K 理論

【定義 5.1 (K群)】   空間X上のF-ベクトル束の同値類全体の作る

可換半群V_F(X)に対して，そのGrothendiek可換群をK群といい，

K_F(X)と表す．K_F(X)の元は仮想束と呼ばれる．特に，F =Cお よびF =Rのとき，KF(X)をそれぞれK(X)，KO(X)と表す．

【命題 5.2】  コンパクト空間XのK群K_F(X)について次の性質が 成り立つ：

i) K_F(X)は束の直和⊕とテンソル積⊗により可換環となり，KF は

（コンパクト）位相空間の圏から可換環の圏への反変関手となる．

ii) K_F(X)の任意の元は適当なベクトル束V と自明なN 次元ベクトル 束θ^N_F (N ≥0)を用いて，[V]−[θ_F^N]と表される．

iii) K_F(X)において[V]−[W] = 0となるための必要十分条件は，適 当な自明ベクトル束θ_F^N に対してV ⊕θ^N_F ∼=W ⊕θ^N_F となることで ある．

【定義 5.3 (簡約Ｋ群)】   Xを基点ptを持つ空間として，制限写像

K_F(X)→K_F(pt)∼=Zの核を簡約K群と呼び，K˜_F(X)と表す．

【定義 5.4(安定同値)】   位相空間X上の２つのベクトル束V，Wに

対して，２つの自明なベクトル束θ^m, θⁿが存在してV ⊕θ^m ∼=W⊕θⁿ となるとき，V とWは安定同値であるという．

【命題 5.5】  コンパクト空間Xの簡約K群K˜_F(X)について次の性 質が成り立つ：

i) ˜K_F(X)はK_F(X)から誘導される和と積により可換環となり，K˜_F は（コンパクト）位相空間の圏から可換環の圏への反変関手となる．

ii) ˜KF(X)の任意の元は，適当なベクトル束V とV と同じ次元Nの自 明なベクトル束θ_F^N(N ≥0)を用いて，[V]−[θ^N_F]と表される．

iii) ˜K_F(X)において[V] = [W]となるための必要十分条件は，V とW が安定同値となることである．特に，K˜_F(X)とX上のF-ベクトル 束の安定同値類全体の集合は一対一に対応する．

【定義 5.6 (相対K群)】   空間Xとその空でない閉部分空間Y の組 に対して，相対Ｋ群K_F(X, Y)を

K_F(X, Y) := ˜K_F(X/Y)

により定義する．ただし，X/Y の基点をY とする．Y =∅ に対し ては

K_F(X,∅) :=K_F(X)

と定義する．

【定義 5.7 (L群)】   位相空間対(X, A)(AはXの閉部分空間)に 対して，X 上のベクトル束V₀, V₁ とそのAへの制限の間の束写像 σ :V₀|A→ V₁|A の組V = (V₀, V₁;σ)からなる集合をL(X, A)とす る．L(X, A)の２つの元V,Vは，束同型φ_i : V_i → V_iでφ₁◦σ = σ◦φ₀となるとき同値といい，V ∼= Vと表す．L(X, A) は束の直 和から誘導される和により自然に可換半群となる．L(X, A) の元 E = (E₀, E₁;σ)は，E₀ = E₁かつσ = idのとき要素的であるとい う．さらに，L(X, A)の２つの元V,Vに対して，適当な要素的元 E,Eが存在して

V ⊕E ∼=V⊕E

となるとき，同値とする．この同値関係によるL(X, A)の同値類 [V₀, V₁;σ]の集合をL(X, A)と表す．L(X, A)は可換群である．

【命題 5.8】  A=∅のとき，

χ([V₀, V₁]) = [V₀]−[V₁]

となる，関手の間の同値変換χ:L(X, A)→K(X, A)が一意的に存 在する．具体的には，一般のV = [V₀, V₁;σ] ∈ L(X, A)に対して，

χ(V)は次のように構成される．X₀ =X×0, X₁ =X×1をXのコ ピーとして，

[ ˜V]−[θ^N] = [V₀∪σV₁]−[V₁∪_idV₁]∈K(X₀∪AX₁)

