高階の導関数 最近の更新履歴 ☆ 数学1B

05 高階の導関数

1.

zx=−2ye−

2xy_{, z}

y =−2xe−

2xy_.

これらを用いてz_xx, z_xy, z_yyをそれぞれ計算すると

zxx =

∂

∂xzx = 4y

2

e−2_xy

,

zxy =

∂

∂yzx=−2e −2_xy

+ 4xye−2_xy

,

zyy =

∂

∂yzy =−x

4

sin(x2y).

2.

zx= 2xycos(x

2

y), zy =x

2

cos(x2y).

これらを用いてz_xx, z_xy, z_yyをそれぞれ計算すると

zxx =

∂

∂xzx= 2ycos(x

2

y)−4x2y2sin(x2y),

zxy =

∂

∂yzx = 2xcos(x

2

y)−2_x3_ysin(_x2_y)_,

zyy =

∂

∂yzy =−x

4

e−2xy_.

3. _n次正方行列AをA= (a_ij)と表す.このときx=t(x1, x2,· · · , xn)∈Rnに対して

f(x) =t_{xAx =} (

x1 x2 · · · xn

) 

   

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2_n

..

. ... . .. ...

am1 a_m2 . . . a_mn



   



   

x1

x2

.. .

xn



   

=

( _n ∑

i=1

xiai1

n

∑

i=1

xiai2 · · ·

n

∑

i=1

xiain

) 

   

x1

x2

.. .

xn



   

= n

∑

i=1

n

∑

j=1

ゆえに,導関数f′(x)は

f′_{(x) = d} 



n

∑

i=1

n

∑

j=1

aijxixj





= n

∑

i=1

n

∑

j=1

aij(xidxj+xjdxi)

= n

∑

i=1

n

∑

j=1

aijxidxj+ n

∑

i=1

n

∑

j=1

ajixidxj

= n

∑

i=1

n

∑

j=1

(aij+aji)xidxj

となる.

4. まず関数U を変数xで偏微分する. ∂U

∂x = 2x· (

−1

2

)

·(x2+y2+z2)− 3

2 =₋x(x2+y2+z2)− 3 2,

∂2

U

∂x2 = −(x 2

+y2+z2)−32 +3

2 ·2x

2

·(x2+y2+z2)− 5 2

= −(x2+y2+z2)− 3

2 + 3x2(x2+y2+z2)− 5 2.

関数U を変数y, z についても同様に偏微分をして（U が変数x, y, zについて対称である ことを用いると）

∂2

U

∂y2 = −(x 2

+y2+z2)−32 + 3y2(x2+y2+z2)− 5 2,

∂2U

∂z2 = −(x 2

+y2+z2)−32 + 3z2(x2+y2+z2)− 5 2.

したがって ∂2U

∂x2 +

∂2U ∂y2 +

∂2U

∂z2 = −3(x 2

+y2+z2)−32 + 3(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)− 5 2

= −3(x2+y2+z2)− 3

2 + 3(x2+y2+z2)− 3 2 = 0.