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(2) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. ウェーブレット理論と工学への応用 平成 29 年 11 月 24 日 – 25 日 大阪教育大学 天王寺キャンパス 西館 第 5 講義室. 平成 29 年 11 月 24 日（金）13:20 – 18:00. 13:20–13:30. 開催の挨拶. 13:30–14:30 章忠，鈴木隼爾，戸田浩，秋月琢磨 (豊橋技術科学大学) 座長：木下保（筑波大学） 巡回ウェーブレット瞬時相関およびその応用 実信号マザーウェーブレット（Real-signal Mother Wavelet, RMW）はウェーブレット変換の発 想から生まれた，実信号を基に構築された特殊なウェーブレットである．ウェーブレット瞬時相関 は RMW を用いる伸縮を伴わない相関解析であり，様々な異常診断システムへの応用が期待されて いる．しかし，現状として RMW の構成に必要な「サンプル」や異常現象について詳しい人材の介 在が不可欠であり，手法の標準化にはまだまだ多くの課題がある．そこで，本研究はこれに着目し，. RMW を数学的な側面から観察し，巡回行列を用いる主成分分析により RMW の構成方法について 検討する．また，構成された RMW を用いた巡回ウェーブレット瞬時相関を漏水診断に応用し，そ の有効性と課題を議論する． 15:00–16:00 井川信子 (流通経済大学) 座長：戸田浩（豊橋技術科学大学） 聴性誘発脳波と自発脳波のウェーブレット解析信号による関係 聴力の他覚的な検査などに用いられる ABR と ASSR それぞれに離散定常ウェーブレット解析 (SWA) を用いることで，ウェーブレット理論の工学的応用について調べてきた．分解周波数ごとに再構成さ れた波形を観察したこれまでの知見をまとめる．また，特に注目するのは，SWA によって得られた. ABR の緩徐波成分 (slow ABR) に対応する波形の加算過程に蔵本モデルを用いて自発脳波と同期す る様子を観察した．この slow ABR の波形構成周波数に含まれる構成周波数と同様の周波数からな る 40-Hz ASSR について，その加算過程を比較観察する際に議論を発展することの妥当性などを考 察する． 16:30–17:30 岡康之 (釧路高専) H 型群に付随する半線形熱方程式の局所可解性について. 座長：溝畑潔（同志社大学）. ユークリッド空間におけるベキ乗型の非線形項を持つ半線形熱方程式の初期値問題の解の研究に 関して, 非常に多くの結果が存在する. 特に初期値が Lq 関数の場合の研究は F.B.Weissler により始 められ臨界指数を境に存在, 一意性について状況が変わることが知られている. 本講演では, H 型群に付随する半線形熱方程式の Lq 空間における時間局所解の一意存在性を考え る. ユークリッド空間の場合を概観し, 不動点定理を用いる事により, ユークリッド空間の時と同様 の結果が得られることを示す. その上で, 群を変えることで状況がどの様に変わるのかという問題を 提起して議論する.. 1.
(3) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 平成 29 年 11 月 25 日（土）9:30 – 15:00. 9:30–10:30 芦澤恵太 (舞鶴高専) ハール変換における変換係数予測法の高精細画像圧縮への展開. 座長：井川信子 (流通経済大学). 我々は，画像をブロック分割し周波数変換を行った後に量子化をするという枠組みにおいて，画質 劣化を回避する変換処理の開発に取り組んでいる．実際，8K 動画をサポートする H.265/HEVC に おいても，可変サイズブロック分割した画像信号に対し整数 DCT 等が用いられていることから，こ の枠組みは今後しばらくは重要であると考えている．本講演では，加減算とビットシフトのみで演算 可能な離散ウォルシュ・アダマール変換に，これまでに提案してきたハール変換での交流係数予測を 組み込み，高精細画像圧縮へ適用する方式について紹介する．. 11:00–12:00. 鈴木俊夫 (流通経済大学). 座長：岡康之 (釧路高専). ウェーブレットと Fourier 解析を用いたディストーションサウンドの特徴量抽出と，その応用につ いて 近年のポップやロックと呼ばれるジャンルの音楽には，ディストーションサウンドと呼ばれる音が 頻繁に用いられる．ディストーションフィルタは，クリッピング操作を含む非可逆な変換である．一 方で演奏者は，演奏者は音楽を聞き取り，その音楽を再現するという，耳コピと呼ばれる手法が用い られる．この耳コピの能力は，個人の経験や技量に左右される．本講演では，ディストーションサウ ンドに対して，ウェーブレットと Fourier 変換を用いて，その特徴量を提案する．また，その特徴量 を用いた，耳コピに対しての応用についても紹介したい． 昼食 12:00–13:30. 13:30–14:30 新井康平 (佐賀大学) 座長：芦澤恵太 (舞鶴高専) ウェーブレット記述子による形状表現を用いるプランクトン顕微鏡像認識 画像分類において画像から特徴抽出は分類精度を左右する重要なプロセスである．スペクトル，濃 淡，テクスチャー情報よりも対象物の形状特徴は分類精度への効果が高く，重要なものである．形状 特徴抽出の既存方法としてフーリエ記述子が多用されているが，欠点も多く指摘されている．本講演 ではウェーブレット記述子を新たに考案し，既存方法との比較によってその優位性を示すものである． 大阪教育大学 天王寺キャンパス 西館 第 5 講義室 〒 543-0054 大阪市天王寺区南河堀町 4-88 電話番号 (06)6775-6611. JR 天王寺駅，地下鉄天王寺駅，近鉄大阪阿部野橋駅下車，徒歩約 10 分． JR 寺田町駅下車，徒歩 5 分． http://osaka-kyoiku.ac.jp/ 数学アドバンストイノベーションプラットフォーム. AIMaP : Advanced Innovation powered by Mathematics Platform https://mathplatform.wordpress.com/ 連絡先 守本晃，芦野隆一，森岡達史（大阪教育大学）. e-mail: [email protected] tel: 072-978-3665 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~morimoto/TENWS/ws2017HP/. 2.
(4) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 3. 巡回ウェーブレット瞬時相関およびその応用 £. 章 忠 £ 鈴木隼爾 Ý 戸田 浩 £ 秋月拓磨 £ 豊橋技術科学大学工学部 Ý 豊橋技術科学大学大学院.
