新シリーズの5回目という事で，homology 3球面のhomology同境類のなす群，というタイトルでお話し ます．いきなり中身に入ります．
(1)
Θ3Z={homology 3-sphereW3}/H−cobordism C∞(Top)
homology 3球面，Zは省略する事もあります．closed oriented integral homology 3-sphere,W3と書く事に します．その全体をH-cobordismというrelationで割ります．smooth categoryとtopological categoryがあり ます．何も言わなかったらsmooth category, smoothなhomology cobordismです.
定義を念のため書きます．2つのhomology 3-spheresW,W′に対して，
W ∼HW′
であるとは，4次元compact orientedC∞-manifoldMが存在して，MはhomologyS3×Iであり，かつその境 界が
∂M4=W∪ −W′.
こういうときにhomology cobordantと言い,W のhomology cobordism classを[W]と書きます．群構造は connected sum,単位元は[S3],逆元はorientation reverseしたもの．この群については，微分topologyで，前 のシリーズで歴史的な事をお話しましたが，ある時期から非常に大事な群である事が認識されています．
後で詳しく言いますが，2013年のManolescuの研究[85]，大きなbreakthroughがあって，謎が1つ解けた のですが，まだまだこの群に関してはmysterious,分からない事も数えきれない程あります．
それで歴史的に少し言います．この群について最初に分かった事は，Rohlin不変量というものがあって，そ れが全射準同型
Rohlin:Θ3Z ↠Z/2
を与えるという事です．homology球面W3があったとき，3次元のcobordismは自明ですからM4で∂M=W となるものは存在します．さらにMは単連結，そしてspinに取れます．そうするとMのsignatureは8で割 れて，そのmod 2を取ります．これがMの取り方に依らず，WのRohlin不変量µ(W)です．これはhomology cobordism不変でありΘ3Zからの全射準同型を与えます．具体的にµ=1になるものはPoincar´e homology球 面があります．
ある時期，これは同型ではないかと，予想というより淡い希望のようなものがありました．しかし，そう ではないという事がわかりました．Casson不変量もそういう中で出てきたものです．それは一番drasticな可
能性：homotopy球面でPoincar´e予想の反例があるかという問題に否定的な解決を与えたのですが，最近の
Thurstonのprogramの完成，最終的にはPerelmannの仕事により，結局はhomotopy 3球面はS3である事に なりました．
その次のbreakthroughは1990年Furutaさん,やや遅れてFintushel-Stern.彼らは何を証明したかというと，
gauge理論を使ってΘ3Zは∞-rankである事を証明しました．そして淡い期待は消えてしまいました．∞-rank
です．
それよりも前に問題としては，全射Θ3Z ↠ Z/2がある訳ですが，これがsplitするかというものがあり ました．Rohlinがsplitするという事はΘ3Z にorder 2の元があるという事になります．このsplitするため の必要十分条件が，任意のcompact topological manifoldが三角形分割可能，但しclosedの場合は5 次元 以上，境界のある場合は6次元以上，というのが，松本尭生さん, Galewski-Sternの，ほとんど同時の仕事 です．松本尭生さんの方はSiebenmannの所でのDoctor論文．位相多様体の三角形分割可能性については, Kirby-Siebenmannの1969年の仕事がtriangulationのobstruction theoryを確立しました．ただし，これは piecewise linearなtriangulabilityに関する障害理論だったのです．これで残されたのはcombinatorialな条件 を除いてのtriangulability.結局は位相多様体は単体複体になるのではないかという問題でした．微分topology の最後まで残った大問題です．
これが決定的に解かれたのが2013年Manolescu,そして答えはNo, Rohlinはsplitしない．だけど一番理 解しやすい形ではRohlin不変量が非自明な2-torsionはない事がわかったのです．しかし一般の2-torsionも
含めて，torsionがないかどうかまではわかりません．これはmysteryのままです．そのcorollaryとして，
non-triangulable topological manifoldsは豊富にある，全ての次元で存在する．さらに，acyclicな多様体で
non-triangulableなものも豊富にあることが，Manolescuの仕事の系として，他の人によりすぐに示されまし
た．non triangulableな多様体がもしあれば，それらにいろいろな性質を持たせることができるということは，
いろいろな人が仕事をしていました．
最初の問題は大きなbreakthroughがあって解決して，これらは分かったけれど，それでもこの群Θ3Zはほと んどわからないと言ってもよい．具体的には全射準同型Θ3Z→Zは存在するか．これは大問題です．naiveに
考えると∞-rankですから無限にある事が期待されます．だけど全然分からない．Qみたいになっていたら存
在しないわけです．今の所一つだけFroyshovがSO(3)-gauge理論を使って全射を構成しました．Zはfreeで すから全射があればsplitし，direct summandとしてZを持っています．
一方で最近の強力なOzsv´ath-Szab´oの理論があって，corollaryとしてこの人たちもZへの全射を作りまし た．ただこの2つは同じではないかと予想されています.従って，2つは独立な準同型である可能性はありま すが，確定しているのは1個だけです．
さてこの群はabel群で，さらに∞-rankが分かっていますから，大問題として次が上げられます．
大問題:
• Θ3Zにtorsion elementは存在するか．
• Zへの全射は沢山存在するか.
