B. Skalierung von N A als Funktion von n ini 101
C.4. Netzwerke mit positiven und negativen Gewichten
Als letztes wollen wir Netzwerke betrachten, deren Kanten mitJ+= +1 sowohl positive, als auch negative Gewichte mit J− = −1 tragen k¨onnen. Wie im vorangegangenen Ab-schnitt beschr¨anken wir uns wieder auf ungerichtete Netzwerke. Die Majorit¨atsdynamik (C.8) ist in diesem Fall ¨aquivalent zum sogenannten
”Random-Bond-Ising“-Modell bei der Temperatur T = 0. Die Grundzust¨ande dieses Modells entsprechen den Attraktoren unseres Systems.
Die konkurrierenden Wechselwirkungen im
”Random-Bond-Ising“-Modell f¨uhren im All-gemeinen zu einer ¨außerst komplizierten Dynamik mit einer großen Anzahl metastabiler, sogenannter Spin-Glas Zust¨ande. Spin-Gl¨aser wurden bereits Mitte der Siebziger Jahre eingef¨uhrt [135] und sind bis heute Gegenstand umfangreicher Forschungsarbeit mit einer Vielzahl an Anwendungen, die von neuronalen Netzwerken ¨uber Proteinfaltung bis hin zur Materialforschung reicht. Es existieren zahlreiche ¨Ubersichtsartikel und Lehrb¨ucher zu diesem Thema, siehe z.B. [136–139].
Eine eingehende Behandlung dieser System sprengt jedoch bei weitem den Rahmen der vorliegenden Arbeit. Dieser Abschnitt ist somit eher als Ausblick zu verstehen, in welche Richtung hin die Ergebnisse aus Kapitel 5 verallgemeinert werden k¨onnen. An dieser Stelle sollen nur einige vorl¨aufige Ergebnisse dargestellt werden, die darauf hinweisen, dass die Anzahl der Attraktoren unter bestimmten Voraussetzungen auch in Systemen mit entge-gengesetzten Kopplungen bei mittleren Netzwerkgr¨oßen maximal wird.
F¨ur skalenfreie Netzwerken mit 2 < γ ≤ 3 und bei rein ferromagnetischen Wechsel-wirkungen mitJ+ =J− = +1 wurde in [55] gezeigt, dass im thermodynamischen Limes N → ∞ die ferromagnetische Phase f¨ur alle endlichen Temperaturen stabil ist. Die einzi-gen Grundzust¨ande sind also die beiden vollst¨andig geordneten Zust¨ande mithσiN =±1.
Skalenfreie Netzwerke mit J− = +1, J− =−1 wurden in [140] untersucht. Dort wur-de gezeigt, dass Netzwerke mit 2 < γ < 3 und endlichem Mittelwert hkiN > 0 sich f¨ur 0 ≤ p ≤ 12 bei allen endlichen Temperaturen T ≥ 0 immer in der geordneten Phase befinden. Die geordnete Phase schließt in diesem Zusammenhang allerdings neben der fer-romagnetischen Phase mithσi=±1 auch die sog.
”gemischten“ Phase mit ein. Diese tritt oberhalb einer bestimmten kritischen Konzentrationpcantiferromagnetischer Verbindun-gen ein und ist gekennzeichnet durch typische Spin-Glas EiVerbindun-genschaften mit einer großen Anzahl metastabiler Zust¨ande bei gleichzeitiger globaler ferromagnetischer Ordnung mit hσiN 6= 0. Der Wert von pc h¨angt vom Exponenten γ, sowie vom Mittelwert hki ab. Bei festgehaltenem γ befindet sich das System f¨ur kleine Werte von hki zun¨achst in der ge-mischten Phase und durchl¨auft einen Phasen¨ubergang hin zur ferromagnetischen Phase,
wennhki einen bestimmten kritischen Wert hkic uberschreitet.¨
Abbildung C.4 zeigt die Anzahl der Attraktoren als Funktion der Netzwerkgr¨oße f¨ur maximal dissortative Netzwerke mit unterschiedlichem Anteil p negativer Kopplungen.
