D 0 を見つける議論

この節の主な参照先はEdixhoven-Couveignes [EC11, Chap. 8§1]^である．

レベルが5l^（l^は5とは異なる素数）とする．目的は：

次数がX1(5l)^{の種数と等しい，}X1(5l)_Q(ζl)^{上の適切な正因子}D0を取って，

J1(5l)(Q)のある稠密集合の任意の点xに対して，あるQ=Qx ∈X1(5l)^(g) が一意に存在してx= [Q−D0]. ここで，ある稠密集合は

{x∈J1(5l)(Q)|h⁰(Lx(D0)) = 1} でよいことが，h⁰(Lx(D0))^{の半連続性（つまり，}

{x∈J1(5l)(Q)|h⁰(Lx(D0))≥i} が閉集合であること）からわかる．

定理 9.2.1 ([EC11, Thm. 8.1.7]). l ̸= 5^{を素数とする．}c^をX1(5)^の2^つあ るQ^{有理的尖点の} 1^{つとする．}X1(5l) ^には，c ^{上の尖点で}Q(ζl) ^上有理的 なものが2(l−1)^{個ある．これらは}F^×l の軌道2つに分かれる．それぞれの 軌道にはF^×_l が自由に作用する．一方の軌道の各点に，0,1,2, . . . , l−2^と係 数をつけて得られるX1(5l)_Q(ζl) ^{上の因子を}D1 とする．もう一方の軌道に 0,0,1,2, . . . , l−3と係数をつけて得られる因子をD2とする．D0:=D1+D2

とすると，D0はX1(5l)の種数と同じ次数を持つ正因子である．このとき，任 意のx∈J1(5l)(Q)^で，「l^{上のある素点で}0に特殊化するもの」に対して

h⁰(X1(5l)_Q,Lx(D0)) = 1.

証明. 証明の鍵となる事実は，X=X1(5l)_Q(ζl)の半安定モデルX1(5l)_Z[ζl,1/5], J1(5l)^のNeron^モデルJOK,K ⊃Q(ζl)^{の詳細な事柄である．}

X_Fl =X1⊔X2を既約成分への分解とする（Fl上のX1(5)^{のうえにある，}

レベルlの井草曲線．これらは超特異点でのみ横断的に交わる．例えばHida [Hid12, Thm. 2.91.13]^）．D0=D1+D2, DiはXi上に台を持つ．カスプは 超特異点の集合Σ^{と互いに疎なので，}D0はX_Fl のスムーズローカスの上に ある．

記号を簡単にするために，この証明の終わりまで，X =X_Fl,D0=D0とす る．ΩX :=X^{の双対化層は可逆}OX加群で，Ω¹_X1(Σ)^とΩ¹_X2(Σ)^をΣ^に沿っ て，X1上のΣ^{における剰余写像と}X2上のΣにおける剰余写像のマイナスと で貼り合わせたものである．Riemann-Rochの定理によって，示したいのは

h¹(X, O(D0)) = 0 だが，Serre^{双対定理により}

h⁰(X,ΩX(−D0)) = 0

でもある．言い換えると，H⁰(X,ΩX)^の元でD0で消えるものは0^である事 である．X1への制限によって，次の短完全系列を得る：

0→H⁰(X2,Ω_X

2/Fl(−D2))→H⁰(X,ΩX(−D0))→H⁰(X1,Ω_X

1/Fl(Σ−D1))→0.

よって，D1としてはH⁰(X1,Ω_X

1/Fl(Σ−D0)) = 0^{となるものが，}D2として はH⁰(X2,Ω_X

2/Fl(−D2)) = 0となるものが取れればよい．

X1→X1(5)_Fl ^はΣで完全分岐しその他で不分岐な被覆で，X1(5)^は種数0 である．Hurwitz^{の公式から，}X1の種数g1は

2g1−2 =−2(l−1) + (l−1)(l−2), g1= 1

2(l−2)(l−3).

