CMB 異方性スペクトル

68 第11章 CFTスペクトルからCMB多重極まで

-400 -300 -200 -100 0 100 200

1 10 100 500 700 900

-20 -10 0 10 20

1 10 100

l(l+1)Cl/2π

Multipole, l

図 11.5: CMBのTEパワースペクトルをWMAP5のデータとともに表示。パ ラメータは図11.4と同じである[χ²/dof = 0.977 (2≥l≤1000)]。

られることから、最終散乱面までの距離d_decを14000Mpcとしてl = 2,3 成分のおよその波数を求めると0.0002Mpc⁻¹となる。ここでは

λ= 0.00026Mpc⁻¹ と設定してその落ち込みを説明する。

定義式(11.2.5)にλとΛ_QG ≃ 1.1×10¹⁷GeV(9.2.7)の値を代入すると スケール因子は現在を1としてインフレーションが始まる前は

a(τ_i) = 0.00026Mpc⁻¹

1.1×10¹⁷GeV ≃1.5×10⁻⁵⁹

のオーダーになることが分かる。すなわち、現在1/λ≃4000Mpcの波長が インフレーションが始まる前は力学的相関距離ξΛ = 1/ΛQG ≃2×10⁻³¹cm の波長であったことを表している。この値はインフレーションのシナリ オと良く合っている。計算された膨張率Neの値から、宇宙はPlanck時

11.3. CMB異方性スペクトル 69 間から相転移までおよそ10³⁰倍膨張したことになる。さらに、時空相転 移以後、力学的エネルギーΛ_QGと3^oKの比から宇宙はおよそ10²⁹倍膨張 すると考えられるので、合わせると10⁵⁹が導かれる。

大角度成分(l < 100)におけるスカラーゆらぎ振幅の不足を補うため にテンソルゆらぎを加える必要がある。ここではテンソル・スカラー比 をr = 0.06と設定する。また、EEスペクトル(非表示)から光学的深さ

をτ_e = 0.08と決める。その他の宇宙論パラメータは実験データと合う

ように決める。計算されたTTパワースペクトルはWMAPの5年目の データ(WMAP5)及びACBAR(Arcminute Cosmology Bolometer Array Receiver)の実験データともに図11.4に表示した。TEパワースペクトル はWMAP5のデータとともに図11.5に表示した。

71

付 録 A

A.1 曲率に関する公式 ( 上下巻共通 )

本書で採用するChristoffel記号及びRiemann曲率テンソルの定義は Γ^λ_µν = 1

2g^λσ(∂_µg_νσ+∂_νg_µσ−∂_σg_µν), R^λ_µσν = ∂_σΓ^λ_µν −∂_νΓ^λ_µσ+ Γ^λ_ρσΓ^ρ_µν −Γ^λ_ρνΓ^ρ_µσ,

である。RicciテンソルはR_µν = R^λ_µλν、RicciスカラーはR = R^µ_µで定 義される。共変微分はChristoffel記号を用いて表すと

