情報・統計処理
統計パート 第
7
回
臨床試験管理センター西山毅（たけし）
nishiyama@minos.ocn.ne.jp
推定のまとめ
神の世界 = 母集団について限られた情報しかもたな
いわれわれ人間は，統計モデルを通じて何とか神さ
ましか知らない真の値 = パラメータを見積もる
パラメータの見積りを推定と呼ぶ
母集団（ population ） 標本（ sample ）
神の世界
神の世界
ランダム人間界
人間界
サンプリング
ランダム
サンプリング
統計モデル
推定のまとめ（続）
res = lm( 統計モデル，データ名）でいっ
たん推定結果を変数 res に入れる
res⇒ 点推定値
confint(res)⇒95% 信頼区間
res = lm( 統計モデル，データ名）でいっ
たん推定結果を変数 res に入れる
res⇒ 点推定値
confint(res)⇒95% 信頼区間
使う統計モデルを決める
Y=α+β1X1+β2X2+ 誤差 ε
Y は量的変数
2011
年医師国家試験
新しく発売された抗菌薬 A の肺炎に対する治療効果を調べるために
，新たに入院する肺炎患者を対象として，抗菌薬 A を投与した群 （ A 群）と既存の抗菌薬 B を投与した群（ B 群）とに割りつけて， 治療効果を入院期間で比較検討した．得られた結果を表に示す．
この結果の解釈について正しいのはどれか．
a. A 群は B 群に比べて入院期間が平均で 3.6% 短い． b. A 群の入院期間の平均値の誤差は 3.6% 以内である．
c. A 群の方が B 群よりも入院期間が短くなる確率は 3.6% である． d. A 群の 96.4% の患者は入院期間が B 群の平均入院期間より短い． e. A 群と B 群とで入院期間に差がないのに，誤って差があるとする確
検定
とは
男なら X=1, 女なら X=0 というダミー変数を使え ば，
体重に男女差があるか？
⇒β=0 or β≠0
パラメータに関する仮説が正しいかどうか手持ちの
データを使ってテスト（検定 test ）すること
• （女）体重の測定値 Y = α+ 誤差 ε
（男）体重の測定値 Y= α + β +
誤差 ε
• 誤差 ε は正規分布
• （女）体重の測定値 Y = α+ 誤差 ε
（男）体重の測定値 Y= α + β +
誤差 ε
• 誤差 ε は正規分布
• 体重の測定値 Y= α + βX + 誤差 ε • 誤差 ε は正規分布
検定のコンセプト
① 研究で主張したいことを対立仮説 H1 とする ② その反対の否定したい仮説：帰無仮説 H0 も
立てる
③ H0 の世界のもとではサンプルデータが得ら
れる確率はスゴク小さい⇒ H1 と判断しよう
まず言いたいことの反対を否定して，間接的
に主張が正しいと判断する点で検定は背理法
である
H0
さっきの例では
第 1 ステップ：仮説をたてる
示したいのは， H1:β≠0
その反対の仮説 H0:β=0
第 2 ステップ：検定統計量 T （ Y ）を決め
る
この場合は，
• 体重の測定値 Y= α + βX + 誤差 ε
（男 X=1 vs 女 X=0 ）
• 誤差 ε は正規分布
• 体重の測定値 Y= α + βX + 誤差 ε
（男 X=1 vs 女 X=0 ）
• 誤差 ε は正規分布
この場合の
T
の分布は
T の確率密度関数 f(t) は，サンプル数を
n とすると，
ただし，
なぜこの場合の検定統計量とその分布が
こうなるの？
⇒知らなくてもやっていけます
第２ステップの補足
統計モデルと仮説を決めれば，「最適」な検
定統計量 T(Y) が理論的に導ける
H0 のもとでの T(Y) の分布を考える
⇒H1 を考えない． H ０の場合のみを考えること に注意
検定統計量
T （ Y ）
検定統計量
T （ Y ）
統計モデル
仮説
統計モデル
仮説 ブラックボックス
検定では H0 の場合だけを考える
２つのエラー
H0 が正しいのに，間違って H1 を正しいと
判定する確率： α
H １が正しいときに，間違って H0 を正し
いと判定する確率： β
この表は縦向きにみる
H1 が正しいときに， 検定（ Test ）で H0 と
判定する確率 β
H0 が正しいときに，
検定で H1 と判定する
確率 α
True
Te
s
t
’
２つのエラー（続）
言葉で覚えると混乱するから式で覚えよう
α = P(H1’ | H0)
β = P(H0’ | H1)
◯ のもとで△となる確率 P （△ |□ ）
True
Te
s
t
’
’
α と β はトレードオフ
どちらか一方を決めれ
