単連結コンパクト５次元スピン多様体の微分同相類の決定[Smale S (1962)]
2連結コンパクトC∞６次元多様体の微分同相類の決定 [Smale S (1962)]
1963 n−1連結2n次元多様体の微分同相類の決定[Wall CTC (1962)]
• n−1連結2n+ 1次元多様体の微分同相類の決定[Tamura I(1963), Wall CTC (1963)]
手術手法の開発[Kervaire MA and Milnor JW (1963)]
Atiyah-Singerの指数定理[Atiyah and Singer (1963)]
1981 4次元Poincare予想の解決[Freedman MH(1982)]
1982 R4の異なる微分構造の存在[Donaldson SK (1983)]
1985 Donaldson多項式[Donaldson SK]
1987 4次元h同境定理の反例[Donaldson SK]
【定理 4.2】 M をn次元C∞多様体とするとき，M 上にMorse関
数が存在する．
【定義 4.3 (多様体の三つ組み)】
1. WをコンパクトなC∞多様体として（連結でなくてもよい），その 境界∂W（空集合でもよい）を連結成分の和集合で表される２成分 V0, V1の分解する：
∂W =V0∪V1, V0 ∩V1 =∅. このとき，(W;V0, V1)をC∞多様体の三つ組という．
2. C∞多様体の三つ組み(W;V0, V1)上のMorse関数が次の条件を満た すとき，fを(W;V0, V1)に適合するMorse関数という：
i) f(W) = [a, b] (a < b).
ii) V0 =∅のとき，V0 =f−1(a)．V1 =∅のとき，V1 =f−1(b)．
【定理 4.4】 C∞多様体の三つ組み(W;V0, V1)に対して，それに適
合するMorse関数が常に存在する．
4.3 5 次元以上の多様体
4.3.1 h同境定理
【定理 4.5 (h同境定理)】 Wnをコンパクトなn次元C∞多様体，
(Wn;V0, V1)をC∞多様体の３つ組とするとき，この３つ組が次の３ 条件を満たしていれば，Wn =V0×Iが成り立つ．特に，V0 =V1で ある．
i) Wn, V0, V1はすべて連結かつ単連結である．
ii) n≥6.
iii) Hq(Wn, V0) = 0 (q= 0,1,2,· · ·).
【定義 4.6(h同境)】 n次元閉（可微分）多様体V, Vが同境V∪V =
∂Wn+1でかつ，包含写像V → Wn+1，V → Wn+1が共にホモト ピー同値写像となるとき，V とVはh同境であるという．このと
き，H∗(Wn+1, V) = 0が成り立つ．
【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh同境定理)】 V, Vを連結かつ単 連結な閉じたn次元C∞多様体とする．もしも，n≥5であってV と Vがh同境ならば，V とVはC∞同相である．[Smale, S.: On the structure of manifolds, Amer. J. Math. 8, 387-399 (1962); Smale, S.: Lectures onh-cobordism theorem,Princeton Univ. Press (1965)]
[田村一郎：微分位相幾何学]
【定理 4.8 (Kirby-Siebenmann:位相多様体のh同境定理)】 V, V を連結で単連結なn次元位相多様体とする．n ≥ 5でV とV が h同境なら，V とVは同相である．[Kirby, R.C. and Siebenmann, L.C.: Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations, Ann. Math. Studies 88, Princeton (1977)]
4.3.2 Poincare予想
【定理 4.9 (Stallings 1960; Zeeman 1961)】 Mnを次元n ≥ 5の 有限単体複体でSnと同じホモトピー型をもち，局所的にEuclid空 間とPL同型であるとする．このとき，MnはSnと同相で，１点以 外ではPL同型となる同相写像が存在する．[Stallings J 1960[Sta60];
Zeeman CW 1961[?, ?]]
【定理 4.10 (Smale 1960)】 Wnを連結でコンパクトなn次元C∞ 多様体とする．このとき，次の３条件が満たされればWnはn次元 球体DnとC∞同相である：
i) n≥6.
ii) Wnは単連結で，Hq(Wn) =Hq(Dn)(q= 0,1,· · ·).
iii) ∂Wnは単連結．
【定理 4.11】 Mnを連結かつ単連結で，Snと同じホモロジーをも つn次元C∞多様体とする．もし，n = 5または6ならば，コンパ クトで可縮なn+ 1次元C∞多様体Wn+1で∂Wn+1 =Mnとなるも
のが存在する．
【定理 4.12 (n ≥5に対する一般化されたPoincare予想[Smale])】 Mnは連結で単連結な閉じたn次元C∞多様体で，Snと同じホモロ ジー群をもつとする．もし，n ≥ 5ならMnはSnとC0 同相であ る．特に，n= 5,6ならMnはSnとC∞同相である．[Smale S 1960,
1961[Sma60, Sma61]]
【定理 4.13】 W5を連結でコンパクトな5次元C∞多様体とする．
このとき，次の２条件が満たされればW5は5次元球体D5とC∞同 相である：
i) W5は単連結で，Hq(W5) =Hq(D5)(q= 0,1,· · ·).