∇µA^σ_λ¹₁^···_···λ^σm_n =∂_µA^σ_λ¹₁^···_···λ^σm_n −^∑n

j=1

Γ^ν_µλ^j_jA^σ_λ¹₁^···_···ν^σ_j^m_···λn+

∑m

j=1

Γ^σ_µν^j_jA^σ_λ¹₁^···_···λ^νj_n^···σm となり、その交換関係は

[∇µ,∇ν]A_λ1···λn =

∑n

j=1

R_µνλ^σj

j A_{λ1···σj···λn}

を満たす。付録Aでは断らない限り次元は任意のDとする。

Riemann曲率テンソルは関係式

R^µ_νλσ+R^µ_λσν +R^µ_σνλ = 0,

∇ρR^µ_νλσ+∇λR^µ_νσρ+∇σR^µ_νρλ = 0

を満たす。二番目の式はBianchiの恒等式である。これより、関係式∇µR^µ_λνσ =

∇νR_λσ− ∇σR_λνと∇µR^µ_ν =∇νR/2が得られる。

δg^µν = −g^µλg^νσδg_λσ, δ√

−g = 1 2

√−gg^µνδgµν,

δΓ^λ_µν = 1

2g^λσ(∇µδgνσ+∇νδgµσ − ∇σδgµν), δR^λ_µσν = ∇σδΓ^λ_µν − ∇νδΓ^λ_µσ

= 1

2g^λρ{∇σ∇µδg_νρ+∇σ∇νδg_µρ− ∇σ∇ρδg_µν − ∇ν∇µδg_σρ

−∇ν∇σδg_µρ+∇ν∇ρδg_µσ^}, δR_µν = δR^λ_µλν

= 1 2

{∇µ∇^λδg_λν+∇ν∇^λδg_λµ− ∇²δg_µν − ∇µ∇ν

(

g^λσδg_λσ^)}

−R^{λ σ}_{µ ν}δg_λσ+1 2

(

R_µ^λδg_λν+R_ν^λδg_λµ⁾, δR = δg^µνR_µν+g^µνδR_µν

= −R^µνδg_µν +∇^µ∇^νδg_µν − ∇²(g^µνδg_µν) で与えられる。その他、微分を含む場の変分公式として、

δ(∇µA) = ∇µδA,

δ(∇µ∇νA) = ∇µ∇νδA−1

2∇^λA(∇µδg_νλ+∇νδg_µλ− ∇λδg_µν), δ(∇²A) = ∇²δA−δg_µν∇^µ∇^νA− ∇^µA∇^νδg_µν+ 1

2∇^λA∇λ(g^µνδg_µν) などが有用である。ここで、Aは任意のスカラー場である。

曲率のWeyl変換則 Weyl変換δ_ωg_µν = 2ωg_µνによる曲率の変分は δ_ω√

−gR= (D−2)ω√

−gR−2(D−1)√

−g∇²ω となる。曲率の2乗の変分は

δ_ω√

−gR^µνλσR_µνλσ = (D−4)ω√

gR^µνλσR_µνλσ−8√

−gR^µν∇µ∇νω, δ_ω√

gR^µνR_µν = (D−4)ω√

gR^µνR_µν−2√

−gR∇²ω

A.1. 曲率に関する公式(上下巻共通) 73

−2(D−2)√

−gR^µν∇µ∇νω, δ_ω√

−gR² = (D−4)ω√

gR²−4(D−1)√

gR∇²ω, δ_ω√

−g∇²R = (D−4)ω√

−g∇²R+ (D−6)√

−g∇^λR∇λω

−2√

−gR∇²ω−2(D−1)√ g∇⁴ω, δ_ω√

−gF_µνF^µν = (D−4)ω√

−gF_µνF^µν

で与えられる。これらより、積分可能条件をD次元に一般化した式(8.1.8) は

[δ_ω1, δ_ω2]Γ = 2{4η₁+Dη₂+ 4(D−1)η₃+ (D−4)η₄}

×^∫ d^Dx√

−gRω_[1∇²ω_2]

で与えられる。

Euler関係式 D= 2のときEuler関係式 Rµν = 1

2gµνR が成り立つ。D= 4ではEuler関係式

RµλσρR_ν^λσρ−2RµλνσR^λσ−2RµλR_ν^λ+RµνR= 1 4gµνG4

が成り立つ。

モード分解と展開式 計量場をg_µν =e^2ϕg¯_µνのようにRiegert場とトレー スレステンソル場に分解すると、曲率は

Γ^λ_µν = Γ¯^λ_µν+ ¯g^λ_µ∇¯νϕ+ ¯g^λ_ν∇¯µϕ−¯g_µν∇¯^λϕ,

R^λ_µσν = R¯^λ_µσν+ ¯g^λ_ν∆¯_µσ −g¯^λ_σ∆¯_µν+ ¯g_µσ∆¯^λ_ν −g¯_µν∆¯^λ_σ +(¯g^λ_ν¯g_µσ−g¯^λ_σ¯g_µν) ¯∇ρϕ∇¯^ρϕ,