Solange der Anteilp klein genug ist, stellen wir erwartungsgem¨aß kaum ¨Anderungen
ge-0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
28 210 212 214 216 218 NA
N p= 0.05
γ= 2.1 γ= 2.3 γ= 2.5 γ= 2.7 γ= 2.9
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
28 210 212 214 216 218 NA
N p= 0.10
γ= 2.1 γ= 2.3 γ= 2.5 γ= 2.7 γ= 2.9
0 500 1000 1500 2000 2500
28 210 212 214 216 218 NA
N p= 0.15
γ= 2.1 γ= 2.3 γ= 2.5 γ= 2.7 γ= 2.9
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
28 210 212 214 216 218 NA
N p= 0.20
γ= 2.1 γ= 2.3 γ= 2.5 γ= 2.7 γ= 2.9
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
28 210 212 214 216 218 NA
N p= 0.25
γ= 2.1 γ= 2.3 γ= 2.5 γ= 2.7 γ= 2.9
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
28 210 212 214 216 218 NA
N p= 0.30
γ= 2.1 γ= 2.3 γ= 2.5 γ= 2.7 γ= 2.9
Abbildung C.4.: Anzahl der Attraktoren NA als Funktion der Netzwerkgr¨oße N f¨ur maximal dissortative Netzwerke mit positiven und negativen Kopplungen,J+= +1 undJ−=−1. Die ver-schiedenen Teilabbildungen unterscheiden sich durch den Anteilpder negativ gewichteten Kanten, vonp= 0.05 links oben bis hin zup= 0.3 rechts unten. Jeder Datenpunkt ist ein Mittelwert ¨uber 100 Netzwerke einer bestimmten Kombination vonN,γundk0= 6, auf denen jeweilsnini = 2000 Anfangsbedingungen simuliert wurden. Fehlerbalken geben die Standardabweichung um den Mit-telwert.
gen¨uber dem Fall ausschließlich positiver Kopplungen fest, man vergleiche die Kurven f¨ur p = 0.05 in Abb. C.4 mit den Kurven in Abb. 5.11. Wird nunp schrittweise erh¨oht, so w¨achst f¨ur Netzwerke mit γ ≥ 2.5 die Anzahl der Attraktoren, bis sie ab p = 0.2 f¨ur große Netzwerke schließlich so groß wird, dass jede simulierte Anfangsbedingung in einem anderen Attraktor endet. Netzwerke mit γ ≤ 2.3 hingegen weisen f¨ur alle dargestellten Werte von p ein Maximum in der Anzahl der Attraktoren bei mittleren Netzwerkgr¨oßen auf.
Tabelle der Neuronen in C. Elegans
Tabelle D.1.: Nomenklatur und einige bekannte Eigenschaften der Neuronen des Wurmes C. Elegans, zusammengestellt aus [115–117]. Aufgelistet sind alle 282 Neuronen des pha-ryngealen Systems eines Hermaphroditen. Die ersten beiden Spalten geben eine (willk¨ ur-lich zugeordnete) Zahl, sowie den Namen des entsprechenden Neurons. FUNC: Klassifizie-rung anhand ihrer Funktion als Sensor- (S), Inter- (I), oder Motorneuron (M). GJ: Anzahl an Gap Junctions. IN/OUT: Anzahl eingehender/abgehender synaptischer Verbindungen.
GEW: Synaptisches Gewicht der abgehenden Verbindungen (falls bekannt). CIRC: Teil des Schaltkreises der f¨ur Chemotaxis (CT), oder Touch Sensitivity (TS). TRANS: Ex-primierte Neurotransmitter (falls bekannt), Ac: Acetylcholine (insgesamt 83 Neuronen), Ga: Gaba (25), D: Dopamin (8), Se: Serotonin (5), Gl: Glutamat (2), Acetylcholine und Serotonin (4).
