こういうタイトルで，これは今日1回で終わる予定です．
notationから改めてやると，
Mg=π0Diff+Σg,
向きを保つΣg のdiffeomorphismのisotopy classの全体，mapping class group ofΣg. Σgはclosed oriented surface of genusg. これが3章の主役です．古典的な表現，homologyへの作用を通してSp(2g,Z)，これは 由緒正しい行列の群，Siegel modular群と呼ばれる整数論や保型形式でも重要な群，ここに全射があって，
homologyへの作用がわかる部分です．homologyへの作用が自明な部分がTorelli群Ig. 1→ Ig→ Mg→Sp(2g,Z)→1
Dennis Johnson, 彼のnotationに従ってIg と書きます（Tg と書くとTeichm¨uller空間になるので）．後で Torelli spaceも出てきます．topologyの課題として大きな問題があります．それをご紹介します．Torelliとい うのは代数幾何の古典的な仕事をした人の名前です．Igのcohomologyについてtopologyの課題として大き な問題があります．それをご紹介します．
種数g=1の場合，torusの微分同相なので, homologyへの作用だけでわかって，
M1Sp(2,Z)=SL(2,Z)
これは同型です．こうなります．種数1の場合の微分同相はhomologyへの作用だけでわかる．したがって，
Torelli群は
I1={1}， となり，自明になります．
g≥2ではこれは非常に大きな群になります．g=2，種数2の場合，これはよく知られた結果で，種数2の Torelli群，I2はfree group of rank∞.これはG. Messという人の有名な仕事です．これは群論的には∞rank ではありますが，自由群だというので抽象的な群の構造は完全にわかっています．これで全部にわかったかと いうとSp(4,Z)の作用は簡単ではありません．
Theorem 3.12(Johnson). Ig(g≥3)はfinitely generated．
g≥3では，Igはfinitely generated．D. Johnsonの基本的な仕事の一つで，Annals of Math.に出ました．こ の論文を読んだこと感銘を受けたことが，すでに始めていた写像類群に関する仕事をさらに進めて，Torelli群 の構造にまで踏み込むきっかけになりました．こういう論文があるよと教えてくれたのは吉田朋好さんです．
この流れ，つまりgeneratorを書くという流れでいうと，最近ではDennis Johnsonの仕事と並んで，A. Putman の仕事があって，もう少し詳しくgeneratorsを調べています．
この流れで大きな問題，大問題，Torelli群に関する大問題はまず，有限生成なら有限表示可能か，というも のです．
大問題:Ig(g≥3)はfinitely presentedか?
g=2では無限生成ですから違います．これは大問題です．Dennis Johnsonの仕事は1980年代前半ですか らそれから30年経っています．いろいろな人がtryしていますが，本質的な進展はほとんどないと言ってもよ いでしょう．有限表示かそうではないか，人によって予想は違いますが．こういう問題があります．homology については最近，代数幾何の方から少し進展はありました．あと（次回の11月19日になりました）で出てき ますが，Torelli群の部分群でJohnson Kernelというものがあって，そのJohnson Kernelのable化が無限rank かという問題がありましたが，それがmod torsionで決定されました．
写像類群と並んで自由群のautomorphsimにparallelな問題があります．これは写像類群よりも古くて，
対応する問題としては自由群のautomorphismでhomologyに作用しないTorelli群の元に対応するものを
IA-automorphismと呼び，その全体をIAn と表します．このIAn は，n≥3で有限生成というのは古典的な
Magnusの仕事です．有限生成なら，これがn≥4でfinitely presented ?これは大きな問題です．
n=3のときはnot finitely presented.これはこの方面では有名な仕事であって，Krsti´c-McCool.この人たち の仕事があります．これは有限表示ではない．またIA2はF2ですから，4以上で有限表示可能かというのは 大問題です．これは群の表示に関する大問題です．
今日のタイトル，Torelli群のhomology, cohomologyに関して大問題というのは，一般的にいうと，Torelli 群のhomology, integral homologyがわかれば一番良いですが，その前にrational homology,Q上でわかるか．
大問題:
• H∗(Ig;Z)=?
• H∗(Ig;Q)=?
cohomologyの方も問題がparallelにあります．
• H∗(Ig;Z)=?
• H∗(Ig;Q)=?
さらにTorelli群にはshort exact sequence 1→ Ig → Mg→Sp(2g,Z)→1からSiegel modular群が作用し ますから，cohomologyのSp-invariant part, homologyにしたときはco-invariant partが問題です．
• H∗(Ig;Z)Sp(2g;Z)=?
• H∗(Ig;Q)Sp(2g;Z)=?
これは難しい問題です．これがわかるか．これに関して問題を詳しく書くというのが今日の目標です．abel化 の次に重要なのはH2です．特に
H2(Ig;Q)Sp(2g;Z)=?