(5)
(6) . 概要º. 実信号マザーウェーブレット（ ）はウェー ブレット変換の発想から生まれた，実信号を基に構築された特殊なウェーブレットであ る．ウェーブレット瞬時相関は を用いる伸縮を伴わない相関解析であり，様々な 異常診断システムへの応用が期待されている．しかし，現状として の構成に必要 な「サンプル」や異常現象について詳しい人材の介在が不可欠であり，手法の標準化には まだまだ多くの課題がある．そこで，本研究はこれに着目し， を数学的な側面から 観察し，巡回行列を用いる主成分分析により の構成方法について検討する．また， 構成された を用いた巡回ウェーブレット瞬時相関を漏水診断に応用し，その有効 性と課題を議論する．. . . . . .
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(12) £
(13) Ý £ £ £ Ý
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(25) $ % &
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(49) '
(50) . はじめに
(51)
(52) ）は石光，堀畑らが 提案したウェーブレット変換の発想から生まれたウェーブレットである ． は時 系列信号を基に構築された伸縮を伴わない特殊なウェーブレットであり，予め， に 実信号マザーウェーブレット（. その目的成分を内在させることで，対象とする別の時系列信号からその共通成分を抽出す. .
(53) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 4. を用いるウェーブ レット瞬時相関解析はノッキングの検出 や異常音の検出 漏水の検出 など， 様々な異常診断システムへの応用が期待されている．しかし，現状として の構成 ることができる．このような特徴から通常な相関解析に代わり，. に必要な「異常信号のサンプル」についてはそれに詳しい人材の介在が不可欠であり，手 法の標準化にはまだまだ多くの課題がある． 一方で現在は計測機器のデジタル化に伴い，多くの時系列信号はサンプリング周波数を 有する離散データである．これらの解析には高度な線形代数を駆使した信号の特徴成分抽 出あるいは外乱やノイズといいった不要な成分を除去する問題に帰着する．このような問 題は従来から長きにわたり取り組まれており，種々の手法が既に提案されている． このような背景より本研究は. を線形代数的な側面から観察し，改めてその構成方. 法について検討し，理論体系の整備から始める．特に本研究では計算速度の高速化やモデ. の構成方法について焦点を当てる．本研. と名付ける．一般に はアドミッシブル条. リングの容易さから巡回畳み込みによる. を巡回 件
(54) さえ満たせば，自在な形状に設計できるため，目的に応じた形 状が様々に存在するはずである．そこで本稿が紹介する一種の巡回 の構成方法と して，巡回行列を用いた主成分分析に基づく方法を挙げる．ここに現れる巡回 は. 究では，このような. 巡回行列の固有ベクトルの線形結合であり，複雑な計算を必要としないため，構成が非常 に容易である．これに基づき，実環境への応用例として水道管に発生する漏水音を. . を用いて検出を試みることで手法の有用性について立証する．. ウェーブレット瞬時相関とウェーブレット相互相関の 定義 連続ウェーブレット変換 ウェーブレット変換
(55)
(56) . ： ! は楽音や音声など，時間の経過ととも. に振幅や周波数特性が大きく変化するような非定常信号の解析を目的に開発された解析手 法である．! の特徴は局所的な信号の変化を時間の推移とともに捉えることのできる時. 間周波数解析が可能な点である．! は次式のように表される．. . " . . . . . . はマザーウェーブレット
(57) #
(58) ： ， は任意の信号を表す． さらに は のスケールパラメータを表しており，特定の周波数に応じて伸縮できる．. ここで. . はシフトパラメータであり，時間 に対応して平行移動できる．これらのパラメータを. を用いることで，! は信号を時 間・周波数空間に分解することができる．これに対し，逆に ! から元の信号 に再. 操作しながら，時間と周波数ともに局在している. .
(59) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 5. 構成することができる．これを逆ウェーブレット変換と呼び，それは次式によって与えら れる．. . . " . ʾ. . . . . . ¾. ここで，右辺が定義できるためには，次のアドミッシブル条件が満たされなければなら ない．. . " . $ . . . . ただし，$ は のフーリエ変換であり， は角周波数である．あるいは一般的なアドミッ シブル条件の代わりに次の条件式でも可能である．. " . %. . . この式は. が完全に振動的であることを示す．本稿では上式をアドミッシブル条件と. . して用いる．. . 実信号マザーウェーブレット. ウェーブレット変換を行う上で問題となるのは，マザーウェーブレット
(60) #
(61) ：. の選択である． は前節で示したようにさまざまな関数があり，この中から解析 対象に適した を選択しなければならない．実信号マザーウェーブレット（ .
(62)
(63) ： ）は，実測信号から構成される である．実測信号自身が持つ 特性をそのまま受け継ぐことにより，解析に適した を作ることができる．ここでは，. の構成法と特性について説明する． は，実信号に窓を掛けて構成される である．ただし，アドミッシブル条件式 " を満たすために，積分値（平均化）を % にす る．また，正規化のためにノルムが になる処理を行う．ノルムは次式で示すユークリッ ドノルムを使用した．. " . . . ¾ ½. . . ¾ ¾. . . ¾ ¿. . . ¾. . の構成手順は以下のようになる &． . 実信号からＲＭＷとする部分を抽出する．. 抽出した信号に窓関数をかける．本研究では ' 窓を使用している． 信号の平均値を % にする．. ノルムを にするためにノルムを求め，各点との商を求める．. .