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
1 RIPL I 2 54 2 – –
2 RMEL M 2 20 0 -1 Ga
3 IL1DL MS 5 15 11 – –
4 IL1L MS 2 6 17 – –
5 IL1VL MS 3 13 20 – –
6 URADL MS 0 6 7 – –
7 URAVL MS 0 6 7 – –
8 BAGL S 3 5 24 – –
9 CEPVL S 2 6 34 -1 D
10 IL2DL S 0 0 31 – –
11 IL2L S 1 2 38 – –
12 IL2VL S 0 1 34 – –
13 OLLL S 4 9 57 – –
14 OLQDL S 6 19 8 – –
15 OLQVL S 6 19 15 – –
16 URBL S 2 3 11 – –
17 URYDL S 2 3 16 – –
18 URYVL S 2 1 23 – –
19 RMED M 5 10 2 -1 Ga
20 RMEV M 7 22 1 -1 Ga
21 RIPR I 2 63 2 – –
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Die Neuronen desC. Elegans – Fortsetzung
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
22 RMER M 1 25 0 -1 Ga
23 IL1DR MS 6 17 15 – –
24 IL1R MS 2 8 22 – –
25 IL1VR MS 2 11 21 – –
26 URADR MS 0 5 7 – –
27 URAVR MS 0 5 10 – –
28 BAGR S 3 12 24 – –
29 CEPVR S 2 11 31 -1 D
30 IL2DR S 0 0 31 – –
31 IL2R S 2 3 24 – –
32 IL2VR S 0 3 39 – –
33 OLLR S 4 19 64 – –
34 OLQDR S 9 11 8 – –
35 OLQVR S 6 20 12 – –
36 URBR S 3 3 20 – –
37 URYDR S 2 2 16 – –
38 URYVR S 2 2 23 – –
39 ALA I 1 1 5 – –
40 CEPDL S 2 10 45 -1 D
41 URXL SI 2 13 25 – –
42 RID M 5 11 2 – –
43 CEPDR S 3 9 44 -1 D
44 URXR SI 3 14 20 – –
45 AIBL I 8 70 26 – CT –
46 AINL I 5 0 15 – CT –
47 AIZL I 4 63 44 – CT –
48 AVAL I 69 331 197 – TS –
49 AVBL I 32 110 50 – TS –
50 AVDL I 6 72 124 – TS –
51 AVEL I 8 104 122 – TS –
52 AVHL I 5 11 31 – –
53 AVJL I 10 36 29 – –
54 RIAL I 0 107 83 – –
55 RIBL I 20 49 17 – –
56 RICL I 5 18 26 – –
57 SAAVL I 4 12 35 +1 Ac
58 SIBDL I 3 3 0 +1 Ac
59 RIML M 11 47 25 – –
60 RMDL M 2 44 13 – –
61 RMDVL M 8 54 8 – –
62 SMDVL M 6 30 17 +1 Ac
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
63 RIVL IM 6 7 13 – –
64 ADFL S 2 13 32 -1 CT Se
65 ADLL S 3 3 39 – CT –
66 AFDL S 2 13 8 – CT –
67 ASEL S 0 11 40 – CT –
68 ASGL S 2 4 14 – CT –
69 ASHL S 6 5 37 +1 TS, CT Gl
70 ASIL S 3 1 12 – CT –
71 ASJL S 1 2 17 – CT –
72 ASKL S 9 19 17 – CT –
73 AUAL S 4 15 22 – CT –
74 AWAL S 2 3 23 – CT –
75 AWBL S 3 6 21 – CT –
76 AWCL S 0 11 24 – CT –
77 AIBR I 10 73 30 – CT –
78 AINR I 4 2 17 – CT –
79 AIZR I 5 40 37 – CT –
80 AUAR I 4 10 28 – CT –
81 AVAR I 72 323 197 – TS –
82 AVBR I 26 139 50 – TS –
83 AVDR I 5 100 124 – TS –
84 AVER I 9 106 122 – TS –
85 AVHR I 4 23 28 – –
86 AVJR I 8 44 29 – –
87 RIAR I 0 96 89 – –
88 RIBR I 21 52 11 – –
89 RICR I 4 22 18 – –
90 SAAVR I 3 12 22 +1 Ac
91 SIBDR I 4 4 0 +1 Ac
92 RIMR M 13 60 34 – –
93 RMDR M 1 45 15 – –
