H 型群上の半線形熱方程式が実際にどのような

?? ?? = Δ?? の解は、熱核

② H 型群上の半線形熱方程式が実際にどのような

自然現象（社会現象）を記述しているのかを解の数値実験

などを行い探求する。（今後）

釧路高専創造工学科一般教育部門

2017年11月24日(金)

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 1 / 35

1 Y. Oka,Local well-posedness for semilinear heat equations on H type group, submitted to Taiwanese Journal of Mathematics.

2 A. Kaplan,Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms, Trans. Amer. Math.

Soc., 258, (1980), 147-153.

3 H. Brezis and T. Cazenave,A nonlinear heat equation with singular initial date, J. Anal. Math. 68 (1996),277-304.

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 2 / 35

初期値問題





(∂t−∆_Hd p

)

u(g,^t) =|^u|^r⁻¹^u, ^g∈H^dp,^t >⁰,

u(g,⁰) =u₀(g)∈^L^q(H^dp). ⁽¹⁾ の解の一意存在を考察する。

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初期値問題(1)をデュアメルの原理を用いて、積分方程式 u(t) =e^t∆^H^d^pu0+

∫ _t

e^(t^−σ^)∆^H^d^p|u(σ)|^r⁻¹u(σ)dσ の問題に書き換えて考察する。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 4 / 35

(z,^s)◦(z^′,^s^′) = (

z+z^′,^s+s^′+¹ 2[z,^z^′]

)

, ⁽²⁾

z = (x,^y), ^z^′ = (x^′,^y^′)∈R^2d,^s,^s^′∈R^p を持つR^2d+p^{である。ここで}^,[z,^z^′]_j=⟨

z,^U^j^z^′⟩

,j =1,²,· · ·,^p^である^. ただし,U^jは次の性質を満たすものである.

1 U^j,j =1,· · ·,^p^は^2d×^2dの交代かつ直交行列である.

2 すべてのi,^j ∈ {¹,²,· · ·,^p}^,ⁱ ,^j^に対し^,^Uⁱ^U^j+U^jUⁱ =0が成り立つ. このとき,集合GをH^dp と表すこととする。

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注意

H型の群に関して,中心の次元とその直交補空間の次元との関係は, p+1≤2d (A. Kaplan and F. Ricci, 1983)

行列Uⁱの条件が、線形独立な交代行列の場合、カルノー(Carnot)群と呼ばれる.

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Xj = ∂

∂^xj

+¹ 2

∑p

k=1





∑2d l=1

zlU_l^k_,_j



 ∂

∂^sk

Y_j = ∂

∂^yj

+¹ 2

∑p

k=1





∑2d l=1

z_lU_l^k_,_j+d



 ∂

∂^sk,

ここで,z_l=x_l,z_l+d =y_l(l =1,²,· · ·,^d)^であり,U_i^k_,_j,U^k_i_,_j+dは行列U^kの (i,^j)^成分や(i,^j+d)^{成分を表す}.

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U¹ = ⁰ −¹ 1 0 とすると,

[z,^z^′] =⟨

z,^U¹^z^′⟩

⟨(x y )

(0 −¹

1 0 ) (x^′

y^′ )⟩

⟨(x y )

, (−^y^′

x^′ )⟩

=−^xy^′+yx^′ となるので, (2)より群Gの積の法は,

(z,^s)◦(z^′,^s^′) = (

z+z^′,^s+s^′+¹

2(yx^′−^xy^′) )

, ここで,z= (x,^y),^z^′ = (x^′,^y^′)∈R²,s∈R¹^である.

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また,左不変ベクトル場は, X = ∂

∂^x +¹ 2y ∂

∂^s, ^Y = ∂

∂^y −¹ 2x ∂

∂^s, ^S = ∂

∂^s. となる.

