線形代数 II （物理専攻1年生向け） Akira Masuoka

2017. 12. 8

線形代数

II

物理学専攻１年生向け

担当 増岡 彰

教科書 木村達雄ほか著「明解線形代数」（日本評論社）第５章–第７章に沿う.

授業の目的と要約 実数全体からなる集合 R と複素数全体からなる集合 C はともに，四

則演算が自由にできるシステムである．そのようなシステムは 体 (たい) と呼ばれるた め，R, C はそれぞれ実数体，複素数体と呼ばれる．この授業では，行列や数ベクトルの 成分，あるいはベクトル空間のスカラーとなる数が属す体 K (基礎体と呼ぶ) を選び固定 して議論を進める．多くの場面では，K として R，C (あるいは一般の体) のいずれを選 んでも同じ議論を展開できる．ここでは焦点を絞るためK =C とする．

 さて，この授業の目的は，線形代数を通して，構造，公理化，同一視，分類といった，

現代数学の基本的アイデアを伝えることにある．

 Cn を，複素数成分の n 次タテベクトル全体からなる集合とする．Cn には，和とスカ ラー倍という演算 (代数構造，なかでも線形構造) をもつ．それに加え内積という幾何構 造も伴う．(1) その線形構造のみを問題として Cn を見るとき，Cn を数ベクトル空間と 呼び，(2)内積まで込めて問題とするとき，Cn を計量数ベクトル空間と呼ぶ．

 数学においては，もちろん他にもさまざまな構造が考えられるが，注意すべきは対象

X がもつどの構造を問題にするかをはっきりさせる点である．また，対象そのものより

しばしば重要になるのは，X から X 自身への，問題とする構造を保つような写像—射 (morphism) と呼ばれる—である．Cn に関しても射の方が重要であって，(1) の場合そ の射は Cn 上の線形変換と呼ばれる．実はそれは，ある n 次複素正方行列 A が左乗法に より与える写像 L_A :Cn→Cn, L_A(v) =Av と同義になる．(2) の場合の射は Cn 上の ユニタリ変換と呼ばれ，ユニタリ行列 A（随伴行列 A∗ =

(

aji)_i,j を逆行列にもつ行列）

が与える線形変換L_A と同義になる．

 線形構造や内積をもつ対象は Cn の他にもさまざま存在する．Cn がもつ線形構造（お よび内積）の性質を抽出，公理として，それを満たす対象を広くベクトル空間（また計量

空間）と呼ぶ．この（これらの）構造だけから結果を導き出し，それをいまや広がった範

うにベクトルのイメージからかけ離れた対象にも，得られた結果を強引に適用するのが現

代数学のやりくちである．

 Cn 上の線形変換およびユニタリ変換は公理化されて，ベクトル空間上の線形変換およ び計量空間上のユニタリ変換となる．

  い ま V を 一 般 の ベ ク ト ル 空 間 と し よ う ．仮 定 と し て V は 有 限 生 成 で あ る ，す な

わ ち あ る 有 限 個 の 元 v₁, v₂, . . . ,v_n が 存 在 し て ，V の ど の 元 も 線 形 和 ∑n

i=1civi(= c1v₁+c₂v₂+· · ·+cnvn; ci ∈C)として表せるとする．あらかじめ無駄を省いて，この 線形和としての各元の表し方が一意的であるように，換言すれば

Cn _−→V,

   c1 .. . cn  

7→(v1, . . . ,vn )    c1 .. . cn   (= n ∑ i=1 civi

)

(⋄)

が全単射であるように，v₁, v₂, . . . ,v_n を選べる．この場合，v₁, v₂, . . . ,v_n をV の基 底と呼ぶ．この全単射は線形構造を保つから，これを通して Cn と V は（線形構造だけ を問題にする限り）同一視できる．ここで f :V →V を線形変換とすると,これは

(

f(v1), f(v2), . . . , f(vn)) =(v1,v2, . . . ,vn)    

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. ... . .. ...

an1 an2 . . . ann    

によって決まる n 次正方行列 A = (

aij )

が与える線形変換 L_A : Cn →Cn と同一視さ れる. この A を f の (基底 v1, v2, . . . , v_n に関する) 表現行列と呼ぶ. 次の問題が考え られる．

問題０ f に対し, 基底 v₁, v₂, . . . , v_n をうまく選んで, その表現行列 A をなるべく簡 単な形にする方法を与えよ.

 対角行列は確かに簡単な形だが, f によっては A を対角行列にできない場合もある. 対 角行列に準じて簡単な形として Jordan 標準形があり，どの f に対してもA をJordan 標 準 形 に で き る こ と が 知 ら れ て い る ．し か も そ れ ぞ れ の f に 対 し ，そ の 表 現 行 列 た る Jordan 行列は（本質的に）一意的に決まるから，それを「f の Jordan 標準形行列」と 呼んでよい．これにより問題０を，同じJordan 標準形行列をもつ線形変換どうしは同じ クラス（類）に属すと見て，V 上の線形変換すべてをクラス分け（分類）させる，分類問

題と捉えることができる．しかしこれは教科書第９章のトピックで，この授業ではそこま

問題１ 線形変換 f に対し，基底 v1, v2, . . . , v_n をうまく選んでそれに関する f の表現 行列が対角行列となるようにできるのは, f がどんな条件を満たすときか？ またその条件 が満たされる場合，その対角行列はどのように求まるか？

 上のような線形変換 f は半単純といわれるから，これは半単純線形変換の分類問題と

も捉えられる．

 V が計量空間の場合，全単射 (⋄) は，線形構造に加え内積も保つものであって欲しい． これが満たされるのは基底 v₁, v₂, . . . , v_n が正規直交基底となる場合である．この場合 に，上の問題に相当するのは次になる．

問題２ 計量空間V 上の線形変換 f に対し, V の正規直交基底v₁, v₂, . . . , v_n をうまく 選んでそれに関する f の表現行列が対角行列となるようにできるのは,f がどんな条件を 満たすときか？ またその条件が満たされる場合，その対角行列はどのように求まるか？

 7.2 節，7.4 節にて上の２つの問題に答える．キー・アイデアは，f に応じベクトルの 間に軽重をつけ，f(v) が v のスカラー倍に一致するような非零ベクトル v (f の固有ベ クトル）を特に大事に思うことである．

成績評価 計算力テスト(３回）の評点４割, 思考力テスト (２回) の評点６割の重みで評 価する．出席は評価しない．テストには，Appendix A.2 節 補充題にある程度の問題を 出題する（特に計算力テストにはほぼ同じ問題を出題する．また要望次第で，思考力テス

トへの自筆ノートの持ち込みを可とする）.

オフィスアワー 水曜日 昼休み自然学系棟 D 602

第５章

数ベクトル空間と線形写像（復習）

 この章を通し，基礎体 K はR，C のいずれか，いずれでもよい．

5.1

線形写像と行列

 K に成分をもつ m×n 行列全体からなる集合を M(m, n;K) とかく．特に n= 1 の 場合，M(m,1;K) は m 次タテベクトル全体からなる集合である．これを Km で表す． これらの集合には成分ごとの演算

(

aij )

+(bij )

=(aij +bij )

, λ(aij )

=(λaij )

M(m, n;K) が Kmn と同一視できることが見て取れるだろう．あらゆる m > 0 に対す るKm を総称して数ベクトル空間と呼ぶ．

定 義 和 と ス カ ラ ー 倍 を 保 つ 数 ベ ク ト ル 空 間 の 間 の 写 像 を 線 形 写 像と 呼 ぶ. す な わ ち,

f :Kn _→Km

が線形写像であるとは,

(1) f(x+y) =f(x) +f(y), x, y∈Kn,

(2) f(λx) =λf(x), λ ∈K, x∈Kn

が満たされるときにいう. 線形写像 Kn → Km 全体からなる集合を Hom(Kn, Km) で 表す*1. とくにm=n の場合, 線形写像 Kn → Kn を Kn 上の線形変換と呼び, その全 体からなる集合をEnd(Kn) で表す*2.