を作ると，この元のX =X₀への制限はK(X)でゼロとなる．これ より，V˜ はX₁上で自明束安定同値となり，K(X/A)の元χ(V) を

一意的に決定する．

【定義 5.9】  X, Y を位相空間，p_X :X×Y →X, p_Y :X×Y →Y を 標準射影とする．このとき，a⊗b ∈K(X)⊗K(Y)にp^∗_X(a)p^∗_Y(b)∈ K(X ×Y)を対応させることにより定義される群準同型K(X) ⊗ K(Y)→K(X×Y)をK群のクロス積という．これは，部分集合に 制限することにより，K˜ 群のクロス積K(X)˜ ⊗K(Y˜ )→K(X˜ ×Y)

を誘導する．

【命題 5.10】  X, Y を基点付き空間とするとき，そのブーケX∨Y およびスマッシュ積X∧Y に対して次が成り立つ：

i) 包含写像i: X∨Y ⊂X×Y および射影p: X×Y → X∧Y は次 の完全列を誘導する：

0→K(X˜ ∧Y)−→^p∗ K(X˜ ×Y)−→^i∗ K(X˜ ∨Y)→0.

ii) クロス積とi^∗の結合

K(X)˜ ⊗K˜(Y)→K(X˜ ×Y)−→^i∗ K(X˜ ∨Y) はゼロ写像である．

【定義 5.11 (K群のカップ積)】   上の命題より誘導される写像 K(X)˜ ⊗K(Y˜ )→K(X˜ ∧Y)

を簡約K群のカップ積と呼ぶ．さらに，２つの空間対(X, A)，(Y, B) に対してK˜ 群のカップ積

K(X/A)˜ ⊗K(Y /B)˜ →K((X/A)˜ ∧(Y /B)) = ˜K((X×Y)/(X×B)∪(A×Y)) から誘導される写像

K(X, A)⊗K(Y, B)→K(X×Y,(X×B)∪(A×Y))

を相対K群のカップ積という．

【定義 5.12 (次数付きK群)】   iを非負整数として，基点を持つコ

ンパクト空間Xに対して，

K˜⁻ⁱ(X) := ˜K(Sⁱ∧X), コンパクト空間対(X, Y)に対して，

K⁻ⁱ(X, Y) := ˜K⁻ⁱ(X/Y),

基点を持たないコンパクト空間Xに対して，X⁺ = (X,∗)(∗は仮想 基点），ptをSⁱの基点として

K⁻ⁱ(X)≡K⁻ⁱ(X,∅) := ˜K⁻ⁱ(X⁺) =K(Sⁱ×X,pt×X) と定義する．特に，

K⁻ⁱ(pt) = ˜K(Sⁱ)

である．

【命題 5.13】  位相空間X, Y と非負整数i, jに対して，簡約K群の カップ積

K(S˜ ⁱ∧X)⊗K(S˜ ^j∧Y)→K((S˜ ⁱ∧X)∧(S^j ∧Y)) は次数付き簡約K群のカップ積

K˜⁻ⁱ(X)⊗K˜^−j(Y)→K˜^−i−j(X∧Y)

を誘導する．この積により，K^∗(pt)は次数付き環となる．また，K^∗(X) は次数付きK^∗(pt)-加群となる．

【定理 5.14 (Bottの周期性定理：複素K群)】  

i) 環K^−∗(pt)はξ ∈ K⁻²(pt) ∼= ˜K(S²)を生成元とする多項式環に同 型である：

K^−∗(pt)∼=Z[ξ].

