Hawking 輻射と gravitational anomaly

この節ではgravitational anomaly^の方法[10, 11]^{のレビューを行う。}

次の形の計量を考えよう。

ds²=−f(r)dt²+ 1

f(r)dr²+r²dΩ²_D−2 . (3.3.1) ホライズンの位置をr = r_H としよう。そこではf(r_H) = 0となる。surface gravity^は式 (2.1.42)^より、κ=f⁰(r_H)/2と書かれる。まず、この時空上のスカラー場はホライズン近傍 で2次元の理論に帰着できることを示そう。スカラー場の作用は

S[ϕ] =1 2

Z

d^Dx√

−g ϕ∇²ϕ

=1 2

Z

d^Dx r^D−2√ γϕ

µ

−1

f∂_t²+ 1

r^D−2∂_rr^D−2f ∂_r+ 1 r²∆_Ω

¶ ϕ ,

(3.3.2)

である。ここでγ はdΩ²_D−2 のdeterminant^で∆_Ω は∇²の角度微分の項である。ここで、

r→r_H の極限をとってdominant term^{だけを残すと} S[ϕ] =r_H^D−2

2 Z

d^Dx√ γ ϕ

µ

−1

f∂_t²+∂_rf ∂_r

¶ ϕ

=X

n

r_H^D−2 2

Z

dtdr ϕ_n µ

−1

f∂_t²+∂_rf ∂_r

¶ ϕ_n

(3.3.3)

となる。2^{行目において}ϕを(D−2)次元球面調和関数で展開した。この作用は ds² =−f(r)dt²+ 1

f(r)dr² . (3.3.4)

上の無限個のスカラー場の作用の足し上げになっている。このようにして、D次元ブラック ホール時空上のスカラー場の理論が2次元の理論に帰着できることが分かった。

この2次元の観点で、ブラックホールホライズンを時空の境界と考えよう。ホライズン近

傍のingoing modeはホライズンの外側のスカラー場のダイナミクスに影響を与えないので、

ホライズンの外側だけの理論を考えるとすればこのingoing modeは無視して良いだろう。

この片方向に走る粒子しか存在しない理論をカイラルな理論という。ホライズンの外側の領 域を二つに分けよう。r_H ≤r≤r_H+²を理論がカイラルな領域、r_H+²≤rをカイラルでな い領域とする。最終的には²→0とする。2次元のカイラルな理論においてはgravitational

anomalyが存在することが知られており、そのアノマリー方程式は[14, 15, 16]

∇_µT^µ_ν =− 1 96π√

−g²^βδ∂_δ∂_αΓ^α_νβ , (3.3.5) で与えられる。ここで²⁰¹= +1である。A_ν とN^µ_ν を次のように定義しよう。

∇_µT^µ_ν ≡A_ν ≡ 1

√−g∂_µN^µ_ν . (3.3.6)

r_H +²≤rの領域では、A_ν =N^µ_ν = 0であるが、r_H ≤r≤r_H +²の領域では、

N^t_t=N^r_r= 0 , N^r_t=− 1

192π(f⁰²+f⁰⁰f) , N^t_r =− 1

192πf²(f⁰²−f⁰⁰f),

(3.3.7)

A_t=− 1

192π(f⁰²+f⁰⁰f)⁰ ,

A_r= 0 , (3.3.8)

となる。ここで⁰ ≡∂_rである。スカラー場を経路積分して得られるeective action^は W[g_µν] =−iln

µZ

Dφ e^{iS[φ, gµν]}

¶

(3.3.9) である。ここでS[φ, g_µν]は古典作用である。無限小一般座標変換

x^µ−→x^µ−λ^µ (3.3.10)

をeective action^{に行うと、}

−δ_λW = Z

d²x√

−g λ^ν∇_µ{T_(H)^µ_νH(r) +T_(o)^µ_νΘ₊(r)}

= Z

d²x λ^t{∂_r(N^r_tH) + (T_(o)^r_t−T_(H)^r_t+N^r_t)δ(r−r_H −²)}

+ Z

d²x λ^r(T_(o)^r_r−T_(H)^r_r)δ(r−r_H−²) ,

(3.3.11)