例 行列 A ∈M(m, n;K) に対し, その左乗法

LA:Kn →Km, LA(x) =Ax

は線形写像である．これは L_A ∈ Hom(Kn, Km) と表せる．対応 A 7→ L_A が与える写 像を

L:M(m, n;K)→Hom(Kn, Km)

で表す (写像の値を表す通常の記号L(A) に替えて L_A と書くと理解する).

疑問 線形写像 f はすべて f = L_A の形をしているだろうか？ また，f = L_A, f = L_B と２通りに表されることはないだろうか？

 これらの疑問に「形をしている」，「表されることはない」と答えるのが次の定理である．

定 理 A ど ん な 線 形 写 像 f : Kn → Km も L_A の 形 を し て い る ．こ の 行 列 A ∈

M(m, n;K) は基本ベクトル e₁,e₂, . . . ,e_n(∈Kn) の値を並べて得られる行列

f(En) :=(f(e₁) f(e₂) . . . f(en))

に必ず一致する．

 これは次のように言い換えられる．

定 理 B 上 の 写 像 L : M(m, n;K) → Hom(Kn, Km) は 全 単 射 で あ っ て ，逆 写 像 は

L−1(f) =f(En)で与えられる．

*1

線形写像= linear homomorphismのHomに由来する記法.

*2

5.2

線形写像の像と核

定義 Kn の部分空間とは, 次の (1)–(3) を満たす Kn の部分集合 W のことをいう. (1) W ̸=∅.

(2) W は和に関して閉じている. すなわち, x,y ∈W ならば x+y ∈W.

(3) W はスカラー倍に関して閉じている. すなわち, λ∈K, x∈W ならば λx∈W.

例 Kn 自身，また零ベクトルだけからなる {0} はともにKn の部分空間．包含に関し 最大、また最小の部分空間である．これらを自明な部分空間と呼ぶ．

定義 線形写像 f :Kn →Km に対し，f の核 (独Kernel) Kerf と像 (英 image) Imf をそれぞれ

Kerf :=_{x∈Kn|f(x) = 0}, Imf :={f(x)|x∈Kn}

により定める．

考察 f =L_A が行列 A= (

aij) ∈M(m, n;K) の与える線形写像の場合，核 Kerf は， 斉次連立１次方程式 Ax=0，すなわち

          

a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = 0

a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn = 0 ..

.

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn = 0

の解 x=      x1 x2 .. . xn    

 全体からなる集合に一致する．また像 Imf は，A の列ベクトル

a1=

      a11 a21 .. .

am1

     

, a2 =

      a12 a22 .. .

am2

     

, . . ., an =

     

a1n a2n

.. . amn      

を以て与えられるベクトル

c1a₁+c₂a₂+· · ·+cnan; c1, c2, . . . , cn∈K

定理 線形写像 f :Kn →Km に対し，

(1) 核Kerf はKn の，像Imf は Km の部分空間である． (2) f が単射 ⇔ Kerf ={0}.

例 行列 A =  

2 6 3 4

2 9 4 8

0 3 1 3



 が与える線形写像 f =L_A : K4 →K3 の核と像は，それ

ぞれ

Kerf =      c   

−1/2 −1/3

1 0    c∈K

   

, Imf = { c1 (₂ 2 0 ) +c2

(₃ 4 1

) +c3

(₄ 8 3 )

c1, c2, c3 ∈K

}

で 与 え ら れ る ．Kerf は A の 簡 約 階 段 化 が  

1 0 1/2 0 0 1 1/3 0

0 0 0 1



 で あ る こ と よ り 求 ま り

(A.1 節の定理参照)，また Imf の記述に第２列ベクトル   6 9 3 

 を用いずに済むのは，そ

れが第１，３列ベクトルを用いて表される，− 3 2   2 2 0  + 3

  3 4 1 

 に一致するからである．

5.3

線形結合と部分空間

 Kn から元 x₁,x₂, . . . ,x_r を勝手に選び固定する． r

∑

i=1

cixi =c1x₁+c₂x₂+· · ·+crxr, c1, . . . , cr ∈K

の形をした Kn の元を x₁,x₂, . . . ,x_r の線形結合と呼ぶ．その全体を

⟨x₁,x₂, . . . ,xn⟩:=

{ _r

∑

i=1 cixi

c1, . . . , cr ∈K }

と 書 く ．こ れ は x₁,x₂, . . . ,x_r す べ て を 含 む ，Kn の 最 小 の 部 分 空 間 と な る ．こ れ を x₁,x₂, . . . ,xr で生成される（または張られる）部分空間と呼ぶ．

例 前 考 察 の 結 果 を 換 言 す る と ，線 形 写 像 f = L_A : Kn → Km の 像 Imf は ，A(∈

第６章

ベクトル空間と線形写像

 引き続き，基礎体 K は実数体 R または複素数体 C のいずれかとする.

6.1

ベクトル空間と部分空間

定義 (K 上の) ベクトル空間とは, 下に挙げるすべての条件を満たすような２つの演算

V ×V →V, (x,y)7→x+y; K ×V →V, (λ,x)7→λx

(それぞれ和, スカラー倍と呼ぶ) を伴う集合 V ̸=∅のことをいう. (1) 和に関してV が加法群をなす. すなわち次の (i)–(iii) を満たす.

(i) 和が結合律 (x+y) +z =x+ (y+z) と可換律 x+y=y+x を満たす. (ii) 0+x=x (∀x∈V) を成り立たせる元 0∈V が (必然的にただ1つ)存在す

る(これを零元と呼ぶ).

(iii) 各元 x ∈ V に対し x+ (−x) = 0 を満たす元 −x ∈ V が (必然的にただ1 つ) 存在する(これを x の逆元と呼ぶ).

(2) スカラー倍が次の(iv)–(vi) を満たす.

(iv) スカラー倍が次の２種類の分配律を満たす.

λ(x+y) =λx+λy, (λ+µ)x=λx+µx, λ, µ∈K, x,y∈V.

(v) スカラー倍が次の結合律を満たす.

λ(µx) = (λµ)x, λ, µ ∈K, x∈V.

(vi) 1 (_∈K) によるスカラー倍は恒等的, すなわち 1x=x, x∈V.

注意 (1) ベクトル空間 V において次が成り立つ.

0x=0, −x= (−1)x (x∈V); λ0=0 (λ∈K). x+ (−y) をx−y とも書く.

 (2) ベクトル空間 V の元をベクトル, K の元をスカラーと呼ぶことがある.

り K 上のベクトル空間をなす. 換言すれば K[x]_n は K[x] の部分空間である (次の定義 を見よ).

例３ R 内の区間 I ̸= ∅ 上の実数値連続関数 p₁(x), . . . , p_n(x) が与えられたとき，線形 斉次微分方程式

y(n)+p1(x)y(n−1)+· · ·+pn(x)y = 0 (♠)

の解全体は関数の和とスカラー倍について閉じており，これらの演算によって R 上のベ

クトル空間をなす．これを (♠) の解空間と呼ぶ．零元は I 上つねに 0 を値にとる定数関 数である．

例４ K 上のベクトル空間 V₁, V₂, . . . V_n が与えられたとき, 直積集合 n

∏

i=1

Vi =V1×V2× · · · ×Vn

は成分ごとの和とスカラー倍によりベクトル空間をなす. これをベクトル空間としての直 積と呼ぶ.

 以下に見るように，数ベクトル空間に関して定義された，部分空間，線形結合，ベクト

ルによる生成，線形写像，その核と像といった概念は，一般のベクトル空間に容易に一般

化される．

定義 ベクトル空間 V の部分空間とは, 次の (1)–(3) を満たす V の部分集合 W のこと をいう.

(1) W _̸=_∅.

(2) W は和に関して閉じている. すなわち, x,y ∈W ならば x+y ∈W.

