数 学
I B: 中
1枚
目( 4枚
あ ります)間
試
験
: 解
答 例
2012年 11月 27日 出題 10: 30∼12100
学 生 番号 氏 名
[ ■
] 以
下 の問 い に答 え よ.( 1) 5+づ
=r ♂
α
( r >σ , α
∈
R) とお
く
と
き
, ァを
求
め
よ
. ま
た
i α
は
0<α
<÷
を
み
た
す
よ
う
に
とれ る こ とを示せ.
( 2) ( 5+り
4( 1_ を) の
極形式を
( 1) のr ( た
だし
具
体的な
値は
不
要
) とα を
用い
て
表
せ
.( 3) ( 5+を) 4( 1_ を) を直接計算 して間( 2) の結果 と比較す ることにより
, 以
下の等式( *) を示せ.ただ しAr c t an t ( t ∈
Q
は
逆正接函数の主値( 一号<Ar c t ant <号
) である.( *) 4 Ar c t an: 一
Ar c t al l 嘉
==
【解答】
①
r =い
十日=Й
また αは5+J の
偏角でゎい s α=π
号詐Sh α
=濃
<=で
あるから
, 0く
α
<=を
￨た
す
よ
う
に
と
れ
る
.( 2) 1- づ
=yル
i π
/ 4で
ぁる
か ら
, ( 5+, ) 4( 1_ `
) =ν
σ
r 4e( 4α一
牙
) を.
( 3) ( 5+り
2=24+10, =2( 12+5づ
) よ
り
, ( 5+の4=4( 119+120, ) . ゆ
えに
( 5+つ 4( 1_ ヴ) =4( 239+ヴ) .
した が つて
, 151の
4に_ っ
の影 式 を
Rer と
す る こR=の
4∞
s β=畜
拳
, Shβ
=券
で ある
か
ら
, 0<β
<=と
と
れ
る
. 一
方
―
=<4α
二
=<髪
「
πで
あ
る
か
ら
, 4α―
==β
。
上
記
の
こ
とよ り α=ATc t al l l =, β
=Ar c t 銀
ザ等
で あ るか ら
, 所
要 の等式 を得 る.
□[ 2] 2次
方程式z 2_ ( 1+2を
) z +1+7づ
=0を
解 け.【解答】
D
: =( 1+2つ
2_ 4( 1+7う
と
おく
. D
=- 7- 24じ
であり
,の
極
形
式
を
D
=25♂
と
す
る
と
き
, c osθ
=―
■
, dnθ
=
I D
I =772+242=25で
ある
か ら
,一
とで
あ
る
. た
だ
し
―
π
<θ<―
,
Ｄ
で
あ
る
。
一
号
と
; <―
=よ
り
, c os 晉
>0, Si n:
鰯
: 二
7呼
==
<0で
あ る。 ゆえにSt r l 音
=一
ャ
ノ
甲
=二
: ・
ゆ
え
に
√
=土
√
θ
" ″
=■
5( : 一
: う
=土
o- 0. 特
よ
り
す
め
群は
Z=: ←
+2+力
) ={ 二
数 学
I B: 中
間
2枚
目( 4枚
あ ります)試
験
: 解
答 例
2012年 11月 27日 出題 10: 30∼12: 00
氏 名
( 1) Z=″
十`ν
, υ =υ +をυ
( α, ν , π, υ ∈R) とお くと, υ =π
2_ ν 2, υ
=2" ν .
π =た の とき
, 2=た
2■ ν2, υ
=2たy.
( あ) た
≠
0のと
き
。
y=券
よ
り
, し=た2_ 嘉
〕
こ
れ
ば
図
の
放
物
線
.( い) た
=0の
と
き
. υ=0か
つ し
=―
y2≦0. す なわちυ 平面の実軸の負または
oの部分
( あ
) I m
υ I mυ1
[ 31
写 像 υ=z 2に
つ いて考 え る.( 1) z 平
面 にお ける虚軸 に平 行 な直線 れ を図示せ よ( 2) z 平
面に
おける
領域
p: ={ z CC,
を 図 示 せ よ.
