統計学復習問題（1
月
26
日）
∗
1. 次の確率を求めてください（空欄を埋めてください）
• 確率変数Xが標準正規分布に従うとき（X ∼N(0,1)）， (a) Pr[X ≤0 ] =
(b) Pr[X ≤1.96 ] =
(c) Pr[X ≥ −1.96 ] =
(d) Pr[−1.00≤X ≤1.96 ] =
• 確率変数Xが平均１，分散４の正規分布に従うとき（X ∼N(1,4)），
(a) Pr[X ≤0 ] という確率を求めてください．このとき，Z =
X−
r
とおくと，
Z∼N(0,1) なので，
Pr[X ≤0 ] = Pr
X−
q
≤
−
= Pr h
Z≤
i
=
(b) Pr[−1≤X ≤1.96 ]という確率を求めてください．
Pr[−1≤X ≤1.96 ] = Pr
−
≤X−
q
≤
−
= Prh ≤Z ≤
i
= PrhZ≤
i
−PrhZ ≤
i
=
2. センター試験の英語について，ある高校で無作為に5人の得点調査をしたところ{138,120,112,140,125}
という結果であった．
(b) この学校における英語の得点の（母集団）平均について，信頼係数0.95の信頼区間の
値を求めてください．
母集団平均をµ，標本平均をX¯，標本分散をS
2
とすると，T =
¯
X−µ √
S2/nとおくと，この
T は に従う．ここから数表を用いて
Pr
"
≤ ¯
X−µ p
S2/n ≤
#
= 0.95
となることも分かる．この式を変形して
0.95 = Pr
"
≤ ¯
X−µ p
S2/n ≤
# = Pr − v u u u u u u u t
≤µ≤ +
v u u u u u u u t
となるので信頼係数0.95の信頼区間は
− v u u u u u u u t , + v u u u u u u u t
となる（母集団平均µがこの区間に含まれる確率は0.95）．したがって先ほど計算した 標本平均の値，標本分散の値を用いて信頼係数0.95の信頼区間の値は
(c) 全国の受験者の平均は131.08点であった．この学校の平均は131.08と異なっていると
言えますか？有意水準５％で仮説検定をしてください
1 母集団平均をµとし，帰無仮説H0: ，対立仮説H1:µ6= 131.08とする
2 有意水準は問題から５％と与えられている
3 検定統計量をT =
−
v u u u u
t
とすると，この検定統計量は
– 帰無仮説H0が正しいとき， に従い，
– 対立仮説H1が正しいとき， ．
4 有意水準が５％なので，棄却域は（ , ）あるいは（ , ）
となる．
5 検定統計量の値は，
t=
−
v u u t
=
という結果から棄却域に ．したがって帰無仮説 は
(d) 同校では前年も同じ調査をし，5人について調べたところ平均値は 135 点，分散値は 140であった．（難易度の変化は無視するとして）この学校の平均得点は変化していると
言えますか？有意水準５％で仮説検定をしてください
1 今年度母集団平均をµ，昨年度はµY とし，帰無仮説H0: µX =µY ,対立仮説H1:
µX< µY
2 有意水準は問題から５％と与えられている
3 検定統計量をZ=
v u u u u
t
とすると，この検定統計量は
– 帰無仮説H0が正しいとき， に従い，
– 対立仮説H1が正しいとき， ．
4 有意水準が５％なので，棄却域は（ , ）となる．
5 検定統計量の値は，
z=
v u u
t
=
という結果から棄却域に ．したがって帰無仮説 は
3. 内閣を支持するかどうかについて，無作為に500人に対して調査を行った．その結果218人
が支持すると回答し，282人が支持しないと回答した．この結果から支持率が５０％未満で あるといえるかどうかを有意水準５％の仮説検定によって確認してください．
1 真の支持率（母集団比率）をpとし，帰無仮説H0: ，対立仮説H0:
とする．
2 有意水準は問題から５％と与えられている．
3 検定統計量をZ=
−
v u u u u
t
とすると，この検定統計量は
– 帰無仮説H0が正しいとき， に従い，
– 対立仮説H1が正しいとき， ．
4 有意水準が５％なので，棄却域は となる．
5 検定統計量の値は，
z=
−
v u u t
=
という結果から棄却域に ．したがって帰無仮説 は
4. 理科系，文科系学部に進学した学生それぞれ5000人を対象として，漢文に対する苦手科目
について調査した．次の表から理系文系間に差はないと言うことはできるでしょうか？
表 1: 文理別，漢文への好嫌
好き 嫌い 計
文系 1,600 3,400 5,000 理系 1,500 3,500 5,000 計 3,100 6,900 10,000
表2: 文理で好みに差がないときの期待度数
好き 嫌い 計
文系 5,000
理系 5,000
計 3,100 6,900 10,000
0 好みに差がないとき，調査対象から一人の人を選ぶとき，その人が『文系であるか理系
であるか』という事象と『好きか嫌いか』という事象は独立になる
– 文系である確率，理系である確率，好きである確率，嫌いである確率はそれぞれ
p1,•=
5000 10000 =
1
2, p2,•=
5000 10000 =
1
2, p•,1=
3100 10000 =
31
100, p•,2=
6900 10000 =
69 100
– 文系であるか理系であるか』という事象と『好きか嫌いか』という事象は独立であ
ると仮定の下でのそれぞれのセルの期待度数は
(1,1)セル: 10000×p1,•×p•,1= 1550, (2,1)セルも同じ結果
(1,2)セル: 10000×p1,•×p•,2= 3450, (2,2)セルも同じ結果
1 帰無仮説H0：漢文の好みに文理間で差はない，対立仮説H1：差がある．
2 有意水準は問題から５％と与えられている．
3 検定統計量は次ページの式を用いて
– 帰無仮説H0が正しいとき， に従い，
主要な結果のまとめ：
• 母集団分布が正規分布で，母集団平均がµ，母集団分散がσ
2
である変数について考える
• 大きさnの標本を無作為に選ぶとすれば，この標本はn個の確率変数を用いて以下のように
表現できる
{X1, X2, X3, . . . , Xn}
– このとき，各確率変数Xi（i= 1,2,3, . . . , n）は，Xi∼N(µ, σ
2
)という性質を持つ．
• 標本平均X¯ と標本分散S
2
は以下の様に定義される
¯
X= 1
n n X
i=1
Xi, S2
= 1
n−1
n X
i=1
(Xi−X¯)2
(1)
• 標本平均について
¯
X ∼N
µ,σ
2
n
, pX¯ −µ
σ2/n ∼N(0,1) ：標準正規分布 (2)
• 標本平均と標本分散を用いて， ¯
X−µ p
S2
/n ∼t(n−1)
：自由度n−1のｔ分布 (3)
• 母集団分布が正規分布でないとき，（中心極限定理によって）以下の結果が近似的に成り立つ ¯
X−µ p
S2/n ∼N(0,1) ：標準正規分布 (4)
• 標本平均の差について：二つの標本{X1, . . . , Xn}（母集団平均µX，母集団分散σ
2
X），{Y1, . . . , Ym}
（母集団平均µY，母集団分散σ
2
Y） ¯
X−Y¯ −(µX−µY)
p S2
X/n+S
2
Y/m
∼N(0,1) ：中心極限定理による近似 (5)
表 3: ２次元分割表
B1 B2 計
A1 X11 X12 X1,• A2 X21 X22 X2,•
計 X•,1 X•,2 X
表 4: 列効果と行効果が独立な場合の２次元分割表
B1 B2 計
A1 X·p1,•·p•,1 X·p1,•·p•,2 X1,• A2 X·p2,•·p•,1 X·p2,•·p•,2 X2,•