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∂^x 2 ∂^s ∂^y 2 ∂^s ∂^y 2 ∂^s ∂^x 2 ∂^s

= ∂²

∂^x∂^y^u−¹ 2

∂

∂^s

∂

∂^x(xu) + ¹ 2y ∂²

∂^y∂^s^u− ¹ 4xy ∂²

∂^s²^u

− ∂²

∂^x∂^y^u− ¹ 2

∂

∂^s

∂

∂^y(yu) +¹ 2x ∂²

∂^x∂^s^u+¹ 4xy ∂²

∂^s²^u

=−¹ 2

∂

∂^s (

u+x ∂

∂^x^u )

−¹ 2

∂

∂^s (

u+y ∂

∂^y^u )

+¹ 2y ∂²

∂^y∂^s^u+¹ 2x ∂²

∂^x∂^s^u

=− ∂

∂^s^u

=−^Su

∴ [X,^Y] =−^S, ([X,^X] = [Y,^Y] = [S,^S] = [X,^S] = [Y,^S] =0)

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P A

s方向の測地線はらせん

xy平面上の測地線は直線 ρ(x,^y,^s) ={

(x²+y²)²+s²}¹₄ ハイゼンベルグ群上の距離関数 O

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(4×⁴)の交代行列U¹を,

U¹ =







0 −¹ ⁰ ⁰

1 0 0 0

0 0 0 −¹

0 0 1 0





, ^U² =







0 0 1 0

0 0 0 −¹

−¹ ⁰ ⁰ ⁰

0 1 0 0







とすると, (2)より,群Gの積の法は,

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 12 / 35







z+z^′ s1+s₁^′ +¹

(−x1x₂^′+x2x₁^′−y1y₂^′+y2y₁^′)

s₂+s₂^′ +¹ 2

(x₁y₁^′−^x2y₂^′ −^x₁^′^y1+y₂x₂^′)





 ,

ここで,z= (x₁,^x2,^y1,^y2),^z^′= (x₁^′,^x₂^′,^y₁^′,^y₂^′)∈z^⊥,

s= (s₁,^s2),^s^′ = (s₁^′,^s₂^′)∈zである. また,左不変ベクトル場は,

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X2 = ∂

∂^x2

+¹ 2 (

−^x1 ∂

∂^s1

+y2 ∂

∂^s2

) ,

S1 = ∂

∂^y1 − ¹ 2 (

y2 ∂

∂^s1

+x1 ∂

∂^s2

) ,

S₂ = ∂

∂^y2 − ¹ 2 (

−^y1 ∂

∂^s1 −^x2 ∂

∂^s2

)

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● ∆_H^d

p =

∑2d i=1

X_i²をサブラプラシアンという。

例：H¹₁^の場合は^,∆_H1

1 =X²+Y²となる。

● N =2d+2pを等質次元という。

例：H¹₁^の場合は^,^N=2×²+2×¹=4

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u(g,⁰) =u₀(g)∈^L (Hp).

(定理１時間局所解の存在性) Y. Oka

q>^N(r−1)/2かつq≥1,N≥4とする。このとき、すべてのu₀ ∈^L^q(H^d_p) に対し、正定数T と(1)の解u∈^C([0,^T];L^q(H^d_p))^{が存在する。}

(定理２時間局所解の存在性) Y. Oka

q=N(r −¹)/²^かつ^q>^1,^N≥⁴とする。このとき、すべてのu0 ∈^L^q(H^dp) に対し、正定数T と(1)の解u∈^C([0,^T];L^q(H^dp))^{が存在する。}

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 16 / 35

q>^N(r−¹)/²(resp.^q=N(r−¹)/²)^かつq≥^r(resp.^q>^r),N ≥⁴^を仮定する。このとき、解

u(t) =e^t∆u0+

∫ _t

e^(t^−σ^)∆|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ)dσ の一意性が空間C([0,^T];L^q(H^dp))^{で成り立つ。}

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に対し次の評価式が成り立つ。

∫

H^dp

|^f(g)h(g)|^dg≤ ∥^f∥_L^q₍_H^d_p₎∥^g∥_L^q′₍_H^d_p₎.

（補題２）ヤングの不等式

1≤^q≤ ∞^{とする。このとき、}^f ∈^L¹(H^dp)^とh∈^L^q(H^dp)^{に対し次の評価式} が成り立つ。

∥^f∗^h∥_L^q₍_H^d_p₎ ≤ ∥^f∥_L¹₍_H^d_p₎∥^h∥_L^q₍_H^d_p₎.

