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2012 年版

位相入門

距離空間の位相

酒 井   克 郎

筑波大学・数学系

Introduction to Topology Topology of Metric Spaces

2012 K. Sakaic

はじ めに

ト ポ ロジ ー(位相) の概念は, 現代数学における基本的かつ重要な概念の一つであ る. 何故なら, この概念があって初めて, 極限や連続性を論じることが出来るからであ る. 位相構造を持った集合を位相空間と呼ぶのであるが, 数学で扱う様々な集合の上 に 位相構造を 導入することにより, 様々な位相空間が定義されて, 極限や連続に関連 する議論が 展開され るのである. しかしながら, 位相構造は順序構造や代数構造と比 べて より抽象的で 捉えに くい概念であるので, 「位相入門」の講義では, 一般的な位 相空間を 扱う「ト ポロジーI 」への導入として, 距離空間における点列の収束や写像 の連続性など の位相的な概念を 学ぶ_.

ト ポ ロジ ー (位相幾何学) に興味が持てるように, トピックスとして, ペアノ曲線 (平面や空間の領域を埋め尽くすような閉区間からの連続写像) の構成も内容に含めた が, これは点列コンパクトと一様収束の概念の応用となっている. 可分距離空間がヒ ルベルト 立方体やヒルベルト 空間の部分空間に 同相になることや_{, どんな距離空間も} バナッハ空間に 等長に 埋め込めることなど も扱っている. また, 1 章では, 微積分で学 んだ 事柄の 復習であ るので, 飛ばしても構わないが, 微積分で学んだ事柄がここでど の様に 一般化され ているのか, 随時参照してもらいたい.

このテキ スト は, 教科書というより学習帳として, 「位相入門」の講義で扱う事柄 をまとめたものである. 先生の板書を学生が自分のノートに書き写すだけいう講義を 避けるために, 準備されたものである. 定義や例の後に, 定理や補題などの命題が証明 なし に掲げ られている. 講義では, 新しい概念の意味を解説し, 定理や補題などの命題 の意味と 証明を 行う. 完成した証明を板書するのを避け, 演習で完成させるものも多 い. その他に, 本来なら命題, 定理, 系とすべき命題が演習に含まれているが, 講義の 時間の許す限り, そうした演習では, 何を示すべきなのかを説明を加える. 定理や補題 など の命題および 演習の証明をつけ ることにより, 独自の講義録を完成させてもらう ことを 意図し ている. 講義での説明を聞いても納得のいかない場合には, 先輩や教師 など に 相談し たり, 参考書などを調べたりするなら, 最終的に自分にとって最も納得 のい く証明を 付け ることが 出来る. この様にして, 自分独自の講義録を完成させるな ら, 講義で扱われる事柄を確実に自分のものとすることが出来るであろう.

筑波大学の数学系の 諸先生方, 特に演習を担当した先生方から, また講義を受けた 学生の皆さんからも有益なご 指摘を 沢山頂いたことに, 心から感謝致します.

2012 年 3 月 ^酒井克郎

記 号

• ∀x —^すべての x に対して, . . . [for all x];

• ∃x (such that) — (^{次のよ うな}) x が存在する [there exists x] ( ∃x — ∃x の否 定_);

• p ⇒ q — p^ならば q [p implies q (or) if p then q] (p ⇒ q — p ⇒ q の否定);

• p ⇔ q — p^はq と同値である [p if and only if q] (p ⇔ q — p ⇔ q の否定);

• p =

def^{q (p ⇔}defq) — p (であること) を q (であること) と定義する;

• ∅ —^空集合[empty set];

• x ∈ A — x^は A の元, 要素 [element] (x ∈ A — x ∈ A の否定);

• A ⊂ B — A^はB の部分集合 [subset] (A ⊂ B — A ⊂ B の否定);

• A ∪ B, ^_λ∈ΛAλ — A と B, および (Aλ)λ∈Λ ^の和集合[union];

• A ∩ B, ^_λ∈ΛAλ — A と B, および (Aλ)λ∈Λ ^{の共通部分}[intersection];

• A \ B — A^からB を除いた差集合 [difference];

• A × B, ^_λ∈ΛAλ— A と B, および (Aλ)λ∈Λ^の(直) 積集合 [(direct) product];

• Xⁿ = X × · · · × X

  

n times

— n 個の X の累乗積 [n-th power];

• X^N — 可算無限個の X の累乗積 [countable power];

• P(X) — X^の巾集合[power set];

• f : X → Y (x → f (x)) —^写像[map, function];

• id (idX) — (X の) 恒等写像 [identity (map)];

• _{N =} 1, 2, . . .— 自然数全体の集合 [the natural numbers];

• ω =_{N ∪ {0} =} 0, 1, 2, . . .:

• _{Z =} 0, ±1, ±2, . . .— 整数全体の集合 [the integers];

• Q — 有理数全体の集合 [the rationals];

• R = (−∞, ∞) — 実数全体の集合 [reals], 数直線 [the real line];

• I = [0, 1] —^{単位閉区間}[closed unit interval].

目 次

1 ^{実数の連続性} . . . 1

2 ノルム空間と 距離空間 . . . 5

3 ^{点列の収束と 完備性} . . . 11

4 連続写像と一様連続写像 . . . 15

5 ^同相写像, 埋め込み . . . 17

6 ^近傍, 開集合, 閉集合 . . . 19

7 ^{集合の閉包}, 内部, 境界 . . . 23

8 ^{点列コン パクト} . . . 27

9 ^各点収束, 一様収束, 完備化 . . . 29

10 ^{トピ ックス}— ペアノ曲線とカントール集合 . . . 32

1 ^{実数の連続性}

ここでは, 微積分で学んだ数列の収束と関数の連続に関する事柄を復習する. 定義1.1 数列 [sequence] (xn)n∈N^は,N から R への写像 n → xn^である. 順序を保 つN から N への写像 i → ni(n1< n2< · · · ) との合成 (xnⁱ)i∈N(i.e., i → ni ^{→ x}nⁱ) が _(xn)n∈N の部分数列[subsequence] である.