となる。ここでΘ₊(r) = Θ(r−r_H −²),H(r) = 1−Θ₊(r)である。添え字のHとoはそ れぞれr_H ≤r ≤r_H +²,r_H +²≤rでの値であることを表している。上の最終表式を得る ためにT_(o)^µ_νは保存し、T_(H)^µ_νはアノマリー方程式(3.3.5)^{に従うことを用いた。}T_(H)^µ_νと T_(o)^µ_ν が時間に依らないことを考慮に入れると式(3.3.6)は積分できてしまって、

T^t_t=−K+Q

f −B(r)

f −I(r)

f +T^α_α(r) , T^r_r = K+Q

f +B(r)

f + I(r) f , T^r_t=−K+C(r) =−f²T^t_r ,

(3.3.12)

となる[17]^。ここでT はT_(H)もしくはT_(o)を表している。また、

C(r)≡ Z _r

rH

A_t(r⁰)dr⁰ , B(r)≡

Z _r

rH

f(r⁰)A_r(r⁰)dr⁰ , I(r)≡ 1

2 Z _r

rH

T^α_α(r⁰)f⁰(r⁰)dr⁰ ,

(3.3.13)

でありKとQは積分定数である。この定数をr_H ≤r≤r_H +²ではK_H, Q_H、r_H +²≤r ではK_o, Q_oと表すことにする。式(3.3.8)^からB(r) = 0である。さらにr →r_H,^の極限で は、C(r)→0,I(r)/f → ¹₂T^α_α(r_H)となるので式(3.3.12)^{はこの極限で}

T^t_t=−K+Q f +1

2T^α_α(r) , T^r_r = K+Q

f +1

2T^α_α(r) , T^r_t=−K=−f²T^t_r .

(3.3.14)

となる。4^つの定数K_H,K_o,Q_H,Q_oはgravitational anomalyが消えるという条件から決 める。式(3.3.14)^を式(3.3.11)^代入して²→0の極限をとると

−δ_λW = Z

d²x λ^t{∂_r(N^r_tH) + (−K_H+K_o+N^r_t)δ(r−r_H)}

+ Z

d²x λ^rK_H+Q_H−K_o−Q_o

f δ(r−r_H) .

(3.3.15)

が得られる。一般座標変換不変性を保つためには、上の変分は消えなければならない。第1 項目はδ関数の項によって消すことはできないので、ingoing mode^{の量子効果で消えてい} るはずである。よって第1^{項目は無視しよう。第}2^項目と3項目が消えるという条件から

K_o =K_H−Φ,

Q_o =Q_H + Φ, (3.3.16)

が得られる。ここで

Φ≡ f⁰² 192π

¯¯

¯¯

¯r=rH

= κ²

48π . (3.3.17)

である。Hawking ux^{を決定するためには}K_H を決めなければならない。そのために[11]

で提案された境界条件を用いる。covariant energy momentum tensorT˜_µνを導入しよう。そ れは次のcovariant anomaly equationを満たすものとして定義される。

∇_µT˜_ν^µ= 1 96π√

−g²_µν∂^µR . (3.3.18)

境界条件はdieomorphism invariantであるべきなので、このcovariant anomalous energy momentum tensorT˜_(H^µν₎に境界条件を課そう。その境界条件は

T˜_(H)^r_t=T_(H)^r_t− 1

192π(f f⁰⁰−2f⁰²) = 0 . (3.3.19) である。ここからK_H = 2Φが得られ

T_(o)^r_t=−Φ. (3.3.20)

となる。ここからΦがHawking^輻射のuxであることが分かる。一方、2^{次元時空における} 黒体輻射のux^はΦ = ₁₂^πT²である。これと式(3.3.17)^{を比較すると正しい}Hawking^温度

T = κ

2π (3.3.21)

が得られる。この手法をより現実的な回転するブラックホールに拡張することは重要である。