(3) W はスカラー倍に関して閉じている. すなわち, λ∈K, x∈W ならば λx∈W.

注意 (2), (3) により V の上の和とスカラー倍を W に制限できる. こうして得られる演 算により W はベクトル空間になる. W の零元は V の零元 0 と一致. 従って上の条件 (1) を

(1′_{) 0∈W}

例５ どんなベクトル空間 V も {0} と V 自身を (それぞれ最小, 最大の) 部分空間とし て含む. また, W₁, W₂, . . . , W_r を V の部分空間とすると,

共通部分 r ∩

i=1

Wi =W1∩W2∩ · · · ∩Wr,

はすべての W_i に含まれる最大の部分空間. また

和 r ∑

i=1

Wi =W1+· · ·+Wr :={w1+w2+· · ·+wr |wi ∈Wi}

はすべての W_i を含む最小の部分空間になる.

 V をベクトル空間とし,x1,x2, . . . ,x_r をV の元とする. これらの元の線形結合全体 ⟨x1,x2, . . . ,xr⟩:={c1x1+c2x2+· · ·+crxr |ci ∈K}

は, すべての x_i を含む V の最小の部分空間をなす. これをx1,x2, . . . ,x_r が生成する部 分空間と呼ぶ. とくにV =⟨x₁,x₂, . . . ,x_r⟩となる場合, V は x₁,x₂, . . . ,x_r によって生 成される, x₁,x₂, . . . ,x_r は V の生成系であるという (「集合」でなく「系」と呼ぶのは 元のうちに重複を許すため). ⟨∅⟩={0} と約束する.

 有限 (個の元からなる) 生成系をもつベクトル空間を, 有限生成ベクトル空間という. 例 １–３に挙げたベクトル空間の例のうち, 有限生成でないものはK[x] のみ.

6.2–6.3

線形独立性と基底

,

ベクトル空間の次元

 V をベクトル空間とする. V の元 x₁, . . . ,x_r が線形独立であるとは,

c1x1+· · ·+crxr= 0 を満たすスカラーが c₁ =· · ·=c_r = 0 に限る

とき, または同値に

すべての 1≤i≤n に対し, x_i ∈ ⟨/ x₁, . . . ,xb_i, . . . ,x_r⟩

が成り立つときにいう. ここで,xb_i はx_i を省くことを意味する. 従って最後の条件は,x_i がそれ自身を除いた x₁, . . . ,x_i−1,x_i+1, . . . , x_r の線形結合として表せないことを意味す る. 線形独立でないことを, 線形従属であるという.

(2) 極小生成系. すなわち x1, . . . ,x_r は V の生成系であり, これより１つでも省くと 生成系でなくなる.

(3) 極大線形独立系. すなわち x₁, . . . ,x_r は線形独立であり, これに１つでも加えると 線形従属になる.

(4) V のどんな元もそれらの線形結合として1通りに表される.

定義 これらの同値条件が満たされるとき, x1, . . . ,x_r をV の基底と呼ぶ. 零元だけから なるベクトル空間{0} は空集合 ∅ を基底に持つとみなす.

定理B 有限生成ベクトル空間 V は必ず基底をもつ. 基底の選び方はさまざまあるが, そ れを構成する元の個数は一定である.

定義 その一定値を V の次元と呼び, dimV で表す.

注意 有限生成ベクトル空間と有限次元ベクトル空間は同義語になる.

例 6.1 節の例２において，K[x]_n は 1, x, . . . , xn を基底にもち，n+ 1 次元である．ま た例３において (♠) の解空間は n次元であることが知られている．

定理C (基底の構成法) V を n次元ベクトル空間とする.

(1) V の生成系 x1, . . . ,x_m が与えられたとき, これに含まれる極小生成系, 極大線形 独立系はどちらもV の基底になる.

(2) v₁, . . . ,vr を V の 線 形 独 立 系 と す る と, r ≤ n で あ り, こ れ を 延 長 し て V の 基 底 v1, . . . ,v_r,v_r+1, . . . ,v_n が 得 ら れ る. 実 際, v_r+1 ∈ ⟨/ v1, . . . ,v_r⟩, v_r+2 ∈/ ⟨v1, . . . ,vr+1⟩, . . . , vn∈ ⟨/ v1, . . . ,vn−1⟩を満たす V の元 v_r+1,v_r+2, . . . ,v_n が

存在. これらを付け加えればよい.

 定理Bの後半と定理C(2)の証明に次を用いる.

定理D V をn次元ベクトル空間,v₁, . . . ,v_n をその基底とする. V の n元w₁, . . . ,w_n が与えられたとき,

        

w1 = a11v1+a21v2+· · ·+an1vn w2 = a12v1+a22v2+· · ·+an2vn

. . . .

wn = a1nv₁+a₂nv₂+· · ·+annvn

を 満 た す ス カ ラ ー a_ij (1 ≤ i, j ≤ n) が １ 通 り に 決 ま り, 正 方 行 列 A = (

aij )

∈

M(n, n;K) を得る. このとき次が同値になる. (1) w₁, . . . ,wn が V の基底.

(2) w₁, . . . ,wn が線形独立. (3) A が正則行列.

  こ れ ら の 同 値 条 件 が 満 た さ れ る と き, 正 則 行 列 A を 基 底 v1, . . . ,v_n か ら 基 底 w1, . . . ,wn への変換行列と呼ぶ.

注意 上の定理の式 (∗) を行列の積の記法を借用して, (

w1, . . . ,wn )

=(v1, . . . ,vn )

A

と表す. もともとベクトルのスカラー倍を表すのにスカラー a の左乗法 av で表す代わ りに, 右乗法 va で表しても問題なく, とくに上の記法を用いる場合は後者の方が適して いる.

演習題 上と同様の記法を用いると, ベクトル空間 V において元 x₁, . . . ,x_r が線形独立 であるための条件は次のように表せることをたしかめよ.

(

x1, . . . ,xr )

  

c1

.. .

cr  

=0 を満たす

  

c1

.. .

cr  

∈Kr が零ベクトルに限る.

演 習 題 次 を 示 せ. 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 V の 部 分 空 間 W は ま た 有 限 次 元 で あ っ て, dimW ≤dimV. さらに, dimW = dimV ⇔ W =V.

6.4

部分空間の和と直和

 V を ベ ク ト ル 空 間, W₁, . . . W_r をそ の 部 分 空 間 と す る. 6.1 節 で 定 義 し た よ う に, 和 ∑r

i=1Wi =W1+· · ·+Wr は ∑r

i=1wi =w1+· · ·+wr (wi ∈Wi) の形の元全体からな るV の部分空間であった.

定義 この和が直和であるとは, 次の互いに同値な条件が満たされるときにいう. (1) 和の各元の表し方が一意的. すなわち

∑r

(2) ∑r_i=1wi =0 (wi ∈Wi) ならば w_i =0 (1≤i ≤r). (3) 和 が 与 え る 全 射

∏r

i=1Wi → ∑ri=1Wi, (w1, . . . ,wr) 7→ w1 +· · ·+wr が 単 射 (従って全単射; 実は同型写像, 6.5 節).

この場合, 和を

r ⊕

i=1

Wr =W1⊕ · · · ⊕Wr

で表す.

定理 記号を上の通りとする.

(1) r= 2 の場合, 次が同値になる. (i) 和W₁+W₂ が直和. (ii) W1∩W2 ={0}.

(2) r_≥2 が一般の場合, 次が同値になる. (i) 和

∑r

i=1Wi が直和.

(ii) すべての 1< k ≤r に対し,

∑k−1

i=1 Wi と W_k の和が直和. (iii) すべての 1< k ≤r に対し,

( ∑k−1

i=1 Wi )

∩ Wk ={0}.