(64) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 6. ウェーブレット瞬時相関. を用いてウェーブレット解析を行うことをウェーブレット瞬時相関
(65) (
(66)
(67) ) *
(68) ：(* 法と呼ぶ ．また，次式のようにスケール におけ る を瞬時相関値 と定義する．. . "+ . . 瞬時相関値は，ウェーブレット基底の拡大縮小が不要であるため高速な解析が可能であ る．処理上は解析対象信号と. との瞬時相関解析を行うことと同義である．しかし，. 通常の相関解析では信号同士を前処理することなく相関を実施するが，コンパクトサポー トなマザーウェーブレットを用いる瞬時相関解析では，局所的な特性をより明確に解析す ることが可能である．. ウェーブレット相互相関瞬時相関 ウェーブレット解析は時間・周波数分解能が周波数に応じて変化するという点で従来の 非定常解析法に勝っている．さらにウェーブレット相互相関解析では，関連性の高い波形 の関係性を推定することができる．相互相関解析は 時間情報が保存されるものの周波数. 情報が失われるという欠点があが，ウェーブレットの相互相関解析は時間差を持つ類似性 を示し，この成分の時間差等を求め実用化している研究もある. , -．ウェーブレット相. 互相関は ある時間差における つの非定常信号の各周波数成分の相関を表す．すなわち，. 本手法の最大の特徴は つの信号のさまざまな周波数成分の相関分布の時間差における時 間軸情報を失わずに取り出すことができる点である．ウェーブレット瞬時相関法の. 値を相互相関解析を行うなら，. 値は時間情報を持つ類似性といえる．複数の. . . によって検出された周波数成分間の類似性や時間差を求めることができる． ここで， つの信号. ， . . のウェーブレット瞬時相関解析結果を. . と ウェーブレット相互相関関数. "& . . . . . . . . ， とする . は 次のように定義される ．. . . . . . . . を % % で割って正規化 したものをウェーブレット相互相関係数 と定義し，次式で示す． ", % % ここで は時間差を示す．さらに，. . . . . . . . . . . . . これは従来の相関係数と同様に から までの値をとり無相関では % を示す". .
(69) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 7. ウェーブレット瞬時相関を音源探査に適用する際に，騒音の周波数成分が振動信号の中 から抽出することができるが，騒音とは関連がない無相関な事象の周波数成分を検出する 可能性がある．しかし，信号の時間情報を伝達による時間差も考慮することができる．こ のことがウエーブレット解析を用いることで 効率のよい時間・周波数解析結果をえるこ. とができる理由である．さらにウェーブレット瞬時相互相関解析では 関連性の高い波形. 間の伝搬を知ることができる点が大きな特徴であるといえる" 言い換えると さまざまな. 周波数成分が同時に異なった動きをし さらにその動きが突然変化するような非定常な変 化である場合にもそれらを捉え抽出できる点が従来法にはなかった新しい点である．. 巡回ウェーブレット変換の定義 連続ウェーブレット変換の定義に基づいて，定義域を %. とした ! を本稿では巡 回ウェーブレット変換 * )
(70) #
(71)
(72) ：巡回 ! と名付ける．巡回 ! は . 次式によって定義される．. . . " . . . ¾. . . ¼. 巡回 ! では の一周期分のみを積分範囲とする有限区間長であるため，数値計算. の上では大変便利な手法である．また離散フーリエ変換 .
(73) / )
(74) . の式から巡回 ! の概念を導くことができる．区間. ./! の基底関数 . . . ¾ ¾ . . . " . の複素数空間において，. を，一例として次のように分解する．. . . . . . . . ここで，得られる は巡回. ´. . µ. . . . の一種である．これを ./! の式に当てはめると次式が. 得られる．. . 0 ./! . . . . " ¾
(75)
(76) ¼ 以上の結果より
(77) とする
(78) が得られ，これは
(79) に関する無限級数の和に がかかったものと ./! が等しいことが分かる．一般には巡回 である条件は . . . . . . . . . . 以下の つである．. . . ¾. . . . . ½. . . %. . ¼.
(80) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 8. 巡回ウェーブレット変換を用いたウェーブレット瞬時相 関解析 実信号マザーウェーブレット. ! で用いられる は 1 関数のような数式によって表すことができるものが主 流である．これに対し，実信号マザーウェーブレット
(81) #
(82) は目的成分を含む信号に対して高い応答性を示すことを目的としているため，特定の音声 や音源などといった有限のサンプリング点数 て. は . . のベクトルである．. " .
(83) による実信号をもとにして作成する．従っ. ¼. . ½. ½. . . は特定で複数の周波数成分を包絡的に含んでいるため ! で見られるス ケールパラメータ による伸縮の概念がない． は の一種であるため，次式に さらに. 示すアドミッシブル条件を必ず満たす．. ½ . " . . . ¼. %. は正規化されているためそのノルムは である．.
(84) ½ ¾ " また. . . . ¼. 実信号を巡回畳み込みによって解析する場合，本稿ではそれに用いるための 巡回. * )
(85)
(86) #
(87) と定義する．. . ウェーブレット瞬時相関解析. を. による相関解析をウェーブレット瞬時相関解析 (* と呼ぶ．(* と ! との 違いは " 節で示したように，常に として解析を行う点と が離散関数である 点である．従って次式に示すように (* は離散畳み込み演算となる． " . は (* によって得られた瞬時相関値， は実信号をもとに作成された. ， は解析される信号である．ただし が離散化された時間である．式 " よ. ここで，. . +.
(88) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 9. り (* が巡回畳み込みであるならば次式による操作と等価である．. ½ . . " . . ¼. によるトープリッツ行列または巡回行列を示す．なお の共役複素である．特に が巡回行列である場合巡回 (* とし，式 " より次式. ここで， は. . . は信号. によって表現できる．ここで，巡回. (* に用いられる を本稿では巡回 と. 呼ぶ．. "+ . . ウェーブレット瞬時相互相関解析. を用いて二種の類似な信号との間に存在する位相差を推定する手法として， ウェーブレット瞬時相互相関
(89)
(90)
(91) )
(92) ：(** 解析が提案 されている．(** は (* によって得られた二種の瞬時相関関数 のよる相 で 互相関関数であるため，式 "& により次のように表すことができる．ただし . . . ある．. . . . "& . . Ü. ここで 種類の. . . . Ü. . . Ý. . . を (** 関数と呼ぶ．上式のように. . Ü. Ý. . Ý. (** 関数は二種の信号に応じて， . が用意されている．用途や前提条件などによって. きる．この場合，(** 関数は二次形式 2)
(93) . Ü. Ý. に設定で. として扱うことができる．また. が巡回行列であるならば，次式のように周波数特性の演算によって扱うことがで . . きる．. ", . Ü. . . Ü Ý . . . Ý. . さらに，(** 関数を正規化したものを. . (** 係数. . . と呼ぶ．(** 係数. . . は回帰分析などで用いられる一般的な相関係数と同様， から までの範囲をとり，完 全に無相関である場合は. % を示す．また，. きる．. . "- . . . は式 ", から次のように表すことがで. % % Ü Ý . . . . . Ü Ý . &. .