よって，D1,D2が取れたとすれば

d1:= degD1=g1+ #Σ−1 = 1

2(l−1)(l−2), d2:= degD2= 1

2(l−2)(l−3), でなければならない．

さて，X1(5)_Fl ^上の座標z^{を次のように取る：}

z:X1(5)_F

l →P¹_Fl, z(Σ)̸= 0,∞, z⁻¹0 =X1(5)_F

l上の有理カスプ0.

f ^を，zのモニック多項式で，その零点がΣと一致し，零点の位数が1^である ものとする．すると，X1もX2も，y^l−1=f ^{で与えられる}X1(5)_Fl ^の被覆と 同型になることが示される．

このことから，H⁰(X1,Ω¹

X1/Fl(Σ))^{の基底が計算できて，}

H⁰(X1,Ω¹_X

1/Fl(Σ)) = ⊕

i+j≤l−3

Flzⁱy^j dz

y^l−1. (9.2) すると，D1も次のように取ることができる．z^{が零点を持つ}l−1^{個の点に重} 複度を与える．z^とyによる座標でこれらの点は

{

(0, b)b∈Fl×

s.t.b^l−1=f(0) }

.

D1は，これらの点の上に，任意に重複度0,1, . . . , l−2^{を指定する．}

主張：式(9.2)の右辺の基底の線形結合で，D1上の点で0^{になるようなも}

のは0^に限る．

実際，ω^を式(9.2)^{の右辺の元で，}D1上の点で0^{になるものとして，}

ω= ∑

i+j≤l−3

λi,jzⁱy^j

と書く．D1上の点でz^{は一位の零点をもつ．}ω^がD1上で重複度込みで0^に なったとする．D1上の重複度が正の点はl−2^{個．一方，多項式}∑

jλ0,jy^j は次数が高々l−3^{なので，この多項式も}0^{である．また，}D1上の重複度が1 より大きい点はl−3^{個．多項式}∑

jλ1,jzy^{j の次数は高々}l−4^{なのでこの多} 項式も0. このようにして，主張が従う．

D2の取り方もほぼ同様である．

H⁰(X2,Ω¹_X

2/Fl) = ⊕

i+j≤l−4

Flzⁱy^j dz

y^l−2. (9.3) であることがわかる．D2として，z^の零点に0,0,1,2, . . . , l−3^{という重複度} を任意に指定する．すると，D1のときと同様の議論から，右辺の基底の線形 結合で，D2上0になるものは0に限ることが示される．

以上の議論は，X1(5)^の2^つあるQ有理カスプを一つ固定して行ったが，こ れらはF^×5 の作用で入れ替わるので，カスプの指定に依らない．

定理9.2.1^がD0をX1(5l)_Q(ζl) 上に見つけるので，V ^をJ1(5l)(Q)[l]^に埋 め込む．そのために，degeneracy map^（木村[^木18]^の式(1.5)^を参照）

π =B5l,l,1:X1(5l)→X1(l)

（次数は5²−1 = 24, gcd(l,24) = 1^{）を使って，}

1

24π^∗π_∗:J1(5l)(Q)[l]↠π^∗J1(l)(Q)[l]⊂J1(5l)(Q)[l], (9.4) を考え，これにより，V ⊂J1(l)(Q)[l]^をπ^∗V ⊂J1(l)(Q)[l]⊂J1(5l)(Q)[l]^に 埋め込む．

命題 9.2.2 ([EC11, 8.2.2]). l̸= 5^{を素数とする．}2< k≤l+ 1,f:T(1, k)→ F^{を全射準同型とする．}ρ = ρf:G_Q → GL2(F) ^をf ^{に付随する法}l-^表現，

Imρ ⊃SL2(F)^{と仮定する．}V ⊂J1(5l)(Q)[l]^をρ^{を実現する}F^{上の線形空} 間，D0を定理9.2.1で構成したX1(5l)_Q(ζl)上の因子とする．このとき，任意 のx∈V ^に対してh⁰(X1(5l)_Q,Lx(D0)) = 1.