94 RMDVR M 9 61 11 – –
95 SMDVR M 8 41 17 +1 Ac
96 RIVR IM 6 7 16 – –
97 ADFR S 4 16 38 -1 CT Se
98 ADLR S 2 4 48 – CT –
99 AFDR S 2 15 12 – CT –
100 ASER S 0 15 39 – CT –
101 ASGR S 2 5 12 – CT –
102 ASHR S 7 10 37 +1 TS, CT Gl
103 ASIR S 3 0 9 – CT –
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Die Neuronen desC. Elegans – Fortsetzung
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
104 ASJR S 1 3 18 – CT –
105 ASKR S 9 10 14 – CT –
106 AWAR S 3 4 29 – CT –
107 AWBR S 4 7 15 – CT –
108 AWCR S 0 14 22 – CT –
109 RIH I 7 31 77 -1 Se
110 RIR I 2 20 32 – –
111 RIS I 9 10 55 -1 Ga
112 AVL IM 11 30 24 -1 Ga
113 AIAL I 4 59 25 – CT –
114 AIML I 2 4 27 – CT –
115 AIYL I 2 45 29 – CT –
116 AVKL I 16 52 17 – –
117 SAADL I 3 24 15 +1 Ac
118 SIADL I 1 5 0 +1 Ac
119 SIAVL I 1 7 0 +1 Ac
120 SIBVL I 6 10 0 +1 Ac
121 RMDDL M 5 77 7 – –
122 RMFL M 4 10 13 – –
123 RMHL M 5 12 1 – –
124 SMBDL M 4 14 7 +1 Ac
125 SMBVL M 2 22 9 +1 Ac
126 SMDDL M 4 49 3 +1 Ac
127 AIAR I 5 64 20 – CT –
128 AIMR I 1 1 23 – CT –
129 AIYR I 2 42 17 – CT –
130 AVKR I 14 43 20 – –
131 SAADR I 2 22 16 +1 Ac
132 SIADR I 1 3 0 +1 Ac
133 SIAVR I 1 8 0 +1 Ac
134 SIBVR I 6 5 0 +1 Ac
135 RMDDR M 5 65 10 – –
136 RMFR M 0 14 7 – –
137 RMHR M 1 13 2 – –
138 SMBDR M 6 18 6 +1 Ac
139 SMBVR M 5 16 10 +1 Ac
140 SMDDR M 4 58 3 +1 Ac
141 SABD I 9 33 1 +1 Ac
142 ADAL I 6 6 26 – –
143 AVFL I 27 32 29 – –
144 RIFL I 2 6 22 – –
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
145 RIGL I 24 33 18 -1 Se
146 SABVL I 5 32 0 +1 Ac
147 RMGL M 10 11 26 – –
148 ADEL S 2 10 43 -1 D
149 FLPL S 3 7 68 – –
150 AS1 M 5 20 2 +1 Ac
151 DA1 M 13 43 2 +1 TS Ac
152 DB1 M 8 0 45 +1 TS Ac
153 DB2 M 15 10 45 +1 TS Ac
154 DD1 M 6 71 4 -1 TS Ga
155 VA1 M 4 17 13 +1 TS Ac
156 VB1 M 8 5 27 +1 TS Ac
157 VB2 M 9 4 32 +1 TS Ac
158 VD1 M 22 18 3 -1 TS Ga
159 VD2 M 8 54 4 -1 TS Ga
160 ADAR I 6 7 19 – –
161 AVFR I 27 20 30 – –
162 RIFR I 2 12 36 – –
163 RIGR I 19 27 17 -1 Se
164 SABVR I 5 33 0 +1 Ac
165 RMGR M 9 10 23 – –
166 ADER S 1 11 36 -1 D
167 FLPR S 5 4 45 – –
168 AQR S 23 8 35 – –
169 AVG S 2 15 31 – –
170 BDUL I 0 11 20 – –
171 CANL I 0 0 0 – –
172 PVDL I 0 1 59 – TS –
173 SDQL I 1 1 13 +1 Ac
174 HSNL M 2 17 52 +1 Ac, Se
175 ALML S 2 5 20 -1 TS –
176 PDEL S 4 19 90 -1 D
177 BDUR I 0 18 30 – –
178 CANR I 0 0 0 – –
179 PVDR I 0 1 59 – TS –
180 SDQR I 6 1 20 +1 Ac
181 HSNR M 2 27 46 +1 Ac, Se
182 ALMR S 2 1 11 -1 TS –
183 PDER S 6 17 90 -1 D
184 AVM S 3 3 39 -1 TS –