R_µν = R¯_µν −(D−2) ¯∆_µν−g¯_µν^{∇¯²ϕ+ (D−2) ¯∇λϕ∇¯^λϕ^}, R =

e

^−2ϕ{R^¯−2(D−1) ¯∇²ϕ−(D−1)(D−2) ¯∇λϕ∇¯^λϕ^}

さらに、計量場¯g_µν = (ˆge^h)_µνをh_µνで展開すると、

Γ¯^λ_µν = Γˆ^λ_µν + ˆ∇(µh^λ_ν)− 1 2

∇ˆ^λh_µν+ 1 2

∇ˆ(µ(h²)^λ_ν)− 1 4

∇ˆ^λ(h²)_µν

−h^λ_σ∇ˆ(µh^σ_ν)+1

2h^λ_σ∇ˆ^σh_µν+o(h³), R¯ = Rˆ−Rˆ_µνh^µν+ ˆ∇µ∇ˆνh^µν− 1

4

∇ˆ^λh^µ_ν∇ˆλh^ν_µ+1 2

Rˆ^σ_µλνh^λ_σh^µν +1

2

∇ˆνh^ν_µ∇ˆλh^λµ−∇ˆµ(h^µ_ν∇ˆ^λh^ν_λ) +o(h³), R¯_µν = Rˆ_µν−Rˆ^σ_µλνh^λ_σ + ˆR^λ_(µh_ν)λ+ ˆ∇(µ∇ˆ^λh_ν)λ− 1

2

∇ˆ²h_µν

−1

2h^λ_(µ∇ˆ²h_ν)λ− 1 2

∇ˆ^λh^σ_µ∇ˆσhνλ− 1 4

∇ˆµh^λ_σ∇ˆνh^σ_λ

−1 2

∇ˆλ(h^λ_σ∇ˆ(µh^σ_ν)) + 1 2

∇ˆλ(h^σ_(µ∇ˆν)h^λ_σ) + 1 2

∇ˆλ(h^λ_σ∇ˆ^σhµν) +o(h³) を得る。ここで、a(µb_ν) = (a_µb_ν +a_νb_µ)/2である。R¯ = ¯g^µνR¯_µν、¯g^µν = ˆ

g^µν −h^µν +· · ·に注意して、[ ˆ∇λ,∇ˆν]h^λ_µ = h^λ_σRˆ^σ_µνλ+h_µσRˆ^σ_ν を使うと R¯_µνからR¯を導くことができる。

A.2 曲がった時空上のフェルミオン

計量場は多脚場を用いてg_µν =e^α_µe_ναと表される。以下では任意のD次 元を考え、断らない限りα、β、γ、δはLorentzの脚、µ、ν、λ、σはEinstein の脚とする。ガンマ行列はアルファベットによらずすべてLorentzの脚を 持つものとし、反交換関係{γ^α, γ^β}=−2η^αβで定義される。Einsteinの脚 を持つガンマ行列は導入せず、多脚場を用いてe^µ_αγ^αと表す。フェルミオン ψのDirac共役(adjoint)はLorentzの脚のガンマ行列を使ってψ¯=ψ^†γ⁰ と定義される。

共変微分 共変微分の一般的な式は D_µ =∂_µ+1

2ω_µαβΣ^αβ

A.2. 曲がった時空上のフェルミオン 75 で与えられる。ここで、接続１フォーム(connection 1-form)ω_µdx^µは

ω_µαβ =e^ν_α∇µe_νβ =e^ν_α⁽∂_µe_νβ−Γ^λ_µνe_λβ⁾

と定義される量で、Lorentzの脚について反対称性ω_µαβ =−ω_µβαが成り 立つ。Σ^αβはLorentz生成子で交換関係

[

Σ^αβ,Σ^γδ]=η^βγΣ^αδ−η^αγΣ^βδ+η^βδΣ^γα−η^δαΣ^γβ を満たす。この交換関係より共変微分は

[D_µ, D_ν] = 1

2(∂_µω_ναβ−∂_νω_µαβ+ [ω_µ, ω_ν]_αβ) Σ^αβ

= 1

2R_µναβΣ^αβ を満たす。

Lorentz生成子はスカラー場に対してはΣ^αβ = 0である。ゲージ場に作 用する場合は、Einsteinの脚を使ってΣ^µν =e^µ_αe^ν_βΣ^αβと書くと、(Σ^µν)λσ = g^µ_λg^ν_σ −g^µ_σg^ν_λで与えられ、共変微分はD_µ=∇ν となる。フェルミオン に作用する場合はガンマ行列を用いて