定義1.2 つぎの条件が成立するとき, 数列 (xn)n∈N^はx に収束 [converge] する, また は_{x は (xn)n∈N}の極限[limit] であるといい, xn → x (n → ∞),^またはlimn→∞xn= x と表す:

∀ε > 0, ∃n0∈N such that n  n0⇒ |x_n− x| < ε

実数_{x, y∈} に 対し て_{,|x − y|}は 数直線 上におけ る₂点_{x, y}の距離なので_, 上の定義は_{, xn}が _xにいくらでも近くに 接近し て行くことを意味し ている_.

演習1.1 収束する数列 (xn)n∈Nの極限は 一意的であることを 示せ_.

演習1.2 収束する数列 (xn)n∈N^{に 対し て}, つぎを示せ:

∀n ∈_{N, x}n^b ⇒ lim

n→∞^xnb

また, つぎが成立しない例を上げよ: ∀n ∈N, xn< b ⇒ limn→∞xn < b

演習_{1.3 数列 (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈N}に 対し て_{, つぎを示せ:}

∀n ∈_{N, xn}_yn_{zn, lim}

n→∞^{xn = lim}n→∞^{zn = x0⇒ lim}n→∞^{yn= x0}

定義1.3 つぎの条件を満たす数列 (xn)n∈N^{をコーシー列}[Cauchy sequence] と呼ぶ:

∀ε > 0, ∃n0∈N such that n, m  n^{0⇒ |x}n− xm| < ε

演習1.4 数列 (log n)n∈N^は, つぎの条件を満たすがコーシー列でないことを示せ:

∀ε > 0, ∃n0∈N such that n  n0⇒ |xn− xn+1| < ε

演習1.5 収束する数列 (xn)n∈Nが コーシー列となることを示せ_.

演習1.6 コーシー列 (xn)n∈Nが 収束する部分列を 持てば_{, (xn)n∈N}自身も収束す ることを 示せ_.

演習1.7 単調増加数列 (または単調減少数列) (xn)n∈N が 収束する部分列を 持て ば_,¹ _(xn)n∈N 自身も収束することを 示せ_.

定義_{1.4 数列 (xn)n∈N}は_{, 集合 {xn| n ∈}N} が有界 (上に有界, 下に有界) のとき, 有 界[bounded] (上に有界 [upper bounded], 下に有界 [lower bounded]) であるという.

演習1.8 コーシー列 (xn)n∈Nは 有界であることを 示せ_.

定義1.5 つぎの条件を満たすR の空でない部分集合の組 (A, B) を R におけるデデ キント 切断[Dedekind cut] と呼ぶ:

(i) R = A ∪ B ; (ii) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x < y

定理1.6 (実数の連続性) R における任意のデデキント切断 (A, B) に対して, A が 最大値を持ちB が持たないか, あるいは B が最小値を持ち A が持たないかのいずれ かが 成立する_.

定理1.7 (ワイエルシュト ラス [Weierstrass] の公理) R の空でない部分集合が上に有 界であれば 上限を 持つ. (下に有界であれば下限を持つ)

定理1.8 上に有界な単調増加数列は収束する. 定理1.9 (実数の完備性) コーシー列は収束する.

定理1.10 (ボルツァーノ・ワイエルシュト ラス [Bolzano-Weierstrass] の定理) 有界 な数列は 収束する部分列をもつ_.

上の5 つの定理 (1.6∼1.10) は実数に関する基本定理で, それぞれの主張は互いに 同値である. すなわち, そのうちの 1 つを仮定すれば他の 4 つを導ける. (補足参照) 定義1.11 関数 f :R → R がつぎの条件を満たすとき, f は x^0∈R で連続 [contin- uous] であるという:

∀ε > 0, ∃δ > 0 such that |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε 大まかに 言えば_,数直線 上において_{, x0} の近くの点は_fによって_{f (x0)}の近 くの点に 写され るという意味である_.

定理1.12 関数 f :_{R → R が x}0 ∈R で連続であるためには, x⁰に 収束するど ん な 数列も_{f (x0}) に収束する数列に写すことが必要十分条件となる. すなわち,

n→∞lim ^{xn = x0⇒ lim}n→∞^{f (xn) = f (x0)} 1

ここでは, 広義単調増加数列 x1 x2 · · · を意味する.

証明 まず_{, f} が_x0で 連続と仮定し て_{, limn→∞xn= x0}とする_.

∀ε > 0^{に 対し て,連続の定義におけ るδ > 0を取る.} すなわち_{,|x − x0}| < δ ⇒ |f(x) − f(x⁰⁾| < ε.

この_{δ > 0}に 対し て_{, limn→∞xn= x0}の定義を適用すると

∃n⁰such that n n0 _{⇒ |x}n_{− x}0_{| < δ.}

δ > 0^{の取り方より}, n n0_{⇒ |f(x}n)_{− f(x}0)_{| < ε.} limn→∞f (xn) = f (x0).

次に_,上の条件を満たすが_{, f}は_x0 で 連続でないと 仮定し て_,矛盾を導く_.

∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ ^{such that}|x − x⁰| < δ, |f(x) − f(x⁰⁾| ^ε.

∀n ∈ ^{に 対し て,}∃xⁿ∈ ^{such that}|xⁿ− x⁰| < n^−1,|f(x) − f(x⁰⁾| ^ε. このとき_{, limn→∞xn= x0}だが_{limn→∞f (xn)= f(x0)}となり矛盾_.