系 和 ∑r

i=1Wi が 直 和 で あ る と す る. u1, . . . ,u_p が W1 の 基 底, v1, . . . ,v_q が W2 の 基 底, . . . , w₁, . . . ,w_t が W_r の 基 底 で あ れ ば, こ れ ら す べ て を 並 べ て 得 ら れ る u₁, . . . ,up,v₁, . . .vq, . . . ,w₁, . . . ,wt はこの和の基底になり, 従って

dim r ⊕

i=1 Wi =

r ∑

i=1

dimWi

が成り立つ.  

定理 r = 2の場合, 一般には

dim(W1+W2) = dimW1+ dimW2−dim(W1∩W2)

が成り立つ.

定義 ベクトル空間 V の部分空間 W に対し, V =W ⊕U を満たす部分空間 U ⊂V を

W の (V における)補空間と呼ぶ.

(1) 部分空間 W ⊂ V に対し, W の補空間が存在する. {0} ̸= W ̸= V であれば, そ の補空間は無数に存在する.

(2) W1, W2 をV の部分空間とし, i = 1,2 に対し U_i をW₁ ∩W₂ の W_i における補 空間とするとき,

W1+W2 =U1⊕U2⊕(W1∩W2)

が成り立つ.

6.5

線形写像

 U, V, W をベクトル空間とする.

定 義 和 と ス カ ラ ー 倍 を 保 つ ベ ク ト ル 空 間 の 間 の 写 像 を 線 形 写 像と 呼 ぶ. す な わ ち,

f :U →V が線形写像であるとは,

(1) f(x+y) =f(x) +f(y), x,y∈U,

(2) f(λx) =λf(x), λ ∈K, x∈U

が満たされるときにいう. 線形写像 U →V 全体からなる集合を Hom(U, V) で表す. と くにU =V の場合, 線形写像 V →V を V 上の線形変換と呼び, その全体からなる集合 をEnd(V) で表す.

 線形写像の簡単な性質として,

(i) 線形写像 f :U →V は零元, 逆元を保つ. すなわち f(0) =0, f(−x) =−f(x). (ii) 線形写像 f :U →V, g:V →W の合成 g◦f :U →W はまた線形写像.

(iii) U のすべての元を V の零元に写す写像 U →V は線形写像. これを零写像と呼ぶ. (iv) V の上の恒等変換 I_V :V →V, I_V(x) =x は線形変換.

定理 f :U →V を線形写像とする. (1) f の核 (独 Kernel)

Kerf ={x∈U |f(x) =0} はU の部分空間である.

(2) f の像 (英 image)

Imf =_{f(x)∈V |x∈U}

(3) f が単射 ⇔ Kerf ={0}.

(4) U が有限次元であれば次の等式（次元公式と呼ばれる）が成り立つ. dimU = dim(Kerf) + dim(Imf)

注意 dim(Kerf) を f の退化次数と呼び nullf で表す. dim(Imf) を f の階数と呼び rankf で表す.

例 U =Kn, V =Km の場合を考えよう. 5.1 節の定理Aにより，線形写像 f :U →V は行列 A=f(E_n)∈M(m, n;K) を以て f =L_A で与えられる．この場合，次元公式の 成立が次から確かめられる．

(1) f =LA の核 Kerf は, 斉次連立1次方程式 Ax= 0 の解集合に一致した．A.1 節 の定理から，Kerf はこの連立１次方程式の基本解を基底にもち，従って退化次数 nullf は解の自由度 n−rankA に一致する.

(2) A の列ベクトルをa1, . . . ,a_n とするとき, f の像 Imf はこれらの列ベクトルが生 成する Km の部分空間⟨a₁, . . . ,a_n⟩ に一致し (5.3 節の例), 従って列ベクトルた ちのうちの極大線形独立系を基底にもつ (前定理C(1))．これより階数 rankf は 行列 A の階数 rankA に一致する．これは重要なので等式として記録しておこう．

rankA= rankLA(= dim(ImLA))

  5.2 節 の 最 後 の 例 に お い て ，Imf が ，行 列 A の 第 1，第 3，第 4 列 ベ ク ト ル だ け で す で に 生 成 さ れ て い る こ と を 見 た ．nullf = 1 よ り ，次 元 公 式 か ら rankf = 4₋1 = 3 ゆえ，これら３列ベクトルは線形独立で，Imf の基底をなす．

定義 線形写像のうち特に全単射であるものを同型写像と呼ぶ. ２つのベクトル空間の間 に同型写像 U →V が存在する場合, これらは同型であるといい, U ≃V で表す.

 同型写像の簡単な性質として,

(i) 同型写像 f :U →V の逆写像 f−1 :V →U 線形写像, 従って同型写像. これによ り, U ≃V とV ≃U は同値.

(ii) 同型写像 f :U →V, g:V →W の合成 g◦f :U →W はまた同型写像. (iii) 恒等変換 I_V :V →V, I_V(x) =x は同型写像.

(1) f, g∈Hom(U, V) とする. 和 f+g とスカラー λ 倍λf を

(f +g)(x) :=f(x) +g(x), (λf)(x) :=λf(x) (x∈U)

により定めると f +g∈Hom(U, V), λf ∈Hom(U, V) であり, こうして定まる演 算により Hom(U, V) はベクトル空間になる.

(2) 5.1 節 定理Bの全単射 L :M(m, n;K)

≃

−→ Hom(Kn_{, K}m₎

はベクトル空間の間

の同型写像である.

 ベクトル空間に関し, 和とスカラー倍という代数構造だけを問題にする限り，互いに同 型なベクトル空間は (同型写像を通して) 同一視できる. 例えば, 生成系, 線形独立系, 基 底は同型写像で互いに写り合う. これより次が従う．

定理 ２つの有限次元ベクトル空間U, V に対し,

U _≃V _⇔ dimU = dimV.

 ベクトル空間V の元の列 v= (v₁, . . . ,v_m) が与えられたとき,写像 φv :Km→V を

φv   

c1

.. .

cm  

=(v1, . . . ,vm )

  

c1

.. .

cm  

(=c1v1+· · ·+cmvm)

により定める.

命題 この写像に関して次が成り立つ. (1) φv は線形写像である.

(2) φv が単射⇔ v₁, . . . ,v_m が線形独立. (3) φv が全射⇔ v₁, . . . ,v_m がV の生成系. (4) φv が同型写像 ⇔ v1, . . . ,v_m がV の基底.

注意 以後専ら, φv が同型写像の場合, 同値に v₁, . . . ,v_m が V の基底の場合にこの写像 を用いる. また以後, 基底という場合, それを構成する元の順序を考慮したもの (順序つき 基底) を指すことが多い. その場合, 基底を表すのに v = (v₁, . . . ,v_m) のように記す.  U を n 次 元 ベ ク ト ル 空 間, V を m 次 元 ベ ク ト ル 空 間, た だ し n, m > 0 と す る.

f ∈Hom(U, V) に対し,

(

f(u₁), . . . , f(un))=(v₁, . . . ,vm)   

a11 . . . a1n

..

. . .. ...

am1 . . . amn   

により決まるスカラー a_ij を成分にもつ行列A = (

aij )

∈M(m, n;K) が得られる.

定義 この A をf の(基底 u, v に関する) 表現行列と呼ぶ.  この A による左乗法 L_A:Kn →Km は,

Kn φu −−−−→ U

LA

 

y yf

Km φv −−−−→ V

を可換図式にする, すなわち

f ◦φu=φv◦LA, 等しく φ−_v1◦f◦φu =LA

を成り立たせる線形写像 Kn →Km として特徴づけられる. これは φu を通し Kn とU を, φv を通しKm と V を同一視するとき, L_A とf が同一視されることを意味する. 演習題 上の状況において次を示せ.

(1) 対応 “線形写像7→その表現行列” が同型写像

Hom(U, V)_−→≃ M(m, n;K)

を与える.

(2) 上の同型写像に同型写像 L : M(m, n;K)

≃

−→ Hom(Kn_{, K}m₎

を合成させたもの

は, f 7→φ−1

v ◦f◦φu が与える同型写像

Hom(U, V)−→≃ Hom(Kn, Km)

である.