(94) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 10. さらに式 "- より，実信号及び巡回. が正規化された状態における (** 係数ベ. クトル Ü Ý は次式によって表現できる．. Ü Ý. "% . Ü Ý. . ここで，. . . Ü Æ Ý . . . . . Ü. . . . . . Ý. . Ü. Ü. . . . . Ý. . Ý Ý. Ý. . Ý. . . . . . . . Ü Ü. . . Ü. . . . " . Ü Æ Ý . は 種の信号の自己相関関数である． . " . . . による自己相関関数をウェーブレット瞬時自己相関関数
(95)
(96)
(97) ) )
(98)
(99) 0 (* と呼び，(* ベクトル ÜÜ ÝÝ はそれぞれ 本稿では. 以下のように求めることができる．. ÜÜ. " . ÜÜ. ÝÝ. " . ÝÝ. ÀÜ Æ Ü ÀÜ Æ Ü . . . . . ÀÝ Æ Ý ÀÝ Æ Ý . . . . . (** を用いた位相差解析については次章にて詳しく述べる．. 巡回 による特徴成分抽出 本章では. を用いた実信号の特徴成分の抽出方法について述べる．特に巡回 . の生成原理は主成分分析と深く関わっているため，まず本章では主成分分析について述べ. を用いた解析方法について取り上げる．それに当たりまずは特 徴抽出のための巡回 の構成方法について記述し，モデル信号による数値実験を行. る．続いて，巡回. う．次に種々の実環境下で採音されたデータを基に解析し，その結果と考察について述べ る．また巡回. を用いて 種の類似の信号から唯一の位相差を求める位相差解析に. ついても考察する．. ,.
(100) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 11. 主成分分析 主成分分析は任意のデータセット る手法である．従ってデータ行列. . ½ . . . から互いに独立な固有ベクトルを求め. に関する固有値問題と等価である， . . ここで. . . はデータ行列の固有値であり， はそれに対応する固有ベクトルである．また. の分散が最大となる方向への線形変換でもある．まず， データ行列 から各種データ の平均値を差し引いた平均化データ行列 3 固有値問題は同時にデータ行列. . . の共分散行列 は，. 3 3 . 43 .
(101) で定義される．
(102) 個の係数ベクトル
(103) を用いて線形変換を行うと 3 .
(104).
(105).
(106). が得られる．この変換後のデータの分散は
(107) の平均が % となるので，. . 4 .
(108).
(109). . .
(110)
(111).
(112). 43 .
(113). この分散が最大とあるような射影ベクトルは係数ベクトル
(114) のノルム の制約条件を付 加したラグランジェ関数.
(115). .
(116). 43
(117). .
(118).
(119). . これを
(120) について微分すると， . .
(121). 従って，上式は. 43
(122).
(123). 43 .
(124).
(125). 43 に関する固有値問題であることがわかる．故に .
(126).
(127) が得ら. れる．. . 主成分分析による巡回
(128) の主成分抽出. 主成分分析の考え方に基づいてデータ行列 固有ベクトルを本稿では巡回. を巡回行列 に置換し，それに対応する. の一種と定義する．巡回 を用いることで時系. 列データに含まれる唯一または特定の複数の周波数成分を自在に抽出できる．時系列信号 から主要な特徴成分を抽出する方法は目的に応じて様々存在する．本稿ではそれに対して 最も簡単な方法について紹介する．まず巡回 する．. -. の周波数特性 を以下のように定義.
(129) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 12. $. " . % . . このとき必要な成分であるならば を選択し，不要な成分である場合は % を選択する．. はアドミッシブル条件を満たさなければならないため $ ¼ % となる． 従って前述までの条件につき，式 "+ よりディラックのデルタベクトル Æ を用いて (*. ただし，巡回. . を次式によって表現する．. Æ
(130) . " ここで，. . とは. ./! 行列における固有ベクトルの線形結合 . きる．. 従って，瞬時相関ベクトル. . ¾ . ½. . は時系列信号から必要成分のみを抽出した状態となる．これ. らの考え方は平均化された巡回行列. 3
(131) と巡回 . 数 (* が最大となるような解析と等価である．ここで巡回. . れているものとし，次式のようなラグランジェ関数. これを. として考えることがで. . . . 3 3 . . . . による自己相関関. は正規化 さ . を考える．. . について微分することで次式が得られる． . . . 3 3 . . これより. 3 3 . が得られる．これは巡回畳み込み. . . . 3 3 に関する固有値問題であり， . は ./! 行列の固有. ベクトル と一致する．故に，このような概念は一種の主成分分析として捉えることが できる． また，必要成分か否かを判別する方法の. . つとして各固有値がもたらす寄与率を用い. る．例えば，第 成分における寄与率
(132) は次式となる．. " .
(133). .
(134)
(135) 3
(136)
(137) ½ ½ 3
(138)
(139). . . . ¼. . 3
(140) ¾
(141)
(142). ¼. %. . 3.
(143)
(144).
(145) ¼.
(146) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 13.
(147) 寄与率が十分高い場合はその時系列信号の主要な成分であるといえる．また各寄与率を降 順に並べ替え，第. 成分までの和を累積寄与率
(148).
(149).
(150) ¼. と呼び，閾値処理などに利用される．. 3. . " . ½. . ½. さらに，相関値の振幅の大きさに注目して判別する場合においてはヒルベルト変換. '
(151)
(152) を用いる．ヒルベルト変換を用いた巡回 のフィルタ設計は式に 基づいて以下のようになる．. $.
(153). $ $ %
(154).
(155).
(156)
(157)
(158)
(159)
(160) . 巡回
(161) に関する数値実験 数値実験として以下のモデル信号を用意する．. " . . . % & % %.
(162)
(163)
(164) . . .
(165). これに対して，ガウスノイズ を付加した状態から上記の 種の主成分を抽出する．これ. の例をデータ点数に対して円周上にプロットしたものを /" に示す．このとき巡回 は実関数であり，位相成分はすべて % である．またこのと き式 " のモデル信号に付加したノイズの 比は"%5 である．ただし 比は を基に生成した巡回. 次式によって定義されている．. "+ . 67 5 % ½¼. . . /" には以上の条件より式 " の操作によって抽出した信号 の例を示す．ただし， /" の上段の図はモデル信号 ，中段の図はノイズが付加された信号，下段の図は式 " の操作によって抽出した信号 である．抽出された信号 と元モデル信号 との .
(166) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 14. . .