定義1.13 関数 f :R → R が各 x ∈ R で連続であるとき, f は 連続 [continuous] で あるという_:

∀x ∈R, ∀ε > 0, ∃δ > 0 such that |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε

定義1.14 関数 f : R → R がつぎの条件を満たすとき, f は一様連続 [uniformly continuous] であるという:

∀ε > 0, ∃δ > 0 such that |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε 注 連続の 定義に おいて_{, δ > 0}は _x∈ と _{ε > 0}に 依存し て 決まり_,たとえ ε > 0^{の値が 同じ でも}x_∈ ^{が 変われば}, δ > 0の値は変わってもよいが_,一様連 続では_{, δ > 0}は_{ε > 0}だけに 依存し ており_{, x∈} が 変わっても _{ε > 0}の値が 同じ なら_{δ > 0}の値は 変わらない_. 明らかに_,一様連続であれば 連続であるが_,逆 は 一般には 成立し ない_.

演習_{1.9 f :}R → R を f(x) = 2^{xと 定義すると}, f は連続だが一様連続にならな いことを 示せ_.

定義_1.15 R の部分集合 A 上で定義された関数 f : A → R に対しても, 連続および 一様連続が 同様に定義できる. すなわち, 定義における x, y, x0^{など を}, f の定義域 A に限ることにより, 連続と一様連続の定義が得られる.

注 関数_{f : →} が₍一様₎連続であれば_{, f}の_A⊂ への制限_{f|A : A →} も₍一様₎連続であるが_{, f} が 不連続であっても_{f|A : A →} は₍一様₎連続にな り得る_.

演習1.10 関数 f :R → R をつぎのように定義する: f (x) = n if n  x < n + 1, n ∈_Z (1) f は不連続であるが, f |Z は一様連続になることを示せ. (2) f |R \ Z は連続であるが一様連続ではないことを示せ.

補足

ワ イエルシュト ラスの公理_,実数の連続性_,上に有界な単調増加数列は収束すること_,実数の 完備性_,ボルツァーノ・ワ イエルシュト ラスの定理が_,それぞれ 互いに同値であることは_,次の ようにし て示せる_.

実数の連続性 ボルツァ ーノ・ワ イエルシュト ラスの定理

ワ イエルシュト ラスのの公理 _⇐ 実数の完備性

⇓ ⇑

上に 有界な単調増加列は 収束する

(1)^{実数の連続性}_⇒ワ イエルシュト ラスの公理

ヒント 上に有界な集合_A⊂Êの上界_Bとその補集合Ê\ B でデデキント切断を作り, 実数の連続性を適用せよ_{. max(}Ê\ B) が存在しなければ, min B = sup A が存在する. (2)ワ イエルシュト ラスの公理_⇒実数の連続性

ヒント デデ キント の切断(A, B) の A に対して, ワイエルシュトラスの公理を適用せ よ. sup A が max A または min B.

(3)ワ イエルシュト ラスの公理_⇒上に 有界な単調増加数列は 収束する ヒント _sup

n∈ ^{xn= limn→∞xnを示せ. sup}n∈ ^{xnの存在に,ワ イエルシュ}

ト ラスの公理が 必要となる_.

注 下に 有界な単調減少数列_(xn)n∈ も収束し_{, infn∈ xn= limn→∞xn.} (4)上に 有界な単調増加数列は 収束する_⇒実数の完備性

ヒント コーシ ー列_(xn)n∈ に 対し て_{, yn= infi nxi}とすれば_{, (yn)n∈} は 有界な単調増加列_{. limn→∞yn= limn→∞xn}となることを示せ_.

注 上₂つの 証明により_,コーシ ー列_(xn)n∈ に 対し て_{, sup}

n∈ ^{infi nxi=}

limn→∞xn^{が 成立}. ^同様に, infn∈ sup_{i n}xi= limn→∞xn^も成立. (5)^{実数の完備性}_⇒ワ イエルシュト ラスの公理

ヒント 上に有界な空でない部分集合_A⊂ の上界を_B⊂ とするとき_,帰 納的に_{xn∈ A, yn ∈ B (n ∈ )}を 以下のよ うにし て 取る_:

1

2^{(xn+ yn)}∈ B または _{∈ B}に 応じ て_,

xn+1= xn,

yn+1=¹₂(xn+ yn), ^または

xn+1>¹₂(xn+ yn), yn+1= yn.

(yn)n∈ ^{はコーシ ー列となり}, limn→∞yn= sup A^{が 示せ る}. ((xn)n∈ ^{を 用}

いてもよい_.)

(6)^{実数の完備性}_⇒ボルツァ ーノ・ワ イエルシュト ラスの定理

ヒント 有界な数列_(xn)n∈ は_,コーシ ー列となる部分列を持つことを示せ_. (7)ボルツァ ーノ・ワイエルシュト ラスの定理_⇒実数の完備性

ヒント 演習_{1.8, 1.6}を適用_.

注 演習_1.7を用いれば_{, “}ボ ルツァ ーノ・ワ イエルシュト ラスの定理_⇒上に有 界な単調増加数列は 収束する_”も容易に 示せる_.

2 ノルム空間と 距離空間

定義2.1 線形空間 E において, つぎの条件を満たすように, 各 x ∈ E に対して, 実数 値_{x  0}が 定義され ているとき, x を x のノルム [norm], 関数  ·  : E → [0, ∞) を E 上のノルム [norm] と呼び, E = (E,  · ) をノルム空間 [normed space] と呼ぶ:

(N-1) x = 0 ⇔ x = 0 (N-2) tx = |t|x

(N-3) x + y  x + y (三角不等式 [triangle inequation])

ノルムはベクトルの大きさを表し_,実数や複素数の絶対値の拡張である_. 同一の線 形空間上に_,様々なノルムが 定義でき_,異なるノルムが 与えられ るとノルム空間と し ては 別のものになる_.

例 _{2.2 (1)}R = (R, | · |) はノルム空間である.