Sp(2g;Z),これがなくてH2(Ig;Q)がわかればよいのですが，まずSp-invariant part,さらにSp-modlueとして の構造を知りたい．
これに関連してIAnについてDay-Putman, 2014年，今年arXivに論文が出ました．これは非常によい結果 だと思います．PutmanはBenson Farbの弟子，FarbはThursonの最後の方の弟子ですから，Thurstonの孫弟 子になります．Torelli群に対応する自由群の場合ですね，H2(IAn;Z)はfinitely generated asGL(n;Z)-module.
残念ながらZ-moduleではなく，GL(n;Z)-moduleとしてです．finitely generatedかどうかはまだわからない．
orbitが生成することはわかりました．去年の6月にPutmanが日本に来た時にアナウンスはしていたようで
す．さらにco-invariantも計算していて，これは自明である．
H2(IAn;Z)GL(n;Z)=0 (n≥6).
ここまで計算しています．これは非常によい結果です．これのmapping class group version, Torelli群version がどうなるかというのは大問題です．私はこれを詳しく読んだわけではありませんが，この定理をTorelli群 に適用できるかというとなかなか難しい感じがします．
これに関連して，Torelli群に関する重要な定理は次の定理です．Bestvinaは組み合わせ群論の大家です．
MargalitはやはりFarbの弟子でPutmanの少し先輩です．2009年のInventionesの論文です．これは非常に 大きな定理です．Torelli群のcohomology次元を完全に決定しました．Torelli群はtorsion freeなのは古典的 に知られているので，cohomology次元はvirtual cohomology次元と同じです．
Theorem 3.13(Bestvina-Bux-Margalit).
cd(Ig)=3g−5 (g≥2). rankH3g−5(Ig;Z)=∞.
仮にg = 1を代入してみると-2となってしまいますが，このときI1 は自明な群です．さらにトップ
のhomology,そのrankが無限大．これも証明しました．cohomology次元があったとすると，そのトップ
のhomologyがどうなるかというのは問題です．mapping class groupの場合は4g−5次元でそのrational
homologyは自明ですが，Torelli群の場合はトップの次元でconstant係数でちゃんと出てきます．
多分co-invariantは自明だと思われるのですが，この論文には何にも書いてありません．彼らがこの問題を
知らないはずはないので，コメントも何も書いてないので，何か微妙な所があるのかもしれません．
そしてこれと並んでKgというJohnson Kernel,これはDennis Johnsonの有名な，名前の残った一番大きな 仕事，のちにJohnson準同型と呼ばれるようになった基本的な準同型写像
τ1 :Ig→Λ3H/H
があります．ここでH =H1(Σg;Z). そのKernelをKgと書いて，Johnson自身はそう呼んではいませんが，
Johnson Kernelと呼びます．多分Farbのスクールの人たちが呼びだしたんだと思います．最近はこの名前が
定着しています．
Kg =Ker(τ1:Ig →Λ3H/H)
Johnson Kernelの定義です. Johnsonのもう一つの定理は，これがBSCC-map, bounding simple closed curve, separatingなsimple closed curveに沿ったDehn twistで生成される部分群と一致している．これがもう一つの Dennis Johnsonの定理です．
Theorem 3.14(Johnson).
Kg=⟨BSCC−maps⟩.
これはCasson不変量とも絡んで，写像類群の構造だけではなく3次元多様体，Torelli群はhomology球
面の全体，その前にもちろん写像類群全体がmapping torusを取ることによって，3次元多様体とも関係して いますが，Kgはもっとよりknot theoryに関係しています．Bestvina-Bux-MargalitはこのJohnson Kernelの
cohomology次元も完全に決定しています．
Theorem 3.15(Bestvina-Bux-Margalit).
cd(Kg)=2g−3 (g≥2). これはBestvina-Bux-MargalitのInventionesの論文です．
それでですね，特性類との絡みで問題をあげようと思います．写像類群の表現，Torelli群上のJohnson準同 型があって，
τ1:Ig→Λ3H/H=U
Λ3H/H=Uとおきます．これはSp-moduleです．これがTorelli群のmod torsionのable化になるというの
が，Johnsonのさらにもう一つ有名な結果です．これを拡張した仕事があって，分母に2を許して，
ρ:Mg→ 1
2U⋊Sp(2g,Z)
こういうものを構成しました．これはZ上では拡張しません．これのcohomology, rational cohomologyへの 作用を考えます．UQはSp(2g,Q)の既約表現になります．そうすると，これはspectral系列が安定域で退化す るので，
ρ∗:H∗(UQ)Sp(2g;Q)⊗H∗(Sp(2g;Z);Q)→H∗(Mg;Q).
