TM 010 モード複合誘電体共振器の構造

第 2 章複合誘電体共振器を用いた TM 010 モード誘電体共振器の研究

2.2 原理

2.2.1 TM 010 モード複合誘電体共振器の構造

図1にTM010モード複合誘電体共振器の構造を示す。この構造は、図2に示される TM₀₁₀モード誘電体共振器の共振電界分布を考慮して決定した。電界強度の強い芯部には、高εr 化による波長の短縮効果を大きくするため、円柱形状の高εr

誘電体素子（DR_I）を設置する。これにより生じるf0の低周波側へのシフトおよびQu値の低下を回避する目的で、高εr誘電体素子の外周部には、高Q・f値を持つ中空円筒形状の低εr誘電体素子（DR_O）を配置した。このような誘電体共振子の構造により、複合誘電体共振器内の共振電磁界分布は、図 1(b)に示す単一誘電体共振器のそれと比較し、電磁界強度は芯部で強く、キャビティ内壁面の近傍では弱くなる。

一方、TM₀₁₀モード誘電体共振器の f₀は、誘電体共振器内の電磁界分布が誘電体共振子の径方向にのみ変化し、長手方向に変化しないため、誘電体共振子の直径とキャビティの内径比、および誘電体共振子を構成する誘電体材料のεrにより

OD mm ID mm

f =40mm

H= 40 mm DR_O DR_I

Composite Dielectrics Resonator

OD mm f =40mm

H= 40 mm

Single Dielectric Resonator Cavity

(b) Structure of the single dielectric resonator (a) Structure of the composite dielectric resonator

z z

y y

x x

Cavity

Cavity Cavity

Composite Dielectrics Resonator

図1 TM₀₁₀モード誘電体共振器の構造

決定される

。

すなわち単一誘電体共振器のf0は、誘電体共振子に使用する誘電体材料により εrが固定されると、誘電体共振子の直径とキャビティ内径との比のみで決まる。

これに対し、複合誘電体共振子は異なるεrを持つ 2 つの誘電体素子により構成されるため、共振子の複合的なεrを調節できる。よって、複合誘電体共振器の f0

は、複合誘電体共振子の直径とキャビティの内径との比、さらに複合誘電体共振子を構成する芯部の円柱素子の直径と中空円筒素子の外径比により定まる複合的なεrで決まる。このように、複合誘電体共振器では、f0 を決定するパラメータが単一誘電体共振器よりも多く、f₀設計の自由度は高い。

TM010モード誘電体共振器のQu値は、次式で与えられる

、

Qc Qd

Qu

1 1

1 = +

(1)

ただし、Qdは誘電体共振子の誘電体損によるQ値、Qcはキャビティ内壁での導体損によるQ値である。単一誘電体共振器では、Qdは誘電体素子の誘電特性により固定されるため、f0およびキャビティ寸法が決まるとQu値も決定される。

一方、複合誘電体共振器では(1)式のQdは以下の式になる。

Qd

_{_} _{_}

1 1

1 = +

(2)

E H

Dielectric Resonator Cavity

ℓ

E H

Dielectric Resonator Cavity

ℓ

図2 TM010モード誘電体試料の構造

ただし、Qd__IはDR_Iの誘電体損によるQ値、Qd_OはDR_Oの誘電体損によるQ値である。

このように、複合誘電体共振器では、複合誘電体共振子を構成するDR_Iと DR_OのQ・f値により、Qd値を調節できるため、TM₀₁₀モード誘電体共振器ではQu値の設計が期待できる。

また、先に述べたように複合誘電体共振器では、単一誘電体共振器と比較し、

キャビティ内壁面での電磁界が弱くなるため、(1)式のQc値が大きくなり、複合誘電体共振器では高Qu値化が期待できる。

2.2.2 共振器構造と共振器構造と共振器構造と共振器構造と f

₀

,Qu 値の計算値の計算値の計算値の計算

図3に解析に用いたTM₀₁₀モードの構造及び円柱座標系r、θ、zを示す。この構造の各領域の界表示式を以下に示す。

) ( )

(

) ( )

( ) (

3 0 3

0 3

2 0 2

0 2

1 0 1

r k EY r k DJ E

r k CY r k BJ E

r k AJ E

r r

r Z

(3)

( )

0 1 1 0 1

1 2 1 1

1 1

0 2 2 0 2

2 2 1 2 1 2

2 2

0 3 0

3 2 1 3 1 3

3 3

( )

