図23: 将来価値分布IV(0, τ) (各RMBSの比較)
図24: 将来価値分布CV(τ, T) (各RMBSの比較)
図25: 将来価値分布F V(τ, T) (各RMBSの比較)
表11: 将来価値分布 (各RMBSの比較)
将来価値 F V(τ, T) CV(τ, T) IV(0, τ)
統計量 A(優) B(中) C(注) A(優) B(中) C(注) A(優) B(中) C(注) 最大値 107.146 109.647 113.104 99.872 103.070 106.894 7.410 6.819 6.543 中央値 105.777 108.378 111.733 99.248 102.303 105.935 6.572 6.075 5.794 最小値 82.601 83.624 83.723 77.328 78.473 79.094 5.265 5.151 4.630 平均 105.037 107.583 110.819 98.547 101.533 105.059 6.490 6.049 5.760
標準偏差 2.018 2.081 2.367 1.772 1.963 2.230 0.380 0.220 0.238
表12: 将来価値のリスク評価 (各RMBSの比較)
リスク量 F V(τ, T) CV(τ, T) IV(0, τ)
VaR A(優) B(中) C(注) A(優) B(中) C(注) A(優) B(中) C(注) 95.0% 4.066 4.217 4.776 3.582 3.947 4.494 0.724 0.408 0.460 99.0% 7.804 8.318 9.442 7.145 7.828 8.825 0.919 0.581 0.682 99.5% 9.265 9.829 11.243 8.613 9.333 10.652 0.976 0.644 0.755 ES A(優) B(中) C(注) A(優) B(中) C(注) A(優) B(中) C(注) 95.0% 6.308 6.627 7.562 5.715 6.305 7.166 0.847 0.516 0.594 99.0% 9.695 10.296 11.749 9.013 9.892 11.237 0.998 0.659 0.779 99.5% 10.821 11.516 13.146 10.126 11.107 12.617 1.051 0.714 0.839 最後に, 3つのRMBSをそれぞれ33.3%(1/3)の比率で保有したRMBSポートフォリオ
の将来価値とリスク量を,それぞれ図26,図27,図28,および表13, 表14に示す. 今回は 各RMBSのベースラインプリペイメント率g(t)を独立として数値計算を行ったが,g(t)を
共通の乱数で発生させた場合でも分布の形状やリスク量は殆ど変わらない結果となった. この理由としてはベースラインプリペイメント率g(t)が独立であったとしても実際に価格 に影響するのはプリペイメント率h(t)(g(t)を含む)の累積(時間積分)であり,ブラウン運 動を用いたKKMモデルでは各時点での増分は独立であることから, RMBS間のg(t)自体 の独立性の効果は小さくなるためであると考えられる.
図26: 将来価値分布IV(0, τ) (RMBSポートフォリオ)
図27: 将来価値分布CV(τ, T) (RMBSポートフォリオ)
図28: 将来価値分布F V(τ, T) (RMBSポートフォリオ)
表13: 将来価値分布 (RMBSポートフォリオ) 将来価値 ポートフォリオ(各保有比率: 33.3%)
統計量 F V(τ, T) CV(τ, T) IV(0, τ)
最大値 109.955 103.227 6.924
中央値 108.626 102.492 6.144
最小値 83.316 78.298 5.018
平均 107.813 101.713 6.100
標準偏差 2.152 1.987 0.274
表 14: 将来価値のリスク評価 (RMBSポートフォリオ) リスク量 ポートフォリオ(各保有比率: 33.3%)
VaR F V(τ, T) CV(τ, T) IV(0, τ)
95.0% 4.350 4.003 0.529
99.0% 8.514 7.971 0.720
99.5% 10.122 9.481 0.782
ES F V(τ, T) CV(τ, T) IV(0, τ)
95.0% 6.830 6.393 0.647
99.0% 10.579 10.046 0.803
99.5% 11.825 11.281 0.861
5. おわりに
本研究では,プリペイメント率を金利依存性とプリペイメント率が持つ独自の期間構造 という2つの要素で表現し, 現在の金利期間構造と整合的になるQG++モデルを用いた RMBSの価格付けモデル(黄ら(2017)[13]によるKKMモデル)を発展させ, Kijima and Muromachi(2000)[7]のフレームワークに基づいて,将来価値ベースでRMBSのリスク計 測を行うモデルを提案し, RMBS単体およびRMBSポートフォリオの数値例を示した.
