Schwarz の鏡像の原理 (Schwarz reflection principle)

Functions on One Complex Variables I, II, John B. Conway, Springer.

6.6.1 実軸を超えての拡張

この項では、A⊂Cに対して、

A^∗:={z∈C;z∈A}

とおく。すなわち、A^∗ はA を実軸に関して折り返した集合である。

A^∗=Aであるとき、A は実軸に関して対称である、と言うことにする。

命題 6.6.1 ΩはCの開集合、f: Ω→Cは正則とするとき、

Ω^∗ :={z∈C;z∈Ω}, とおき、f^∗: Ω^∗ →Cを

f(z) :=e f(z) (z∈Ω^∗) で定めると、f^∗ は正則である。

証明 c∈Ω^∗ とすると、c∈Ω. f はΩで正則だから、∃ε >0,∃{an}n≥0 s.t f(z) =

∑∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ (z∈D(c;ε)).

このとき、∀z∈D(c;ε) に対して、z∈D(c;ε) であるから、

f(z) =

∑∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ. ゆえに

f^∗(z) =f(z) =

∑∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ=

∑∞ n=0

a_n(z−c)ⁿ. ゆえに f^∗ は D(c;ε) で正則である。ゆえに f^∗ はΩ^∗ で正則である。

同様にu がΩ で調和ならば、u^∗(z) :=u(z) はΩ^∗ で調和である。

補題 6.6.2 ΩはCの領域で、Ω̸=∅, Ω^∗ = Ω (Ωは実軸に関して対称) とするとき、Ωは実軸の 開区間を含む。

証明 Ω∩R̸=∅^{である。実際、もしも} Ω∩R=∅ ^ならば、

Ω⁺:= Ω∩H⁺, Ω⁻:= Ω∩H⁻, H⁺:={z∈C; Imz >0}, H⁻:={z∈C; Imz <0} とするとき、

Ω = Ω⁺∪Ω⁻, Ω⁺∩Ω⁻=∅. これは Ωの連結性に矛盾する。ゆえにΩ∩R̸=∅.

x ∈ Ω∩R とすると、Ω が開集合であることから、∃ε > 0 s.t. D(x;ε) ⊂ Ω. このとき、I :=

(x−ε, x+ε) ={t∈R;x−ε < t < x+ε} ^{とおくと、}I ⊂Ω.

命題 6.6.3 ΩはCの領域で、Ω̸=∅, Ω^∗ = Ω (Ωは実軸に関して対称),f: Ω→Cは正則、実軸 上のある開区間でf は実数値を取るとする。このとき

f(z) =f(z) (z∈Ω).

証明 補題から、開区間I ⊂R が存在して、f(x)∈R (x∈I).

g(z) :=f(z)−f(z) (z∈Ω) とおくと、g はΩで正則であり、

g(x) = 0 (x∈I).

一致の定理から、g≡0 in Ω. ゆえに f(z) =f(z).

定理 6.6.4 (調和関数の鏡像の原理) Ω はCの領域で、Ω̸=∅, Ω^∗ = Ω (Ω は実軸に関して対称) とする。

Ω⁺:= Ω∩H⁺, Ω⁻:= Ω∩H⁻, H⁺:={z∈C; Imz >0}, H⁻:={z∈C; Imz <0}, σ:= Ω∩R

とおき、v: Ω^∗∪σ={z∈Ω; Imz≥0} →Rは連続で、

△v= 0 in Ω⁺, v= 0 onσ とするとき、

V(z) :=

{ v(z) (z∈Ω⁺∪σ)

−v(z) (z∈Ω⁻)

とおくと△V = 0 in Ω. すなわち実軸上で0 である調和関数は奇関数拡張で調和に拡張できる。

証明 △V = 0 in Ω⁻ は明らかである。x₀ ∈σ として、△V(x₀) = 0 を示そう。D(x₀;ε)⊂Ωとな るε >0 が取れる。

P_V(z) := 1 2π

∫

|z−x0|=ε

P_V は|z−x₀|< εで調和であるから、V −P_V はその円盤の上半分、下半分のそれぞれで調和である。

V −PV は円周上で0 である。円盤内の実軸上(⊂σ)では V =v= 0,また積分の対称性から PV = 0 であるから、V −P_V = 0. 調和関数の最大値原理から V −P_V は円盤の上半分、下半分で0に等しい。

ゆえに V =P_V. 特に △V(x₀) =△P_V(x₀) = 0.