例 U = Kn, V = Km の場合を考えよう. Kn の基底u = (u₁, . . . ,u_n) と Km の基 底 v = (v₁, . . . ,v_m) が与えられたとする. これらを構成するベクトルを並べて得られる

P =(u1 . . . un )

, Q=(v1 . . . vm )

はそれぞれ n 次, m 次正則行列で,

線形写像 f ∈Hom(Kn, Km) は, ある B ∈M(m, n;K) を以てf =L_B で与えられる.

φ−v1◦f◦φu =L− 1

Q ◦LB ◦LP =LQ−1BP

だから, 基底 u, v に関する f =L_B の表現行列は Q−1BP に等しい.

 さて, 次の問題を考えよう.

問題 有限次元ベクトル空間の間の線形写像 f :U →V が与えられたとき, U とV の基 底をうまく選んで, それらの基底に関する f の表現行列がなるべく簡単な形になるように せよ.

 これへの答えは極めて単純で, 次の定理により与えられる. 定理 どんな線形写像 f :U →V に対しても, その表現行列が

(

Er O

O O

)

, r = rankf

となるように U と V の基底を選ぶことができる.

 U = V の場合, 線形写像 f :V → V (すなわち V 上の線形変換) に対し, V の基底v と同じ基底 v に関してその表現行列 A (すなわち f ◦φv =φv ◦LA を満たす A) を簡単 な形にしようとすると問題は難しくなる. 以後この場合このような A を, 線形変換 f の 基底 v に関する表現行列と呼ぶ.

 次章において次の問題につき考える. この問題に完全に答えるのがJordan 標準形の理 論（教科書 第９章）であるが，この授業ではそこまで及ばない．

問題 有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換 f :V →V が与えられたとき, V の基底v をうまく選んで, その基底に関するf の表現行列がなるべく簡単な形になるようにせよ.

例 前の例によれば，V = Kn の場合この問題は次のように言い換えられる. 正方行列

B _∈ M(n, n;K) が与えられたとき, 正則行列 P をうまく選んで P−1BP がなるべく簡 単な形になるようにせよ.

6.6

商空間と同型定理

 V を ベ ク ト ル 空 間, W を そ の 部 分 空 間 と す る. 元 x ∈ V に 対 し て, V の 部 分 集 合 x+W を

により定める. V の２元x, y に対し,

x+W =y+W ⇔ x−y∈W

が成り立つことから,

(i)x+W =y+W, (ii) (x+W)∩(y+W) =∅

のいずれかただ１つが成り立ち, 従ってV は x+W の形の部分集合たちに分割できる. すなわち, V の部分集合R_W を選んで

V = ⊔

x∈RW

(x+W) (互いに交わらない部分集合たちの和集合) (#)

となるようにできる. x+W 全体 (x∈ V) からなる集合 (x+W = y+W のとき, ま たその時に限りこれらを等しい元とみなす) をV /W で表す. x+W は V /W において は元である. これを[x] または [x]_W で表す. 従って

[x] = [y] (V /W の元として) ⇔ x+W =y+W (V の部分集合として). (ただし, V /W の元を表す記号 [x] と V の部分集合を表す記号 x+W を混用すること も多い. どちらの意味か意識すべき.) 全射

[ ] :V _→V /W, x7→[x]

が得られる. これを上の R_W に制限すれば全単射になる.  V /W の上に和とスカラー倍が

[x] + [y] := [x+y], λ[x] := [λx] (λ∈K)

により, 元の表示の仕方によらずに定義できる. すなわち,

[x] = [x′], [y] = [y′] ⇒ [x+y] = [x′+y′], [λx] = [λx′].

さらに, これらの演算により V /W はベクトル空間になる. [ ] :V → V /W は線形写像 になり, W を核にもつ.

定義 V /W をV のW による商空間, [ ] を V から W への自然な線形写像と呼ぶ.

 (#) を成り立たせる部分集合 R_W ⊂ V を，V における V /W の完全代表系と呼ぶ．

W の補空間はどれも，このような完全代表系であって，しかもベクトル空間としてV /W

と自然に同型である．

演習題 最後の主張を確かめるべく，V の部分空間 U に対して, 次が互いに同値であるこ とを示せ.

(1) U がV における W の補空間.

(2) 自然な線形写像 [ ] :V →V /W のU への制限 U →V /W が同型写像. (3) U がV における V /W の完全代表系．

例 整数n≥0を固定する．多項式全体からなるベクトル空間 V =K[x]において，n 次 以下の多項式全体W = K[x]_n は部分空間をなす (6.1節 例２)．n 次以下の係数がすべ て零であるような，すなわち

p(x) =cn+1xn+1+cn+2xn+2+cn+3xn+3+. . . (ci ∈K)

の形の多項式全体 U もまたV の部分空間である．これが上の条件 (1)または(3)を満た すことを見るのは容易．従って上の結果から U ≃ V /W．これは，V において n 次以下

の多項式をすべて零と見做してできるベクトル空間が，U であるという直感を裏付ける．

また W と U の立場を替えて，W ≃V /U であることも注意しよう．

定理A (準同型定理) ベクトル空間の間の線形写像f :U →V は同型写像

U/Kerf _−→≃ Imf, [u]_7→f(u)

を引き起こす.

定理B 有限次元ベクトル空間 V とその部分空間 W に対して dimV /W = dimV −dimW.

 定理Aの帰結としていくつかの同型定理が得られる (教科書 定理 6.17–18, 問題 6.17 参照). 次も１つの帰結であって，Jordan 標準形の理論で基本的な役割を果たす.

写像

U/f−1(W)_→V /W, [u]f−1(W) 7→[f(u)]W

が引き起こされる.

6.7

計量ベクトル空間

定義 K =R または C の上の有限次元ベクトル空間 V に対し, その上の内積とは, 次の 条件を満たす (2 変数) 関数 ( , ) :V ×V →K のことをいう.

(1) 第１変数に関して線形. すなわち

(x1+x2, y) = (x1, y) + (x2, y), (λx, y) =λ(x, y).

(2) エルミート対称性. すなわち (x, y) = (y, x).

(3) 正値かつ非退化. すなわち, すべての x∈ V に対し (x, x)≥ 0. かつ(x, x) = 0 を満たすのは零元x=0 に限る.

内積が１つ与えられた有限次元ベクトル空間を計量ベクトル空間と呼ぶ.

注意 複素数 α =a+b √

−1 (a, b ∈R₎ に対し, α は α の複素共役α =a−b √

−1 を表 す. 従って K =R の場合, 条件 (2) は対称性 (x, y) = (y, x) を表す. 条件 (1), (2) か ら, K =C の場合

(4) 第２変数に関して半線形: (x, y₁+y₂) = (x, y₁) + (x, y₂), (x, λy) =λ(x, y)

が, K =R の場合

(4′_{) 第２変数に関しても線形: (x, y}

1+y2) = (x, y1) + (x, y2), (x, λy) =λ(x, y)

が従う.

例 Kn 上の内積が

(x,y) := n ∑

i=1 xiyi

( , ) :V ×V →K をW ×W に制限すると W 上の内積が得られ, 従って W はこの内 積により計量ベクトル空間になる.

 計量ベクトル空間 V において, 各元 x∈V のノルム ||x|| を ||x||=√(x, x)

により定める. これは非負実数値をとり, ||x||= 0 となるのは x=0 の場合に限る. また ||λx||=|λ| ||x|| (λ∈K, x∈V).

定理 計量ベクトル空間 V において

Cauchy-Schwarz の不等式 |(x, y)| ≤ ||x|| ||y|| 三角不等式 ||x+y|| ≤ ||x||+||y||

が成り立つ. Cauchy-Schwarz の不等式において等号が成り立つのは x と y が線形従属 の場合, またその場合に限る.

演習題 三角不等式から次の不等式を導け.

||x|| − ||y||

≤ ||x+y|| (x,y∈V).