185 PVM S 3 4 29 – –
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Die Neuronen desC. Elegans – Fortsetzung
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
186 AS10 M 2 17 19 +1 Ac
187 AS2 M 6 15 2 +1 Ac
188 AS3 M 6 15 19 +1 Ac
189 AS4 M 6 11 18 +1 Ac
190 AS5 M 5 15 19 +1 Ac
191 AS6 M 5 9 19 +1 Ac
192 AS7 M 6 1 18 +1 Ac
193 AS8 M 6 1 19 +1 Ac
194 AS9 M 6 1 18 +1 Ac
195 DA2 M 7 28 31 +1 TS Ac
196 DA3 M 2 42 31 +1 TS Ac
197 DA4 M 7 38 32 +1 TS Ac
198 DA5 M 7 31 26 +1 TS Ac
199 DA6 M 4 9 26 +1 TS Ac
200 DA7 M 4 18 26 +1 TS Ac
201 DB3 M 11 23 53 +1 TS Ac
202 DB4 M 8 17 54 +1 TS Ac
203 DB5 M 16 12 54 +1 TS Ac
204 DB6 M 15 0 53 +1 TS Ac
205 DB7 M 9 14 45 +1 TS Ac
206 DD2 M 6 63 4 -1 TS Ga
207 DD3 M 6 71 4 -1 TS Ga
208 DD4 M 6 80 4 -1 TS Ga
209 DD5 M 6 66 4 -1 TS Ga
210 VA10 M 7 23 9 +1 TS Ac
211 VA11 M 12 34 14 +1 TS Ac
212 VA2 M 7 16 13 +1 TS Ac
213 VA3 M 8 26 35 +1 TS Ac
214 VA4 M 8 13 10 +1 TS Ac
215 VA5 M 14 16 14 +1 TS Ac
216 VA6 M 12 17 9 +1 TS Ac
217 VA7 M 10 3 14 +1 TS Ac
218 VA8 M 6 1 9 +1 TS Ac
219 VA9 M 8 3 14 +1 TS Ac
220 VB10 M 4 0 21 +1 TS Ac
221 VB11 M 5 4 16 +1 TS Ac
222 VB3 M 2 2 15 +1 TS Ac
223 VB4 M 4 8 21 +1 TS Ac
224 VB5 M 3 2 15 +1 TS Ac
225 VB6 M 4 10 21 +1 TS Ac
226 VB7 M 7 6 15 +1 TS Ac
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
227 VB8 M 4 4 21 +1 TS Ac
228 VB9 M 4 0 15 +1 TS Ac
229 VC1 M 3 2 4 +1 Ac
230 VC2 M 5 13 8 +1 Ac
231 VC3 M 7 5 47 +1 Ac
232 VC4 M 8 2 10 +1 Ac, Se
233 VC5 M 4 18 7 +1 Ac, Se
234 VC6 M 2 0 15 +1 Ac
235 VD10 M 4 68 0 -1 TS Ga
236 VD11 M 2 76 0 -1 TS Ga
237 VD3 M 3 95 4 -1 TS Ga
238 VD4 M 5 103 0 -1 TS Ga
239 VD5 M 3 70 0 -1 TS Ga
240 VD6 M 4 88 0 -1 TS Ga
241 VD7 M 2 66 0 -1 TS Ga
242 VD8 M 4 76 0 -1 TS Ga
243 VD9 M 3 39 0 -1 TS Ga
244 PVT I 1 11 0 – –
245 PVPL I 24 10 36 – –
246 AS11 M 0 25 21 +1 Ac
247 DA8 M 1 42 26 +1 TS Ac
248 DA9 M 1 27 25 +1 TS Ac
249 DD6 M 4 65 4 -1 TS Ga
250 PDA M 0 1 3 – –
251 PDB M 0 0 1 – –
252 VA12 M 5 16 37 +1 TS Ac
253 VD12 M 2 11 1 -1 TS Ga
254 VD13 M 5 16 1 -1 TS Ga
255 PVPR I 24 11 43 – –
256 DVA I 5 175 65 – –
257 DVC I 27 18 38 – –
258 DVB M 7 9 51 +1 –
259 LUAL I 3 13 19 – –
260 PVCL I 13 119 116 – TS –
261 PVNL I 1 14 65 – –
262 PVQL I 8 28 20 – CT –
263 PVWL I 1 7 9 – –
264 ALNL S 1 2 6 +1 Ac
265 PHAL S 3 8 30 – –
266 PHBL S 3 8 32 – –
267 PHCL S 2 1 10 – –
Fortsetzung auf der n¨achsten Seite
Die Neuronen desC. Elegans – Fortsetzung
Nr. NAME FUNC GJ IN OUT GEW CIRC TRANS