こういう準同型が得られます．H∗(UQ)Sp(2g;Q),これはstableにはどうなるかというと，trivalent graph without loopsの生成する多項式代数です．またH∗(Sp(2g;Z);Q),これはBorelの定理で多項式代数で,Sp(2g,R)の maximal compact群がU(g)で，Chern classesが出てきますが，odd classが生成する多項式代数になります．
いわゆるHodge bundleのChern classでこのimageがodd MMM-classになる．
H∗(UQ)Sp(2g;Q)⊗H∗(Sp(2g;Q);Q)stablyQ[trivalent graphs without loops]⊗Q[c1,c3,· · ·]→H∗(Mg;Q) これをTorelli群に制限するとどうなるか．Sp(2g,Z)から来るものはzeroで
ρ∗:Q[trivalent graphs wothout loops]→H∗(Ig;Q), こういう準同型があって，そして前の仕事でTorelli群IgからMgへのinclusionを
i:Ig→ Mg
とおくと,このimageは
Imρ∗=i∗(Q[e2,e4,e6,· · ·]),
と, even MMM classesたちのTorelli群上のimageになります. そうして大問題は何かというと，こうして 得られる写像について，
大問題:
Φ:Q[e2,e4,e6,· · ·]→H∗(Ig;Q)Sp(2g;Z) のimageは何か?
genusが増えていくとimageは大きくなることが想定されていますが，何もわかっていません．極端な場
合，0-mapかもしれません．大問題です．私は楽観的にstableにはgenusを大きくしていくとこれはinjective
だろうと思っています. ただ今日はこのevidenceというべきものを後半で紹介します．若い人たちの結果で，
この問題にattackすることがmotivationの1つで，そしてこれから述べることがそのevidenceだと書いて くれています．conjectureと書きますが，最近Thurstonが亡くなって，さっき言ったようにBenson Farbは
Thurstonの最後の方の弟子ですが，AMSのNoticeに書いた文章があって，Thurstonの思い出などを書いてい ます．その中で，いろんなえらい数学者がいるけれども，Thurstonがその中で際立っていたことと思うのは，
彼が述べた予想やprospectで1つとして,のちに間違っていたとわかったものはない,と書いています．
その最たるものがvirtual fibration予想といわれたものです．双曲的3次元多様体は有限coverを取るとS1
上のsurface bundleの構造を持つ．最初は予想とは書いていませんでしたが，ある時期からThurstonの予想
といわれるようになりました．これはみなさんご存知のように2年前に証明されました．これは最たる例です
が，Benson Farbによればこれだけではなく間違っていたものは1つもないと．
また，foliatedS1-bundleがreal analyticなmonodormyを持つと，e3はzero,これはlost theorem,これは証 明がわからない，Ghysさんの講演にありました．なかなか難しい，しかし，非常に面白い問題です．一時期 私は何乗してもzeroではないと思って，いろいろとtryしました．もちろん全然証明できませんでした．e3 の前に，e2がzeroでないこともまだわかっていないと思います．これはThurstonもGhysも何も言っていま せん．あとでこれに関連する逆井さんのtryにも触れます．
さてconjectureと言いますが，
Conjecture:Φはstably injective ?
詳しくいうと，任意のcohomologyの次数kを取ると，genusがそれに比べて非常に大きいとk次までΦは
injectiveだろう．これは楽観的すぎるかもしれません．0-mapかもしれませんから．これについての若い人達
の仕事，evidenceを紹介します．
その前にそもそもこのeven classは何か，Grothendieck-Riemann-Roch theorem,あるいは，我々にとって
は，Atiyah Singerのfamily index theoremの方がわかりやすいですが，このどちらかを使うとわかります．
Teichm¨uller spaceをTorelli群で割る，これをmapping class groupで割るとRiemann面のmoduli空間，部分
群，Torelli群で割るとtorsionがないので複素多様体になります．
Tg=Tg/Ig
これはTorelli spaceとよばれています.複素多様体，特異点がない，だからChern classとか，特にunderlying smooth manifoldの構造を考えると，Pontrjagin classを考える事ができます．Grothendieck-Riemann-Rochか Atiyah Singer family index theorem，そのどちらかを使うと，Grothendieck-Riemann-Rochは代数幾何的，一番 一般化された形のRiemann-Roch,これは個人的には20世紀最大の定理の一つだと思います．または，Atiyah Singer family index theorem，これもtopologyとglobal analysisをつなぐ大定理です．これらを使うとeven
classというのは，大雑把に言っていますが，
eevenの幾何的意味”=”Tgのreal manifoldとしてのPontrjagin class.
イコールです．どちらかを適用して，正確にはHodge bundleのdualに対して適用するのですが，これがも ろに出て来ます．even MMM-classがPontrjagin classに対応します．しかもgによらないという所が面白い 所です．この証明はKirby festaのsurvey論文の最初の方に書いてあります．幾何的にはこういう意味がある ので，Torelli spaceは，もしこの予想, stableにはinjective,これが正しいとすると，Pontrjagin classesがzero でないので，実多様体としては曲がっています．もし0-mapだとすると特性類が全部消える，ということは flatに近い，全く違う様相になるということです．今の所全く何もわかっていません．これはなかなか難しい．
Riemann面のmoduliについてはいろいろな立場から研究があります．Torelli spaceは特異点がないのである
意味研究しやすいのですが，代数幾何的にはこれは非常に難しい．compact化があからさまにはわからない．
algebraicではないのでHainさんの研究はありますが，代数幾何が使えない．しかし幾何学的にはPontrjagin
class，特性類ですから，これがzeroかzeroでないか．Johnson Kernelのcohomology, secondary classは後に