続き)

4

i i

r

A r

B

C D

前ページの A 点(真の経路) 付近の拡大図

真の入射光線と点線 CD は光が十分遠くから 来ている場合、殆ど平行である。

ここで、AB = AC (sin r), CD = AC (sin i)   AB/CD = [AC (sin r)]/[AC (sin i)]

= sin r/sin i …… (※)

一方、前のページの ② からABを進む時間と CD を進む時間は同じであるべき。

①から AB では光速が CD の n¹/n² 倍になるので、 AB /(n¹/n² )= CD AB/CD= n¹/n^{2 ……} (※※)

(※)と(※※) から sin r/ sin i = n¹/n²

        _{(7ページ目の式)}

屈折率 n¹

屈折率 n²

直感的には車が砂利道へ進むと、 曲がるイメージ (左図)

舗装道路

砂利道

2017/10/5 入門物理学 B ⁵

全反射

屈折率が大きい物体から、小さい物体に光を入射させた時、

入射角が 臨界角 ic に達すると、屈折角が 90 になる。         

空気 (屈折率 1)

物質 r

i

^境界面

法線

ic

これ以上入射角を大きくすると、 光は屈折することができなくなり、 入射した光は全て反射する。

この現象を全反射と呼ぶ。

スネルの法則 によると、sin r/sin i= n^物質/1 臨界角 i^c で入射する時 r が 90 になる。 sin 90 = 1 なので、1/sin i^c= n^物質

i^c は sin i^c = 1/n^物質 を満たす角度である。 様々な物質の臨界角 ic 水: 約 49 , ガラス 約 42 , ダイヤモンド 24.4

2017/10/5 入門物理学 B

全反射の利用 1. 光ファイバー

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コア(屈折率大) クアッド(屈折率小)

※ 画像はWikipedia より

Photo by Timewether (2005), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

2. ダイヤモンド

ダイヤモンドに入射した光は、

多数の面で全反射を繰り返し輝きを放つ。

※画像は Wikipedia より

photo by Mario Sarto (4 Feb. 2004), CC-BY-SA 3.0 license

3. 魚の視野

魚には鏡のように

水面が見える (全反射) 屈折

2017/10/5 入門物理学 B

レンズ

境界面としては製造が簡単な球面の一部を考えることが多い。 レンズの中心を通る軸を光軸 (optical axis)と呼ぶ。

平行光線が入ってきた時、光線が一点に集まる点を焦点 (focus)、 中心と焦点の距離を焦点距離 (focal length)と呼ぶ (右図)。

7

焦点F 焦点距離 f

光軸

焦点距離 f は レンズの屈折率を n、 周りの物質の屈折率を n^物質

曲率半径 (レンズを球の一部だと した時の球の半径)を R とすると、 1/f = 2(n/n^物質-1)/R

で表される。

※ 曲率半径 R は面が凸の時に正、凹の時に負とする

※ f がレンズの厚さより大きい時には十分正しい

R が小さいほど (レンズが厚くなれば)、

屈折作用が大きくなるので、f も小さくなる。

2017/10/5 入門物理学 B

凸レンズによる実像 (屈折式望遠鏡の原理)

E

焦点F¹ 焦点距離 f

焦点F² _G

焦点距離 f C

D

Hⁱ Sⁱ

S^o A

B H^o O

倒立実像

① レンズの軸に平行な光は焦点 F¹を通る

② レンズの焦点F²を通った光は、軸に平行に進む

③ 光軸を通る光はそのまま直進

※ レンズを薄いとした時は、 レンズは円盤とみなして、 中心で一回だけ屈折すると 近似して良い。

像の位置と倍率

△ _{ABF2 と △ GOF2 は相似なので、Hi/Ho = f/So (像の倍率)}

△ _{CDF1 と △ EOF1 は相似なので、Hi/Ho = Si/f}

従って、f/S^o = Sⁱ/f なので、_S^o _Sⁱ_=f²

※ この式で、BO = a = S^o+f, OD = b = Sⁱ+f として変形すると、  レンズの公式 1/a + 1/b = 1/f が導ける。