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高校数学でマスターする制御工学 訂正一覧

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Academic year: 2017

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(1)

本書に関して貴重なご意見・ご指摘を頂きました柴田浩先生(大阪府立大学名誉教授)、湊原 哲也先生(津山高専)に深く感謝いたします。

ここでは、数式の一部に latex の書式を使用しています。

・p.84, 表 3.1 の二次遅れ系の枠内(第 1 列第 6 行のセル), 微分方程式の右辺「= K_{\omega n}^2 u(t)」→「= K \omega_n^2 u(t)」

・p.106, 式(3.40), 「0≦t<L のとき u(t)=0」→「0≦t<L のとき u(t-L)=0」

・p.106, 式(3.41)の下 2 行目, 「0≦t<L のとき u(t)=0」→「0≦t<L のとき u(t-L)=0

・p.146, (4.33)式, g2 の式の右辺の分子「a_2 - b_1 g_0 - b_2 g_1」→「a_2 - b_1 g_1 - b_2 g_0

・p.228, 索引「ゆ」, 「行きすぎ量 6, 8」を加筆

・p.228, 索引「り」, 「留数定理」に 38 を加筆

■■■ここより下、初版第 4 刷より反映済み■■■

・p.28, 式(2.19)の下 3 行目, 「初期値を無視すれば,1 階」→「初期値を0として無視すれ ば,1 階」

・p.29, 式(2.22), 「初期値を無視」→「初期値を無視(0 とする)」

・p.33, 式(2.30)の上 1 行目, 「次式で定義される。」→「次の性質をもつ。」

・p.40, 式(2.55)の上 3 行目, 「ラプラス変換の分母多項式=0」→「伝達関数やラプラス変換 の分母多項式=0」

・p.44, 図 2.13 の下 4 行目, 「ラプラス変換の弱点の一つである。」→「伝達関数の弱点の一 つである。」

◎p.63, 式(2.76)の上 2 行目, 「より底辺 b で」→「より底辺 k で」

・p.66, 上 2 行目, 「となる。」→「に近づく。」

・p.91, 上 6 行目, 「定理 3.1」→「性質3.1」

・p.92, 上 1 行目, 「定理 3.2」→「性質3.2

・p.92, 下 7 行目, 「定理 3.3」→「性質3.3」

・p.93, 下 3 行目, 「定理 3.2」→「性質3.2

・p.95, 下 3〜1 行目, 「スケートリンクで・・・を続ける。」→「スケートリンクで質量 m の車体は、地面との摩擦がないとすれば、ツルツル滑って減速しないで等速運動を続け る。」

・p.98, 下 5 行目, 「定理 3.4」→「性質3.4」

・p.99, 図 3.8(b)の図題,「横軸が ζ、オーバーシュートと最終値の比が縦軸の図」に変更

・p.99, 上 1 行目, 「定理 3.5」→「性質3.5」

・p.100, 上 3 行目, 「定理 3.6」→「性質3.6」

・p.103, 上 1 行目, 「定理 3.5」→「性質3.5」

(2)

・p.112, 下 4, 5 行目, 「定常偏差,過渡特性,定常偏差の五つである。これら五つから」→

「定常偏差である。これらから」

・p.113, 下 3 行目, 「ロバスト安定性が良くなる。」→「不安定化しにくくなる。」

◎p.115, 上 15 行目, 「y から r」→「r から y

・p.117, 図 4.3 の上 2〜3 行目, 「設計する。・・・採用しよう。」→「設計する。このシス テムは制御対象が G(s)、制御器が¥frac{K(s)}{s}のシステムと同じである(p.17 の図 2.4(a))。」

・p.125, (3)の上 1 行目と p.126, 4.3.2 項の上 1 行目, 「存在しない。」→「∞となる。」

・p.134, 上 3 行目, 「(1) 定常偏差をなくす。」→「(1) 目標値と外乱がステップ関数のとき, 定常偏差をなくす。」

・p.142, 式(4.27)の下 4〜5 行目, 「含むので、制御対象 G・・・起こすことがわかる。」→

「含むので、K(s)と制御対象 G・・・起こす。」

◎p.157, 上 8, 9 行目, x_3, x_3, x_4, x_5の下付きを全て上付きに修正

・p.169, 下 5 行目, 「δ(t)を、」→「δ(t)は、」

・p.169, 下 4 行目, 「で与えた・・・定義は」→「となる性質をもつことを示そう。δ(t)の定 義は」

・p.171, 式(5.37)の下 1 行目, 「s は∞に」→「s は、ラプラス変換が∞に」

・p.174,【証明】の行, 「極が・・・見てみよう。」→「p.32 のラプラス変換表より、

¥frac{1}{(s-p_i)^n}を逆ラプラス変換すると¥frac{1}{(n-1)!} t^{n-1} e^{p_i t}とな る。式(2.62)より、極の虚部は安定性に関係しないので、極の実部だけを取り上げて安定性を 考える。」