( ) ( )

r z r

r r r

r z r

r r

z r r

r r

H j E j J k r

r k

H j E j B J k r C Y k r

r k

H j E j D J k r E Y k r

r k

k θ

ωε ε ωε ε

ωε ωε

= − ∂ =

∂

= − ∂ = +

∂

= − ∂ = +

∂

(4)

ただし、

1 1 , 2 2 , 3

r r r r r

k k k

vc vc vc

ω ω ω

ε ε

= = = (5)

vcは真空中の光速、ω ^{は共振角周波数、}εr1 はI領域のεr、εr2はII領域のεr、J0は第一種ベッセル関数、Y0は第2種ベッセル関数、A~Eは展開係数である。

これらの界成分表示式に、境界条件を適用すると、

1 2

z z

E =E at r=a より，

0( _r1 ) 0( _r2 ) 0( _r2 ) 0

J k a −B J k a −C Y k a = (6)

0 1 0 2

0 2

( ) ( )

( )

r r

J k a C Y k a

B J k a

∴ = − (7)

1 2

H_θ =H_θ at r=a より，

( )

2 1 2 1 2

1 1 1 0

1 2

( ) ( )

( )

r r r 0

r r

B J k a C Y k a J k a

j k k

ε ε

ωε ^ − ⁺ ^=

  ⁽⁸⁾

1 2 1 1 2 1 1 2

2 1 1 2

( ) ( )

( )

r r r r r r

r r r

k J k a C k Y k a

B k J k a

ε ε

∴ = − (9)

(5)，(7)より，

( )

2 1 2 0 1 1 1 2 1 0 1 1 2

2 1

( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r r r r r

r r

k a k J k a J k a k J k a J k a

C k

π ε ε

− +

= (10)

2 3

z z

E =E at r=b より，

0( _r2 ) 0( _r2 ) 0( _r3 ) 0( _r3 ) 0

BJ k b +CY k b −DJ k b −EY k b = (11)

0 3 0 2 0 3

0 2

( ) ( ) ( )

( )

r r r

D J k b C Y k b E Y k b

B J k b

− +

∴ = (12)

2 3

H_θ =H_θ at r=b より，

( )

2 1 2 1 2 1 3 1 3

2 3

( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r 0

r r

B J k b C Y k b D J k b E Y k b

j k k

ωε ^ε ⁺ − ⁺ ^=

  ⁽¹³⁾

2 1 3 2 3 1 2 2 1 3

2 3 1 2

( ) ( ) ( )

( )

r r r r r r r

r r r

D k J k b C k Y k b E k Y k b

B k J k b

ε ε

− +

∴ = (14)

(10)，(12)より，

( )

2 2 3 0 3 1 2 2 3 1 2 0 3 2 0 2 1 3 1 3

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r r r r r r r r r

r r

C k b D k J k b J k b E k J k b Y k b k J k b DJ k b EY k b k

π ε ε

= ε + − +

(15) r

θ I II III

a b

Electric wall

図3 解析に用いる共振器構造

(8)，(13)より，

( )

1 2 3 0 2 1 1 2 1 3 0 1 1 2 2 1 3 1 2 0 3 1 2 0 2 1 3

2 1 3 0 3 1 2 1 2 0 2 1 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r

a k k J k a J k a a k k J k a J k a Eb k k J k b Y k b k k J k b Y k b

D b k k J k b J k b bk k J k b J k b

ε ε ε

− + −

= − −

(16) 3 0

Ez = at r=c より，

0 3

( )

r r

Y k c

D E

J k c

= − (17)

(14)，(15)より，

( )

( ) ( )

( )

3 0 3 1 2 0 2 1 1 2 1 0 1 1 2

1 2 3 0 3 1 2 2 0 2 1 3 0 3 2 3 1 2 0 3 2 0 2 1 3 0 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r r r r

ak J k c k J k a J k a k J k a J k a

E bk k J k b J k b k J k b J k b Y k c k J k b Y k b k J k b Y k b J k c

ε ε

− +

= − + + −

(18) 係数列ベクトルに関する次の同次方程式を得る。

0 1 0 2 0 2

1 1 1 2 1 2 2 1 2

1 2 2

0 2 0 2 0 3 0 3

1 3 1 3

2 1 2 2 1 2

2 2 3 3

0 3 0 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

r r r

r r r r r r

r r r

r r r r

r r

r r r r

r r

J k a J k a Y k a

J k a J k a J k a A

k k k B

J k b Y k b J k b Y k b C

J k b Y k b

J k b Y k b D

k k k k E

J k c J k c

ε ε ε

ε ε

− −

 

