CGHS モデル

2^{次元時空における}Einstein-Hilbert^作用R d²x√

−gRは、オイラー数であり時空のトポ ロジー的な性質のみで決まってしまう。そのため、Einstein-Hilbert作用では意味のある重力 理論にはならない。実際、2^次元ではEinstein^{テンソルは恒等的に}0になってしまう。場と して計量g_µνだけでは、2^{次元では自由度が}−1になってしまうので、意味のある重力理論を 作るためにはほかに場を導入する必要がある。ここで考える2^{次元の重力モデルは、}dilaton φを導入して、

S_CGHS= 1 2π

Z d²x√

−g[e^−2φ(R+ 4(∇φ)²+ 4λ²)−1 2

XN

i=1

(∇f_i)²] (4.2.1) である。f_iは物質場である。また、λはmass次元を持つパラメータである。このモデルは、

Callan, Gidding, Harvey, Strominger^{によって調べられ、}CGHS^{モデルと呼ばれる}[31]^。こ のdilaton gravity^は、2.3.1節でも見たように、高次元のEinstein-Hilbert^{作用に球対称性} を課してdimensional reductionするとしばしば現れる。あとで量子化されたf_iがHawking 輻射を生み出すことが分かるが、反作用の効果を見るためにまずf_iを古典的に考えて、そ

の結果と量子的に考えた結果を比較することにする。この作用から導かれる運動方程式は、

2e^−2φ(∇_µ∇_νφ−g_µν∇²φ+g_µν(∇φ)²−λ²g_µν) +1

4g_µν(∇f_i)²−1

2∇_µf_i∇_νf_i= 0, (4.2.2)

R−4(∇φ)²+ 4∇²φ+ 4λ²= 0, (4.2.3)

∇²f_i = 0 (4.2.4)

である。f_iが2^{回出てくるタームは}iについて和をとることを約束しておく。この運動方程 式における物質場が重力崩壊する解を求めよう。計量は一般座標変換を使って

ds²=−e^2ρdx⁺dx⁻ (4.2.5)

の形にとる(conformal gauge)。このゲージ固定では、まだx⁺→ x⁺⁰(x⁺),x⁻ →x⁻⁰(x⁻) のゲージ自由度が残っている。なぜなら、この変換をしても

ds² =−e^2ρdx⁺ dx⁺⁰

dx⁻

dx⁻⁰dx⁺⁰dx⁻⁰

=−exp µ

2ρ+ ln dx⁺

dx⁺⁰ + ln dx⁻ dx⁻⁰

¶

dx⁺⁰dx⁻⁰

(4.2.6)

となり、conformal gaugeの形が保たれるからである。この残ったゲージ自由度を用いれば、

ρ→ρ+ (x⁺のみの関数) + (x⁻のみの関数) (4.2.7) とできることも分かる。conformal gauge条件のもとでは、運動方程式は

e^−2φ(4∂₊ρ∂₊φ−2∂₊²φ) +1

2∂₊f_i∂₊f_i = 0, (4.2.8) e^−2φ(4∂₋ρ∂₋φ−2∂₋²φ) +1

2∂₋f_i∂₋f_i = 0, (4.2.9) e^−2φ(2∂₊∂₋φ−4∂₊φ∂₋φ−λ²e^2ρ) = 0, (4.2.10)

−4∂₊∂₋φ+ 4∂₊φ∂₋φ+ 2∂₊∂₋ρ+λ²e^2ρ= 0, (4.2.11)

∂₊∂₋f_i = 0 (4.2.12)

と書ける。式(4.2.10),(4.2.11)^より、

∂₊∂₋(ρ−φ) = 0 (4.2.13)

が得られる。つまりρ=φ+ (x⁺のみの関数) + (x⁻のみの関数) であるので、残ったゲージ 自由度を用いて、

ρ=φ (4.2.14)

とする。まだ、x^±を定数だけずらすゲージ自由度は残っていることに留意しておく。式 (4.2.14)^{を用いれば、式}(4.2.10)^は、

∂₊∂₋e^−2φ=−λ²

⇒e^−2φ=−λ²x⁺x⁻+A(x⁺) +B(x⁻) (4.2.15)

となる。物質場f_iとしては、ingoing shock wave^{を考える。つまり、}

∂₊f_i∂₊f_i = 2aδ(x⁺−x⁺₀)

∂₋f_i = 0 (4.2.16)

とする。この仮定は式(4.2.12)^とconsistent^{である。このとき、式}(4.2.8)^は、

∂₊²e^−2φ=−aδ(x⁺−x⁺₀)

⇒A⁰⁰(x⁺) =−aδ(x⁺−x⁺₀) (∵(4.2.15))

⇒A(x⁺) =−a(x⁺−x⁺₀)θ(x⁺−x⁺₀) +c₁x⁺+c₃,

(4.2.17)

式(4.2.9)^は、

∂₋²e^−2φ= 0

⇒B⁰⁰(x⁻) = 0 (∵(4.2.15))

⇒B(x⁻) =c₂x⁻+c₄,

(4.2.18)

となる。よって、

e^−2φ=−a(x⁺−x⁺₀)θ(x⁺−x⁺₀)−λ²x⁺x⁻+c₁x⁺+c₂x⁻+c (4.2.19) が得られる。さらに、x^±を定数ずらす自由度を用いれば、c₁ =c₂ = 0とできる(^このとき x⁺₀ も再定義してやる必要がある)。これで、ゲージ自由度は完全に使い尽くしたことになる。

最終的に得られた解は、

e^−2φ=e^−2ρ=−a(x⁺−x⁺₀)θ(x⁺−x⁺₀)−λ²x⁺x⁻+c (4.2.20) である。c= 0のときを考えてみると、shock wave^{が入射する前}x⁺< x⁺₀ では、

ds² =−dx⁺dx⁻

λ²x⁺x⁻ =−dσ⁺dσ⁻





λx⁺ =e^λσ+ λx⁻ =−e^λσ−

(4.2.21)

となり、平坦な時空であることが分かる。我々が考えたいのは、平坦な空間にshock wave か入射してきてブラックホールができるような状況であるのでc= 0とする。

次にこの計量

ds²= dx⁺dx⁻

−a(x⁺−x⁺₀)θ(x⁺−x⁺₀)−λ²x⁺x⁻ (4.2.22) の時空構造を調べてみよう。x⁺> x⁺₀ において、リッチスカラーを計算すると

R= 8e^−2ρ∂₊∂₋ρ

= −4λ²ax⁺₀ a(x⁺−x⁺₀) +λ²x⁺x⁻

(4.2.23)

となる。この式から、曲線

x⁺(x⁻+ a

λ²) = ax⁺₀

λ² (4.2.24)

がcurvature singularityであることが分かる。よって、この時空構造は図4.1^{のようになる。}

さらにconformal^{変換をして}Penrose^{図を描くと図}4.2^{のようになる。}

図 4.1: ^{平坦な時空に}shock waveが入射してきたときの時空図(Hawking^輻射なし)

図 4.2: CGHS^モデルのPenrose^図