第３ステップ
検定では， α の方を決める⇒自動的に β も決ま
る
検定に先立って，あらかじめ決める α の値を有
意水準と呼ぶ
慣例的に α=0.05 とすることが多い
理論的な根拠は何もない
P
値
とは何か？
H0: β=0 のもとでの T の分布は左図
T(Y) の式より， T
が ±∞ に近いほど
H0 に矛盾して，
「 H1 っぽく」なる ．
-4 -2 0 2 4
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d t( x, 1 6 3 8 )
H1 H0 H1
T
P
値
とは何か？
T （ Y ）が，
「 H1 っぽい」 両端にきたら，
H1 と判定し，中 心部にきたら H 0 と判定しよう ．
どこで線引きす
るか？
-4 -2 0 2 4
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d t( x, 1 6 3 8 )
H1 H0 H1
T
P
値
とは何か？
灰色の面積（確
率） =0.05 となる T の値（ T < -1.9 6, 1.96 < T ）を H 1 か H0 の区切りと しよう
この部分の T をと
る場合は， H0 より
H1 である可能性が
高いから
-4 -2 0 2 4
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d t( x, 1 6 3 8 )
H1 H0 H1
T
-4 -2 0 2 4
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d t( x, 1 6 3 9 )
-4 -2 0 2 4
-4 -2 0 2 4 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d t( x, 1 6 3 8 )
-4 -2 0 2 4
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 x d t( x, 1 6 3 8 )
T （データ）
P
値
とは何か？
T( データ）より H1
側の確率＝ P 値とよ ぶ
T （データ） =2.1
では， P 値 =0.036
α=0.05 の領域に
T （データ）が入る ⇔ P 値 <0.05
第
５
ステップ
P 値 <0.05⇒H1 と判定
H0 を棄却すると言う
P 値≧ 0.05⇒H0 と判定
H0 を採択すると言う
有意水準 α は検定前に決める値であり， P
値はサンプルデータから得られる点に注意
P
値
<α⇒H1
検定手
順
のまとめ
まず統計モデルを決め
第１ステップ：仮説を決める
第２ステップ：検定統計量 T （ Y ）を決める 第３ステップ：有意水準 α を決める
第４ステップ： P 値を求める
第５ステップ： H0 or H1 を判定する
この中で我々がやらねばならないのは
統計モデルを決める 仮説を決める
有意水準を決める
検定手
順
のまとめ（続）
さらに，慣れるまでは有意水準 α=0.05 と
しておけば良いから，実際にやることは ，
統計モデルをたて，仮説を決めるだけ．
他は全部 R がやってくれる．
R
でやってみまし
ょ
う
demo.csv を読み込んで，変数 d に代入
d = read.csv(“demo.csv”)
この統計モデルの解析結果を変数 res に代
入
res=lm(Wt~Sex,d)
• 体重の測定値 Y= α + βX + 誤差 ε
（男 X=1 / 女 X=0 ）
• 誤差 ε は正規分布
• 体重の測定値 Y= α + βX + 誤差 ε
（男 X=1 / 女 X=0 ）
• 誤差 ε は正規分布
仮説 H0: β=0 vs H1:β≠0
R
でやってみまし
ょ
う
summary(res)
統計モデルしか R に指定していない．仮説設
定はどうなってるの？
線形モデルの関数 lm では， H0: α=0 vs H1:α≠0
H0: β=0 vs H1: β≠0
の仮説を自動的に設定してくれる．
P 値
P 値
α α
β β
線形モデルでは
H0: β=0 vs H1: β≠0
以外は使わない
線形モデルでは
H0: β=0 vs H1: β≠0
真の体重
α
に
目星
がついている場合
実際の研究でこんな仮説を使うことはないが…
これは関数 lm ではできないので，関数 t.test を使う
t.test(d$Wt, mu=50)