• あるいは逆にdivisible elementがあるか.
こういう問題が何も分かっていません．たとえば最後の問題についてnaiveに考えると，多様体のcobordism ですから，割れるというのは考え難いですが，しかし何もわかっていません．どうやっていいかわかりません．
Zへの全射としてはcandidateはもう1個あって，大分前の仕事ですがSavelievの不変量ν(W)，彼の論文 に従ってこう書きます．
ν(W3)=1 2
∑8 i=1
(−1)i(i+1)2 rankHFi(W3).
上記の総和の部分を通常の+,−,+,−に替えると，Taubesの仕事からCasson不変量の2倍が出てくることを 使うと，上記の総和の部分は2で割れます．ここで最近Floer homologyというとHeegaard Floer, Lagrangian Floerですが,これはInstanton Floer homologyです．もう一度詳しくいうと，符号はEuler数は+-+-ですがこ の場合は++- -です．2で割れるというのはTaubesの仕事で, mod 2でCasson不変量と同じになる．+-+-で
やるとCassonの2倍になるというのがTaubesの仕事です．これは++- -ですからmod 2で同じ．
Savelievは，νはhomology cobordism不変ではないか，つまりそれは全射準同型 Θ3Z ↠Z
を与えるのではないかと予想しています．ところでPoincar´e homology球面の値は1になります．したがっ て，もしこれが正しければManolescuの結果の極めて分かりやすい別証明となるわけです．ただhomology
cobordism不変かどうかはわかりません．
そしてこれは古典的な微分topologyの手法を使って定義されるNeumann-Siebenmann不変量, 1970年代の 仕事です．gauge理論を使って，Fukumoto-Furuta-Ue不変量，これらはhomology球面全体には定義されて いません．Seifert homology球面に対して定義されています．難しいのはhyperbolicなhomology球面で定義 されていない．Seifert homology球面上は一致していて，予想としてはここら辺りがうまくかみ合ってZへ全 射が出来るのではないか，これが1つの可能性です．まだ解決されていません．gauge理論は強力なわけです が，我々はgauge理論ではなくてalgebraic topologyで，しかも無限個，これを作ろうというのが目標です．
それを後半でお話します．
これと関係するknotのconcordance groupC についてLevineの1969年, Invent. Math.に出た基本的な仕 事があって，それから40年以上経ちました．連綿と順調に研究が続いて，最近の大定理，J. Homのプレプリ ント[81]が2013年10月に出ました. 一言で言うと，C もable群で，極最近までdirect summandはZが3 個まででしたが，Z∞をdirect summandとして含む事を証明しました．C と比較してΘ3Zは難しいですが，機 が熟しつつあると思います．
古典的にはknot cobordism, knot concordance,定義は簡単であって，これもsmooth categoryとtopological categoryとありますが，まずsmoothでやります．
C ={knots}/C∞−concordance.