268 PLML S 3 0 2 -1 TS –
269 PLNL S 0 3 11 +1 Ac
270 LUAR I 2 10 21 – –
271 PVCR I 16 121 105 – TS –
272 PVNR I 3 15 67 – –
273 PVQR I 9 23 19 – CT –
274 PVWR I 2 6 9 – –
275 ALNR S 0 2 7 +1 Ac
276 PHAR S 4 6 20 – –
277 PHBR S 4 10 27 – –
278 PHCR S 4 0 25 – –
279 PLMR S 4 0 22 -1 TS –
280 PLNR S 1 1 8 +1 Ac
281 PQR S 4 9 40 – –
282 PVR S 7 16 30 – –
Verzeichnis der verwendeten Symbole
h·ik Mittelwert einer Gr¨oße ¨uber alle kGrade Knoten eines Netzwerks h·iN Mittelwert einer Gr¨oße ¨uber alle N Knoten eines Netzwerks h·iM Mittelwert einer Gr¨oße ¨uber alle M Kanten eines Netzwerks
A Adjazenzmatrix eines Netzwerks, deren Eintr¨ageAij die Anzahl der Ver-bindungen zwischen den Knoteniund j angibt.
A Normierungskonstante der Gradverteilung.
dij K¨urzeste Verbindung zwischen zwei Knoten iund j.
d¯ Mittelwert vondij uber alle Knotenpaare¨ i, j.
δ Kronecker-Symbol
G Adjazenzmatrix des Gap-Junction Netzwerks imC. Elegans.
γ Exponent einer skalenfreien Gradverteilung.
H Hamming-Abstand.
J−,J+ Kopplungskonstanten.
k Grad eines Knoten, d.h die Anzahl seiner Nachbarn.
k0 Minimaler Grad eines Netzwerks.
kmax Maximaler Grad eines Netzwerks.
kA Grad, bis zu dem alle Knoten mit demkmax-Knoten verbunden sind.
kin,kout Anzahl eingehender/abgehender Verbindungen an einem Knoten bei ge-richteten Netzwerken.
kin0,kout0 Minimale Anzahl eingehender/abgehender Verbindungen eines Knotens in einem gerichteten Netzwerk.
kmaxin ,koutmax Maximale Anzahl eingehender/abgehender Verbindungen eines Knotens in einem gerichteten Netzwerk.
kme Grad der mittleren Schicht in maximal dissortativen Netzwerken.
Knn(k) Mittlerer Grad der n¨achsten Nachbarn eines Knotens von Gradk kˆ Grad, bis zu dem in maximal assortativen Netzwerken alle Knoten
aus-schließlich mit Knoten gleichen Grades verbunden werdenk¨onnten.
ks Grad, bis zu dem in maximal assortativen Netzwerken tats¨achlich alle Knoten ausschließlich mit Knoten gleichen Grades verbundensind.
κ0, κ1, κ2, . . . Bei maximal dissortativen Netzwerken die Grade, die die Doppelschich-ten auf SeiDoppelschich-ten der hohen Grade begrenzen.
l Anzahl der Zust¨ande eines Attraktors der neuronalen Dynamik des C. Elegans.
M Anzahl der Kanten in einem Netzwerk.
Me Gesamtzahl aller Kanten in maximal assortativen Netzwerken, die nicht zwischen Knoten gleichen Grades verlaufen.
Ms Gesamtzahl aller Kanten in maximal assortativen Netzwerken, die zwi-schen Knoten gleichen Grades verlaufen.