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の解u(x,^t)^は、熱核htとの畳込みで次の様に表せる：

u(x,^t) =e^t∆^H^d^pu₀=

∫

H^dp

u₀(g^′)h_t(g^′−¹g)dg^′

（補題３）熱核の評価(D. S. Jerison and A. S«anchez-Calle 1986)

∆_Hd

pに付随する熱核をh_t(g)^{とする。このとき、}∆_Hd

p に依存した正定数C₁ とC_I_,_lが存在して次が成り立つ。

|∂^l_tXIht(g)| ≤CI,lt⁻^l⁻^|²^I^|⁻^N²e⁻^c1ρ

(g)2 t ,

ここで、I= (i₁,· · ·,ⁱm),|^I|=mそしてX_I =X_i₁X_i₂· · ·^Xim. Moreoverρ^は^H 型群のCaratheodory distanceである。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 19 / 35

∥^e φ∥L^β(H^dp) ≤^Ct ∥φ∥L^α(H^dp), ^t >⁰, がすべてのφ∈^L^α(H^dp)^{に対して成り立つ。}

●L^q−^L^m ^{評価として補題}⁴^{を使うと、}

∥^e^(t^−σ^)∆^H^d^p(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ))∥_L^m₍_H^d_p₎≤^C(t−σ)⁻^N²⁽¹^q⁻^m¹⁾∥|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ)∥_L^q₍_H^d_p₎

=C(t−σ)⁻^N²⁽¹^q⁻^m¹⁾







∫

H^dp

|^u(g, σ)|^qr^dg





1 qr



=C(t−σ)⁻^N²⁽¹^q⁻^m¹⁾∥^u(σ)∥^r_Lqr(H^dp).

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Hp Hp

が成り立つ。一方で、半群e^t∆^H^d^p のL²有界性より

∥^e^t^∆^H^d^pφ∥L²(H^dp) ≤^C∥φ∥L²(H^dp). が成り立つ。Riesz-Thorin補完定理によって、

∥^e^t^∆^H^d^pφ∥_Lβ(H^dp) ≤^Ct⁻^N²⁽¹^α⁻¹^β⁾∥φ∥_Lα(H^dp).

が成り立つ。空間S(H^d_p)^はL^α(H^d_p)^{で稠密なので、}φ∈^L^α(H^d_p)^{においてこ}

の評価式が成り立つ。 □

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 21 / 35

T :X →^X が,

∃^k ∈(0,¹)s.^t.^d(Tx,^Ty)≤^kd(x,^y), ^x,^y ∈^X ⁽³⁾ を満たすとき、T はXにおいてただ１つの不動点x₀、すなわちTx₀ =x₀となる点をもつ。

※ 条件(3)を満たす写像T を縮小写像という。

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定理１の証明の流れ

1 関数空間Y_T とB_M+1の設定する。

2 次で定義される写像Φ^：BM+1→^YT

Φ[u](t) =e^t^∆^H^d^pu₀+

∫ t 0

e^(t^−σ^)∆^H^d^p(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ))dσ, がBM+1からBM+1への写像であることを示す。

3 写像ΦがB_M+1からB_M+1への縮小写像であることを示す。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 23 / 35

∥^u∥YT =max sup

0<t<T∥^u(t)∥_L^q₍_H^d_p₎, ^sup

0<t<T

t^λ∥^u(t)∥_L^qr₍_H^d_p₎ , λ= ^N(r−¹) 2qr <¹ で定義する。次に、Y_T の部分集合として空間B_M+1を

B_M+1 ={^u| ∥^u∥YT ≤^M+1} とする。ここで、M=max{^M1,^M2}^s.t.