(2) ユークリッド 空間R^{n において}, 各点 x = (x1, . . . , xn) ∈ R^{n のノルムは つぎ の} ように 定義され る_:

x =x²₁+ · · · + x²_n^0

この ノルムをユークリッド ・ノルム[Euclidean norm] と呼ぶ.

三角不等式の証明 上の定義より_,三角不等式_(N-3)は下の不等式となる_:

n

i=1

(xi+ yi)²

n

i=1

x²_i+

n

i=1

y_i²

両辺を二乗し て_,次の不等式を得る_:

n

i=1

(xi+ yi)²

n

i=1

x²i+

n

i=1

y²i + 2

n

i=1

x²_i

n

i=1

y_i²

左辺の各項は_{(xi+ yi)}

2= x²i+ y²i+ 2xiyi^なので,^{次を示せば よい}:

n

i=1

xiyi n

i=1

x²_i

n

i=1

y²_i

この両辺を二乗し て得られ る次の不等式を示せば よい_:

n

i=1

xiyi

2 _n

i=1

x²i n

i=1

yi²

この 不等式は_,コーシ ー・シュワル ツの 不等式[Cauchy-Schwarz inequality] と 呼ばれ る_. この 不等式の証明には_,

m

i=1^{(xit + yi)} 2

を 展開し て得られ る_t に 関する次の₂次式を考え る_:

m

i=1

x²i t²+ 2

m

i=1

xiyi t +

m

i=1

y²i

これは 負の値を取らないので_,この判別式は 正にはならない_. すなわち_,

m

i=1

xiyi 2

−

m

i=1

x²i m

i=1

y²i 0

(3) 実数列全体は可算無限積R^{Nとし て表せるが}, 各項ごとに和とスカラー倍を定義 することにより, 線形空間となる. 次のようにノルムが定義される_R^{Nの線形部} 分空間が ある_.

ℓ2 =

def

x = (xi)i∈N^∈R^N

∞ i=1

x²_i < ∞



, x =





∞ i=1

x²_i ;

ℓ1 =

def

x = (xi)i∈N∈_R^N

∞ i=1

|xi| < ∞



, x =

∞ i=1

|xi| ;

ℓ∞ =

def



x = (xi)i∈N∈_R^N

sup_i∈N^{|xi| < ∞}



, x = sup

i∈N

|xi|.

ℓ2^{はヒルベルト 空間}[Hilbert space] と呼ばれる. ℓ1_{ ℓ}2_{ ℓ}∞ R^{Nに注意. 実} 際_{, (1,}

1 2^,

1

3, . . . ) ∈ ℓ2\ ℓ1, (1, 1, 1, . . . ) ∈ ℓ∞\ ℓ2, (1, 2, 3, . . . ) ∈R^{N\ ℓ}∞. ℓ2の ノルムの三角不等式の証明

∞

i=1

(xi+ yi)²= lim

n→∞ n

i=1

(xi+ yi)²

n→∞lim

n

i=1

x²_i + lim

n→∞ n

i=1

y_i²=

∞

i=1

x²_i+

∞

i=1

y²_i

注 次の無限級数に 関するコーシ ー・シュワル ツの不等式も_,同様に 有限和の 極限とし て得られ る_:

∞

i=1

xiyi

2 _∞

i=1

x²i

∞

i=1

yi²

演習_{2.1 以下のものも R}ⁿ 上の ノル ムとなることを 示せ_:

x1= |x1| + · · · + |xn| ; x∞= max{|x1|, . . . , |xn|}

演習2.2 単位区間 I = [0, 1] 上の実数値連続関数全体のなす集合 C(I) は, 自然 に定義され る演算で 線形空間となるが, 以下のものが C(I) 上のノルムとなることを 示せ_:

f 1=



t∈I

|f (t)|dt ; f 2=



t∈I

f (t)²dt ; f ∞= sup

t∈I

|f (t)|

定義2.3 集合 X において, つぎの条件を満たす関数 d : X × X → [0, ∞) を X 上の 距離(関数) [metric] と呼ぶ:

(M-1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (M-2) d(x, y) = d(y, x)

(M-3) d(x, y) + d(y, z)  d(x, z) (三角不等式 [triangle inequation])

このと き, X = (X, d) を距離空間 [metric space] と呼び, d(x, y) を 2 点 x, y 間の距 離[distance] という.

距離が 与えられている₍定義され ている₎集合が 距離空間である_. この場合_,その 元₍要素₎は点と呼ぶ_. 同一の集合上に_,様々な距離が 定義でき_,異なる距離が 与え られ ると距離空間とし ては 別のものになる_.

例 2.4 ノルム空間 E = (E,  · ) において, d(x, y) = x − y が E 上の距離になり, これをノルム_{ ·}より導入される距離[induced metric] と呼ぶ. 断りのない限り, ノル ム空間E = (E, ·) は, この距離で距離空間とみなす. 数直線R は d(x, y) = |x − y| を距離とする距離空間であり, ユークリッド 空間_Rⁿ は 次の距離が 与えられ た距離空 間である_:

d(x, y) = x − y =^(x1− y1)²+ · · · + (xn− yn)²

ここで_{, x = (x1}, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rⁿ. この距離を ユークリッド の距離 [Euclidean metric] と呼ぶ.

例 2.5 単位区間 I = [0, 1] の可算無限積 I^Nは次のように 定義され る距離を 持つ_: d(x, y) = sup

n∈N

n⁻¹|x_n− y_n|.

ここで_{, x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N∈ I}

N. 距離空間 I^N= (I^N, d) をヒルベルト 立方体 [Hilbert cube] と呼ぶ.

演習2.3 集合 X の 2 点 x, y に対して, つぎのように定義される d0(x, y) が X 上の距離になることを 示せ_:

d0(x, y) =

def

⎧⎨

⎩

0 if x = y, 1 if x = y,

定義2.6 上の演習で定義された距離 d0^を X 上の離散距離 [discrete metric] と呼び, X = (X, d0) を離散距離空間 [discrete metric space] と呼ぶ.

