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講義案内 前田研究室 maedalab Partialdiff02

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Academic year: 2018

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(1)

G G G

EEEOOO---

D D D

IIISSSAAASSSTTTEEERRR

P P P

RRREEEVVVEEENNNTTTIIIOOONNN

S S S

YYYSSSTTTEEEMMM 1/4

G G G

EEEOOO

S S S

CCCIIIEEENNNCCCEEE&&&

G G G

EEEOOO

E E E

NNNGGGIIINNNEEEEEERRRIIINNNGGG LLLAAABBB http://www.cm.nitech.ac.jp/maeda-lab/

3. 微分方程式の導出 Introduction of PDE of 2

nd

order

3.1 一次元波動方程式の (Introduction to Wave Propagation in 1D)

・ 微分表記 Detonations for differential

  x t

u

u ,

,

x

u

x

u

 

,

t

u

t

u

 

, 2

2

x

u

xx

u

 

, 2 2

t

u

tt

u

 

・ 微 振幅 Infinitesimal Amplitude

 0

cos   1

,

sin   

,

tan   

:

x

x

x

u

 

 

・ 釣合い式・運動方程式 Equilibrium / Motion Equation

  cos 0

cos

T

x

T dT

xdx x-direction

  sin 0

sin

  dx u

tt

T

x

T dT

xdx y-direction

 0

dT

x-direction

    0

  dx u

tt

T u

x

u

xdx y-direction

   x t T x dx t

T , ,

x-direction

0



  

dx x dx x xx

tt

dx

u

T u

T u

u  

y-direction

振動する弦の 片

x

,

x x

と作用する力

Infinitesimal element

x

,

x x

of bowstring in 1D vibration and forces

T

(internal tension) applied to it.

x x dx

dx

T

T d

T ux dx , t

  x t

u ,

dx x

x x

u

x

tan sin

x

(2)

G G G

EEEOOO---

D D D

IIISSSAAASSSTTTEEERRR

P P P

RRREEEVVVEEENNNTTTIIIOOONNN

S S S

YYYSSSTTTEEEMMM 2/4

G G G

EEEOOO

S S S

CCCIIIEEENNNCCCEEE&&&

G G G

EEEOOO

E E E

NNNGGGIIINNNEEEEEERRRIIINNNGGG LLLAAABBB http://www.cm.nitech.ac.jp/maeda-lab/

4. 微分方程式の解析解 (Analytical solution of PDE)

4.1波動方程式のD’Alembert D’Alembert’s Solution for Differential Equations for Wave Propagation

Differential Equation

xx

tt

V u

u

2 , (

x

,

0  t

) (1)

Initial Conditions: We must two initial conditions to solve wave propagation with second differential equation

   

   

 

 

x

g

x

u

x

f

x

u

t

, 0

0

,

, (

x

) (2)

D’Alembert’s Solution

1.- Replacement:

    x , t ,

 

Vt

x

Vt

x

(3)

 0

u

 (4)

 

 

 

 













u

u

u

V

u

u

u

u

u

u

u

V

u

u

u

u

tt xx

t x

2

2

2

(5)

2.- Integration

       

,

u

; Arbitrary Function

 

as

(6)

      ,

u

(7)

Arbitrary Function

 

as

   

    d

(3)

G G G

EEEOOO---

D D D

IIISSSAAASSSTTTEEERRR

P P P

RRREEEVVVEEENNNTTTIIIOOONNN

S S S

YYYSSSTTTEEEMMM 3/4

G G G

EEEOOO

S S S

CCCIIIEEENNNCCCEEE&&&

G G G

EEEOOO

E E E

NNNGGGIIINNNEEEEEERRRIIINNNGGG LLLAAABBB http://www.cm.nitech.ac.jp/maeda-lab/ 3.- Replacement:

    , x , t

   x t x Vt   x Vt

u ,

(8)

4.- Initial Condition:

   x t x Vt   x Vt

u ,

   

   

 

x

g

x

u

x

f

x

u

t

, 0

0

,

     

     

 

 

 

x

g

x

V

x

V

x

f

x

x

(9)

     

x

x

K

d

g

x

V

x

V

0

(10)

   

x

 

x

K

d

V g

x

f

x

2

0

1

2

1  

(11)

   

x

 

x

K

d

V g

x

f

x

2

0

1

2

1  

(12)

       

 

x Vt

Vt x

d

V g

Vt

x

f

Vt

x

f

t

x

u

2

1

2

, 1

(13)

u

x 0

V: propagation velocity

1 2

t=0 t=1/V t=2/V

φ ( )=C

u

x 0 -1

t=0 t=1/V

t=2/V

(ξ )=C

-2

(4)

G G G

EEEOOO---

D D D

IIISSSAAASSSTTTEEERRR

P P P

RRREEEVVVEEENNNTTTIIIOOONNN

S S S

YYYSSSTTTEEEMMM 4/4

G G G

EEEOOO

S S S

CCCIIIEEENNNCCCEEE&&&

G G G

EEEOOO

E E E

NNNGGGIIINNNEEEEEERRRIIINNNGGG LLLAAABBB http://www.cm.nitech.ac.jp/maeda-lab/ - 特性曲線(Characteristic Curve)

Example-1

Initial condition

   

   

 

0

0

,

0

,

x

g

x

u

x

f

x

u

t

(14)

  x tfx Vt   f x Vt  

u

2

, 1

(15)

characteristic curve

 

   

a a

a a

Vt

x

Vt

x

Vt

x

Vt

x

(16)

Example-2

   

  

 

 

    

0

0

,

int

0

1

1

0 1

,

x

u

s

po

other

the

x x

f

x

u

t

(17)

Characteristic curve x = -1 or 1 , t=0

 

1

1

Vt

x

Vt

x

(18)

t

x

u(x

a

, t

a

)

(x

a

-Vt

a

, 0) 0 (x

a

Vt

a

, 0)

x-Vt=x

a

-Vt

a

x Vt=x

a

Vt

a

x-Vt=0

x Vt=0

u

x

-1 0 1

1

u

x

-1 0 1

1

1/2 1/2

t

x -1

u=0 u=1/2

u=1/2 u=0

u=0 u=0

0 1

u=1

x-Vt=1 x-Vt=-1

xVt=1 xVt=-1

参照

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