∥^u0∥YT ≤^M1and∥^e^t∆^H^d^p^u0∥YT(≤^C∥^u0∥YT)≤^M2. とする。Mは∥^u0∥YT に依存し、t には独立である。

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最初に写像Φ^がB_M+1からB_M+1への中への写像であることを示す。補題４(L^q−^L^m ^評価⁾^と^q>^N(r −¹)/²^によって^,^すべての^u∈^BM+1に対し、

∫ _t

e^(t^−σ^)∆^H^d^p(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ))dσ _Lm(H^dp)

≤^C

∫ _t

(t−σ)⁻^N²⁽¹^q⁻^m¹⁾∥^u(σ)∥^r_Lqr(H^dp)dσ

≤^C(M+1)^r

∫ _t

(t−σ)⁻^N²⁽¹^q⁻^m¹⁾σ⁻^r^λ ^dσ

=C(M+1)^rt¹⁻^r^λ−^N²⁽¹^q⁻^m¹⁾

∫ ₁

(1−σ)⁻^N²⁽^q¹⁻^m¹⁾σ⁻^r^λ^dσ がm≥^q^{において成り立つ。}

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 25 / 35

t^N²⁽^q¹⁻^m¹⁾ ∫ _t

e^(t^−σ^)∆^H^d^p(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ))dσ _Lm(H^dp)

≤^C(M+1)^rT¹⁻^r^λ. ⁽⁴⁾ となる。いま、(4)内でm=qもしくはm=qrとすると,次が成り立つ。

∫ _t

e^(t^−σ^)∆^H^d^p(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ))dσ _Lq(H^dp)

≤^C1(M+1)^rT¹⁻^r^λ または

t^λ ∫ t

e^(t^−σ^)∆^H^d^p(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ))dσ _Lqr(H^dp)

≤^C2(M+1)^rT¹⁻^r^λ.

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 26 / 35

となる。十分小さいT >⁰^{に対して、}

max{^C1,^C2}(M+1)^rT¹⁻^r^λ ≤¹.

が成り立つ。よって、写像Φ^はB_M+1からB_M+1への写像である。

次に写像Φ^がB_M+1からY_T への縮小写像であることを示す。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 27 / 35

と補題４(L −^L ^評価⁾^{によって、}^u1,^u2∈^BM+1に対し、次が成り立つ。

∥Φ[u₁](t)−Φ[u₂](t)∥_L^m₍_H^d_p₎≤^C3(M+1)^r⁻¹t¹⁻^r^λ−^N²⁽^q¹⁻^m¹⁾∥^u1−^u2∥YT (6) ここで、定数C₃ >^0.^いま⁽⁶⁾^において^m=qもしくはm=qrとする。

このとき、次が成り立つ。

∥Φ[u1](t)−Φ[u2](t)∥_L^q₍_H^d_p₎≤C3(M+1)^r⁻¹T¹⁻^r^λ∥u1−u2∥YT

または

t^λ∥Φ[u₁](t)−Φ[u₂](t)∥_L^qr₍_H^d_p₎ ≤^C3(M+1)^r⁻¹T¹⁻^r^λ∥^u1−^u2∥YT

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 28 / 35

∥Φ[u₁](t)−Φ[u₂](t)∥YT ≤^C4(M+1)^r⁻¹T¹⁻^r^λ∥^u1−^u2∥YT

ここで、正定数C₄ >^{0. 1}−^rλ >⁰^{なので十分小さい}^T >⁰^に対し、

C4(M+1)^r⁻¹T¹⁻^r^λ ≤ ¹ 2.

よって、写像Φ^{は十分小さい}T >⁰に対し縮小写像になる。従って、縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）より、写像Φの不動点uがB_M+1内に存在することが示された。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 29 / 35

最後に、u∈^C([0,^T];L^q(H^dp))^{を示す。実際、}u∈^BM+1かつrλ <¹^より

|^u|^r⁻¹^u∈^L¹((0,^T);L^q(H^dp)).がいえる。これから、u∈^C([0,^T];L^q(H^dp))^が

導かれる。これにて定理１の証明は終了。 □

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 30 / 35

Gronwallの補題を用いて、定理１で得られた解の初期値連続性

∥^u(t)−^v(t)∥_L^q₍_H^d_p₎≤^C∥^u0−^v0∥_L^q₍_H^d_p₎, ^a.^a.^t ∈[0,^T]. も示すことができる。

定理２に関しては、技術的な難しさはあるが、定理２とほぼ同様に証明できる。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 31 / 35

u(t) =e^t∆u0+

∫ _t

e^(t^−σ^)∆|u(σ)|^r⁻¹u(σ)dσ の一意性が空間C([0,^T];L^q(H^dp))^{で成り立つ。}

(Caseq>^N(r−¹)/^{2): Let}^u,^v∈^C([0,^T];L^q(H^dp))be two solutions. Then we have

u(t)−^v(t) =

∫ t 0

e^(t^−σ^)∆(|^u(σ)|^r⁻¹^u(σ)− |^v(σ)|^r⁻¹^v(σ))dσ.