向き付けられた結び目K,K′⊂S3がknot concordantであるとは，K⊂S3× {0},K′⊂S3× {1}と考えて，S3×I の中にS1×Iが埋め込まれて∂(S1×I)=K× {0} ∪ −K′× {1}となる事です．
群構造はconnected sumで入ります．逆元はmirror imageです．knotのtopological categoryでの concor-danceではlocally flatを仮定します．
1969年にLevine の仕事があると言いましたが，そもそも一番最初は Foxでfigure eight knot のknot concordance classは非自明でorder 2. 最初から2-torsionがある事がわかっています．そしてFox-Milnorと いうのがあります．1966年,これがknot concordanceを定義した．そしてC はZ/2と同型というのが一瞬 はあったかもしれませんが，そうではないと示したのは村杉先生です．knotのsignatureを使って，trefoilは
∞-orderであることを証明しました．すぐに無限群である事がわかりました．
それで歴史的に，1969年Inventionesに出た有名なLevineの論文．彼も残念ながら亡くなってしまいま した．今古典的なknot concordanceの話をしていますが，彼は一般のcodimension 2のknotでSeifert曲面，
Seifert形式の理論を展開して，代数的な不変量を研究した第一人者です．そしてその理論は古典的なclassical
なknotでも通用します．彼の大定理は，
C →Z∞⊕(Z/2)∞⊕(Z/4)∞
という全射を定義して，高次元の奇数次元ではこれが同型という事です．古典的な所だけが例外です．
differential topologyでは位数2というのは他と比べて特異というのが常識で，特別な所です．代数的にSeifert
formから定義されるZ∞への全射はsignature, (Z/2)∞への全射はArf invariant. (Z/4)∞へは一言では言いが たいのですが，全体としてZのWitt群というのを考えるとZ∞が出てきまして，QのWitt群というのを考え ると(Z/2)∞,(Z/4)∞が出てきます．こうなりましてこれもしばらくの間，classicalな場合にも同型かというの が期待されました．それがそうではないというのが，有名なCasson-Gordonの仕事，Casson-Gordon不変量 です．これもWitt群の言葉で言うと，C(t)のWitt群に対応しています．Levineというのは人の名前ですが，
この講義ではしばらくこの準同型もLevineと呼ぶ事にします．
1975年Casson-Gordonは準同型写像
Levine:C →Z∞⊕(Z/2)∞⊕(Z/4)∞
はisomorpshismではない事を証明しました．そのKerをdetectするのがCasson-Gordon invariantです．そ の後，Jiangという人が
Ker(Levine)⊃Z∞ を証明し，さらにLivingstonがKerにtorsionが存在する事
Ker(Levine)⊃(Z/2)∞ を証明しました．
古典的な場合と高次元の奇数次元の場合と決定的に違うという事が，Casson-Gordon不変量でわかったわ けです．しばらくの間はこれで尽きるのではないかという予想がありました．これが例によってFreedman 1982年, Donaldson 1983年の革命的な仕事で，革命的な展開を迎えたわけです．特にknot concordanceにつ
いて，Freedmanは何をしたかというと，Alexander多項式，knot theoryで一番最初に出てくる不変量．最近
はtwisted Alexander多項式，3次元多様体にとってなくてはならないものになっています．Freedmanが証明
した事は,
Theorem 2.2(Freedman). Alexander polynomialが自明ならば，topological categoryではslice．すなわちknot concordance群の中で自明になる．
また次もFreedmanの大定理です．
Theorem 2.3(Freedman). 任意のhomology 3-sphere W3 はcompact contractible topological 4-manifold Mの 境界になる．
従ってtopological categoryでは
Θ3Z(Top)=1
となります．これは今日の最後にsmooth categoryで不変量を沢山構成するときの足がかりになります．
私は結び目の専門家ではありませんが,しかしΘ3Zの研究を進めていく上で，C と比較する事は非常に大事 です．技術的というより概念の上で大事です．Livingstonが非常に良いsurveyを書いています．彼自身が何 を証明したかというと
Ker(Levine)↠Z
つまりdirect summandとしてZが1個ある事を証明しました．これは革命の後でgauge理論を使います．
Levineの仕事はalgebraicですから，
Levine:C →Z∞⊕(Z/2)∞⊕(Z/4)∞