余談 6.6.1 (調和関数の “偶関数拡張”, “奇関数拡張”) 上の話を実関数として見てみよう。良くやる ように、正則関数 f に対して、実部、虚部をそれぞれ u,v とおく。つまり

f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y), x, y, u(x, y), v(x, y)∈R.

このとき

f^∗(x+iy) =f(x−iy) =u(x,−y)−iv(x,−y).

u とv が調和ならば、u(x,−y) と−v(x,−y) も調和である。確かにそれは明らかだ。

u,v がΩ⁺∪σ で調和であるとするとき、

U(x, y) :=

{ u(x, y) ((x, y)∈Ω⁺∪σ) u(x,−y) ((x, y)∈Ω⁻), V(x, y) :=

{ v(x, y) ((x, y)∈Ω⁺∪σ)

−v(x,−y) ((x, y)∈Ω⁻)

とおく。まずU はΩで調和である。V は不連続かもしれない。連続であるためには V = 0 on σ

である必要がある。逆にこの条件が成り立っているとき、V はΩ で調和である。1変数実関数の偶関 数拡張、奇関数拡張の滑らかさの話に良く似ている。

上の定理の正則関数版。系としての証明と、Morera の定理を用いる証明と。

6.6.2 _{円弧を超えての拡張}

円に関する鏡像

複素平面内の円C: |z−a|=r を固定する。

円C に関して、z∈Cの鏡像 (鏡像点,鏡映点) がwであるとは、a,z,wが一直線上に並び、

|z−a| · |w−a|=r²

を満たすことを言う。z の鏡像w はz から一意的に定まる。以下、これをz^∗ と書くことにする。

(z^∗)^∗ =z が成り立つ。また、

zlim→az^∗ =∞, lim

z→∞z^∗ =a

が成り立つ。(気分的には「だから」)a の鏡像は∞,∞ ^の鏡像は aと定義する: a^∗ =∞, ∞^∗ =a.

Cb :=C∪ {∞}とする。R(z) :=z^∗ により、R:Cb →Cb が定まる。これは同相写像であり、R⁻¹=R.

z̸=aであれば、

(z^∗−a) (z−a) =r² が成り立つ。これから

z∈C ⇔ z^∗=z がすぐに分かる。

A⊂Cb が円 C に関して対称であるとは、

R(A) =A が成り立つことをいう。

命題 6.6.5 a∈C, r >0 とするとき、R:Cb →Cb を円C: |z−a|=r に関する鏡像とする。こ のとき、

S(z) :=a+ r²

z−a, T(z) :=a+ r² z−a とおくと、S はC\ {a}^で、T はC\ {a} ^{で正則で、}

R(z) =S(z) =T(z) (z∈C\ {a}).

円に関する Schwarz の鏡像の原理

前項の結果を、領域Ωが上半平面内に含まれ、実軸上の開区間σ が境界∂Ωの一部となっていると き、Ω で定義された正則関数の、下半平面への正則な拡張を保証する定理ととらえ、上半平面の代わ りに円 C の内部で置き換えた定理を考えよう。

C1 :={z∈C;|z−a1|=r1}, D1:={z∈C;|z−a1|< r1}, C₂ :={z∈C;|z−a₂|=r₂}, D₂:={z∈C;|z−a₂|< r₂}, Ω⊂D₁, σ :=∂Ω∩C₁ =C₁ or

{

a+r₁e^iθ;θ∈(α, β) }

, β−α≤2π f: Ω→C,

f(Ω)⊂D2, f(σ)⊂C2

とする。

f(z) :=e

{ f(z) (z∈Ω) R₂(f(R₁(z))) (z∈R₁(Ω))

Ω := Ωe ∪σ∪R1(Ω)はC1に関して対称な領域で、feはΩeで正則である。実際、正則関数S1:C\{a1} → C,T₂:C\ {a₂} →Cで、

R₁(z) =S₁(z), R₂(z) =T₂(z) を満たすものが存在する。

R2(f(R1(z))) =T2(f(S1(z))) であるから、fe|R1(Ω) は正則である。

ドキュメント内 exp z = (ページ 143-147)