Representations of hadrons

ここからはハドロンに対するV(3)^{の表現を見ていく}. s^{クォークと}ud^{ダイクォークの質量が}

500 MeV程度で近いという仮定を考慮し, V(3)の基本表現としてストレンジクォークのスピン上下

と,ud反ダイクォークを以下のように3^{重項を組んだ}: Ψⁱ=



ψ¹ ψ² φ³



=



s_↑ s_↓ ud



, (3.103)

これはカラー3^{重項を持っている}. この基本表現を元にハドロンを構成していく. ^{取りうるハドロ} ンの表は図3.1^に示す.

3.3.1 Triplet Representation

基本表現はカラーを持っているのでΨ単体ではハドロンを構成できない. ^ここではheavy quark と反3重項でカラー白色のハドロンを作る. ^{まず最初に}heavy quarkとしてチャームクォークを選

び,c^iとΨˆj でハドロンを構成する. チャームクォークはスピン1/2^で添字のi^は1^から2^が走る. 2⊗3^なので6^{つの成分が取れる}. スピンの固有状態で見ると,^スピン3^重項,^単重項, 2^重項,

D_s^∗={ψˆ2c¹, 1

√2( ˆψ1c¹−ψˆ2c²),ψˆ1c²}, Ds = 1

√2( ˆψ1c¹+ ˆψ2c²), Λc={φˆ3c¹,φˆ3c²}, (3.104) のように分けられる. ^{このようにして見ると}, V(3)^{の対称性によって}D^∗_s,Ds,Λcが1^{つの表現に} 縮退している. ^{これらの共役な成分は}

Dˆ_s^∗={cˆ¹ψ2, 1

√2(ˆc¹ψ1−cˆ²ψ2),cˆ²ψ1}, Dˆs = 1

√2(ˆc¹ψ1+ ˆc²ψ2), Λˆc ={−ˆc¹φ3,−cˆ²φ3}. (3.105) ここで( ˆψ2c¹)^† = (c¹)^†( ˆψ2)^†= ˆc¹ψ2,( ˆφ3c¹)^† = (c¹)^†( ˆφ3)^†=−ˆc¹φ3というのを使った. ^このハド ロンに対する3表現の質量項は共通質量m0とすると,

m0( ˆD_s^∗D^∗_s+ ˆDsDs+ ˆΛcΛc)

=m0

[ ˆ

c¹(ψ1ψˆ1+ψ2ψˆ2−φ3φˆ3)c¹+ ˆc²(ψ1ψˆ1+ψ2ψˆ2−φ3φˆ3)c² ]

(3.106)

=−m0

[ ˆ

c¹( ˆψ1ψ1+ ˆψ2ψ2+ ˆφ3φ3)c¹+ ˆc²( ˆψ1ψ1+ ˆψ2ψ2+ ˆφ3φ3)c² ]

(3.107) と書くことが出来る. ^{この質量項は}V(3)の回転に対して不変である.

同様にしてボトムクォークを考えることで,B_s^∗,Bs,Λb

B^∗_s ={ψˆ2b¹, 1

√2( ˆψ1b¹−ψˆ2b²),ψˆ1b²}, Bs = 1

√2( ˆψ1b¹+ ˆψ2b²), Λb={φˆ3b¹,φˆ3b²} (3.108) が縮退する.

3.3.2 Mesonic representation

次にメソニック表現 ΨˆiΨ^j ⊕ΨˆⁱΨj を見ていこう. V(3) ^{の表現としては節}3.3.2 ^において 3⊗¯3 =1⊕8^{であることをみた}. ^しかし8^重項と1重項は質量が近いと考えられる. ^{このためメ}

表3.1 V(3)代数においての取りうる表現.アスタリスクのついた表現に関しては軌道角運動量 などの励起を考慮している.丸カッコの中身は考えうるスピン-パリティJ^Pの構成である.励起 状態に関しては全スピンJではなく,取りうるスピンSで記している.またcクォークに関して はV(3)表現の外から持ってくるため,bクォークのようにcではなく他のクォークを用意するこ とができる.

V(3) quark contents hadrons

Ψcˆ ¯3 sc¯ (1⁻,0⁻), udc(¹₂⁺) D^∗_s,Ds,Λc

ΨΨˆ 9 ss¯ (1⁻,0⁻), uds(¹₂⁺), ud¯s(¹₂⁻), udud(0⁺) ϕ,ηs,Λ,f0

ΨΨc 5 ssc(¹₂⁺, ³₂⁺), udsc(0⁺,1⁺) Ωc,Tcs

4^∗ ssc(S = ¹₂), udsc(S = 0,1), ududc(S= ¹₂) Ωc,Tcs,Θc

ΨΨΨ 7 sss(³₂⁺), udss(1⁺) Ω,Tss

8^∗ sss(S = ¹₂), udss(S = 0,1), ududs(S = ¹₂) Ω^∗,Tss,Θ 4^∗∗ udss(S = 0), ududs(S = ¹₂), ududud(S= 0) Tss,Θ^∗, dibaryon

ソニックに対して8^と1^で分けず9表現として考えることができる. ^{よってこれ以降}8^重項と1^重 項を混ぜて議論していく. ^{メソニックにおける}(3.52)^{のような行列表現は}

M_i^j = ˆΨiΨ^j (3.109)

のように取れる. M_i^j に対する量子数を考えてみると,以下のようにハドロンをM_i^{j に対応させる} ことができる:

ϕ={M₂¹, 1

√2(M₁¹−M₂²), M₁²}, ηs = 1

√6(M₁¹+M₂²+ 2M₃³), f0= 1

√3(M₁¹+M₂²+M₃³), Λ ={M₃¹, M₃²}, Λ =¯ {M₂³, M₁³}. (3.110)

ここで,ηsはsクォークで構成される擬スカラーメソンである.