(167) 8) 0 69 は-"+5 となり，概ね良好 に抽出できている．ここで， 69 は次式によって定義される． "& . 69 5 % ½¼ 平均二乗誤差の平方根. ¼. . ¼. さらにモデル信号に対してノイズの強度を連続的に変化させ，これに対する抽出精度を. 69 5 によって評価したものを /" に示す． 比 5 と 695 の間には最 小二乗法により勾配 "%+& の線形的関係を有している．また /" に示すように，強力 なノイズ 比 %5 以上 が付加された場合においても精度の著しい悪化は見られず， .
(168) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 15. . %. ! " #$ . " #$ . &
(169) '( ! " #$ 主成分の抽出を維持している．. 実環境下における実験. による (* 解析の例を /"+ に示す．ただし， /" は普通鋳鉄管 *(: 管 の漏水なしの場合，/" は *(: 管の漏水ありの場合の結果 例である．/"+ は *(: 管の漏水なしの場合の信号から主成分を抽出して構成した巡回 漏水の有無判別について巡回. .
(170) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering 16. の例である．そして，/" と の上段図は実測された音データで，下段は巡回. により求めた (* の結果である．累積寄与率は漏水なしの音に対して &,; とし た．/" と + を比較してわかるように，巡回 を用いる (* により得られた結果 は漏水している状態においてエネルギーの減衰が著しく大きいのに対し，漏水していない 状態ではそれが十分に小さいことが分かる．また，塩化ビニル管. 4: 管 の場合にも同じ. 傾向な結果が得られている．. 結言 本研究では実信号マザーウェーブレットに関して，より数学的なとりわけ線形代数を重 要視して研究を行った．得られた主な結果は以下のとおりである．. . . 本稿では巡回. を提案し，それに関して新たな設計方法を提言した．巡回. の構成方法として，巡回行列を用いた主成分分析に基づく方法を挙げる．こ こに現れる巡回 は巡回行列の固有ベクトルの線形結合であり，複雑な計算 を必要としないため，構成が非常に容易である．. これに基づき，実環境への応用例として水道管に発生する漏水音を. を用い. て検出を試み，本手法の有用性について立証した． 今後はウェーブレット瞬時相互相関解析による位相差解析の方法論について検討し たい．. 参考文献. 6" (
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(233) 6( : = --" & 池内宏樹" 実信号マザーウェーブレット及びその応用に関する研究" 豊橋技術科学大 学修士論文 %%&" , 李 輝， 野崎 勉" ウェーブレット相互相関解析" 日本機械学会論文集（5 編） ==" % --+" - 石井秀明" ウェーブレット変換を用いたステアリングシステムの音源探査法に関す る研究" 豊橋技術科学大学博士論文， %" % 張 賢達 信号処理のための線形代数 森北出版社 %%, 章 忠 豊橋技術科学大学工学部 . 〒,,% 豊橋市天伯町雲雀ケ丘 . 0.
(234)
(235) . 鈴木隼爾 豊橋技術科学大学大学院 . 〒,,% 豊橋市天伯町雲雀ケ丘 . 0 .
(236)
(237) . 戸田 浩 豊橋技術科学大学工学部 . 〒,,% 豊橋市天伯町雲雀ケ丘 . 0
(238)
(239) . .
(240) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 18. 聴性誘発脳波と自発脳波の ウェーブレット解析信号による関係. 井川信子＊ 守本晃＋ 芦野隆一＋ ＊流通経済大学 11 24 2017. ＋大阪教育大学. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 1. 1.
(241) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 19. 概要. 聴性脳幹反応(Auditory Brainstem Response : ABR) 聴性定常反応(Auditory Steady State Response : ASSR) 他覚的な聴力検査に利用される聴性誘発脳波 波形解析の問題点：計測波形の加算処理が必要 →反応の有無や特徴について短時間で正確な検出が要求 される． 離散定常ウェーブレット解析の適用 (Discrete Stationary Wavelet Analysis : SWA ). →得られた特定周波数領域の再構成波形は，時間周波数 特性を保持しつつ波形のピーク振幅，潜時を低い音圧およ び聴力閾値において，従来法よりも高い確度で抽出するこ とができる． 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 2. 2.
(242) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 20. 聴性誘発脳波(青柳). 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 3. 3.
(243) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 21. ABR波形の構成. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 4. 4.
(244) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 22. 加算平均波形の算出式（ABR）. k回目の計測波形（10ミリ秒サンプリング）をEpoch k n加算平均波形をABRN とすると，. N=2000, すなわちABR2000を，単にABR波形という． N=10,20,30,40, 100, 200, 300, 1000, 1500 and 2000 のABRN の従来法による波形を例示する⇒．. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 5. 5.
(245) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 23. 加算ごとの波形（タイプ ３－１） ：2000回程度加算で検査に必要な正常反応が得られる. ms. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 6. 6.
(246) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 24. SWAを適用：Wavelet functionは bior5.5. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 7. 7.
(247) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 25. SWAの適用. ・ABRの場合 サンプリング周波数50,000Hzで誘発脳波を計測し たことから，SWA分解レベル D5 (781～1562 Hz)およびD6 (390～781 Hz)に fast ABR (ABR速波成分), A8 (0～97 Hz)にslow ABRが対応する．. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 8. 8.
(248) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 26. ABR構成周波数 Decomposition levels and frequency component of ABR. levels D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 A8 11 24 2017. Frequency band 12500 - 25000 Hz 6250 - 12500 Hz 3125 - 6250 Hz 1562 - 3125 Hz 781 - 1562 Hz 390 - 781 Hz 195 - 390 Hz 97 - 195 Hz 0 - 97 Hz AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). ノイズ. fast ABR. slow ABR. 9. 9.
(249) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 27. 分解レベルごと加算波形の重ね書き（ABRタイプ ３－１ ）. 高周波ノイズ 位相（潜時）ロック 位相（潜時）シフト. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 10. 10.
(250) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 28. Sine Wave Fit アルゴリズムによる近似波形係数. モデル式 について およびMSE を求めた：. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 11. 11.
(251) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 29. Sine Wave Fit アルゴリズムによる近似波形位相（A8）. モデル式の位相. として. を求めた：. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 12. 12.
(252) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 30. Sine Wave Fit 近似波形 (D5N D6N A8N (N=100)). 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 13. 13.
(253) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 31. 蔵本モデル の応用. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 14. 14.