命題2.7 有限個の距離空間 X1 = (X1, d1), . . . , Xm = (Xm, dm) の直積集合 X = X1× · · · × Xm^の2 点 x = (x1, · · · , xm), y = (y1, · · · , ym) ∈ X に対して, 以下のよ うに 定義され るd(x, y) は X 上の距離である:

d(x, y) =

def

d1(x1, y1)²+ · · · + dn(xm, ym)²

三角不等式の証明 上の定義より三角不等式_(M-3)は次の不等式となる_:

m

i=1

di(xi, yi)²+

m

i=1

di(yi, zi)²

m

i=1

di(xi, zi)²

左辺を二乗すると

m

i=1

di(xi, yi)²+

m

i=1

di(yi, zi)²+ 2

m

i=1

di(xi, yi)²

m

i=1

di(yi, zi)²

各_diに 関する三角不等式を二乗すると_,次の不等式を得る_:

di(xi, yi)²+ di(yi, zi)²+ 2di(xi, yi)di(yi, zi) di(xi, zi)²

よって_,次の不等式を示せば よい_:

m

i=1

di(xi, yi)²

m

i=1

di(yi, zi)²

m

i=1

di(xi, yi)di(yi, zi)

この両辺を二乗し て得られ る次の不等式を示せば よい_:

m

i=1

di(xi, yi)²

m

i=1

di(yi, zi)²

m

i=1

di(xi, yi)di(yi, zi)

2

この不等式は_{, di(xi, yi) = ai, di(yi, zi) = bi}とおけば_,コーシ ー・シュワルツの 不等式となる_{. (}例_2.2(2)三角不等式の証明参照₎

定義2.8 上の命題で定義された距離 d を X = X1× · · · × X_m^{上の直積距離}[product metric] と呼び, X = (X, d) を直積 (距離) 空間 [product (metric) space] と呼ぶ.

注 ユークリッド 空間 ⁿは_{, n}個の数直線 の直積空間である_.

演習2.4 命題 2.7 において, 以下の ρ1, ρ∞^{も直積集合}X = X1× · · · × X_m^上の 距離になることを 示せ_:

ρ1(x, y) =

def^{d1(x1, y1}) + · · · + dn(xm, ym) ; ρ∞(x, y) =

def^{max{d1(x1, y1}), · · · , dn(xm, ym)}

注 上の演習におけ る距離も直積距離と呼ぶ場合もある_{. —}演習_3.8参照_.

定義2.9 距離空間 X = (X, d) において, 点 x ∈ X の ε-近傍 [ε-neighborhood] BX(x, ε) をつぎのように定義する (しばしば X を省略して, B(x, ε) と書く):

BX(x, ε) =

def

y ∈ X d(x, y) < ε

演習_{2.5 座標平面R}²₌R × R において, ユークリッドの距離 d (例 2.4), 演習 2.1 のノルム_x1と _x∞によって定義され た距離_{d1, d∞}を考え, それぞれに関して, 原点0 = (0, 0) ∈R^2の ε-近傍を図示せよ.

例 2.10 離散距離空間 X において, x ∈ X の ε-近傍 BX(x, ε) は次のようになる: BX(x, ε) =

⎧⎨

⎩

{x} for ε  1, X for ε > 1

定義2.11 集合 X 上の距離 d を部分集合 A ⊂ X 上に制限すれば, A 上の距離 dA = d|A × A が得られるが, A = (A, dA) を X = (X, d) の部分 (距離) 空間 [subspace] と呼ぶ. 混乱の恐れのない場合には, dA ^{を 同じ 記号}d で表す.

演習2.6 ユークリッド 平面 _R^{2の部分空間}

A = {(x, y) ∈_R²| (xy)^21} ⊂_R²

において, 点 a = (1, 1) ∈ A の ε-近傍を, ε > 0 の値を変えて図示せよ.

定義2.12 距離空間 X = (X, d) において, 空でない部分集合 A ⊂ X の直径 [diam- eter] をつぎのように定義する:

diam A =

def^sup

d(x, y) x, y ∈ A

diam A < ∞ のとき, A は有界 [bounded] であるという. 全空間 X が有界 (i.e., diam X < ∞) となる距離 d を有界 [bounded] な距離と呼ぶ. さらに, X の空でない 部分集合A, B の間の距離 [distance] をつぎのように定義する:

d(A, B) =

def^inf

d(x, y) x ∈ A, y ∈ B

A = {x} のとき, d({x}, B) は d(x, B) と書く. すなわち, d(x, B) = infy∈Bd(x, y).

演習2.7 距離空間 X = (X, d) の空でない部分集合に関して, つぎを示せ. (1) A ⊂ B ⇒ diam A  diam B.

(2) A ⊂ A^′, B ⊂ B^′⇒ d(A, B)  d(A^′, B^′). (3) |d(x, A) − d(y, A)|  d(x, y).

(4) diam A ∪ B  d(A, B) + diam A + diam B.

定義2.13 距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への距離を変えない写 像f : X → Y (i.e., dY(f (x), f (y)) = dX(x, y)) を等長写像 [isometry] あるいは等長 埋め込み[isometrically embedding] と呼ぶ.

演習2.8 等長写像が単射になることを示せ.

定義2.14 距離空間 X = (X, dX) と距離空間 Y = (Y, dY) は, 全単射となる等長写 像f : X → Y が存在するとき, 等長 [isometric] であるといい, X ≡ Y と表す. 上の 演習より, 全射となる等長写像は全単射であることに注意せよ.