N Anzahl der Knoten in einem Netzwerk.
N1 Netzwerkgr¨oße, unterhalb derer derkmax-Knoten mit allen anderen Kno-tendes Netzwerks verbunden ist.
N2 Netzwerkgr¨oße zur Bestimmung des asymptotischen Regimes f¨ur maxi-mal dissortattive Netzwerke, in dem die Anzahl der Schichten ihr Maxi-mum erreicht hat.
NA Anzahl von Attraktoren
Nb Netzwerkgr¨oße, oberhalb derer sich in maximal assortativen Netzwerken Schichten von Knoten ausbilden, die ausschließlich mit Knoten gleichen Grades verbunden sind.
Nd Anzahl von Doppelschichten in maximal dissortativen Netzwerken.
nex Parameter f¨ur die Gesamtzahl exzitatorischer Neuronen inC. Elegans nini Anzahl simulierter Anfangsbedingungen zur Ermittlung der Anzahl an
Attraktoren.
Nk Anzahl von Knoten mit Grad kin einem Netzwerk.
nst {σ(t)}
Anzahl von Knoten mit stochastischem Zustand im Aktivit¨atsmuster {σ(t)}.
pc Kritische Konzentration antiferromagnetischer Bonds, ab der in skalen-freien Netzwerken die gemischte Phase beginnt.
P Wahrscheinlichkeit
P(k) Gradverteilung, d.h. Wahrscheinlichkeit, dass ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Knoten den Grad khat.
P(j, k) Verbundwahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Kante zwei Knoten vom Grad j und kmiteinander verbindet.
P(j|k) Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Nachbar eines Knotens mit Grad kein Knoten mit Grad j ist.
Pc(k) Kumulative Gradverteilung.
Pf(k) Wahrscheinlichkeit, dass sich die Schicht der Knoten mit Gradkin einem Fixpunkt befindet.
Pin(k), Pout(k) Gradverteilungen der eingehenden/abgehenden Verbindungen in einem gerichteten Netzwerk.
PM(k) Wahrscheinlichkeit, am Ende einer beliebigen Kante einen Knoten vom Grad kzu finden.
Ps(k) Wahtscheinlichkeit, dass sich zwei benachbarte Schichtenkundk+ 1 im Attraktor im selben Zustand befinden.
Ψ Funktional f¨urQ, sodass Q(t+ ∆t)≡Ψ(Q(t)) gilt.
qk(t) Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Knoten mit Gradkzur Zeittim Spin-Up Zustand befindet.
Qk(t) Wahrscheinlichkeit, dass sich ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Nachbar eines Knotens mit Gradk zur Zeit tim Spin-Up Zustand befindet.
r Pearson-Koeffizient als Maß f¨ur Assortativit¨at.
rmax Wert desPearson-Koeffizienten in maximal assortativen Netzwerken.
rmin Wert desPearson-Koeffizienten in maximal dissortativen Netzwerken.
S Adjazenzmatrix des synaptischen Netzwerks im C. Elegans.
{Σ},{Σ∗} Die beiden Aktivit¨atsmuster eines dynamischen Attraktors.
tA Anzahl der Zeitschritte, bis die neuronale Dynamik desC. Eleganseinen Attraktor erreicht hat.
td Zerfallszeit ungeordneter Muster f¨ur die Majorit¨atsdynamik auf skalen-freien Netzwerken, wie sie sich aus derMeanfield-Theorie ergibt.
τσ, τQ Zerfallszeiten ungeordneter Muster f¨ur die Majorit¨atsdynamik auf ska-lenfreien Netzwerken, wie sie aus den Simulationen bestimmt werden.
Ui(t) Potential des Neurons i zur Zeit t im Rahmen der Dynamik auf dem Gap Junction Netzwerk desC. Elegans.
Uc Schwellwert, oberhalb dessen Neuronen f¨ur die Dynamik des synapti-schen Netzwerks desC. Elegans
”aktiv“ gesetzt werden.
wi Synaptisches Gewicht des Neuronsides C. Elegans.
y Ordnungsparameter der Majorit¨atsdynamik auf umkorrelierten skalen-freien Netzwerken.
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