Σ^αβ =−1 4

[

γ^α, γ^β] で与えられる。

Weyl不変性 質量ゼロのフェルミオンは任意の次元で共形不変になる。

無限小Weyl変換δ_ωg_µν = 2ωg_µνを考えると、多脚場及びフェルミオンは δ_ωe^µ_α =−ωe^µ_α, δ_ωe_µα=ωe_µα, δ_ωψ = 1−D

2 ωψ, δ_ωψ¯= 1−D 2 ωψ¯ と変換する。このとき、各量の変換は

δ_ωω_µαβ = ⁽e_µαe^λ_β −e_µβe^λ_α⁾∂_λω, δ_ω(e^µ_αγ^αD_µψ) = −D+ 1

2 ωe^µ_αγ^αD_µψ

となる。二番目の式ではγ_αΣ^αβ = ¹₂(D−1)γ^βを使った。これより、フェ ルミオンの運動項は

δω

(√

−gψe¯ ^µ_αγ^αDµψ⁾=

(

Dω+ 1−D

2 ω− D+ 1 2 ω

)√

−gψe¯ ^µ_αγ^αDµψ = 0 のように任意のD次元でWeyl不変であることが示せる。

坦な背景場のまわりでの展開式を記す。フェルミオンは共形不変なので Riegert場の依存性は除いて考える。

Riegert場依存性を除いた多脚場はトレースレステンソル場で展開す

ると

¯

e_µα = (e^12h)_µα =η_µα+1

2h_µα+ 1

8(h²)_µα+· · ·,

¯

e^µ_α = (e^−12h)^µ_α =δ_α^µ−1

2h^µ_α+1

8(h²)^µ_α+· · ·

となる。ここで、¯e^α_µ¯e_να = ¯g_µν、¯e^µ_α¯e_µβ =η_αβである。いま平坦な背景時空 のまわりで展開しているので、右辺に現れた量の脚はすべてLorentzの脚 とみなすことができる。この式を使うと展開式

¯

ω_µαβ = ¯e^ν_a⁽∂_µe¯_νβ −Γ¯^λ_µνe¯_λβ⁾

= −1

2(∂_αh_µβ−∂_βh_µα)− 1 8

(

h^λ_α∂_µh_λβ−h^λ_β∂_µh_λα⁾

−1 4

(

hµλ∂αh^λ_β −hµλ∂βh^λ_α⁾+ 1 4

(

h^λ_α∂λhµβ−h^λ_β∂λhµα

)

+o(h³) を得る。

77

付 録 B

B.1 G

_D

の D = 4 の周りでの展開式

D次元で定義された4次元Euler密度G4を時空積分したものをD= 4 の周りで展開すると

∫

d^Dx√ gG₄ =

∑∞ n=0

(D−4)ⁿ n!

∫

d^Dx

√

ˆ g

{

ϕⁿG¯₄+ 4(D−3)ϕⁿR¯^µν∇¯µ∇¯νϕ

−2(D−3)ϕⁿR¯∇¯²ϕ−2(D−2)(D−3)(D−4)ϕⁿ∇¯²ϕ∇¯^λϕ∇¯λϕ

−(D−2)(D−3)²(D−4)ϕⁿ( ¯∇^λϕ∇¯λϕ)²

}

(B.1.1) となる。また、D次元で定義されたM_D(8.1.9)の場合は

∫

d^Dx√

gM_D =− D−4 4(D−1)

∫

d^Dx√ gR²

=− 1

4(D−1)

∑∞ n=0

(D−4)ⁿ n!

∫

d^Dx

√

ˆ g

{

(D−4)ϕⁿR¯²

−2(D−1)(D−6)ϕⁿR¯∇¯²ϕ+ 2(D−1)(D−2)ϕⁿ∇¯^λR¯∇¯λϕ +4(D−1)²ϕⁿ∇¯⁴ϕ+ 8(D−1)²(D−4)ϕⁿ∇¯²ϕ∇¯^λϕ∇¯λϕ +(D−1)²(D−2)²(D−4)ϕⁿ( ¯∇^λϕ∇¯λϕ)²