・p.177, 5.2.9 の上 1 行目, 「を出力しているので線形である。さらに、c1 と c2 が定数なの で時不変でもある。」に修正

・p.179, 式(5.61)の下 1 行目, 「で表されるので」→「で表されるシステムなので」

・p.179, 下 2 行目, 「虚部が負なので」→「虚部の正負が反対になるので」

・p.179, 下 1〜2 行目, 「上下対称の関係」→「実軸で折り返すと重なる実軸対称の関係」

◎p.181, 式(5.69)の上 1 行目, e の指数部のカッコ内のL→削除

・p.190, (2)の下 1 行目, 「定理 3.2」→「性質3.2」

・p.192, (2)の下 1 行目, 「定理 3.4」→「性質3.4

・p.192, (3)の下 1 行目, 「定理 3.5」→「性質3.5」

・p.194, (4)の下 1 行目, 「定理 3.6」→「性質3.6

・p.198, (2)の下 2 行目, 「F(s)が不安定だと」→「F(s)を不安定に設定してしまうとK(s)」

◎p.201, (3)の下 4 行目, 「+kd を代入」→「+kd s を代入」

・p.203, 上 4 行目, 「↑ ¥frac{1}{G(0)}, GM(s)=1,」→「↑ F(s)=¥frac{1}{G(0)}, GM(s)=1,」

・p.213, 下 3 行目, 「伝達関数のモデルである。」→「伝達関数である。」

・p.213, 下 1 行目, 「制御対象のモデルを得る。」→「制御対象の伝達関数を得る。」

(3)

■■■ここより下、初版第 3 刷より反映済み■■■

・p.15, 図 2.2, 図題「グラフの積分値は面積」→「積分はグラフの面積」

・p.17, 図 2.4(a), KG→GK(3 箇所)

・p.17, 図 2.4(b), ブロック内の K+G → G+K

・p.20, 図 2.6, 左端の「x」→「r

・p.20, 図 2.7, 目標値 r と観測ノイズ n の近くの○の左上に+を加筆

・p.22, 図 2.8 の上2行目, 「切れ端x_1からもう一方の切れ端x_2までの」(赤字を加筆)

・p.22, 図 2.8, 下図に差し替え

・p.28, 式(2.19), 右辺最後の項の指数部「(i)」→「(i-1)」

・p.28, 式(2.19), 右辺最後から 2 番目の項の指数部「(i-1)」→「(i-2)」

・p.37,38, 式(2.46)〜(2.50)までのすべての a→α, b→β

・p.44, 図 2.13 の下 3 行目, 「出力が発散して」→「初期値応答(p.40)が発散して」

・p.44, 式(2.59)の上 4 行目, 「重解の数だけ項を増やす。」の文末に「(p.38を参照)」を加 筆

・p.46, 図 2.15 の原点(縦軸と横軸の交点)の左下に「0」を加筆

・p.46, 図 2.16(b)の図題, 「±3j」→「0±3j」

・p.47, 下 4 行目, 「(1) pi の実部」→「(1) 極piの実部」

・p.47, 下 3 行目, 「(2) pi の虚部」→「(2) 極piの虚部」

・p.50, 下 7 行目, 「u(t)がインパルス関数のとき」→「u(t)がインパルス関数(p.32)のとき」

・p.50,51, 4/{s^2+3s+2} → {10s+4}/{s^2+3s+2} (p.50 に 3 箇所, p.51 に 6 箇所) 4/{0^2+3・0+2} → {10・0+4}/{0^2+3・0+2} (p.50 に 1 箇所, p.51 に 1 箇所)