(254) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 32. Sine Wave Fit近似波形によるωの算出. 同様に， D5N およびD6Nに対してSine Wave Fit近似波形 を求める．得られた (N=100)より， ωiの算出する： 係数データ例. 11 24 2017. α β γ MSE. A8_100 1.101175 0.512637 -1.9823 0.000089. D5_100 D6_100 0.002631 0.005335 0.198832 0.288964 3.132167 2.512201 0.023264 0.039436. ω. π/250. π/25. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). π/50. 15. 15.
(255) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 33. 蔵本モデル の応用. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 16. 16.
(256) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 34. 蔵本モデルと slow ABR 刺激誘発ニューロン群が一定周期の外部刺激を受けて波形同期が 起こるような数理モデルを考える． 自発脳波ニューロン群の振動子(A8 を想定) ：位相 角速度 外部刺激による刺激誘発ニューロン群の振動子(D5; D6 を想定) ：位相 角速度 を仮定する． 蔵本モデル式を用いて相互作用を観察する． 相互作用のないK = 0 の場合と比較した差 の時間変化を結合強度K = 0, 0.06, 0.12, 0.18 の場合に描く． 前述のSine Wave Fitモデルの結果から，. と想定した. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 17. 17.
(257) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 35. 結合強度K は数値計算実験結果を踏 まえ，値を設定した．D5; D6 は相互作 用がない場合よりもK > 0 が 大きくなるにつれ位相 は， より小さい速さで回転する． 一方，A8 は，より大きい速さで回転す るようになる．. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 18. 18.
(258) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 36. 蔵本モデルと slow ABR. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 19. 19.
(259) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 37. Auditory Neuropathyの聴覚病理に関する研究の紹介 東北大学大学院 医工学研究科聴覚再建医工学研究分野 / 医学系 研究科 聴覚・言語障害学分野 川瀬哲明教授 (http://www.auditorylab.med.tohoku.ac.jp/info.html) . Auditory Neuropathy（AN）は、外有毛細胞の機能を反映する耳音響放 射（OAE）が正常にも関わらず蝸牛神経の複合活動電位である聴性脳 幹反応（ABR）が無反応を呈するもので、内有毛細胞－蝸牛神経の障害 により引き起こされると考えられる感音難聴です。その原因として、内有 毛細胞－蝸牛神経間のシナプス異常、蝸牛神経軸索、髄鞘（ずいしょう） の異常が報告されていますが、根本的治療法は確立されていません。ま た、ANに特徴的なABRの消失や語音明瞭度の低下のメカニズムとして 、蝸牛神経の“同期障害（dys-synchrony）”が推察されていますが、病 態生理の詳細も不明です。 当分野では、電気生理学的手法と形態学的手法を用いて、“同期障害 ”を含めた蝸牛神経の神経病理に関する基礎的、臨床的研究に取り組 んでいます。. 20.
(260) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 38. Auditory Neuropathy 症例では脳幹に起源を有する 聴性脳幹反応(ABR)が無反応を呈するにもかかわ らず、聴覚野に起源を有するN100m反応が明瞭に 記録される. (Clin. Neurophysiology 2012) (http://www.auditorylab.med.tohoku.ac.jp/info.html). 21.
(261) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 39. 聴覚伝導路（市川）. N100 聴覚野における周波 数マップの解明等. ASSR ABR. OAE 聴覚フィルタモデル. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 22. 22.
(262) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 40. 聴覚伝導路. N100 聴覚野における周波 数マップの解明等. ABR. 速 波 成 分. 緩徐波成分. ASSR. OAE 聴覚フィルタモデル. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 23. 23.
(263) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 41. 40 Hz ASSR と 80 Hz ASSR. 40 Hz ASSR. 80 Hz ASSR. MASTERでは被検者は自然睡眠か. 40-Hz ASSR は覚醒時に 得られやすいが背景脳波 のノイズも大きい。. 薬による睡眠中に80Hz-ASSRを測定 する。 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 24. 24.
(264) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 42. 40-HzASSR. 起源はｓｌｏｗABRとＭＬＲ のＰａとＰｂの重なり波形 (Galambos). 11 24 2017. 刺激音の変調周波数40Hz に同期したサイン 波状の脳波. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 25. 25.
(265) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 43. 40-Hz ASSRの加算. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 26. 26.
(266) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 44. SWAの適用. ・40-Hz ASSRの場合 計測波形のサンプリング周波数1024 Hz， サンプリングポイント512 点（500 msec， 周波数分解能：2 Hz）を1 epoch とよぶ． サンプリング周波数から，SWA分解レベル D4（32～64 Hz）に40-Hz ASSRを 得られるので，分解レベルD4を抽出して解析する. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 27. 27.
(267) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 45. SWA分解レベルと構成周波数 ヒトの脳波は周波数帯域ごとに以下のように 名前が付けられ、それぞれ異なった生理学 的な意義を有す： •デルタ波δ（デルタ）：1～3Hz •シータ波θ（シータ）：4～7Hz •アルファ波 α（アルファ）：8～13Hz •ベータ波β（ベータ）：14～30Hz •ガンマ波 γ（ガンマ）：30～64Hz 注）βとγ帯域の境界の周波数は28Hzとするもの など諸説ある。. 一般に健常者では、安静・閉眼・覚醒状態で は後頭部を中心にα波が多く出現する。また 睡眠の深さ（睡眠段階）は脳波の周波数など に基づいて分類されている。. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 28. 28.
(268) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 46. 40-Hz ASSRの離散定常ウェーブレット変換 1 epochの 場合 S D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 A7. RIMS2011 at Kyoto N.Ikawa. 29. 29.
(269) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 47. 40-Hz ASSRの離散定常ウェーブレット変換 5 epochの 重ね書き. RIMS2011 at Kyoto N.Ikawa. 30. 30.
(270) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 48. 40-Hz ASSRのもととなるepoch波形(図2) 図2は40-Hz ASSR得るため に計測した 5 epochs波形に 対応する D4レベル波形を 重ね書きしたもの（上）と そのFFTパワースペクトル 表示（下）である． 周波数はおおよそ40 Hz付近 に集中しているが，各波形に は位相差をみてとることがで きる．. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 31. 31.
(271) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 49. 40-Hz ASSRの再構成波形 オリジナル波形. D4再構成波形. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 32. 32.