 計量ベクトル空間 V において, ２元 x,y が (x, y) = 0 または同値に (y, x) = 0 を 満たすとき, この２元は直交するといい, x⊥ y または y ⊥ x とかく. 零元はすべての 元と直交する. u₁, . . . ,u_r が, 互いに直交する V の非零元からなるとき, これを V の直 交系と呼ぶ. これは必然的に線形独立系である. ノルム１の元からなる直交系を正規直交 系と呼ぶ. u₁, . . . ,u_r が直交系であれば, 1

||u₁||u1, . . . , 1

||ur||ur は正規直交系になる.

 n = dimV の場合, n 元からなる (正規) 直交系は V の基底をなす. この場合これを

V の (正規) 直交基底と呼ぶ.

補題 計量ベクトル空間 V において, 直交系 u₁, . . . ,u_r と１元 v が与えられたとする.

u:=v− r ∑

i=1

(v,ui) (ui,ui)

ui

 これを順次用いることにより, 次が得られる. 計量ベクトル空間の基底から (正規) 直交 基底を構成するこの方法を, Gram-Schmidt の直交化法と呼ぶ.

定理 計量ベクトル空間 V において, 基底 v1, . . . ,v_n が与えられたとき,

u1:=v1, u2:=v2₋

(v2,u1)

(u1,u1)

u1, u3 :=v3₋ 2

∑

i=1

(v3,ui)

(ui,ui)

ui, . . . , un :=vn− n₋1

∑

i=1

(vn,ui)

(ui,ui)

ui

はV の直交基底をなす. 従って 1

||u₁||u1, . . . , 1

||un||un は V の正規直交基底をなす.

演習題 次の３つの複素ベクトルは C3 の基底をなす. Gram-Schmidt の直交化法を用い てこれらから正規直交基底を構成せよ. ただし, i は虚数単位

√

−1 を表す.

v1 =

 ₋0i

1 

, v2 =

 0i

−i



, v3 =

 1i

0  

 計量ベクトル空間の間の線形写像 f :U →V が内積を保つとは, これが (x, y) = (f(x), f(y)) (x,y∈U)

を満たすときにいう.

演習題 次を示せ.

(1) 計量ベクトル空間の間の内積を保つ線形写像は必ず単射である. (2) V を計量ベクトル空間, v = (v₁, . . . ,v_n) をその基底とするとき,

φv :Kn ≃

−→V が内積を保つ ⇔ v₁, . . . ,v_n がV の正規直交基底.

演習題 W を計量ベクトル空間 V の部分空間とするとき, W のすべての元と直交するよ うなV の元全体からなる集合

W⊥ =_{v ∈V |すべての w∈W に対し (v,w) = 0}

第７章

固有値と固有ベクトル

 本章では, 断らない限りスカラー域を複素数体 C とする. それは C がもつ次の性質を 用いるためである.

代数学の基本定理 複素数を係数にもつ定数でない多項式 f(x) は必ず

f(x) =c

s ∏

i=1

(x₋αi)ei, α1, . . . αs は相異なる複素数, e_i >0, c∈C

の形に (積の順序を無視すれば) 一意的に分解する.

 これより方程式f(x) = 0 は α₁, . . . , α_s を解にもつ. e_i を解 α_i の重複度と呼ぶ.

7.1

正方行列の固有値と固有空間

 A= (

aij )

を n 次（複素）正方行列とする．教科書第４章で学んだように，文字x の

多項式を成分とする n 次正方行列 xE−A = (

δijx−aij) の行列式

ΦA(x) = det(xE −A)

を A の固有多項式と呼び, 方程式 Φ_A(x) = 0 (A の固有方程式) の (重複度を込めて n 個の) 解を A の固有値と呼ぶ. 固有方程式の解としての重複度を,固有値の重複度と呼ぶ. 複素数 α が A の固有値であるのは, Cn の部分空間

Vα := Ker(L(αE−A):Cn →Cn)

が {0} を 真 に 含 む こ と と 同 値. そ の 場 合 V_α を, A の 固 有 値 α に 関 す る 固 有 空 間,

Vα \ {0} の元を A の α に関する固有ベクトルと呼ぶ. 換言すれば, A の α に関する固 有ベクトルとは, Av =αv かつ v̸=0 を満たすベクトルv ∈Cn のことをいう.

命題 A の固有値 α に対し, dimV_α ≤ α の重複度.

7.2

正方行列の対角化可能性

定理A 正方行列 A の相異なる固有値 β1, . . . , β_r に対し, 固有空間の和V_β

1 +· · ·+Vβr

は直和である.

 n次正方行列A が対角化可能であるとは,n 次正則行列P をうまく選んでP−1AP が 対角行列であるようにできるとき, 換言すれば, V =Cn の基底 v = (v₁, . . . ,v_n) をうま く選んで, それに関する V 上の線形変換 L_A の表現行列が対角行列であるようにできる ときにいう.

定理B n 次正方行列 A に対し, 次は互いに同値になる. (i) A が対角化可能.

(ii) A のすべての固有空間の和（必ず直和）が Cn に一致する. (iii) A の各固有値 α に対し, dimV_α =α の重複度.

(iv) 重複度>1 であるような A の各固有値 α に対し, dimV_α =α の重複度.

系 n 次正方行列 A が n 個の相異なる固有値をもてば, A は対角化可能である.

例 A =  

1 2 1

−1 4 1

2 4 0



 が対角化可能かどうか見よう. Φ_A(x) = (x−1)(x−2)2. 従って,

A の固有値は 1,2,2. さて, 1 に関する固有空間 V1 を求めるのは, 斉次連立１次方程式 (A₋E)x= 0を解くのと同じ. A−E =

 

0 2 1

−1 3 1

2 ₋4 ₋1 

の簡約階段化が  

1 0 1/2 0 1 1/2

0 0 0

 

となることから, V₁ は次元1 (1 の重複度 = 1 ゆえこれは必然) で, u := t(1,1,−2) を 基底にもつ. 同様に, A−2E =

 −

1 2 1

−1 2 1

2 −4 −2



 の簡約階段化が  

1 ₋2 ₋1

0 0 0

0 0 0



 とな

ることから, V₂ は次元 2 (= 2 の重複度) で, v := t(2,1,0), w := t(1,0,1) を基底にも つ. 定理Bの条件 (iv) が満たされるから, 同定理により A は対角化可能. 実際, すべて の固有空間の基底を並べて得られるP :=

(

u v w)=

 

1 2 1

1 1 0

−2 0 1



 は定理Aにより正

則で, P−1AP = diag(1,2,2). これは u, v, w が固有ベクトルであることを示す３等式

演習題 次の正方行列 A は対角化可能か? 可能であれば対角化せよ.

(1) 

0 10 0 01 1 0 0



 (2)



01 10 11 1 1 0



 (3)



00 10 01 0 0 0

 

演習題 実正方行列A に対して次が互いに同値になることを示せ.

(i) A が実対角化可能. すなわち複素正則行列 P をうまく選んで P−1AP が実対角行 列であるようにできる.

(ii) 実正則行列P をうまく選んで P−1AP が対角行列であるようにできる. (iii) A が複素行列として対角化可能, かつ A の固有値がすべて実数である

 複素正方行列 A = (

aij )

に対し, 各成分をその複素共役に置き換えた行列をA= (

aij )

とかく. これの転置行列を

A∗ =tA

とかき, A の随伴行列と呼ぶ. n次正方行列 A, B に対し, 次が成り立つ. (AB)∗ =B∗A∗

命題 標準内積に関して

(Av, w) = (v, A∗w)

がすべての v,w ∈Cn に対して成り立つ.

演 習 題 上 の 性 質 が A∗ を 特 徴 づ け る こ と, す な わ ち す べ て の v,w ∈ Cn に 対 し (Av, w) = (v, Bw) をみたす n 次正方行列 B は A∗ に限ることを示せ.