・p.51, 最後の式の分子の 4ωs → 10s^2ω + 4ωs

・p.52, 上 1 行目, 「±jω」→「0±jω

・p.55, ・不感帯の上 2 行目, 「ほんの少しだけ回しても」→「ほんの少しだけ開いても」

・p.55, ・不感帯の上 3 行目, 「十分回すと」→「十分開くと」

・p.61, 上 8 行目, 「(2) ・・・ G1(jω)のゲインに-1 をか」→「(2) ・・・ G(jω)のゲインに- 1をか」

・p.64, 図 2.24(a), 「20log10 K」→「20log10 k」

・p.66, 図 2.26(b), 「20-20+0+0」→「20+0-20+0」, 「20-40+20+0」→「20+20- 40+0」, 「20-60+40-20」→「20+40-60-20」, 「0-90+0+0」→「0+0-90+0」, 「0-

(4)

90+90+0」→「0+90-90+0」, 「0-90+90-90」→「0+90-90-90」

・p.74, 上 2 行目、b と d である。→安定なのは a と c である。

・p.77, 図 2.33(b), 「ゲイン余裕」→「この幅が 0 になるとゲイン余裕が 0」

・p.77, 下 6,7 行目,「り、そのときのゲインと・・・である。」→「り、そのときのゲイン をデジベルにして-1 をかけたものがゲイン余裕であり、図 2.33(b)の両矢印線の幅が 0 にな るとゲイン余裕が 0 になる。」

・p.79, 脚注 1 行目, 「以下の手順 1)について」→「手順 1)について」

・p.92, 定理 3.3 (2), 文末に「(p.60 の式(2.73)を参照)」を加筆

・p.94, 式(3.23), 「ζ=a1/{2 ωn}」→「ζ=a1/{2 √{a0}}」

・p.95, 表 3.3 (2)の K, 「5」→「5/4」

・p.95, 表 3.3 (2)の ζ, 「3/{8√2}」→「3/{4√2}」

・p.103, 表 3.5, 振動の周期 T および ωn は c と d が逆

・p.103, 表 3.5, b,c の「ζ<1」→「ζ≦1」

・p.103, 表 3.5, c の伝達関数「(2)」→「(2)または(3)」

・p.103, 上 3 行目, 「b は振動なし、c は約 5 秒」→「b と c は振動なし、d は約 5 秒」

・p.103, 上 6 行目, 文末に「定理 3.5(2)より ζ が大きいほど応答がなまるため c が(2)、b は (3)とわかる。」を加筆

・p.103, 上 7 行目, 「表 3.5 より・・・とわかる。」→削除

・p.106, 式(3.40)の右に加筆 「, 0≦t<L のとき u(t)=0」

・p.106, 式(3.41)の下に加筆

p.26の式(2.14)より、y(t)=u(t-L)のラプラス変換は Y(s)=∫_0^∞ u(t-L) e^{-st}dt である。 0≦t<Lのとき u(t)=0 なので、Y(s)=∫_L^∞ u(t-L) e^{-st}dt となる。τ=t-L とおくと、 Y(s)=∫_{L-L}^{∞-L} u(τ) e^{-s(τ+L)}dτ=∫_0^∞ u(τ) e^{-sτ}e^{-sL}dτ=e^{- sL}∫_0^∞ u(τ) e^{-sτ}dτ

=e^{-sL}U(s)となり、式(3.41)を得る。

・p.107, 図 3.13(b), 「実線の正弦波は-60°」→「実線の正弦波は-40°」

・p.107, 下 1 目行, 「φ=-60°」→「φ=-40°」

・p.108, 式(3.42)の上 2 行, 「パデ近似」に脚注記号†をつけ、脚注に「e^{-L s}とその n 次 パデ近似は、x=-L s としてそれぞれをテイラー展開(p.159 の式(5.6))すると 2n 次の項まで 一致する。」を加筆

・p.109, 上 3 行目, 「ほぼズレがないが、」→「で下げ止まる。」

・p.109, 図 3.14, 下図に差し替え

(5)

・p.110, 上 4 行目, 「項式=0 の解」→「項式=0 のsの解」

・p.110, 上 5 行目, 「両辺に T」→「この不等式の両辺に T」

・p.121, 上 2 行目、S(s) → G_{yd}(s)

・p.124, 上 1 行目の(4.11)式の分母、+2/{TL}kp → +2/{TL}(1+kp)

・p.132, 図 4.11(b)の 1 番上の図, 「目標値 r(t)」の左の矢印が実線を指しているのを、破線 を指すように変更

・p.136, (4.23)式の上1行目、の式(5.28)より → の式(5.28)の r を GM(s) rに置き換えると、

・p.146, (4.33)式の下1行目, λ1 をチューニング → λ1(>0)を、良い性能が得られるように 調整するチューニング

・p.159, (5.8)式の上の式, つぎの赤の背景部分のように修正:

・p.159, (5.9)式とその上の式, つぎの赤の背景部分のように修正:

・p.163, 式(5.17)の下 1 行目, 「その出力は u」→「その出力はe

・p.163, 式(5.18)の下 1 行目, 「伝達関数は y/u」→「伝達関数は y/r

・p.164, 図 5.5, 観測ノイズ n の近くの○の左上に+を加筆

・p.166, (5.31)式の下 5 行目, s は∞に → s は、X(s)が∞に

・p.166, (5.31)式の下 6 行目左端, 「ばよいので、」 →「 ばよい。そこで」

・p.172, (5.38)式の下 2 行目, 「を微分すると」→「であり」

(6)

・p.172, (5.39)式の下 1 行目, 「を微分すると」→「であり」

・p.172, (5.40)式の下 1 行目, 「を微分すると」→「であり」

・p.174, 上 4 行目, lim の下の「s→ai」→「s→ - ai

・p.190, 最下行,s G(s) U(s) → s Y(s)

・p.192, 「(2)二次遅れ系が安定になる・・・」の1つ上の行,「a1=2 ζ ωn, より a1/ {2 ωn}」 → 「a1=2 ζ ωn, ωn=√{a0} より a1/{2 √{a0}}=a1/{2 ωn}」

・p.215, 図 6.3 にオーバーシュートを表す両矢印線を今後追加予定

・p.216, 下 6 行目,「それらからゲインと位相を求める。」→「それらからゲインは 0.17、 位相は-90°と求まる。」

・p.216, 下 1 行目,「・・・の部分は値が省略されている。」→「・・・の部分は長いので 省略しているが、実際は省略できない。」

・p.221, 上 3 行目,「3 重解で振動なしになるように」→「3 重解で振動なしになるように 表 4.3 より」

・p.221, 下 10 行目,「たとおりになっているかを確認しよう。」→「たとおり3重解にな っているかを確認しよう。」

・p.225, 参考文献の 6), 「小坂 学, s が右半平面を囲うことを前提としないナイキストの安定 判別法の証明, 計測自動制御学会論文集, Vol.49, No.4, pp. 497-498 (2013)」

・p.226, 索引「あ,い,け」の「安定余裕,位相余裕,ゲイン余裕」にそれぞれ「151」頁 を加筆

・p.226, 索引「き」, 「逆振れ 104」を加筆

・p.226, 索引「き」, 「ーによる安定判別 174」に「43」頁を加筆

・p.227, 索引「す」, 「ステップ応答」に 98 を加筆

・p.227, 索引「せ」, 「積分 15」を加筆

・p.227, 索引「て」, 「定常偏差」に 116 を加筆

・p.227, 索引「は」, 「発振条件 71」を加筆

・p.227, 索引「は」, 「パデ近似 108」を加筆

・p.228, 索引「ほ」, 「ボード線図」に 100 を加筆

・p.ii, まえがき,下 4 行目,「なお、出版に」→「なお、本書の内容の一部は文部科学省私立 大学戦略的研究基盤形成支援事業(平成 24 年~平成 26 年)の助成を受けた。出版に」

■■■ここより下、初版第 2 刷より反映済み■■■

・p.6, 図 1.4, 「定常偏差」を加筆

・p.8, 上 10 行目, 「短いほうがよい。」→「短いほうがよい。ただし、y の最大値と最終値 との差をオーバーシュートと呼ぶこともある(p.99 を参考)。」

・p.92, 定理 3.3 (1), ω<1/T → ω<<1/T

・p.92, 定理 3.3 (3), 1/T<ω → 1/T<<ω

・p.92, 定理 3.3 (2), 「,ゲインは・・・-3 [dB]」 → 削除

(7)

・p.92, 定理 3.3 (3), (p.60 を参照) → (p.65 を参照)

・p.99, 図 3.8(a), 「オーバーシュート」を加筆

・p.99, 定理 3.5(2), 「オーバーシュートが」→「オーバーシュート(y(t)の最大値と最終値 との差)が」

・p.143, 上 7 行目, K(s)=(10s+1)/(0.5s) --> K(s)=(10s+1)/(1.5s)

・p.188, 上 12 行目、ω= - Im[pop1] → ω= Im[pop1]

・p.226, 索引「お」, 「オーバーシュート 8」→「オーバーシュート 6, 8, 99」

・p.228, 索引「ら」, 「ラプラス変換表 32」を加筆

参照

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