RMBSは通常の債券と同様に扱うことは望ましくないことは定性的に指摘されてきた が, 数値例からもRMBSの特性であるプリペイメントの有無によって将来価値やリスク 量が異なることが示された. また,プリペイメント率の金利依存性の程度により将来価値 もリスク量も変化することも分かったが,今回の数値例ではあまり大きな差ではなかった. しかし,これは低金利環境に合わせて金利のボラティリティを小さく設定したためであり, もう少し金利が高く,ボラティリティも高くなる状況下では金利依存性についてより詳細 に考慮する必要があると考えられる.
今回の数値計算で扱ったパラメータは架空のRMBSであるため,実際のRMBSの市場 価格とプリペイメント率の観測データを併用した実証分析や具体的なパラメータ推定,そ れら踏まえた現状のデータを反映させたRMBSの価格付けやリスク評価は今後の重要な 研究課題である.
また,本研究で提案したリスク計測モデルはRMBSだけでなく,中途解約を考慮すべき 投資商品や貯蓄性のある保険商品など,将来キャッシュフローに深く関連するリスクファ クターが独自の期間構造および金利依存性を持つ商品のリスク評価のためのモデルとして 適用可能であり,それらの方面での応用も今後の課題であると思われる.
Appendix A. QG++ モデルにおけるフロアレット価格
時刻tにおける期間[Ti, Ti + ∆Ti], t ≤ Ti < Ti+1 のフォワード金利をL(t, Ti,∆Ti),
∆Ti=Ti+1−Tiとすると,
1 +L(Ti, Ti,∆Ti)∆Ti = 1 v(Ti, Ti+1) なので,フロアレートをKとするフロアレット価格は, Pf loorlet(t, Ti, Ti+1, K) = EQt
[ e−
∫Ti+1
t r(s)ds(K−L(Ti, Ti,∆Tt))+∆Ti
]
= EQt [
e−∫tTi+1r(s)ds (
1 +K∆Ti− 1 P(Ti, Ti+1)
)+]
= EQt [
e−∫tTir(s)ds (
1 +K∆Ti− 1 P(Ti, Ti+1)
)+
P(Ti, Ti+1) ]
= (1 +K∆Ti)EtQ [
e−∫tTir(s)ds (
P(Ti, Ti+1)− 1 1 +K∆Ti)
)+]
= (1 +K∆Ti)Pcall (
t, Ti, Ti+1, 1 1 +K∆Ti
)
(61) と書ける. ただし, t ≤ T ≤ τ においてPcall(t, T, τ, K)は満期τ の割引債の上に書か れた満期T, 行使価格Kのヨーロピアンコールオプションの時刻tにおける価格であり, Pellser[11](1997)より,
Pcall(t, T, τ, K;x(t)) =P(t, τ;x(t)){N(h1)−N(ℓ1)} −P(t, τ;x(t))K{N(h2)−N(ℓ2)} で与えられる. ただしN(·)は標準正規分布の分布関数で,詳細は以下の通りである:
ℓ1 = ℓ(T, τ, K(T, τ))− χ(t,T,τ,x(t)) ω(t,T,τ)
√ Σ(t,T) ω(t,T,τ)
, ℓ2 = ℓ(T, τ, K(T, τ))−µx(t, T, x(t))
√Σ(t, T) ,
h1 = h(T, τ, K(T, τ))−χ(t,T,τ,x(t)) ω(t,T,τ)
√ Σ(t,T) ω(t,T,τ)
, h2 = h(T, τ, K(T, τ))−µx(t, T, x(t))
√Σ(t, T) ,
ℓ(t1, t2, a) = −BQ(t1, t2)−√
d(t1, t2, a)
2CQ(t1, t2) , h(t1, t2, a) = −BQ(t1, t2) +√
d(t1, t2, a) 2CQ(t1, t2) , K(t, T) = Kexp
{∫ T
t
ϕ(s)ds }
, d(t1, t2, a) =BQ2(t1, t2) + 4CQ(t1.t2){AQ(t1, t2)−loga}, Σ(t, T) = σ2CQ(t, T), ω(t, T, τ) = 1 +CQ(T, τ)Σ(t, T),
µx(t, T, x(t)) = x(t)F(t, T)−I(t, T), χ(t, T, τ, x(t)) =µx(t, T, x(t))−BQ(T, τ)Σ(t, T), I(t, T) = σ2
[BQ(t, T)
F(t, T) CQ(t, T) + α
γ2(2−A9(t, T)) + β
γ2(2T−tA9(t, T))− β
γ3A8(t, T) ]
,
