第 4 章 場の相互作用 65
4.3 Feynman Rule
となる。
この第二項であるg2(G(2)−G(0)Z(2))を考えると、この引き算によって、
x y
+ x y +· · ·+ x y + x y
−x y ×
(a) (b)
x y
x y
=
x y
+ x y +
x y
(4.33) のようにして真空バブルを含む部分が消えてしまう。
つまりこの割り算により、(d)や(e)のような振幅は引き算されていく。
さらに、(c)のような連結でない図の寄与は物理的に意味のある計算では差し引いて考えるべ きである。これについては、後で考察する。
4.3. Feynman Rule 73 を複数回数える」ということが起こらないとしての答えなので、同じものを数えてしまう回数 (この場合は3!×2)で割っておけば正しい答えがでる。これが数因子の正体である。
あと問題となるのはiなどの数である。iが式の中に出現するのは、
• g一個ごとに−i
• K−1一個ごとにi
の二つであるから、図との対応として、線がiK−1に対応し、頂点が−igに対応すすと考えて おけばよい。これで、図が書ければ計算すべき量が以下の手順でわかる。
1. 図の線一本に対し、iK−1(∗,∗)を対応させる。
2. 図の頂点一個一個に対し、−igを対応させる。
3. 図全体を見て、頂点、線の取り替えに対する対称性があったら、その対称性によって同等 とみなせる数で割算する。
4. 中間点の座標(Jの場所ではないところ)は全て積分する。
このようなFeynman図と数式との対応のさせ方をFeynman Ruleと言う。
4.3.2 簡単な 2 点関数の計算
2点関数のO(g0),O(g2)の具体的な計算を行ってみよう。
iK−1(x, y) = 1 (2π)4
∫
d4p i
p2−m2e−ip(x−y) (4.34)
−1 2g2
∫
dx′dy′K−1(x, x′)(K−1(x′, y′))2K−1(y′, y)
= −1 2g2
∫
d4x′d4y′ 1 (2π)4
∫
d4p i
p2−m2e−ip(x−x′) 1 (2π)4
∫
d4q i
q2 −m2e−iq(x′−y′)
× 1 (2π)4
∫
d4r i
r2−m2e−ir(x′−y′) 1 (2π)4
∫
d4s i
s2−m2e−is(y′−y)
(4.35)
のようにFourier変換して考える。後者のx′-積分、y′-積分はそれぞれδ関数(2π)4δ(p −q − r),(2π)4δ(q+r−s)を出すので、結果として、s-積分とr-積分を実行すれば、
−1 2g2 1
(2π)8
∫
d4p i p2−m2
∫
d4q i q2 −m2
i (p−q)2−m2
i
p2−m2e−ip(x−y) (4.36) のような形にまとまる。残った積分
∫
d4q i q2 −m2
i
(p−q)2−m2 の計算は簡単でない。なぜな らこれは発散量だからからである(正直に計算すると∞になる)。ここでは、この結果を直接に は計算せず、ただ単に結果を
1 (2π)4
∫
d4p i
p2−m2(−i)Σ(p2) i
p2−m2e−ip(x−y) (4.37) と書こう。ここで
Σ(p2) = −ig2 2
1 (2π)4
∫
d4q i q2−m2
i
(p−q)2−m2 (4.38)
と置いた。積分したので、もはやqには依存しない。またローレンツ不変性から、結果はpµの 方向にはよらないということを考慮すれば、p2の関数として書くことができる。
ここではO(g2)まで考えたが、もっとオーダーの高いところまで考えると（ここまでの計算 の範囲でも）、
...