ii) (X, A)を任意のコンパクトHausdorff空間対とする．このとき，ξ

によるカップ積から誘導される準同型

μ_ξ :K⁻ⁱ(X, A)→K⁻ⁱ⁻²(X, A) は任意の非負整数iに対して同型となる．

【定理 5.15 (Bottの周期性定理：実K群)】  

i) 環KO^−∗(pt)は，

η∈KO⁻¹(pt), y∈KO⁻⁴(pt), x∈ KO⁻⁸(pt), として，

KO^−∗(pt)∼=Z[η, y, x]/ <2η, η³, ηy, y²−4x > .

ii) (X, A)を任意のコンパクトHausdorff空間対とする．このとき，x によるカップ積から誘導される準同型

μ_x :KO⁻ⁱ(X, A)→KO⁻ⁱ⁻⁸(X, A) は任意の非負整数iに対して同型となる．

【定義 5.16 (コンパクト台のK群)】   局所コンパクト空間Xに対し

て，X⁺をXの一点コンパクト化X⁺ = X∪ {pt}として，Xのコ ンパクト台のK群を

K_cpt(X) := ˜K(X⁺), K_cpt⁻ⁱ(X) :=K_cpt(X×Rⁱ)

で定義する．また，空間対(X, A)(Aは閉集合)に対して，コンパク ト台の相対K群を

K_cpt⁻ⁱ :=K_cpt((X−A)×Rⁱ)

により定義する．

【定理 5.17 (K_cptに対するBottの周期性定理)】   任意の局所コン パクト空間Xに対して，次の関係が成り立つ：

K_cpt(X)∼=K_cpt(X×C), KO_cpt(X)∼=KO_cpt(X×R⁸).

この同型は，それぞれξ ∈ K_cpt(C) ∼= ˜K(S²)，x ∈ KO_cpt(R⁸) ∼= KO(S˜ ⁸)とのカップ積により誘導される．

【命題5.18】  W =W⁰⊕W¹をZ₂次数付きC−C_n加群，E_k =Dⁿ× W^k をn次元球体Dⁿ(⊂Cn)上の自明なベクトル束，μ:E₀|Sⁿ⁻¹ → E₁|Sⁿ⁻¹(Sⁿ⁻¹ =∂Dⁿ)を同型μ(u, w) = (u, u·w)(|u|= 1)として，

φ(W) := [E₀, E₁;μ]∈K(Dⁿ, Sⁿ⁻¹)

とおくと，φはZ2次数付きC−C_n加群のGrothendieck環からK 群への準同型

φ :Mˆn^C →K(Dⁿ, Sⁿ⁻¹)

を与える．このとき，包含写像i : Rⁿ → Rⁿ⁺¹ から誘導される Grothendieck 環の準同型i^∗ : Mˆn^C+1 → Mˆn^C に対して，i∗◦φ = 0 となる．よって，φは準同型

φ_n:Mˆn^C/i^∗Mˆn^C+1→K(Dⁿ, Sⁿ⁻¹)∼=K⁻ⁿ(pt)

を与える．同様に，Z2次数付きClifford加群の実表現環に対して φ_n :Mˆn/i^∗Mˆn+1→KO(Dⁿ, Sⁿ⁻¹)∼=KO⁻ⁿ(pt)

が定義される．ここで，

Mˆ_n^C/i^∗Mˆ_n^C₊₁ ∼=M_n^C₋₁/i^∗M_n^C ∼=

Z n: even 0 n: odd および

Mˆn/i^∗Mˆn+1 ∼=Mn−1/i^∗Mn∼=

⎧⎪

⎨

⎪⎩

Z n≡0,4(mod8) Z2 n≡1,2(mod8)

0 他の場合

が成り立つ．

【定理 5.19 (Atiyah-Bott-Shapiro同型)】   次の次数付き環としての 同型が成り立つ：

φ_∗ :Mˆ_∗^C/i^∗Mˆ_∗+1^C −→^∼= K^−∗(pt), φ_∗ :Mˆ_∗/i^∗Mˆ_∗+1 −→^∼= KO^−∗(pt)