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 32 / 35

L (Hp) L (Hp) L (Hp)

によって、次が成り立つ。

∥^u(t)−^v(t)∥_L^q₍_H^d_p₎≤^C

∫ t 0

(t −σ)^−θ∥|^u|^r⁻¹^u− |^v|^r⁻¹^v∥_L^q_r₍_Hd p)dσ

≤^C^′

∫ t 0

(t −σ)^−θ

(∥^u∥^r_L⁻q¹(H^dp)+∥^v∥^r_L⁻q¹(H^dp)

)∥^u−^v∥_L^q₍_H^d_p₎,

(7) ここで、θ=N(r −1)/2q<1かつ正定数C, C^′はt に独立である。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 33 / 35

ψ(t) = sup

0≤σ≤t∥^u(t)−^v(t)∥_L^q₍_H^d_p₎^{とする。このとき}⁽⁷⁾^{によって、次が成り} 立つ。

ψ(^t)≤^CM^r⁻¹^T¹^−θ

1−θψ(^t). (8)

いま、T^′は0<^T^′<^T となる十分小さいとし、t ∈[0,^T^′]^{とする。このと} き、(8)によって、ψ(^t) =0が導ける。同様なことを有限回繰り返し, t ∈[0,^T]^においてψ(t) =0. □

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 34 / 35





(∂t−∆_H1 1

)

u(g,^t) =|^u|^r⁻¹^u, ^g∈H¹₁,^t >⁰, u(g,⁰) =u0(g)

の解uは局所可解である。ここで、H¹₁⁽⁼R³⁾は１次元のハイゼンベルグ群を表す。つまり,初期値問題





(

∂t−∂²x−∂²y− ¹

4(x²+y²)∂²s−(

y∂x−^x∂y

)∂s

)

u(x,^y,^s,^t) =|^u|^r⁻¹^u, u(x,^y,^s,⁰) =u₀(x,^y,^s)

の解uは(x,^y,^s)∈H¹₁^かつ^t >⁰において局所可解である。

岡(釧路高専) 第２章 H型群に付随する半線形熱方程式 2017年11月24日(金) 35 / 35

Mathematics Laboratory, National Institute of Technology, Kushiro College 1

第 3 章結言 & これから

Mathematics Laboratory, National Institute of Technology, Kushiro College

�𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿 ^𝑞𝑞 (𝑅𝑅 ^𝑛𝑛 )

� 𝑢𝑢 _𝑡𝑡 = Δ _𝐻𝐻 _𝑝𝑝 ^𝑑𝑑 + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , g ∈ 𝐻𝐻 _𝑝𝑝 ^𝑑𝑑 , 𝑡𝑡 > 0 𝑢𝑢 𝑔𝑔, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑔𝑔 ∈ 𝐿𝐿 ^𝑞𝑞 (𝐻𝐻 _𝑝𝑝 ^𝑑𝑑 )

𝑹𝑹 ^𝟑𝟑 のとき

� 𝑢𝑢 _𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} + 𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} + 𝑢𝑢 _{𝑧𝑧𝑧𝑧} + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝐿𝐿 ² (𝑅𝑅 ³ )

𝑹𝑹 ^𝟒𝟒 のとき

� 𝑢𝑢 _𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} + 𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} + 𝑢𝑢 _{𝑧𝑧𝑧𝑧} + 𝑢𝑢 _{𝑤𝑤𝑤𝑤} + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑤𝑤, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝐿𝐿 ² (𝑅𝑅 ⁴ )

𝑯𝑯 _𝟏𝟏 ^𝟏𝟏 (≅ 𝑹𝑹 ^𝟑𝟑 ) のとき（１次元のハイゼンベルグ群のとき）

�𝑢𝑢 ^𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} + 𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} + 1