}

(B.1.2) となる。作用E_D(8.1.3)はこれらを組み合わせて求められる。

展開式(B.1.2)の最後の二項は(D−4)ⁿの次数でそれぞれo(ϕⁿ⁺²)と o(ϕⁿ⁺³)の寄与を与える。展開式(B.1.1)も同様である。一方、EDの条 件式(8.1.10)は高々o(ϕⁿ⁺¹)までの寄与でなければならない。そのため、

o(ϕⁿ⁺²)とo(ϕⁿ⁺³)の項が同時に相殺するような組み合わせが存在するか どうかを考える。

を探すと、η =−4(D−3)²/(D−1)(D−2)に唯一決まることが分かる。

このようにしてE_Dが求められる。

組み合わせG_D(8.1.4)はE_Dの全微分項を除いた部分なので、^∫ d^Dx√

gE_D =

∫ d^Dx√gG_Dである。これより、GDの展開式は

∫

d^Dx√

gG_D =

∑∞ n=0

(D−4)ⁿ n!

∫

d^Dx

√

ˆ g

{

ϕⁿE¯_D+ 4(D−3)²

D−2 ϕⁿ∇¯⁴ϕ +4(D−3)ϕⁿR¯^µν∇¯µ∇¯νϕ−4(D−3)(D² −6D+ 10)

(D−1)(D−2) ϕⁿR¯∇¯²ϕ

−2(D−3)²(D−6)

(D−1)(D−2) ϕⁿ∇¯^λR¯∇¯λϕ− 2(D−3)(D−4)³

D−2 ϕⁿ∇¯²ϕ∇¯λϕ∇¯^λϕ

}

=

∫

d^Dx

√

ˆ g

{

G¯₄+ (D−4)

(

2ϕ∆¯₄ϕ+ ¯E₄ϕ+ 1 18

R¯²

)

+1

2(D−4)²

(

2ϕ²∆¯₄ϕ+ ¯E₄ϕ²+ 6ϕ∇¯⁴ϕ+ 8ϕR¯^µν∇¯µ∇¯νϕ

−28

9 ϕR¯∇¯²ϕ+8

9ϕ∇¯^λR¯∇¯λϕ− 14 9

R¯∇¯²ϕ+ 1 9

R¯²ϕ+ 5 54

R¯²

)

+1

3!(D−4)³⁽2ϕ³∆¯4ϕ+ ¯E4ϕ³ −6 ¯∇²ϕ∇¯^λϕ∇¯λϕ+ 9ϕ²∇¯⁴ϕ+· · ·⁾ +o((D−4)⁴)

}

となる。¹

1二次元量子重力ではD次元のRicciスカラー曲率を時空で積分したものをD = 2 の周りで展開した式

∫ d^Dx√

gR=

∑∞ n=0

(D−2)ⁿ n!

∫

d^Dx√ ˆ g

{−(D−1)ϕⁿ∇¯²ϕ+ ¯Rϕⁿ }

が対応する。n= 1の部分がLiouville-Polyakov作用である。

79

付 録 C

C.1 次元正則化のための公式

D次元Euclid空間積分 D次元Euclid空間積分は

∫

d^Dp =

∫

p^D−1dp

∫

dΩ_D, (p² =p_µp_µ)

∫

dΩ_D =

∫ D∏−1 l=1

sin^D−1−lθ_ldθ_l = 2π^D/2 Γ^(D₂⁾ と表される。

基本積分公式 次元正則化に出てくる運動量積分の基本形はp²の関数を 被積分関数にもつ

∫ d^Dp (2π)^D

p²ⁿ

(p²+L)^α = 1 (4π)^D/2

Γ⁽n+ ^D₂⁾Γ⁽α−n− ^D₂⁾

Γ^(D₂⁾Γ(α) L^D/2+n−α である。被積分関数がp_µを含む場合は

∫ d^Dp

(2π)^Dp_µp_νf(p²) = 1 Dδ_µν

∫ d^Dp

(2π)^Dp²f(p²),

∫ d^Dp

(2π)^Dpµpνpλpσf(p²) = 1

D(D+ 2)(δµνδλσ+δµλδνσ +δµσδνλ)

×^∫ d^Dp

(2π)^Dp⁴f(p²)