【
解答】
( 2) 間 ( 1) よ り
, 求
める像 は, ん=1の
ときの放物線 し=1
部分 を取 り除いて得 られ る領域であ る。
Rez =た
( た∈叫 は, υ 平面 の どん な図形 に写 され るか。 そ0<Rez <1) は
, υ 平面の どんな領域 に写 され るか. そ
れ_ : υ 2の
内部 か ら
: 実
軸 の負 また は 0のRe
υ
潔
尚
λ焦
記
ぁ
i l 翼
量
は
く
2た 2
数学
I B: 中
3枚
目( 4枚
あ ります)間
試
験
: 解
答 例
2012年 11月 27日 出題 10: 30∼12: 00
氏 名
14] 拡
張 され た複 素平面上 の異 な る4点z l , z 2, Z3, Z4に 対 して, そ
の非調和 比 ( 複比) ( z l , Z2, Z3, Z4) を次 式 で定 義 す る.レ
れ
名
a=競
彰
①
l 次分数変
換υ
=完
( Q
仇
ら
洲ま
複素数の
調
に
おい
て, 非 調和比は
保た
れること
す
赫
り
=需
04脚
ど
お←
之 ま
次の
勲
減
…
盪
示
せ
m
潤
●
ム
証 明は
ぅと υプのすべ てが有 限 な ときにのみ与
えれ ば十 分 とす る) .
( υl , υ 2, υ3, υ4) =( Zl , Z2, Z3, Z4)
1, υ
2=
を
, り3=1に
写す もの( 2) 1次
分数変換で, z l =0, ″
2三1, z 3=∞
をそれ ぞれ υl =―を求 めよ.
【解答】
①
島
=: 摯
幸
÷
で
あ
る
か
ら
_ α
ろ+b_ α
Zた+b
υ ブ
υ
た
c ろ
+d
“ た
+d
=立
生 型 墾 ぞ ≠
拳
示 競 争 ぢ
量 盈 土 生
=
ゆ え に
続
=
舞
=窃
舞
,織
=
耗
=郷
舞
よって
いち
吻
鴫
切
=髪
舞
鋸
舞
=い
あ 名 な
( 2) ( 1) よ
り
求める
1次
分数
変
換はい
1, 吻, υ3, υ ) =( Zl , Z2, Z3, Z) をυ で
解け
ばよ
い
。すなわち
Z2
υl υ 3υ υ
2=Zl Z3Z
Zl
υ
2υ 3υ つ
l Z2Z3Z
ろ
, %
の
値 を代 入 す ると- 1- l υ
十 を=0- ∞
z - 1
- 0- l υ
+1 1- ∞
Z
す
な
わ
ち
台 号
1÷
=ザ
・
こ
れ
よ
り
υ
=H
鐸
数 学
I B: 中
間
4枚
目( 4枚
あ ります)試
験
: 解
答 例
2012年 11月 27日 出題
l Q
30∼
12: 00氏 名
15] ( 1) z ( “ , y) : =3■
2ν
_ y3は
調和関数であ ることを示せ.
( 2) 問 ( 1) の し( ■, y) を実部 に持 つ解析函数 ∫( z ) ( Z=“
+勾
) の内で, ∫ ( a) = 求めよ。答 えは“
, yを 用いず
, z の
みを用 いて表 す こと,T憲
借
展
急
ξ』
; ■
. 問②
で
表
め
た
解
析
醸
バ
の
に
つ
い
ζ
兎
【
解答】
( 1) τ
E=6r yよ
りし, . =6ν. ま
た し υ=3■2_ 3y2ょ
りし
υυ
=- 6y. ゆ
えに 2. . 十 しνy=0と
なっ て, し は調和函数である.( 2) ∫ ( z ) =し( 2, y) +二υ( ″ , y) とお くと, ∫( z ) 力輝 析 的 とい うことか ら, oE=υ
yか
つ υ. =一
し ν.従 って, υ
r =3ν
2_ 3″ 2か
つ υ
y=6●
νをみたす υを求 めれ ばよい。 υν_ 6“ クの両辺 をνで積分 す る と, υ =3π ν
2+c ( 2) . こ
れを“
で微分して υ
. =3ν
2+c ′
( ″ ) .
これが3ν
2_ 3″ 2に
等 しい事か ら, c ′ ( α
) =- 3●
2と
なって, c ( “
) =―
π3+c で
c は 実定数.
これ よ りυ =32ν 2_ τ
3+c を
得 るので,ノ( z ) =3“
2ν _ υ 3+」
( 3“ y2_ ″
3+c ) =_ づ
Z3+じc
バリ
=- 1+づ
よリ ー
1+づc 〒- 1+t . ゆ
えに ε
=1と
なって
( c が実数であること
に
適する
) ,∫ ( Z) =― を
Z3+t .
( 3) 明
ら
かに
バ
z ) はC全
体で解析的である
. Cauc hyの
積分公式より
1げ
些
与
″
=を
胴
=れ
い
+り=- 2バ
1+)
hz
- 1+を
とな るもの をゴ
豊
ム
dz を