 

 − − 

 

− −

 

− −

 

 

0 A B C D E

  

   

 =  =

   

   

(19) TM010モードのf0は、(6)式の係数行列Hの行列式が零となる条件、

det H = 0

(20)

から求める。

また、(7)式を満足するωを用いて、(5)、(18)、(16)、(15)、(12)より順次展開係数を決定すると、共振電磁界が定まる。

一方、得られた共振電磁界を用いて共振器の無負荷Q(Qu)値の計算には次式を用いる。

d c

Q W

P P ω

= +

⁽²¹⁾

ここで、Wは単位時間当たりに蓄積される電界エネルギー、Pdは誘電体損、

Pcは導体損で、それぞれ以下の式で与えられる。

2 0 1 2 0 2 2 0 2

1 2 3

2 2

0 1 0 2 0

1 2 3

0 0 1 2

0 1

0 0 2 2

0 2 0 2

0 0 3 0

2 2 2 2

2 2 2

2 ( )

2 ( ) ( )

2 ( ) (

r r

z z z

v v v v

a b c

r r

z a z b z

r a

r r b

r r

W dv E dv E dv E dv

h h h

r E dr r E dr r E dr

h r J k r dr

h r B J k r C Y k r dr h r D J k r E Y

ε ε ε ε ε

π π π

ε ε π

ε π

= = + +

= + +

+ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

2 3 ) c

b k rr dr

∫

(22)

2 0 1 1 2 0 2 1 2

1 2

0 1 1 0 0 1

0 2 2 0 2 0 2

tan tan

1 tan

2 2 2

tan ( )

tan 2 ( ) ( )

r r

d z z

v v v

r r

r a r r

P dv E dv E dv

h r J k r dr

h r B J k r C Y k r dr

ωε ε δ ωε ε δ

ωε δ

πωε ε δ

πωε ε δ π

= = +

+ +

∫ ∫ ∫

∫

(23)

( )

2 2 2

0 0 1 0 2 0 3 0

0 2

2 2

2 2 1 2

0 0 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1

1 2

2 2 2 2

2 2 2

2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) (

c s t

a b c

s at z a at z b at z

s at r c

a r b r

s r r a r r r r r

P R ds

R r H dr r H dr r H dr

R h c H

R r J k r dr r B J k r C Y k r dr r D J k r E Y k

k k k

θ θ θ

θ µ

µ π π π

µ π

ε ε

πµ ω ε

= = =

 

= ×  + + 

 

= + + + +

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

2 3 2

0 0 1 3 1 3

2 2 1

0 0 0 1 1 1

2 2 2

0 0 1 2 1 2

2 2 2

0 0 1 3 1 3

3 2 2

0 0

2 1 3

)

( ) ( )

2 ( )

2 ( ) ( )

2 1 ( ) ( )

(

c b r

s r r

a r

s r

b r

s a r r

r c

s b r r

r s

r dr

R hc D J k c E Y k c k

R r J k r dr

R r B J k r C Y k r dr

R r D J k r E Y k r dr

k R hc D J k

k πµ ωε

πµ ω ε ε

πµ ω ε πµ ω ε

 

 

 

+ +

∫

2 3 ) (1 3 ) r c +E Y k cr

(24) ここで、Vは共振器内全体の体積、Sは空洞内壁表面を示す。また、Rsは表面抵抗であり、

0 0

2 σ σ ωµ

Rs =

₍₂₅₎

で与えられる。µ₀は真空中の透磁率、σ₀は万国標準軟銅の導電率58×10⁶s/m、σ_r

は比導電率である。

2.2.3 複合誘電体共振子の実効誘電率（複合誘電体共振子の実効誘電率（ε 複合誘電体共振子の実効誘電率（複合誘電体共振子の実効誘電率（

_{r_eff}

）及び実効誘電）及び実効誘電）及び実効誘電）及び実効誘電

損失（

損失（ tan δ

_{_eff}

））））

TM₀₁₀モード複合誘電体共振器の設計には、複合誘電体共振子のε_rおよび Q・f 値が必要である。

本研究では、ε_rの異なる 2 種類の誘電体から成る複合誘電体共振子を、1 つの誘電体とみなした場合のε_rおよびQ・f値を、複合誘電体共振子の実効誘電率（ε_{r_eff}）および実効Q・f（Q・f_eff）値と表記する。