定義 AA∗ =A∗A を満たす複素正方行列 A を正規行列と呼ぶ. 命題 A を正規行列とする. 勝手な複素数 α に対して

Ker(A₋αE) = Ker(A∗₋αE).

従って, α が A の固有値 ⇔ α がA∗ の固有値 であり, この場合

系 正規行列A の相異なる固有値 α, β に対して V_α ⊥V_β. すなわち, α に関する固有ベ クトルと β に関する固有ベクトルは必ず直交する.

定義 次の４種類の行列を, それぞれの条件を満たすものとして定める (すべて正規行列). ユニタリ行列 A∗ =A−1 (⇔A の列ベクトルたちが Cn の正規直交基底)

直交行列 実行列かつ tA =A−1 (⇔A の列ベクトルたちが Rn の正規直交基底) エルミート行列 A∗ =A

実対称行列  実行列かつ tA =A

 正方行列A に対し, ユニタリ/直交行列 P をうまく選んで P−1AP が(実)対角行列で あるようにできるとき, A はユニタリ/直交行列により (実)対角化可能であるという.

定理C 複素正方行列 A がユニタリ行列により対角化可能 ⇔ A が正規行列. 定理D (1) エルミート行列はユニタリ行列により実対角化可能.

 (2) 実対称行列は直交行列により実対角化可能.

例 A =  

2 ₋i 1

i 2 −i

1 i 2



 (ただし i =

√

−1) はエルミート行列, 従って正規行列だからユ

ニタリ行列によりが対角化可能. 実際, Φ_A(x) = x(x−3)2 より, A の固有値は 0,3,3. 前 の 例 に あ る の と 同 じ 方 法 に よ り, V₀ はu := t(−1, i, 1) を, V₃ は v := t(1, 0, 1), w :=t(i, 1, 0) を基底に持つ. それぞれの基底に Gram-Schmidt の直交化法を施し, V₀ の正規直交基底 u′ := √1

3u, V3 の正規直交基底v′ := 1 √

2v, w′ := 1 √ 6

t_{(i, 2, −i)} を得

る. これらのベクトルを並べて得られるP := (

u′ v′ w′) =

 −

1/√3 1/√2 i/√6

i/√3 0 2/√6 1/√3 1/√2 ₋i/√6

 

は前系によりユニタリで, P∗AP = diag(0,3,3).

演習題 次の行列 A はどれも正規行列である. ユニタリ行列により(実対称行列であれば 直交行列により) 対角化せよ. ただし, i =

√

−1, ω = −1 + √

−3

2 (1 の原始3乗根).

(1) 

₋21 −21 −₋11 −1 −1 2



 (2)



1 ω

2 _ω

ω 1 ω2

ω2 ω 1



 (3)



2−0 i 1 +0 i 0i

i 0 2−i

演習題 次の同値を示せ. n 次複素正方行列 A がユニタリ行列により (実) 対角化可能 ⇔

V =Cn の正規直交基底v = (v₁, . . . ,v_n) をうまく選んで, それに関する V 上の線形変 換L_A の表現行列が (実) 対角行列であるようにできる.

7.3

線形変換の固有値と固有ベクトル

 この節を通し, V を有限次元ベクトル空間, f を V 上の線形変換とする.

 複素数 α に対し, f(v) = αv かつ v ̸= 0 を満たす v ∈V が存在する場合, この α を

f の固有値, v をf のα に関する固有ベクトルと呼ぶ. またこの場合, V の部分空間

Vα := Ker(f −αIV) ={0} ∪ {f の α に関する固有ベクトル}

を, f の固有値 α に関する固有空間と呼ぶ. これらの定義は, 先の正方行列に関する定義 を一般化するものである. (正方行列A に関する先の定義が, L_A に関する上の定義に一致 する.)

 V のある基底 v に関する f の表現行列 A の固有多項式 Φ_A(x) を, f の固有多項式と 呼び Φ_f(x) で表す．別の基底に関する表現表列は P−1AP (P は正則) の形をしており, ΦP−1AP(x) = ΦA(x) が成り立つから, この定義は基底の選び方に依らない．α ∈C を勝 手に選ぶとき，同型写像 φv が同型写像Ker(A−αE)

≃

−→ Ker(f ₋αIV) に制限される ことから，

f の固有値 = A の固有値 = 固有方程式Φ_f(x) = 0 の解.

固有方程式の解としての重複度を, 固有値の重複度と呼ぶ.

考察 f(W) ⊂W を満たす部分空間 W ⊂V をf-不変部分空間と呼ぶ. このような部分 空間 W が与えられたとき, 商空間 V /W 上の線形変換 f が

f([v]) := [f(v)] (v ∈V)

で定義される. 実際, [v] = [v′] であれば [f(v)] = [f(v′)] だから, 上が V /W から V /W への写像 f を定義し, これが線形であることが見てとれる.

定理 V の基底 v₁, . . . ,v_n で,

ようなものが存在する.

系 勝手な正方行列 A は上三角化可能. すなわち正則行列 P をうまく選んで P−1AP が 上三角行列であるようにできる.

7.4

半単純な線形変換

 引き続き, V を有限次元ベクトル空間,f を V 上の線形変換とする.

 f が単純であるとは, これが恒等変換のスカラー倍に等しいときにいう. f が半単純で あるとは, V の基底をうまく選んでその基底に関する f の表現行列が対角行列であるよ うにできるときにいう. 単純な線形変換は半単純である.

定理 f に対し次が同値になる. (i) f が半単純.

(ii) V の勝手な基底に関する f の表現行列が対角化可能. (iii) f の固有ベクトルからなる V の基底が存在.

(iv) 重複度>1 であるような f の各固有値 α に対し, dimV_α =α の重複度.

 V を複素または実計量ベクトル空間, f をV 上の線形変換とする.

 すべての v,w ∈V に対して(f(v), w) = (v, f∗(w)) を成り立たせる V 上の線形変 換 f∗ がただ１つ存在する. この f∗ をf の随伴変換と呼ぶ. f f∗ =f∗f を満たすとき,

f を正規変換と呼ぶ.

演習題 V のある正規直交基底に関するf の表現行列を A とするとき, 次を示せ. (1) 同じ基底による f∗ の表現行列は A∗ である.

(2) f が正規変換 ⇔ A が正規行列

定義 (1) 複素計量ベクトル空間 V 上の２種類の正規変換を, それぞれの条件を満たすも のとして定める.

ユニタリ変換 f∗ =f−1. 同値に, V のある/勝手な正規直交基底に 関する f の表現行列がユニタリ行列

 (2) 実計量ベクトル空間 V 上の２種類の正規変換を, それぞれの条件を満たすものと して定める.

直交変換 f∗ =f−1. 同値に, V のある/勝手な正規直交基底に 関する f の表現行列が直交行列

対称変換 f∗ =f. 同値に, V のある/勝手な正規直交基底に 関する f の表現行列が対称行列

定理 (1) 複素計量ベクトル空間 V 上の正規変換 (とくにユニタリ変換) f は半単純であ る. もっと詳しく, V の正規直交基底をうまく選んでそれに関する f の表現行列が対角行 列であるようにできる.

 (2) 複素 (実)計量ベクトル空間 V 上のエルミート (対称) 変換 f に対し, V の正規直 交基底をうまく選んでそれに関する f の表現行列が実対角行列であるようにできる.

Appendix

A.1

斉次連立１次方程式の解法（復習）

 A ∈M(m, n;K) を零行列と異なる行列とする．この A が簡約階段行列であるとは次 の条件が満たされるときにいう．

(i) A のn 個の列は主列とそうでない従列*3に分けられ，主列を少なくとも1つ含む． (ii) 主列の番号を i1 < i2 <· · ·< i_r とすると，第 i_p 列は第 p 基本ベクトル e_p に一

致する．

(iii) 第i_p 列より左にある列の第 p 成分以下の成分はすべて 0 である（とくに第 i₁ 列 より左の列はすべて零ベクトルである）.