t = 30.1383, df = 1639, p-value < 2.2e-16 95 percent confidence interval:
57.53596 58.58513 sample estimates: mean of x
58.06055
• 体重の測定値 Y = 真の体重 α+ 誤差 ε • 誤差 ε は正規分布
• 体重の測定値 Y = 真の体重 α+ 誤差 ε • 誤差 ε は正規分布
P 値
P 値
α の 95% 信頼 区間
α の 95% 信頼 区間
α の推定値
α の推定値
仮説 H0: α=50 (kg) vs H1:α≠50 (kg)
体重が
性別
と
身長
で決まるモデルでは
R ではこの仮説設定はデフォルトでやって
くれるから，統計モデルだけ指定すれば O K
res=lm(Wt~Sex+Ht, d)
summary(res)
• 体重の測定値 Y= α + βX + γ× 身長 +
誤差 ε
（男 X=1 / 女 X=0 ）
• 誤差 ε は正規分布
• 体重の測定値 Y= α + βX + γ× 身長 +
誤差 ε
（男 X=1 / 女 X=0 ）
• 誤差 ε は正規分布
仮説 H0: β=0 vs H1:β≠0 H0: γ=0 vs H1:γ≠0
仮説 H0: β=0 vs H1:β≠0 H0: γ=0 vs H1:γ≠0
P 値
体重が
学歴
で決まるモデルでは
levels(d$School ）
[1] "high" "junior" "univ"
高卒が基準になっている⇒中卒を基準にするには
d$School=relevel(d$School, ref=“junior”)
• 体重の測定値 Y= α+β1X1+β2X2+ 誤差 ε
• 誤差 ε は標準正規分布 • 体重の測定値 Y= α+β1X1+β2X2+ 誤差 ε
• 誤差 ε は標準正規分布
X1 X2
中卒 0 0
高卒 1 0
大卒 0 1 仮説 H0: β1=0 vs
H1:β1≠0
H0: β2=0 vs
H1:β2≠0
仮説 H0: β1=0 vs
H1:β1≠0
H0: β2=0 vs
H1:β2≠0
ref ：
reference 基準
ref ：
体重が
学歴
で決まるモデルでは
res=lm(Wt~School, d) summary(res)
高卒の P 値 >0.05⇒H0 ： β =0
「高卒であることは体重に影響しない」
大卒の P 値 <0.05⇒H1 ： β ≠0
「大卒であることは体重に影響する」
P 値 P 値 α
α β1 β1 β2 β2
推定値
仮説を変えてみると
res=lm(Wt~School, d) anova(res)
質的変数のパラメータすべて =0 かどうかを一気
に検定することを分散分析（ ANOVA ）とよぶ
• 体重の測定値 Y= α+β1X1+β2X2+ 誤差 ε
• 誤差 ε は標準正規分布 • 体重の測定値 Y= α+β1X1+β2X2+ 誤差 ε
• 誤差 ε は標準正規分布
仮説 H0: β1=β2=0 vs H1:(β1=β2=0) でない
仮説 H0: β1=β2=0 vs H1:(β1=β2=0) でない
検定のまとめ
統計モデルをたてる
仮説 H0 vs H1 をたてる
有意水準 α を決める（たいていは α=0.05 で OK ） 統計モデルと仮説を R に指定して P 値を求める
2011
年医師国家試験
この P 値の意味は？
統計モデル⇒おそらく， A 群 X=1 / B 群 X=0 の時
入院期間 =α+βX+ 誤差
仮説⇒おそらく， H0 ： β=0 vs H1:β≠0 P 値 =0.036
2011
年医師国家試験
選択肢
a. A 群は B 群に比べて入院期間が平均で 3.6% 短い． b. A 群の入院期間の平均値の誤差は 3.6% 以内である． c. A 群の方が B 群よりも入院期間が短くなる確率は 3.
6% である．
d. A 群の 96.4% の患者は入院期間が B 群の平均入院期
間より短い．
e. A 群と B 群とで入院期間に差がないのに，誤って差
2011
年医師国家試験
A 群と B 群とで入院期間に差がないのに，
誤って差があるとする確率は 3.6% である ．
厳密には下線部は誤り
差がないのに（ H0 ），誤って差がある
（ H1 ）と判定する確率は，検定を行う前
に決めた有意水準 α=5% のハズ．
P 値は，差がないときに（ H0 ），検定統
計量 T が観測値より H1 側の（大きな）値 をとる確率
P 値は，差がないときに（ H0 ），観察値
2011
年医師国家試験
どうやらこの問題を作ったセンセイは， P
