9.3 P (T ) の構成
9.5.1 V の計算
定理9.4.1により，ρ′を実現するV の解析的な記述が得られている．任意
の埋め込みσ:Q(ζl) → Cに対して，Dx の σ による埋め込みの近似 Dσ,x
が，#Fと，必要な桁数（精度）の多項式時間で計算できる．これらの近似は，
Xl(C)の点Qσ,x,iのgl 個の和として与えられ，また，1≤i≤glの番号付け
とσとは相互に無関係に取れる．
同様にして，bl(Qx,i),x′l(Qx,i)などは，#Fと必要な桁数（精度）の多項式 時間で計算できる．
これらの近似値から，どの(σ, x, i)に対してQσ,x,iがカスプを近似するかを 計算することができる（詳細は省略するが，j不変量の逆数の零点をblで記述 する結果を用いる：[EC11, Prop. 8.2.8]）．この結果から，Dσ,xfin =∑dx
i=1Qσ,x,i
のdxも求められる．
整数nを，0≤n≤l4(#F)4の範囲で，fl=bl+nx′lがQx,iを単射に埋め 込むように取るには，一つの埋め込みσ:Q(ζl)→Cを取って，異なるQσ,x,i,
Qσ,y,jに対してfl の像が異なるようになるまで，nを動かしてチェックすれ
ばよい．mの取り方も同様である．このn,mの取り方が計算時間に与える寄 与は，議論にあらわれる点の高さの評価から見積もることができる．
さらに，定理9.3.2から
P(T) =PD0,fl,m(T) =
∑#V
i=1
PjTj ∈Q(ζl)[T]
の係数の高さはh(Pj) ≤ cl14(#F)2と押さえられる．Pj をQ(ζl)のQ基底 {ζli|i= 0, . . . , l−2}で書いて
Pj =
l−2
∑
i=0
Pj,iζli, Pj,i ∈Q
を求めるため，σ∈Gal(Q(ζl)/Q)で添え字づけられた連立一次方程式
l−2
∑
i=0
Pj,iσ(ζli) =σ(Pj)
を考える．代数体における高さ関数hの性質（[EC11, lem 4.2.6]）などから，
h(Pj,i)≤llogl+lh(Pj) =O(l15(#F)2).
従って，Pj,iを近似値から求めるには，O(l15(#F)2)だけの精度があればよい．
以上のように，C上の近似計算からAQ(ζl) =Q(ζl)[T]/(P(T))を計算する ことができ，その計算量も見積もることができる．
9.5.2 V の演算の復元
Q(ζl)代数AQ(ζl) =Q(ζl)[T]/(P(T))から，ベクトル空間VQ(ζl)の演算を 復元しなければならない（[EC11,§ 14.5]）．V の加法はAQ(ζl)の余加法
+∗:AQ(ζl)→AQ(ζl)⊗Q(ζl)AQ(ζl)=Q(ζl)[U, V]/(P(U), P(V)) から得られる．これは，AQ(ζl)の生成元aの，余加法での像を与えることと同 値である．この像は，U, V の高々(#F)2次の多項式である．よって，
a(x+y) =∑
i,j
µi,ja(x)ia(y)j, x, y∈V
となるµi,j を，各x∈V に対してのa(x+y), a(x), a(y)が既知として求めれ ばよい．
スカラー倍F×V → V をAQ(ζl) の余スカラー倍から復元もほぼ同様で ある．
また，AQ(ζl) からQ代数Aを抽出しなければならない（[EC11, § 14.6]）．
これには，
A={
x∈AQ(ζl)τ(x) =x, τ ∈Gal(Q(ζl)/Q)} という関係を使う．
AQ(ζl) の 生 成 元 a を ，D0 も 明 記 し て aD0 と 書 く ．aD0 へ の G= Gal(Q(ζl)/Q)への作用は，τ ∈Gに対して
τ(aD0) =aτ(D0).
埋め込みσ:Q(ζl) → Cとx ∈ Jl(C)に対して，aσ,D0(x), aσ,τ D0(x)をそれ ぞれ近似計算で得られた値とする．
生成元（原始根）τ ∈G∼=F×l を固定する．すると，{ci} ⊂Q(ζl)が一意に 定まり，
τ(a) =∑
i
ciai.
これら{ci}は，Q内の方程式
aτ D0(x) =
(F∑)2−1
i=0
ciaD0(x)i, x∈V
で特徴づけられる．h(ci) =O(l14(#F)6)という評価（[EC11, lem. 4.2.6]）が あるので，ci=∑l−2
j=0ci,jζlj,ci,j ∈Qと書けば，h(ci,j) =O(l15(#F)6). よっ てC上での近似値aσ,D0(x), aσ,τ D0(x)から，Aが抽出できる．
最後に，V へのGQ作用を復元する（[EC11,§14.7]）．V×V ∼= HomF(F2, V) という同型の左辺にはGL2(F)が右から作用し，よってA×A には左から 作用する．この作用は A ×A の余加法と F× 作用で記述できる．B を，
IsomF(F2, V)⊂HomF(F2, V) に対応するQ代数とする．
A×Aのidempotent, つまりA⊗Aの元で，Isom(F2, V)上1, その補集 合で0 となる元を構成する．AQ(ζl) = Q(ζl)[T]/((1−T)Pl(T))と書いて，
a1=Pl/Pl(1)とすると，これは{0} ⊂V の特性関数である．よってa1∈A となり，ここからa2 = 1−a1とするとa2はV \ {0}の特性関数．さらに a3∈A⊗Aを，
a3:= ∏
g∈GL2(F)
g(a2⊗1)
とすると，a3はIsom(F2, V)の特性関数になる．すると，Q上の線形代数と GL2(F)作用から，B = (A⊗A)/(1−a3)が計算できる．
また，Bを体の直和に分解することは，LLLアルゴリズムを用いて多項式時 間で可能である（Artin代数の計算については，Vasconcelos [Vas98, Chap. 4]
参照．またLLLアルゴリズムについては[Coh93, Chap. 2]参照）．B の成分 であるそれぞれの体K はρの核が固定する体で，G⊂GL2(F)を（一つ選ん だ体）Kの固定部分群とするとG= Gal(K/Q)であり，G⊂GL2(F)がGの 2次元線形表現である．
以上で定理9.5.1の証明が終わった．
参考文献
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[Edi92] Bas Edixhoven, The weight in Serre’s conjectures on modular forms, Invent. Math.109 (1992), no. 3, 563–594. MR 1176206 [Gro90] Benedict H. Gross, A tameness criterion for Galois
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[Hid12] Haruzo Hida, Geometric modular forms and elliptic curves, sec-ond ed., World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2012. MR 2894984
[Vas98] Wolmer V. Vasconcelos, Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry, Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 2, Springer-Verlag, Berlin, 1998, With chap-ters by David Eisenbud, Daniel R. Grayson, J¨urgen Herzog and Michael Stillman. MR 1484973
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