を使うと基本形の積分で表すことができる。被積分関数が運動量p_µの奇 数次の場合はゼロである。

を行う際に現れるより複雑な積分はFeynmannパラメータ公式 1

A^αB^β = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β)

∫ ₁

0

dx (1−x)^α−1x^β−1 [(1−x)A+xB]^α+β を使って運動量積分を基本形が使える形にする。

自己エネルギー積分 自己エネルギーのくりこみ計算に現れるA=p²+z² とB = (p+q)²+z²の組み合わせの場合を考える。ここで、z²は質量項 に当たる。このとき、

∫ d^Dp (2π)^D

f(p_µ, q_ν)

(p²+z²)^α((p+q)²+z²)^β

= Γ(α+β) Γ(α)Γ(β)

∫ ₁

0

dx(1−x)^α−1x^β−1

∫ d^Dp^′ (2π)^D

f(p^′_µ−xq_µ, q_ν) [p^′2+z² +x(1−x)q²]^α+β

を得る。頂点関数のくりこみ計算ではこの作業をくりかえす。

発散の評価 次元正則化ではD = 4−2ϵとして、紫外発散はϵの極とし て抜き出される。その際に、

Γ(ϵ) = 1

ϵ −γ+ ϵ 2

(

γ²+π² 6

)

+o(ϵ²), a^ϵ = e^ϵlna = 1 +ϵlna+o(ϵ²)

を使う。ここで、aとしてp²や赤外発散を取り除くための無限小のz²な どが対応する。

ガンマ行列の公式 D次元平坦Euclid背景時空でのガンマ行列を{γ_µ, γ_ν}=

−2δ_µνと定義する。次元正則化で使われるガンマ行列の公式として、

γλγλ = −D, γλγµγλ = (D−2)γµ,

γ_λγ_µγ_νγ_λ = −(D−4)γ_µγ_ν+ 4δ_µν, γ_λγ_µν = γ_λµν −δ_λµγ_ν +δ_λνγ_µ

C.1. 次元正則化のための公式 81 などがある。ここで、同じ時空の脚はδ_µνで縮約を取るものとする。ガン マ行列の反対称積は

γ_µν = 1

2[γ_µ, γ_ν], γ_λµν = 1

3!(γ_λγ_µγ_ν +γ_µγ_νγ_λ+γ_νγ_λγ_µ−γ_λγ_νγ_µ−γ_νγ_µγ_λ −γ_µγ_λγ_ν)

と定義する。

83

付 録 D

D.1 発展方程式の解析的考察

ここでは連立線形スカラー発展方程式(10.2.3)と(10.2.4)の解につて 解析的な考察を行う。そのために次のような簡単化を行う。まず、結合 定数t_rは十分小さな定数とする。このときHubble変数も定数になって、

以下H = H_D/√

B₀ = 1と規格化する。結合定数の二乗に比例した定数 T = b₁B₀t²_r/8π²(≪ 1)を導入する。さらに方程式の運動量依存性を無視 する。そのような状況は、運動量依存性が物理時間を用いて表すとk²/a² であることから、インフレーションが始まってから少し経つとスケール 因子aが急速に増大して実現する。このとき、スカラー揺らぎの発展方 程式は

−2^....Φ−14Φ^...−36 ¨Φ−48 ˙Φ + 2Ψ +14 ¨^... Ψ + 36 ˙Ψ + 48Ψ

+6⁽Φ + 4 ˙¨ Φ−Ψ˙ −4Ψ⁾= 0 (D.1.1) と

4 3

Φ +¨ 16 3

Φ +˙ 20 3 Φ−4

3 Ψ +˙ 4

3Ψ + 8 T

(Φ + ˙¨ Φ−Ψ¨ −Ψ˙⁾

−2(Φ + Ψ) = 0 (D.1.2)

で表される。

新しい変数f = Ψ−Φ˙ を導入すると、これらの方程式は

...

f +7 ¨f + 15 ˙f+ 12f = 0,

...