A8(t, T) = eγ(T−t)−e−γ(T−t)= 2sinh(γ(T−t)), A9(t, T) = eγ(T−t)+ e−γ(T−t)= 2cosh(γ(T−t)).
謝辞
本研究を遂行するにあたり,指導教員として丁寧かつ熱心なご指導をして下さった室町幸 雄教授に心より感謝致します. モデルを構築する上で注意すべき事項を多く学べ, 今後の 大きな財産となりました. また,副査として的確なコメントやアドバイスを頂きました足 立高徳教授,竹原浩太准教授,八木恭子准教授にも心から感謝申し上げます. 最後に,日常 の有益な議論を通じて多くの知識や示唆を頂いた首都大学東京大学院ファイナンスプログ ラム(MF)の皆様に大変深く感謝しております. この場を借りて感謝の意を表したい.
参考文献
[1] Acerbi, C., C. Nordio and C. Sirtori (2001), Expected shortfall as a tool for financial risk management, Working Paper.
[2] Acerbi, C. and D. Tasche (2002), On the coherence of expected shortfall, Journal of Banking and Finance,26, 1487-1503.
[3] Artzner, P.,F. Delbaen, J. M. Eber and D. Hearth (1999), Coherent measure of risk, Mathematical Finance,9, 203-228
[4] Brigo, D. and F. Mercurio (2006),Interest Rate Models - Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit, Springer-Verlag, 2nd Edition.
[5] Collin-Dufresne, P. and J.P. Harding (1999), A closed form formula for valuing mortgages, Journal of Real Estate Finance and Economics,19 (2), 133-146.
[6] Hull, J. and A. White (1990), Pricing interest-rate-derivative securities., Review of Financial Studies,3, 573-592.
[7] Kijima, M. and Y. Muromachi (2000), Evaluation of credit risk of a portfolio with stochastic interest rate and default processes, Journal of Risk,3, 5-36.
[8] Kijima, M., Y. Suzuki and Y. Tamba (2014), Risk evaluation of mortgage-loan portfolios in a low interest rate environment, Journal of Risk,16(5), 3-37.
[9] Kijima, M., K. Tanaka and T. Wong (2009), Yield Spread Options under the DLG Model, inModelling Interest Rates, Risk Books, 43-71.
[10] Kolbe, A. (2007), Valuation of Mortgage Products with Stochastic Prepayment -Intensity Models, Doctoral Dissertation, Technische Universit¨at M¨unchen.
[11] Pelsser, A. (1997), A tractable yield-curve model that guarantees positive interest rates, Review of Derivatives Research,1, 269-284.
[12] 岸田則生，高山靖敏，室町幸雄(2013),「期限前償還リスクの期間構造と金利依存性 を考慮したRMBSの価格付け」, 『日本オペレーションズ・リサーチ学会和文論文 誌』,56, 53-75.