のようなたくさんの図が出てくるだろうことが予想できる。上のΣ(p2) はちょうど図の○一 個に対応する。もちろん、オーダーの高いところでは、もっと複雑な図も出てくる。ここでは 今計算した量で書けるものをとりあげているだけである。
この量は一種の無限等比級数なので、足し上げが可能である。すなわち、
1 (2π)4
∫
d4peip(x−y) i p2−m2
∑∞
N=0
(
−iΣ(p) i p2 −m2
)N
= 1
(2π)4
∫
d4peip(x−y) i
p2−m2 × 1
1−(−iΣ(p2))p2−im2
= 1
(2π)4
∫
d4peip(x−y) i
p2−m2−Σ(p2)
(4.39)
この部分だけを考えると、あたかも質量がm2 →m2+ Σ(p2)とずれたかのごとく考えること ができる。というより、我々が実際に観測する質量はm2 ではなくm2+ Σ(p2)の方である。こ のように最初にラグランジアンに入っていた質量と、物理的質量にはずれが生じる。これを量 子補正(quantum correction)と呼び、繰り込みという考え方につながる。
例えば「１個の粒子が飛んでいる」というふうに我々が観測する現象の中でも、このような 複雑な相互作用が何度も起きていると考えられる。つまり、相互作用表示におけるa†p|0⟩のよう な状態を単純に「１粒子状態」と考えるのは厳密には正しくない。
4.3.3 運動量表示での Feynman Rule
次に同じ量を運動量表示で計算してみる。n点関数G(x1, x2,· · ·, xn)を G(p1, p2,· · ·, pn) =
∫
dx1dx2· · ·dxneip1x1eip2x2· · ·eipnxnG(x1, x2,· · ·, xn) (4.40) のようにFourier変換した量G(p1, p2,· · ·, pn)を考えよう3。全体的に運動量が必ず保存するの で、G(p)は必ずデルタ関数(2π)4δ(
∑n i=1
pi)を含んでいる。そこで
G(p1, p2, p3,· · ·, pn) = ˜G(p1, p2, p3,· · ·, pn)(2π)4δ(
∑n i=1
pi) (4.41)
としたG˜を求めてみよう。Feynman図は頂点と線で作られるが、線は伝播関数 iK−1(x, y) = 1
(2π)4
∫
dp4 i
p2−m2e−ip(x−y) (4.42)
3ここでは後でルールが簡単になるように、Fourier変換の因子を1と選んでいる。 1
√2π
で割るという操作をし ていないので、その点注意。
4.3. Feynman Rule 75 で表せる。そこで、運動量表示では線一本に 1
(2π)4 i
p2−m2 が対応する。ここでe−ip(x−y)が入 らないのは、座標x, yは全て後で積分されるからである。
線のうち、今考えている座標x1, x2,· · ·, xnにつながっている線を外線、それ以外の線を内線 という。まず外線部分を計算することを考える。外線一個一個について、
∫
dxIK−1(xI, y)eipIxI = i
p2I−m2e−ipIy (4.43) のような積分をすることになるので、外線1本は i
p2I−m2 だと考えればよい。
次に頂点であるが、頂点は−igだけでなく、積分
∫
d4xを含むことに注意する。運動量表示 に持って行く時、この積分は運動量保存を表すデルタ関数(2π)4δ(∑p)に化ける。ただしここ で∑pはその頂点に流れ込む運動量の和である。
ここまでを表にすると 外線 i
p2−m2 内線 1
(2π)4 i p2−m2 頂点 −ig(2π)4δ(∑p) となる。
今、N個の頂点とM 個の内線がある場合を考える。つまり、M 個の運動量が積分されなく てはいけない。しかし、N 個の頂点からデルタ関数がN個でるので、独立な運動量はN個減 りそうである。ところが、このN個の中には必ず一つ、全体で運動量が保存していることから くるデルタ関数が入っている。つまり、積分に制限を加えるのはN −1個である。そこで、独 立な運動量はM −N + 1個である。結局、M −N + 1個の運動量積分をしなくてはいけない ことになる。
ここで、上の表に(2π)4が、内線に対して−1乗、頂点に関して1乗で効いていることを考え ると、全体で(2π)4は、N−M個出てくることがわかる。このうち1個は全体のデルタ関数に 上げることを考えると、G(p)˜ に含まれる(2π)4はN−M−1個。すなわち、上で考えた積分の 数×(−1)であるから、ルールの中の内線と頂点にある(2π)4を取り、それを積分につけてあげ ればよい。最終的なルールは、
外線 i p2−m2 内線 i
p2−m2 頂点 −ig 積分 1
(2π)4
∫
d4p となる。
これから、図がかければG(p)˜ を書き下すことができるようになる。
具体的なルールは以下のようになる。
1. 図に保存するように運動量を当てはめる。
2. 線一本ごとに i
p2−m2 を対応させる。
3. 頂点一本ごとに−igを対応させる。
4. 対称因子で割る。
5. 積分しなくてはいけない運動量を 1 (2π)4
∫
d4pをかけて積分する。
これでG(p)˜ が出る。さらに(2π)4δ(∑p)を付け加えた上で G(x1, x2,· · ·,n) = 1
(2π)4n
∫
d4p1d4p2· · ·d4pne−ip1x1e−ip2x2· · ·e−ipnxnG(p)(2π)˜ 4δ(∑p) (4.44) と積分4すれば座標表示でのn点関数が計算できる。
なお、(2π)4を取り除いたのと同じ理由で、内線からiを、頂点から−iを取り除き、かわり に積分にiをかける、というFeynman Ruleを使う場合もある。その場合、G(p)˜ からG(x)を 作る時にかける全体の運動量保存を示す因子は−i(2π)4δ(∑p)となる。他にもいろんな流儀が あるので、本などを読む時は注意すること。