ただし零行列も，従列だけからなるものとして，簡約階段行列に含める．一般に，主列の

個数 r がrankA に一致すること注意しよう．

 A ∈ M(m, n;K) を零行列と異なる簡約階段行列とし，r = rankA(>0) とおく．上 のように，A の主列の番号を i1 < i2 < · · · < i_r とする．n 次タテベクトルに関し，そ

*3

の第 i_p 成分 (1 ≤p≤ r) を主成分，その他の成分を従成分と呼ぶ．斉次連立１次方程式

Ax=0 の基本解とは,次の条件をみたす n−r 個の n次タテベクトルx₁, x₂, . . . ,x_n−r をいう．

(1◦_{) 各x}

q の第 q 従成分（従成分だけを上から数えて q 番目にある）は１で，他の従成 分はすべて0．１である第 q 従成分より下にある成分は（主従にかかわらず）すべ て0 である*4．

(2◦_{) すると，x}

q の第 q 従成分より上にある主成分は Ax_q =0 を満たすように一意的 に与えられるから，それらを当該成分とする.

例 3×6 行列 A=  

1 0 −1 0 −1 −2

0 1 2 0 1 2

0 0 0 1 1 1



は簡約階段行列．主列の番号は i1 = 1,

i2 = 2, i3 = 4．これに応じ６次タテベクトルの成分の主従は         

主

主

従

主

従

従

        

となる．Ax=0 の

基本解 x₁,x₂,x₃ は，まず (1◦)を満たすように

x₁ =

       ∗ ∗ 1 0 0 0       

, x2 =

       ∗ ∗ 0 ∗ 1 0       

, x3 =

       ∗ ∗ 0 ∗ 0 1       

となり，さらに (2◦) を満たすように

x₁ =

       1 −2 1 0 0 0       

, x2 =

       1 −1 0 −1 1 0       

, x3 =

       2 −2 0 −1 0 1       

と求まる．

*4

 一般の行列 A∈M(m, n;K) が与えられたとき，それに行基本変形を何回か施して（同 値にm 次正則行列を左から掛けて）簡約階段行列B が得られる．このような B は一意

的に決まり，A の簡約階段化と呼ばれる．A とB の階数は一致するが，それをr で表す．

また斉次連立１次方程式 Ax= 0 の解集合とBx=0 の解集合は一致する．Bx =0 の 基本解 x₁, . . . ,x_n−r を以て Ax=0 の基本解という．

定理 Ax=0 の解は

c1x₁+· · ·+cn−rxn−r, c1, . . . , cn−r ∈K

の形に一意的に表せる．

 基本解の個数 n−r を Ax=0 の解の自由度と呼ぶ．

例  

1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

4 5 6 1 2 3



 の簡約階段化は前の例の行列である（確かめよ）.

A.2

補充題

 指定しない限り，基礎体 K は R またはC のいずれか，いずれでもよい．

計算力を試す

1. 正方行列

A =    

1 ₋1 ₋1 ₋1 −1 1 −1 −3 2 ₋2 1 4 1 −1 0 1

   

が与える線形変換

f :K4 _→K4, f(x) =Ax

について，核 Kerf と像 Imf の次元を求め，それらの基底を１組ずつ与えよ．

2. 複素正方行列 

00 a1 bc

0 0 0  

が対角化可能であるために，複素数 a, b, cが満たすべき条件を求めよ．またそれが満たさ

3. 次はエルミート行列である．i は虚数単位を表す．複素数 a, b, c の値を与えた上で， この A をユニタリ行列により対角化せよ．

A = 

0i a0 bc

1 i 0  

思考力を試す

4. A を n 次正方行列とし，r₀ =n, r_i = rankAi, i >0 とおく．次を示せ． (1) ある番号 k ≥0 に対しr₀ > r₁ > r₂ >· · ·> r_k =r_k+1 =r_k+2 =. . .. (2) 数列 {r_i−r_i+1} が非増大. すなわち

ri−ri+1 ≥ri+1−ri+2, i ≥0.

5 *5_{. A} を n 次正方行列とし, これが与える Kn の線形変換 f(=L_A) とかく． (1) 次の条件 (i)–(iii) が互いに同値であることを証明せよ.

(i) A と A2 の階数が等しい. すなわちrankA = rankA2. (ii) A2 _=AP

を満たす正則行列P が存在する.

(iii) f の核 Kerf と像 Imf の共通部分が零ベクトル 0 だけからなる. すなわち Kerf ∩ Imf = {0}.

(2) n= 3, A =  

1 0 a

0 1 b

b a 2ab 

 の場合に,

(α) Kerf および Imf の基底をそれぞれ１組求めよ．

(β) 上の同値条件 (i)–(iii) が成り立つために a, b が満たすべき条件を求めよ. (γ) またその条件が満たされるとき, A2 = AP を満たす正則行列 P を 1 つ求

めよ.

6 *6_{. K =}Rとする．V =R[x]₂ を，R に係数をもつ２次以下の多項式全体からなるベ クト空間とする．p(x)∈V に対し多項式 f(p(x)) を

f(p(x)) = (x+ 1) d

dxp(x) *5

筑波大2015年度大学院入試問題から.

*6

で定める.

(1) f が V 上の線形変換であること, すなわち f ∈End(V) を示せ． (2) V の基底を 1 組選んだ上, その基底に関する f の表現行列を求めよ. (3) f と可換な線形変換 g 全体からなる集合

M =_{g_∈End(V)_|g_◦f =f _◦g_}

がEnd(V) の部分空間であることを示した上で，その次元を求めよ．

7. A, B をn 次複素正方行列とする． (1) 次が互いに同値であることを示せ．

(i) A, B が 同 時 対 角 化 可 能 ．す な わ ち 正 則 行 列 P を う ま く 選 ん で P−1AP,

P−1_BP

がともに対角行列であるようにできる．

(ii) A, B はともに対角化可能であり，かつAB =BA をみたす.

(2) AB = BA であれば，A, B は同時上三角化可能，すなわち正則行列 P をうまく 選んで P−1AP, P−1BP がともに上三角行列であるようにできることを示せ．ま た逆が成り立たないことを示す例を挙げよ．

8. Aをn次実正規行列(n次実正方行列でtAA=AtAを満たす)とする．次の(1)–(4) が成り立つことを示し，また(5) に答えよ．

(1) Aの(Cにおける)固有値すべてを重複度も込めて記述すると，実数 λ1, λ2, . . . , λ_r とペアで複素共役な虚数µ₁, µ₁, µ₂, µ₂, . . . , µ_s, µ_s (r≥0, s≥0, r+ 2s=n) からなる．

(2) 実ベクトル v₁, v₂, . . . , v_r とペアで複素共役 (各成分が複素共役) な複素ベクト ルw1, w1, w2, w2, . . . , w_s, w_s であって，Cn の正規直交基底をなし，上の固 有値に関し，順に固有ベクトルとなるようなものが存在する．

(3) xi := 1 √

2(wi+wi), yi := 1 √

−2(wi−wi) (1≤i≤s) とおくと，これらは実ベ クトルで， v1, v2, . . . , v_r, x1, y₁, x2, y₂, . . . , x_s, y_s は Rn の正規直交基底． 従ってこれらを並べた

P =(v₁ . . . vr x₁ y₁ . . . xs y_s

)

(4) µi =ai+bi √

−1 (ai, bi ∈R, bi ̸= 0; 1≤i≤s) とすると，tP AP は

B=              

λ1 0 . . .

0 . .. ..

. λr

a1 b1 −b1 a1

. ._.

as bs

−bs as              

.

に一致する．このB は対角行列 diag(λ₁, λ₂, . . . , λ_r) と (

a1 b1

−b1 a1

)

,

(

a2 b2

−b2 a2

)

, . . . ,

(

as bs −bs as

)

,

を順に対角に並べ，空いた成分をすべて 0 としたもの*7．

(5) A が (i)直交行列，(ii) 交代行列の場合，上の B はどのような形になるか．

*7