距離空間_X と _Y は_,等長であ るとき_,距離空間とし て全く同じ 性質を持ってい る_. 等長写像_{f : X→ Y} が 存在するとき_{, X}と_Y の部分空間_{f (X)}は 等長なの で_,両者は_f によって同一視でき_{, X}は_Y に 等長に埋め込まれ る[isometrically

embedded]^{とい う}. ^{そのよ うな意味で}, 等長写像を 等長 埋め込み とも呼ぶので

ある_.

距離空間X, Y , Z に対して, つぎが成立する:

X ≡ X ; X ≡ Y ⇒ Y ≡ X ; X ≡ Y, Y ≡ Z ⇒ X ≡ Z

例 2.15 距離空間 X = (X, dX), Y = (Y, dY) の直積距離空間 (X × Y, d) において, 任意のy ∈ Y に対し, 写像 iy: X → X × Y を iy(x) = (x, y) と定義すれば, iy^{は 等}

長写像になる. また, 直積距離 d を演習 2.4 における距離 ρ1, ρ∞^{で 置き換えても}iy

は等長写像である_.

3 ^{点列の収束と 完備性}

定義3.1 距離空間 X = (X, d) における点列 [sequence] (xn)n∈N^とは,N から X へ の写像_{n → xn}である_{. 順序を保つ}N から N への写像 i → ni(n1< n2< · · · ) との 合成_(xni)i∈Nを 点列_(xn)n∈Nの部分点列[subsequence] と呼ぶ.

定義3.2 距離空間 X = (X, d) において, つぎの条件が成立するとき, 点列 (xn)n∈N

が 点x ∈ X に収束 [converge] するといい, xn→ x (n → ∞) ^またはlimn→∞xn= x と表す_:

∀ε > 0, ∃n0∈N such that n  n0⇒ d(x_n, x) < ε

i.e., n  n0⇒ x_n∈ B(x, ε).

演習3.1 収束する点列の収束先は一意的に決まること, すなわち, 点 x ∈ X に収 束する点列_(xn)n∈Nは x 以外の点には収束しないことを示せ.

定義3.3 直積集合 X = X1× · · · × X_m ^{から 各成分} Xi ^{への 射影} [projection] を pr_i: X → Xi^{と 表す}. すなわち, pr_i(x1, . . . , xm) = xi. また可算無限個の X の累乗 積_X

N

に 関し ても_{, 同様に射影 prk : X}

N→ X, k ∈_{N, を prk}((xi)i∈N) = xk ^と定義

する_.

演習_{3.2 距離空間 X1 = (X1, d1}), . . . , Xm = (Xm, dm) の直積距離空間 X = X1× · · · × Xm^において, 点列 (xn)n∈N^が x に収束するための必要十分条件は, 各成 分_Xi におけ る点列_{(pri(xn))n∈N}が _pri(x) に収束することであることを証明せよ.

演習3.3 例 2.5 で定義したヒルベルト立方体 I^{Nにおいて}, 点列 (xn)n∈N^が x に 収束するための必要十分条件は_{, 各 i ∈}N に対し, I における数列 (pri^(xn))n∈N^が

pr_i(x) に収束することであることを証明せよ.

定義3.4 距離空間 X = (X, d) において, つぎの条件を満たす点列 (xn)n∈N ^をコー

シー点列[Cauchy sequence] と呼ぶ:

∀ε > 0, ∃n0∈N such that n, m  n0⇒ d(xn, xm) < ε

演習3.4 距離空間 X = (X, d) における収束点列 (xn)n∈Nはコーシ ー点列である ことを 示せ_.

演習_{3.5 距離空間 X1 = (X1, d1}), . . . , Xm = (Xm, dm) の直積距離空間 X = X1× · · · × Xm^{におけ る点列}(xn)n∈Nが コーシー点列であるための必要十分条件は_, 各成分_Xiにおけ る点列_{(pri(xn))n∈N}がコーシ ー点列であることを 証明せよ_.

定義3.5 距離空間 X = (X, d) において, どんなコーシー点列もある点に収束すると き, X (または d) は完備 [complete] であるという.

例 3.6 定理 1.9 によれば,_{R は完備である.} 命題3.7 離散距離空間は完備である.

証明概略 離散距離空間おけるコーシー点列_(xn)n∈ では_,十分大きな_n∈ に 対する_xnは 一定である_.

すなわち_{,∃n ∈} such that xn= xn+1= xn+2=_{· · ·}

命題3.8 完備距離空間 X1, . . . , Xm ^{の 直積距離空間}X = X1× · · · × X_m^{は 完備で} ある. 特に, ユークリッド 空間_R^{nは 完備である}.

証明概略 演習_3.5と演習_3.2を組み合わせる_.

定義3.9 完備ノルム空間を バナッハ空間 [Banach space] とよぶ.

例 3.10 (1) ユークリッド 空間_Rⁿ= (_Rⁿ,  · ) はバナッハ空間である (例 2.2(2)). (2) ℓ1, ℓ2, ℓ∞^{はバナッハ空間である}(例 2.2(3)).

ℓ2^{の完備性の証明} ℓ2^{のコーシ ー点列}(xn)n∈ が 収束することを示す_.

∀i ∈ ^{に 対し, (pr}i^{(xn))n∈ がコーシ ーなので, の完備性より,}

∃y^{i= limn→∞pr}i^(xn)∈

このとき_{, y = (yi)i∈ ∈ ℓ2} であることと_(xn)n∈ が_yに 収束することを示す_. まず_{, y∈ ℓ2}であること_,すなわち_,

∞ i=1^y

2

i ^<∞^を示す.