ここで、TM₀₁₀モード誘電体共振器のf₀に着目すると、2.2.1で述べたように f₀ は、εr 、およびキャビティと誘電体共振子の直径比により決まるため、複合誘電体共振器（ε_{r_eff}、Q・f_eff値）と単一誘電体共振器（ε_r、Q・f値）を比較した場合、

キャビティ直径かつ誘電体共振子の直径がそれぞれ同じであれば、これらの共振器のf0が同一のとき、ε_{r_eff}をε_rとみなすことができる。

また同様に、複合誘電体共振器と単一誘電共振器のf0,、ε_r（=ε_{r_eff}）、キャビティ直径、誘電体共振子の直径が同じで、かつQu値が同一であれば、Q・f_{_eff}値をQ・ f_値として扱うことができる

2.3 TM

₀₁₀

モード複合誘電体共振子の設計モード複合誘電体共振子の設計モード複合誘電体共振子の設計モード複合誘電体共振子の設計

本研究の目的は、700MHz~900MHz帯域において、εr=50～70かつ高Q・f値が要求される誘電体共振器を、複合誘電体共振子にて実現することである。

複合誘電体共振器のキャビティ寸法を、直径CD=40.0 mm、高さH=40.0 mmとし、複合誘電体共振子の構成に用いた誘電体素子の誘電特性を表1に示す。

2.3.1 誘電体共振素子誘電体共振素子の誘電体共振素子誘電体共振素子ののの εεεε

とととと f

₀

との関係との関係との関係との関係

キャビティと複合誘電体共振器の直径比および複合誘電体共振子と高ε_r誘電体素子の直径比に対する f0、並びに複合誘電体共振子を構成する誘電体素子の誘電特性に対するf0の関係について検討した。

表1に示す誘電体素子からEr25-Er45、Er45-Er75、Er75-Er90の組み合わせを選択し、高εr誘電体素子のIDと高Q・f値誘電体素子のODとの比およびキャビティのCDと複合誘電体共振子のOD(=高Q・f値誘電体素子の直径)との比に対するf0

のチャートを作成した。

図4はID/ODの値を0.3、0.5、0.7とした場合のCD/λを示し、太い実線は、複

合誘電体共振子の構成に用いた誘電体素子を単一誘電体共振器とした時の CD/λ を示す。CD/λはCDを共振波長λ(=c/f0、c：光の速度)で規格化した値である。

TM010モード誘電体共振器のf0は、2.2.1で述べた様にε_{r__eff}およびOD/CDによって決まるため、図中の線はε_{r__eff}も表すことができ、この値を図の上軸に示す。

また、図の右側には、誘電体素子の組み合わせにより調節可能なCD/λの範囲を示している。

複合誘電体共振器および複合誘電体共振子のCD/λはCD/OD及びID/ODにより

表1 誘電体共振子の誘電特性

Sample Er90 Er75 Er45 Er25

ε

90.0 75.0 45.0 25.0

Q ・ f (GHz) 5000 15000 45000 150000 Sample

Er90 Er75 Er45 Er25

ε

90.0 75.0 45.0 25.0

Q ・ f (GHz)

5000

15000

45000

150000

決定される。また図4から、700MHz~900MHz帯域（網掛け部）において、目標

のεr_eff=50～70 を満たす複合誘電体共振子は、Er45-Er73 の組み合わせで、最も

OD/CD比が自由度を持つことがわかる

2.3.2 f

₀

、、、、 Qu 値のチャート値のチャート値のチャート値のチャート

f₀=800 MHzにて、ε_r=50～70の複合誘電体共振子を設計することを目的とし、

以下Er75とEr45を組み合わせた複合誘電体共振子について検討する。

図5に、複合誘電体共振器のf₀に関するチャートとしてID/ODの値を0.0～1.0 とした場合のCD/λを示す。ID/OD=0.0 の太い実線は Er45 のみを用いた単一誘電体共振子のCD/λを、ID/OD=1.0はEr75を用いた場合である。

図6 に、複合誘電体共振器の Qu 値に関するチャートとして ID/ODの値を 0.1

～0.9とした場合のOD/CDに対するQu/（Q・f_eff）を示す。Qu/（Q・f_eff）はQu 値をQ・f_eff値で規格化した値である。Qu/(Q・f_eff)が1に近づくと、Qu値に対する導体損の影響が極めて小さくなり、Qu 値は誘電体の Q 値のみで表されることが示唆される。