Φ−⁽1 + 7 12T

)

Φ˙ − 7

12TΦ = −f¨−⁽1 + 1 6T

)

f˙− 1 12T f

f =c₁

e

^−4τ +c₂

e

^−32τsin

(√ 3 2 τ

)

+c₃

e

^−32τcos

(√ 3 2 τ

)

を得る。この解を二番目の式に代入すると Φ = (a₁+c₁)

e

^−τ + (a₂+c₂)

(

1− 7 12T τ

)

+ (a₃+c₃)

(

1 + 7 12T τ

)

e

^τ

+c₁360−7T

1800

e

^−4τ +

√3c₂+ 5c₃

14

e

^−32τcos

(√ 3 2 τ

)

+5c₂−√ 3c₃

14

e

^−32τsin

(√ 3 2 τ

)

(D.1.3) を得る。このときT は小さいとして一次まで展開している。

ここでは運動量依存性を無視して計算しているので、この解には欲し ている揺らぎの解の他に真空解も含まれている。T = 0のとき(D.1.1)式 から真空モードΦ = Ψ =ωは

....ω +6ω^...+8¨ω−3 ˙ω−12ω= 0

を満たすことが分かる。一方、(D.1.2)式はこのとき自明な式となる。こ の式は 9.2 節で議論した真空モードϕˆの運動方程式に他ならないもの で、インフレーション解

e

^τと減衰する三つの解

e

^−4τ、

e

^{−3τ /2}sin(√

3τ /2)、

e

^{−3τ /2}cos(√

3τ /2)を持つ。ここで欲しいのは揺らぎの解なので、T = 0

の極限でこれらの真空解になるものを一般解(D.1.3)から除かなければな らない。このようにして揺らぎΦのT ≪1での振る舞いは、指数関数的 に減衰する解を無視すると、

Φ∼1− 7 12T τ

となることが分かる。この解の振る舞いが図11.1及び図11.2の減少して いる部分に現れている。

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付 録 E

E.1 基本定数とパラメータ

換算Planck定数 h¯ = 1.055×10⁻²⁷ cm² g s⁻¹ 光速(speed of light) c = 2.998×10¹⁰ cm s⁻¹ Newton定数 G = 6.672×10⁻⁸ cm³ g⁻¹ s⁻² Planck質量 m_pl = 2.177×10⁻⁵ g

= 1.221×10¹⁹ GeV/c² 換算Planck質量 M_P = 2.436×10¹⁸ GeV/c² Planck長さ lpl = 1.616×10⁻³³ cm Planck時間 t_pl = 5.390×10⁻⁴⁴ s

Boltzmann定数 k_B = 1.381×10⁻¹⁶ erg K⁻¹ メガパーセク(Megaparsec) 1Mpc = 3.086×10²⁴ cm

Hubble定数 H₀ = 100h km s⁻¹ Mpc⁻¹

現在のHubble距離 c/H₀ = 2998h⁻¹ Mpc

(現在の観測ではh ≃0.7である) 自然単位系(c= ¯h=k_B = 1)への変換に有益な定数

1 cm = 5.068×10¹³ ¯h/GeV 1 s = 1.519×10²⁴ ¯h/GeV/c 1 g = 5.608×10²³ GeV/c² 1 erg = 6.242×10² GeV 1 K = 8.618×10⁻¹⁴ GeV/k_B

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付 録 F _参考文献

次元正則化を基礎にした教科書

• J. Collins, Renormalization(Cambridge University Press, 1984).

• T. Muta, Foundations of Quantum Chromodynamics(World Scien-tific, 1987).

曲がった時空上のくりこみ理論

• S. Hathrell,Trace Anomalies andλϕ⁴ Theory in Curved Space, Ann.

of Phys. 139 (1982) 136.

• S. Hathrell, Trace Anomalies and QED in Curved Space, Ann. of Phys. 142 (1982) 34.

量子重力のくりこみ理論

• K. Hamada and F. Sugino,Background-metric Independent Formu-lation of 4D Quantum Gravity, Nucl. Phys. B553 (1999) 283.

• K. Hamada, Resummation and Higher Order Renormalization in 4D Quantum Gravity, Prog. Theor. Phys. 108 (2002) 399.

• K. Hamada, Renormalizable 4D Quantum Gravity as a Perturbed Theory from CFT, Found. Phys. 39 (2009) 1356.

ドキュメント内 2 Planck Planck BRST Planck Λ QG Planck GeV Planck Λ QG Friedmann CMB (ページ 67-88)