(272) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 50. 40-Hz ASSRのD4再構成波形 (図3) 図3は加算処理後得られた 40-Hz ASSRのD4波形（上）と その FFTパワースペクトル表 示（下）である．. slow ABR同様に，加算処理 によって自発脳波に同期して 40-Hz ASSRが得られる と予想できる．. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 33. 33.
(273) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 51. 34. 34.
(274) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 52. 35. 35.
(275) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 53. まとめ. SWAを用いて，時間--周波数解析より得られた slow ABRの振る舞いを詳しく調べ，蔵本モデルを 適用した．加算過程では，slow ABRの自発脳波との 位相同期によって反応が得られる様子を観察した． 従って，従来の考え方の雑音除去のためではなく， slow ABRの自発脳波との位相同期のために一定の 加算が必要であることを示した． slow ABR を含む40-Hz ASSRの蔵本モデルの 適用による同様の位相同期モデルと，40-Hz ASSR を検出するための係数決定の具体化は今後の課題 である． 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 36. 36.
(276) OKU & AIMaP 2017 Workshop on Wavelet theory and its applications to engineering. 54. 参考文献. 11 24 2017. AIMaP_wavelet_autumn (N. Ikawa). 37. 37.
(277) 2017年11月24日（金） 於：大阪教育大学 ウェーブレット理論と工学への応用. H型群に付随する半線形熱方程式の 局所可解性について 釧路高専 創造工学科 一般教育部門. 岡. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College. 康之. 1.
(278) H型群に付随する半線形熱方程式の局所可解性について. 研究目的： 物理、生物、化学などの様々な自然現象を 表すユークリッド空間（可換）上の非線形偏微分方程式 を非可換な群上で研究したとき群に依存して何かユニー クな現象が起きるのか？ 𝑛𝑛. ユークリッド空間 𝑅𝑅 半線形楕円型方程式 � 半線形熱方程式 半線形分散型方程式. H型群 𝐻𝐻𝑝𝑝𝑑𝑑 半線形楕円型方程式 � 半線形熱方程式 半線形分散型方程式 ※2-step サブリーマン多様体. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(279) 内容. 第１章 ユークリッド空間における半線形熱方程式について １．半線形偏微分方程式とは ２．半線形熱方程式の初期値問題 ３．𝐿𝐿𝑞𝑞 初期値問題 第２章 H型群における半線形熱方程式について １．H型群とは ２．主結果の紹介 ３．主結果の考察 第３章 結言＆これから. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(280) 第１章 ユークリッド空間における半線形 熱方程式について 参考文献 ・爆発と擬集（東京大学出版会） 第1章 非線形熱方程式の解の爆発 柳田英二 著 ・反応拡散方程式（東京大学出版会） 柳田英二 著 ・これからの非線型偏微分方程式（日本評論社） 第１１章 非線形熱方程式の自己相似解について 内藤雄基 著 ・H. Fujita, On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for 𝑢𝑢𝑡𝑡 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 + 𝑢𝑢1+𝛼𝛼 , J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I 13 (1966), 109-124. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(281) １.１ 半線形偏微分方程式とは. ① 半線形放物型方程式（熱方程式） 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢𝑡𝑡 = ∆𝑢𝑢 + |𝑢𝑢| 𝑢𝑢, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 > 0 ② 半線形楕円型方程式（ポアソン方程式） 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢, 𝑥𝑥 ∈ Ω −∆𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 ③ 半線形分散型方程式（シュレディンガー方程式） 𝑟𝑟−1 𝑢𝑢, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 ∈ (−𝑇𝑇, 𝑇𝑇) 𝑖𝑖𝑢𝑢𝑡𝑡 + ∆𝑢𝑢 = |𝑢𝑢|. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(282) 1.1 半線形偏微分方程式とは. ① 半線形放物型方程式（熱方程式） ← 化学 一様な混合気体の燃焼の理論により導かれる方程式 ② 半線形楕円型方程式（ポアソン方程式） ← 生物 動物態と植物態を行き来する細胞性粘菌に関する Keller-Segel系の定常状態から導かれる方程式 ③ 半線形分散型方程式（シュレディンガー方程式）←物理 流体力学における渦系の運動、高出力のレーザービー ムなどの現象を研究する際に現れる方程式. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(283) 1.1 半線形偏微分方程式とは. 用語 （ルベーグ空間 𝐿𝐿𝑞𝑞 空間 （𝑞𝑞 > 1） ） 𝐿𝐿𝑞𝑞 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓. 𝐿𝐿𝑞𝑞 𝑅𝑅𝑛𝑛. 𝐿𝐿∞ :有界な関数全体、. Mathematics Laboratory. � 𝑓𝑓 𝑥𝑥. 𝑞𝑞. 𝑑𝑑𝑑𝑑. = � 𝑓𝑓 𝑥𝑥. 𝑞𝑞. 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑅𝑅𝑛𝑛. 𝑅𝑅𝑛𝑛. 1 𝑞𝑞 1 𝑞𝑞. <∞. 𝐶𝐶 :連続関数全体. National Institute of Technology, Kushiro College.
(284) 1.1 半線形偏微分方程式とは. 用語（マイルド解） 定数𝑇𝑇 > 0に対し、 [0, 𝑇𝑇]から𝐿𝐿𝑞𝑞 𝑅𝑅𝑛𝑛 への関数 0, 𝑇𝑇 ∋ 𝑡𝑡 ↦ 𝑣𝑣 𝑡𝑡 ∈ 𝐿𝐿𝑞𝑞 𝑅𝑅𝑛𝑛. が連続な関数の全体を𝐶𝐶( 0, 𝑇𝑇 ; 𝐿𝐿𝑞𝑞 (𝑅𝑅𝑛𝑛 ))と表す。 ノルムは. 𝑣𝑣 = max 𝑣𝑣(𝑡𝑡) 𝑡𝑡∈[0,𝑇𝑇]. 𝐿𝐿𝑞𝑞 𝑅𝑅𝑛𝑛. とする。. ※ 𝐶𝐶( 0, 𝑇𝑇 ; 𝐿𝐿𝑞𝑞 (𝑅𝑅𝑛𝑛 ))に属する方程式の解をマイルド解という. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(285) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題. 𝑢𝑢𝑡𝑡 =. ∆𝑢𝑢 � + 𝑢𝑢 �𝑟𝑟 , 拡散項 反応項（非線形項） 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢0 (𝑥𝑥) 初期値. ※ ただし、𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 > 0, 𝑛𝑛 ≥ 1, 𝑟𝑟 > 1。. 初期値問題の解は次元𝑛𝑛や𝑟𝑟の値によっ て、その様子が変わる！. ※ 以下しばらくの間、方程式内の各項の役割を復習する。 Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(286) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題（拡散項） 拡散項の役割 拡散による変化の過程は、拡散方程式（熱方程式） 𝑢𝑢𝑡𝑡 = ∆𝑢𝑢, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 > 0 で表すことができる。ここで,𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 で∆はラプラ ス作用素 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 2 ∆= + + ⋯+ 2 2 𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 2 である。. 𝑡𝑡 = 1. Mathematics Laboratory. 𝑡𝑡 = 4. 最大値原理に より、極大値は 減少、極小値 は増加する。. 拡散は解を一様 化する！. 𝑡𝑡 = 10. National Institute of Technology, Kushiro College.