証明. ^任意の x ∈ V ^{に対して，}Q^の l ^{上にある素点} λ^で，x ^が λ ^で0 ^に specialize^{するものが存在する．}

このことと，J1(5l)_Z[ζl]のNeron modelについての事実から．つまり，

J_Z[ζl]:=J1(5l)^のZ[ζl]^上のNeron^モデル

とすると，V ^はJ_Q(ζl)内のF-^{ベクトル空間スキーム}V_Q(ζl) のQ^{点集合であ} る．V ^をJ_Z[ζl]でのVQ(ζl) のZariski閉包とする．このとき，VQ(ζl)は有限局 所自由Z[ζl]^{加群．（参照：}Gross [Gro90,§ 12], Edixhoven [Edi92, §6]^）．

また，V_Q(ζl)のF-ベクトル空間スキームの局所成分としての次元は，f(Tl)̸= 0,= 0^に応じて1^もしくは2^である．

よって，l^上のQの各素点に対して，あるx∈V, x̸= 0^{が存在して}x^はその 素点上0に特殊化する．仮定からGal(Q/Q(ζl))^の像はSL(V)^{を含む．よっ} て，Gal(Q/Q(ζl))^はV \ {0}^{に推移的に作用する．}

以上から，各x∈V,x̸= 0^{に対して，}Q^のl上のある素点が存在して，x^は その素点で0に特殊化することが示された．

注意9.2.3. D0がX1(5l)_Q(ζl)上にあることから，議論をQ^{上ではなく，}Q(ζl) 上で行う必要がある．

Xl :=X1(5l)_Q,glをXl の種数，A_Q(ζl)をGal(Q/Q(ζl))^集合V ^に対応す るQ(ζl)^{代数とする．}

命題9.2.2^より，各x ∈ V に対して一意的に，因子 Dx = ∑gl

i=1Qx,i,^で x= [Dx−D0]となるものが定まる（最後の等式はJl(Q)^{でのもの）．}

このDxを，

Dx =D^fin_x +D_x^cusp,

ただしD^fin_x はサポートがカスプと素なもの，D^cusp_x ^{はサポートが}X1(l)_Q^のカ スプに乗っているもの，とする．

補題 9.2.4 ([EC11, 8.2.6]). ^{上の状況で，}

V ∋x7→D^fin_x ∈Div(X_l,Q) は単射で，かつGal(Q/Q(ζl))^{同変写像である．}

証明. ^{結論を否定して，}x1, x2∈V,x1̸=x2でD^fin_x1 =D^fin_x2 ^{なるものが存在し} たとする．V ^でx1−x2 ̸= 0^である．Dx1−Dx2 はカスピダル因子であるこ とに注意する．また，XlのカスプはQ(ζl)上有理的である．よって，x1−x2

を用いて，次の単射Gal(Q/Q(ζl))同変射を定義することができる（F ^への Gal(Q/Q(ζl))の作用は自明とする）：

F∋a7→a(x1−x2) =a(Dx1−Dx2)∈V.

包含制限原理により，ゼロでない射

F[Gal(Q/Q(ζl))]→V

が得られるが，V の既約性から全射．すると，ρ:G_Q→GL2(V)^の像がAbel になる．ρ^{は奇だから，}ρ(c),^（cは複素共役）の異なる二つの固有値に応じて，

表現が1次元空間の直和になるが，これはρ^{の既約性に反する．}

同変写像であること：X_l,Q^{のカスプは，}Q安定集合である．よって，任意の g∈Gal(Q/Q(ζl))^{に対して，}

D_gx^fin=gD^fin_x , D^cusp_gx =gD^cusp_x . よって写像の同変性が従う．

次の目標は，fl:Xl →P¹Qという関数を作ることである．この関数によっ て，{D^fin_x |x∈V }^{を，単射かつ}Gal(Q/Q(ζl))^同変に，{fl,∗D_x^fin|x∈V } ⊂ Div(A¹_Q)^に写す．