∞ i=1^y

2

i =_∞^{と仮定し て},^{矛盾を導く}

(_xn_)n∈ がコーシ ーより有界なので_,∃r > 0, ∀n ∈ , xⁿ < r 仮定より_{∃k ∈ such that}

k i=1^y

2

i > r²+ 1 各i = 1, . . . , k^{に 対し て}, yi²= limn→∞pr_i(xn)^2より,

∃nⁱ∈ such that n ni_{⇒ |pri}(xn)²_{− yi}²_{| < 1/k} m = max_{n1, . . . , nk_}^とおくと

x^m²

k

i=1

pr_i(xm)²

k

i=1

y_i²₋

k

i=1

|y²i − pri^(xm) 2|

> r²+ 1_{− 1 = r}² —^矛盾!

次に_(xn)n∈ が_yに 収束することを示す_.

∀ε > 0^{に 対し て, (xn)n∈ がコーシーなので,}

∃n⁰∈ such that m, n n0_{⇒ x}n_{− x}m_{ < ε/2}

このとき_,∀k ∈ , ∀m, n ^{n0 に 対し て,}

k

i=1

(pr_i(xn)_{− pri}(xm))²

∞

i=1

(pr_i(xn)_{− pri}(xm))²< ε²/4

各i = 1, . . . , k^{に 対し て}, yi= limn→∞pr_i(xn)^より,

∃nⁱ∈ such that n ni_{⇒ |pri}(xn)_{− y}i_{| < ε/2}

√k m = max_{n1, . . . , nk_}^とおくと

k

i=1

(pr_i(xn)_{− y}i)²

k

i=1

(pr_i(xn)_{− pri}(xm))²+

k

i=1

(pr_i(xm)_{− y}i)²

< ε²/4 + ε²/4 = ε²/2 し たが って_,次を得る_:

∞

i=1

(pr_i(xn)_{− y}i)²= sup

k∈ k

i=1

(pr_i(xn)_{− y}i)² ε²/2 < ε²

すなわち_{,∀n n0,xn− y ε}

演習_{3.6 ℓ1}と _ℓ∞ の完備性を 示せ_.

定義3.11 集合 X 上の 2 つの距離 d と ρ がつぎの 2 条件を満たすとき, 互いに同 値[equivalent] であるという:

∀ε > 0, ∃δ > 0 such that d(x, y) < δ ⇒ ρ(x, y) < ε;

∀ε^′> 0, ∃δ^′> 0 such that ρ(x, y) < δ^′ ⇒ d(x, y) < ε^′

演習3.7 集合 X 上の距離 d に対して, つぎのように定義される d^∗と d が d と^˜ 同値な距離となることを 示せ_:

d^∗(x, y) =

defmin{1, d(x, y)} ; d(x, y) =^˜

def

d(x, y) 1 + d(x, y)

演習3.8 演習 2.4 の距離 ρ1, ρ∞ ^{は 命題} 2.7 の直積距離 d に同値になることを 示せ_.

ヒント _ρ∞(x, y) d(x, y) ρ1(x, y)^{に 注意せよ}.

演習3.9 (1) 例 2.5 で定義したヒルベルト立方体 I^Nの距離d が以下の 2 つの距 離 _{ρ1, ρ2}に同値であることを 示せ_:

ρ1(x, y) =

def

∞ n=1

2⁻ⁿ|x_n− y_n| ; ρ2(x, y) =

def





∞ n=1

1

n^{2(xn− yn)}

2_.

ヒント 任意の_{ε > 0}に 対し て, d(x, y) < δ_{⇒ ρ}1(x, y) < ε (ρ2(x, y) < ε)^と なる_{δ > 0}を見付け るには_,

∞ n=1²

−n_<

∞ ^∞n=1ⁿ

−2<_∞ ^{に 注意し て}, それぞれの 距離を定義する無限和を有限和の項と_ε/2未満の 無限和の 項に 分 けて考えよ_.

逆に_,任意の _{ε > 0}に 対し て_{, ρ1}(x, y) < δ (ρ2(x, y) < δ)⇒ d(x, y) < ε^とな る_{δ > 0}を見付け るには_,有限個の_n∈ を除き_{1/n < ε}となることに 注意 せよ_.

(2) 以下の距離 ρ∞^{はヒルベルト 立方体}I^Nの距離d に同値ではないことを示せ: ρ∞(x, y) =

def ^sup_n∈N^{|xn− yn|.} ヒント 定義_3.11の否定を考えよ_.

演習3.10 集合 X 上の完備距離 d と同値な距離 ρ が完備になることを示せ.

演習3.11 線形空間 X 上の 2 つのノルム  · ,  · ^′ に よって導入され た 距離_d と _d^′が 互いに 同値になるためには, つぎの 2 条件を満たすことが必要十分であるこ とを 示せ_.

∃δ > 0 such that x^′< δ ⇒ x < 1;

∃δ^′> 0 such that x < δ^′⇒ x^′< 1.

演習3.12 (1) 演習 2.1 における_R^{n の} 2 つのノルム x1, x∞^{により導入さ}

れ る距離は, ユークリッド 距離と同値になることを示せ. よって,R^{n はこれらの} ノルムに 関し てもバナッハ空間となる_.

(2) 例 2.2(3) において, ℓ1⊂ ℓ2⊂ ℓ_∞^{であるので}, ℓ2^および ℓ∞^{の ノルムを}ℓ1 ^上に

制限することにより_{, ℓ1}上に 3 つのノルムを考えることができるが, これら 3 つ の ノルムの導入する_ℓ1上の距離は, 互いに同値にはならないことを示せ.

ヒント 演習_3.11の 否定を 示せ_. なお_{, “x < δ}

′ ⇒ x^{′ < 1”の否定は,}

“∃x such that x < δ^′,x^{′ 1”となる.}

4 連続写像と 一様連続写像

定義4.1 距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への写像 f : X → Y が つぎ の条件を 満たすとき, 点 x ∈ X で連続 [continuous] であるという:

∀ε > 0, ∃δ > 0 such that dX(x, y) < δ ⇒ dY(f (x), f (y)) < ε

i.e., f (BX(x, δ)) ⊂ BY(f (x), ε)

各点x ∈ X で連続であるとき, f は連続 [continuous] であるという. すなわち,

∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 such that dX(x, y) < δ ⇒ dY(f (x), f (y)) < ε 注 上の定義において_{, δ > 0}は_{x∈ X} と_{ε > 0}に 依存する_.