(287) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題 熱の伝わり方. 温度の高いところ 熱の流れ込み. 時間とともに 温度が低下. 時間とともに 温度が上昇. 温度の低いところ ・ 熱の拡散現象 ・ ブラウン運動による溶液中の分子の広がり ・ ランダムな移動による生物個体群の密度の変化. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(288) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題（反応項） 反応項の役割 常微分方程式 𝑢𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑟𝑟 , 𝑢𝑢 0 = 𝑎𝑎 > 0, 𝑡𝑡 > 0, 𝑟𝑟 > 1 の解は,. 1 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 1−𝑟𝑟 𝑎𝑎 − 𝑟𝑟 − 1 𝑡𝑡. 1 𝑟𝑟−1. となる。このとき、時刻. 1 𝑇𝑇 = (𝑟𝑟 − 1)𝑎𝑎𝑟𝑟−1. で関数𝑢𝑢(𝑡𝑡)は発散することが わかる。 Mathematics Laboratory. 非線形項 𝑢𝑢𝑟𝑟 は、化学反応に よる熱の発生の速さを表す𝑢𝑢 の関数である。. National Institute of Technology, Kushiro College.
(289) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題（半線形熱方程式の意味）. 𝑢𝑢𝑡𝑡 =. , 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 > 0, ∆𝑢𝑢 � + 𝑢𝑢 �𝑟𝑟 拡散項 反応項 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢0 (𝑥𝑥) 初期値. 拡散項と反応項と初期値 のバランスで解𝑢𝑢は有限 時間爆発したり大域解に 延長可能だったりする。 Mathematics Laboratory. 臨界値が方程式のど の情報から決まるのか に興味が出る。 National Institute of Technology, Kushiro College.
(290) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題（爆発の臨界指数） 定理（H. Fujita 1966 ） 𝑢𝑢0 ∈ 𝐶𝐶0∞ (𝑅𝑅𝑛𝑛 )を初期値に持つ方程式. 𝑢𝑢𝑡𝑡 − ∆𝑢𝑢 = 𝑢𝑢𝑟𝑟 , 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 > 0 � 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢0 𝑥𝑥 ∈ 𝐶𝐶0∞ (𝑅𝑅𝑛𝑛 ). の解に対し、次が成り立つ。 𝟐𝟐 （１） 𝟏𝟏 < 𝒓𝒓 < 𝟏𝟏 + ならばすべての恒等的に０ではない初期 𝒏𝒏 値 𝑢𝑢0 ≥ 0に対して解は有限時間で爆発する。 𝟐𝟐 （２） 𝒓𝒓 > 𝟏𝟏 + ならば恒等的に０でない十分小さな初期値 𝒏𝒏 𝑢𝑢0 ≥ 0に対して解は時間大域的に存在する。 2 𝑛𝑛. 臨界指数 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 1 + はどのように決まるのか?. Mathematics Laboratory. National Institute of Technology, Kushiro College.
(291) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題（爆発の臨界指数） ● 初期値 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 0 = 𝑢𝑢0 𝑥𝑥 ∈ 𝐶𝐶0∞ 𝑅𝑅𝑛𝑛 かつ 𝑢𝑢0 ≥ 0. つまり、ある有界な領域𝐷𝐷 ⊂ 𝑅𝑅𝑛𝑛 に対して, > 0, (𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷) 𝑢𝑢0 𝑥𝑥 � . = 0, (𝑥𝑥 ≠ 𝐷𝐷) このとき、線形熱方程式 𝑢𝑢𝑡𝑡 = Δ𝑢𝑢 の解は、熱核 を用いて、. 𝐸𝐸 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 =. |𝑥𝑥|2 𝑛𝑛 (4𝜋𝜋𝜋𝜋)− 2 𝑒𝑒 − 4𝑡𝑡. 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 = (𝑢𝑢0 ∗ 𝐸𝐸)(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = � 𝑢𝑢0 𝑦𝑦 𝐸𝐸 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦, 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑛𝑛. と表せる。. 0 < 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 ≤ (4𝜋𝜋𝜋𝜋). Mathematics Laboratory. 𝑛𝑛 −2. � 𝑢𝑢0 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶1 𝑡𝑡 𝐷𝐷. National Institute of Technology, Kushiro College. 𝑛𝑛 −2. ..
(292) 1.2 半線形熱方程式の初期値問題（爆発の臨界指数） また、十分大きな𝑡𝑡に対して𝑒𝑒. −. 𝑥𝑥−𝑦𝑦 2 4𝑡𝑡. >. 1 2. なので、. 𝑛𝑛 𝑛𝑛 1 −2 −2 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 > (4𝜋𝜋𝜋𝜋) � 𝑢𝑢0 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶2 𝑡𝑡 . 2 𝐷𝐷 よって十分時間が経過した後では、 𝑛𝑛 − 2 𝐶𝐶1 𝑡𝑡. < 𝑢𝑢(⋅, 𝑡𝑡). 𝐿𝐿∞. ≤. 𝑛𝑛 − 2 𝐶𝐶2 𝑡𝑡. 時間に関する拡散の強さ. 一方、反応の強さは、常微分方程式の解より 𝑢𝑢 𝑡𝑡 =. Mathematics Laboratory. 𝑎𝑎1−𝑟𝑟. − 𝑟𝑟 − 1 𝑡𝑡. 1 − 𝑟𝑟−1. 時間に関する反応の強さ. National Institute of Technology, Kushiro College.
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