式(3.9)^と(3.13)によって与えられる共役な場を導入すると,

ϕˆ={M¹2, 1

√2(M¹₁−M²₂), M²₁}, ηˆs= 1

√2(M¹₁+M²₂), fˆ0=−M³3,

Λ =ˆ {−M¹₃,−M²₃}, Λ =ˆ¯ {M³₂, M³₁} (3.111) を得る. ^ここで,^{これらのハドロンの}(+)成分に対して共役なものを考えると,

Mˆ_i^j = (M_i^j)^† = ( ˆΨiΨ^j)^†= (Ψ^j)^†( ˆΨi)^† = (−)^δ3iΨˆ^jΨi≡(−)^δ3iM^j_i. (3.112) 質量項はハドロンの共通の(^{破れのない})^質量をm0とすると,

m( ˆϕϕ+ ˆηsηs+ ˆf0f0+ ˆΛΛ + ˆΛ ¯¯Λ)

=m0(M¹₂M₂¹+M¹₁M₁¹+M²₂M₂²+M²₁M₁²−M³₃M₃³

−M¹₃M₃¹−M²₃M₃²+M³₂M₂³+M³₁M₁³) (3.113)

=m0

[ψˆ¹(ψ1ψˆ1+ψ2ψˆ2−φ3φˆ3)ψ¹+ ˆψ²(ψ1ψˆ1+ψ2ψˆ2−φ3φˆ3)ψ²

+ ˆφ³(ψ1ψˆ1+ψ2ψˆ2−φ3φˆ3)φ³ ]

(3.114) となる. ^これはV(3)の変換に対して不変である. ^そのためV(3)対称性が保たれていれば,ϕ,ηs,f0

とΛ^{の質量が縮退する}.

このあとの計算のためにこれらのハドロンの行列形式を以下のように導入する:

M =





√1

2(ϕ0+ηs) ϕ_↓ Λ_↓ ϕ_↑ −^√1₂(ϕ0−ηs) Λ_↑

Λ_↑ Λ_↓ f0



, Mˆ =





√1

2( ˆϕ0+ ˆηs) ϕˆ_↑ −Λˆ_↑ ϕˆ_↓ −^√1₂( ˆϕ0−ηˆs) −Λˆ_↓ Λˆ_↓ Λˆ_↑ −fˆ0



.

(3.115) このようにすると,^{行列形式での質量項は}

m0Tr[ ˆM M]. (3.116)

のように表せる.

3.3.3 Other representations

ここからは質量項を議論せずにその他の表現を見ていきたい.

ΨΨchadron

ここではΨΨcから成るハドロンについて考える. 基底状態では動径方向の波動方程式は対称に 組まれている. c^とΨ^はカラー3^{重項なので}“^{ダイクォーク}”^状態ΨΨのカラーの組み方は反対称 にならなくてはいけない. ^そのためΨΨ^はV(3)^の5^{表現に含まれる}. 5^表現では,^スピン1^のss と,^スピン1/2^のuds^があり,そこにチャームを付けるとスピン1/2^と3/2^のssc(^これはΩcバリオ ンだが)^とスピン0,^{またはスピン}1でチャームのテトラクォークudsc^{が得られる}. udsc^は4^つの フレーバーがすべて異なる純粋なテトラクォークである. 同様の議論がボトムクォークでも出来る.

スピン1/2, 3/2^のΩbバリオンとスピン0, 1^{のテトラクォーク}udsb^が5^{表現を組む}. ^{この後これ}

らのテトラクォークの質量に対して議論していく. ^{テトラクォーク}u¯dcb¯ ^に対してRef. [28]^で議論 されている.

Ψ^{の励起を許すと}ΨΨ^に対して4表現を取ることが出来る. cクォークを混ぜることによって, スピン1/2^のcss,^スピン0^と1^のudsc,^スピン1/2^{のペンタクォーク}ududc^が組める.

Baryonic representation

バリオニック表現は基本表現3^つΨΨΨ^{から構成される}. カラー白色であるハドロンは完全反対 称である. 軌道角運動量を対称に組み,^{基底状態を用意すると},^{それら状態に}7^{表現が対応する}. ^こ の表現ではsss^{で構成されるスピン}3/2^のΩ^{粒子とスピン}1^{のテトラクォーク}udss^{が表現の中に} 入る.

ここで,Ψの軌道角運動量を反対称に組むと, 8表現も取ることが可能になる. ^{この表現では励起} されたスピン1/2^のΩ^{バリオンと},^スピン0, 1^{のテトラクォーク}udss^と,^スピンの1/2^のペンタ クォークududs^{が縮退する}.

軌道角運動量を2^{つ励起させてみると}, 4表現も取ることが出来る. ここには励起されたスピン0 のテトラクォークudss,^{励起されたスピン}1/2^{のペンタクォーク}ududs,^スピン0^{のダイバリオン} ududud^が入る.