定義4.2 距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への写像 f : X → Y が つぎ の条件を 満たすとき, 一様連続 [uniformly continuous] であるという:

∀ε > 0, ∃δ > 0 such that dX(x, y) < δ ⇒ dY(f (x), f (y)) < ε 注 _{δ > 0}は_{ε > 0}だけに依存し て決まり_{, x∈ X}の取り方には 依存し ない_. 注 集合_X 上の距離_dと_ρが 同値であるとい うのは_{, idX : (X, d)→ (X, ρ)}お よび_{idX: (X, ρ)→ (X, d)}が 一様連続であることを意味する_.

定理4.3 距離空間 X = (X, dX), Y = (Y, dY), Z = (Z, dZ) に対して, 連続写像 f : X → Y と g : Y → Z の合成 gf : X → Z は連続である. さらに, f , g が一様連 続ならば gf も一様連続である.

演習4.1 連続と一様連続の定義に沿って, 上の定理を証明せよ.

上の定理において, X を Y の部分空間で f を包含写像とすれば, 次が得られる: 系 4.4 距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への写像 f : X → Y の部 分空間A ⊂ X への制限 f |A : A → Y は連続である.

定理4.5 距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への写像 f : X → Y が 点x ∈ X で連続であるためには, つぎの条件が必要十分である:

∀xn∈ X (n ∈_{N), lim}

n→∞^{xn= x ⇒ lim}n→∞^{f (xn) = f (x).}

演習4.2 定理 1.12 の証明に倣って, 上の定理を証明せよ.

定理4.6 距離空間の間の (一様) 連続写像 f : X → Y は, X と Y の距離を同値な距 離で 置き換えても(一様) 連続である.

定理_{4.7 距離空間 X1= (X1, d1}), . . . , Xm= (Xm, dm) の直積空間 X = (X, d) (i.e., X = X1× · · · × Xm) に対して, つぎが成立する:

(1) X から各成分 Xi ^への射影pr_i: X → Xi^{は 一様連続である}.

(2) X への写像 f : Y → X が連続であるための必要十分条件は, 各 Xi ^{への 写像}

fi= pr_if : Y → Xiが 連続となることである_.

演習4.3 距離空間 X からヒルベルト立方体 I^{Nへの 写像}f : X → I^{Nが 連続とな} るためには_{, 各 fi= pri}f : Y → I が連続となることが必要十分条件であることを示 せ_{. ただし, pr}

i^{: I}

N→ I^は第i 座標への射影である.

演習4.4 距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への一様連続写像 f : X → Y は X のコーシー点列を Y のコーシー点列に写すことを示せ.

演習4.5 完備距離空間 X = (X, dX) から距離空間 Y = (Y, dY) への一様連続な 全射f : X → Y が存在すれば, Y は完備となるか? 証明または反例を与えよ.

5 ^同相写像 , ^埋め込み

定義5.1 距離空間 X から距離空間 Y への全単射 f : X → Y が連続で, その逆写像 f⁻¹: Y → X も連続になるとき, f を同相写像 [homeomorphism] と呼ぶ. また, 同 相写像f : X → Y が存在するとき, X と Y は互いに同相 [homeomorphic] であると いい, X ≈ Y と表す.

命題5.2 同相写像の逆写像も同相写像であり, 2 つの同相写像の合成写像も同相写像 である_.

これ より, 距離空間 X, Y , Z に対して, つぎが成立する.

X ≈ X ; X ≈ Y ⇒ Y ≈ X ; X ≈ Y, Y ≈ Z ⇒ X ≈ Z

定義5.3 集合 X 上の 2 つの距離 d と ρ に関して, 恒等写像 idX : (X, d) → (X, ρ) が 同相写像と な ると き, d と ρ は X に同じ位相 [topology] (または, 同じ位相構造 [topological structure]) を導入するという. これは, つぎの条件と同値である:

∀x, ∀x_n∈ X (n ∈_{N), lim}

n→∞^d(xn, x) = 0 ⇔ lim

n→∞^{ρ(xn, x) = 0} 注 ここでは_,位相₍構造₎が 何であるかを定義し ていないが_{, “}点列の収束や写像 の 連続を 扱 うことの出来る構造_”と 理解し ておいてもら いたい_. 次の 章で_,位相 (^構造)が 何であ るかを 定義する_. 点列の 収束や 写像の 連続を扱 う場合_,同じ 位相 を導入する距離であれば_,ど の距離を用いてもか まわない_.

命題5.4 互いに同値な 2 つの距離は X に同じ位相を導入する.

定義5.5 距離空間 X がある性質をもつならば, それと同相な距離空間 Y もその同 じ 性質をもつとき, その性質を位相不変的な性質 (位相不変量) [topological invariant] と呼ぶ_.

位相不変的な性質₍位相不変量₎は_,距離に 依存し ない性質であり_,これによって_, 2つの距離空間が 同相であるか 否かを判定できる_. 同相であることを示すのには_, 同相写像を作れば よいが_,同相でないことを示すのには_,ある位相不変量を共有し ないことを示せば よい_.トポロジ ー₍位相幾何学₎という学問は位相不変的な性質 を調べる学問といえ る_.

例 5.6 完備であるという性質は位相不変的な性質ではない. 実際, 普通の距離で数直 線R は完備であるが, 開区間 (−1, 1) は完備ではない. しかし, R と (−1, 1) は同相 である_.

演習5.1 2 つの離散距離空間が同相であるためには, それぞれの濃度が等しいこと が 必要十分であることを 示せ_.