ii) ∂W5はS4とC∞同相．
【定理4.14(Schoenfliesの定理)】 f :Sn−1 →SnをC∞埋め込みとす と，f(Sn−1)はSnを２つの連結成分に分ける：Sn−f(Sn−1) =A1∪A2． もし，n ≥ 5なら，M1 = A1∪f(Sn−1)とM2 ∪f(Sn−1)は共にDn
にC∞同相である．
4.4 ４次元多様体
4.4.1 基本事項
【定義4.15(整係数ユニモジュラー対称２次形式)】 Q:Zm×Zm →Z を整数係数ユニモジュラー対称２次形式とする．
1) 任意のv ∈Zmに対してQ(v, v)≡0(mod2)が成り立つときQはII 型，II型でないときI型という．
2) Qの正固有値の数と負固有値の差を符号数(signature)という．
【命題 4.16 (整係数ユニモジュラー対称２次形式の性質)】 Qを整
係数ユニモジュラー対称２次形式とするとき次の命題が成り立つ：
1) QがII型なら，その符号数は８の倍数である．
2) QがII型で不定値なら，Qはいくつかの(1)と(−1)の直和に同型 である．
3) QがI型で不定値なら，QはいくつかのE8と(0 11 0)の直和に同型で ある．
4) 正定値ないし負定値で既約な整係数ユニモジュラー対称２次形式の 同型類は無限個ある．
4.4.2 Rokhlinの定理
【定理 4.17 (古典的Rokhlinの定理)】 向きのついた4次元C∞閉多 様体がスピン多様体であれば，その符号数は16で割り切れる．
【定理 4.18】 E8を交点形式として持つ単連結な４次元C∞閉多様
体は存在しない．
4.4.3 ４次元位相多様体の分類
【定理 4.19 (ホモトピー類[Milnor (1956)])】 単連結４次元閉多様 体M, Nがホモトピー同値であることと，交点形式が同型であるこ
とは同値である．
【定理 4.20 ([Wall(1964)])】 単連結４次元閉多様体M, Nがホモト ピー同値なら，h同境である．また，MとN がh同境なら，ある自 然数kが存在して，M k(S2×S2)≈N k(S2×S2)となる．
【定理 4.21 (Freedmanの定理[Freedman (1982)])】 Cassonハンド ルはD2×R2に同相である．
【定理 4.22(４次元位相h同境定理[Freedman])】 Nを5次元境界付き 単連結コンパクト位相多様体，∂N =M+∪M−，M+∩M−=∅，M± は単連結，H∗(M−;Z)→H∗(N;Z)が同型とすると，NはM−×[0,1]
に同相である．[Freedman, M.H.: The topology of 4-dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17 (1982), 357-453.]
【定理 4.23 (固有h同境定理[Freedman(1982)])】 単連結４次元閉 C∞多様体M, Nがh同境なら，それらは同相である．
【定理 4.24(４次元Poincare予想の解決[Freedman (1982))】 ]S4に ホモトピー同値な４次元位相多様体はS4に同相である．[Freedman, M.H.: The topology of 4-dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17
(1982), 357-453.]
【注 4.25 (４次元異種球面)】 4次元異種球面が存在するかどうか
は不明である．
【定理4.26(Freedman-Quinnの定理[Freedman (1982), Quinn (1982)])】 任意のユニモジュラー２次形式に対して，それを交叉形式とする 単連結で閉じた４次元位相多様体が存在する．さらに，単連結閉４ 次元位相多様体Xに対して，ks(X) ∈ H4(X;Z2)をそのKirby − Siebenmann類とするとき，次が成り立つ：
i) ks(X)と交叉形式で単連結閉４次元位相多様体の同相類が一意的に 決まる．
ii) ks(X) = 0とX×S1が可微分構造を持つことは同値である．
iii) 交叉形式がI型の時，与えられた交叉形式に対して，ks(X) = 0,1 となる２つの位相多様体が存在する．
iv) 交叉形式がII型の時，ks(X)の値は交叉形式の符号数の1/8倍とな り，単連結閉４次元位相多様体の同相類が交叉形式のみで一意的に 決まる．
[Freedman, M.H. and Quinn, F.: Topology of 4-manifolds, Princeton
Math. Ser. 39, Princeton, 1990]
4.4.4 Donaldson理論
【定理 4.27 (Donaldsonの定理[Donaldson(1983,1987)])】 閉じた ４次元C∞多様体の交点形式bが負定値ならば，b∼= (−1)⊕(−1)⊕
· · · ⊕(−1). bが正定値の場合についても同様の結果が成り立つ．
【定理 4.28 (Donaldson(1983), Taubes(1986))】 R4に同相であるが 微分同相でない４次元C∞多様体が非可算個存在する．（４次元以外 では存在しない[Kirby and Siebermann (1977), Moise(1952)]