4 𝑥𝑥 ² + 𝑦𝑦 ² 𝑢𝑢 _{𝑠𝑠𝑠𝑠} + 𝑦𝑦𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑠𝑠} − 𝑥𝑥𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑠𝑠} + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑠𝑠, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 ² (𝐻𝐻 ₁ ¹ )

ユークリッド空間

H 型群

ドキュメント内 u½¬29N EF[ubg_ÆHwÖÌpv\´eV[gÈÇ (ページ 76-113)

H 型群上の半線形熱方程式が実際にどのような

?? ?? = Δ?? の解は、熱核

② H 型群上の半線形熱方程式が実際にどのような

自然現象（社会現象）を記述しているのかを解の数値実験

などを行い探求する。（今後）

Mathematics Laboratory, National Institute of Technology, Kushiro College 1

第 3 章 結言 & これから

Mathematics Laboratory, National Institute of Technology, Kushiro College

�𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢 0 𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿 𝑞𝑞 (𝑅𝑅 𝑛𝑛 )

� 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = Δ 𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝑑𝑑 + 𝑢𝑢 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , g ∈ 𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝑑𝑑 , 𝑡𝑡 > 0 𝑢𝑢 𝑔𝑔, 0 = 𝑢𝑢 0 𝑔𝑔 ∈ 𝐿𝐿 𝑞𝑞 (𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝑑𝑑 )

𝑹𝑹 𝟑𝟑 のとき

� 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑢𝑢 𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑢𝑢 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 0 = 𝑢𝑢 0 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝐿𝐿 2 (𝑅𝑅 3 )

𝑹𝑹 𝟒𝟒 のとき

� 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑢𝑢 𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑢𝑢 𝑤𝑤𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑤𝑤, 0 = 𝑢𝑢 0 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝐿𝐿 2 (𝑅𝑅 4 )

𝑯𝑯 𝟏𝟏 𝟏𝟏 (≅ 𝑹𝑹 𝟑𝟑 ) のとき（１次元のハイゼンベルグ群のとき）

�𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1

4 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑦𝑦𝑢𝑢 𝑥𝑥𝑠𝑠 − 𝑥𝑥𝑢𝑢 𝑦𝑦𝑠𝑠 + 𝑢𝑢 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑠𝑠, 0 = 𝑢𝑢 0 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 2 (𝐻𝐻 1 1 )

ユークリッド空間

H 型群

第 3 章結言 & これから

�𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿 ^𝑞𝑞 (𝑅𝑅 ^𝑛𝑛 )

� 𝑢𝑢 _𝑡𝑡 = Δ _𝐻𝐻 _𝑝𝑝 ^𝑑𝑑 + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , g ∈ 𝐻𝐻 _𝑝𝑝 ^𝑑𝑑 , 𝑡𝑡 > 0 𝑢𝑢 𝑔𝑔, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑔𝑔 ∈ 𝐿𝐿 ^𝑞𝑞 (𝐻𝐻 _𝑝𝑝 ^𝑑𝑑 )

𝑹𝑹 ^𝟑𝟑 のとき

� 𝑢𝑢 _𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} + 𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} + 𝑢𝑢 _{𝑧𝑧𝑧𝑧} + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝐿𝐿 ² (𝑅𝑅 ³ )

𝑹𝑹 ^𝟒𝟒 のとき

𝑯𝑯 _𝟏𝟏 ^𝟏𝟏 (≅ 𝑹𝑹 ^𝟑𝟑 ) のとき（１次元のハイゼンベルグ群のとき）

�𝑢𝑢 ^𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑥𝑥} + 𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑦𝑦} + 1

4 𝑥𝑥 ² + 𝑦𝑦 ² 𝑢𝑢 _{𝑠𝑠𝑠𝑠} + 𝑦𝑦𝑢𝑢 _{𝑥𝑥𝑠𝑠} − 𝑥𝑥𝑢𝑢 _{𝑦𝑦𝑠𝑠} + 𝑢𝑢 ^𝑟𝑟−1 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑠𝑠, 0 = 𝑢𝑢 ₀ 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑠𝑠 ∈ 𝐿𝐿 ² (𝐻𝐻 ₁ ¹ )