2.3.3 f

₀

、、、、 Qu 値の設計値の設計値の設計値の設計

複合誘電体共振器子では、図5、図6 中に示す点線と各線の交点がf₀=800MHz 共振器が成立する条件を示しており、この中から最適な複合誘電体共振器の寸法

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

80 110 140 170

OD/CD

CD/

25 45

=90

0.3 0.5 0.7 ID/OD

ε^{r- eff}

Er45- Er25

Er75- Er45

Er90- Er75

図4 OD/CDに対するCD/λのチャート

を決定する。

図7は、複合誘電体共振器のキャビティ寸法を直径CD=40.0 mm、高さH=40.0 mmとした時、図6から算出した各共振周波数におけるQu値を示す。

目標のf₀=800MHz（CD/λ=107）複合誘電体共振器は、OD/CD=0.57、ID/OD＝0.70 においてQu値は最大になり、最適な複合誘電体共振子の寸法は、OD=22.80mm、

ID=15.96mmと求められる。

一方、図には、Er45のみを用いて作製した単一誘電体共振器のQu値（■）お

0.4 0.6 0.8

0.10 0.20 0.30 0.40

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

OD/CD Qu/(Q・f−eff)

CD/ =107λ ID/OD

0.9

図6 OD/CDに対するQu/(Q・f_eff)のチャート（Er75-Er45）

0.4 0.6 0.8 1

85 100 115 130

OD/CD

CD/

ID/OD=0.0 0.2

0.4

0.8 0.6

1.0

0.1

0.3

0.5

0.9 0.7

CD/ =107λ

図5 OD/CDに対するCD/λのチャート（Er75-Er45）

ドキュメント内 TMモードを用いた誘電体共振器に関する研究 (ページ 43-55)

第 2 章 複合誘電体共振器を用いた TM 010 モード誘電体共振器の研究

2.2 原理

2.2.1 TM 010 モード複合誘電体共振器の構造

Qc Qd

Qu

1 1

1 = +

Qd

Qd

Qd

1 1

1 = +

2.2.2 共振器構造と 共振器構造と 共振器構造と 共振器構造と f

,Qu 値の計算 値の計算 値の計算 値の計算

( )

( )

( )

( )

( )

( )

det H = 0

Q W

P P ω

= +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

2 σ σ ωµ

Rs =

2.2.3 複合誘電体共振子の実効誘電率（ 複合誘電体共振子の実効誘電率（ε 複合誘電体共振子の実効誘電率（ 複合誘電体共振子の実効誘電率（

）及び実効誘電 ）及び実効誘電 ）及び実効誘電 ）及び実効誘電

損失（

損失（

損失（

損失（ tan δ

） ） ） ）

2.3 TM

モード複合誘電体共振子の設計 モード複合誘電体共振子の設計 モード複合誘電体共振子の設計 モード複合誘電体共振子の設計

2.3.1 誘電体共振素子 誘電体共振素子の 誘電体共振素子 誘電体共振素子 の の の εεεε

と と と と f

との関係 との関係 との関係 との関係

Sample Er90 Er75 Er45 Er25

ε

90.0 75.0 45.0 25.0

Q ・ f (GHz) 5000 15000 45000 150000 Sample

Er90 Er75 Er45 Er25

ε

90.0 75.0 45.0 25.0

Q ・ f (GHz)

5000

15000

45000

150000

2.3.2 f

、 、 、 、 Qu 値のチャート 値のチャート 値のチャート 値のチャート

2.3.3 f

、 、 、 、 Qu 値の設計 値の設計 値の設計 値の設計

第 2 章複合誘電体共振器を用いた TM 010 モード誘電体共振器の研究

2.2.2 共振器構造と共振器構造と共振器構造と共振器構造と f

,Qu 値の計算値の計算値の計算値の計算

2.2.3 複合誘電体共振子の実効誘電率（複合誘電体共振子の実効誘電率（ε 複合誘電体共振子の実効誘電率（複合誘電体共振子の実効誘電率（

）及び実効誘電）及び実効誘電）及び実効誘電）及び実効誘電

））））

モード複合誘電体共振子の設計モード複合誘電体共振子の設計モード複合誘電体共振子の設計モード複合誘電体共振子の設計

2.3.1 誘電体共振素子誘電体共振素子の誘電体共振素子誘電体共振素子ののの εεεε

とととと f

との関係との関係との関係との関係

、、、、 Qu 値のチャート値のチャート値のチャート値のチャート

、、、、 Qu 値の設計値の設計値の設計値の設計