7 推定値の保存と単回帰

推定値の違いに注目

ハンズオン 3

Wiring.JMP のまとめ

n

グラフの下に

Extreme-value Parameter Estimates

と

Weibull Parameter Estimates

が表示される

n

表には，

Weibull

分布のパラメータの推定値の他に，

推定値の信頼水準

95

％の上下限値，および反応数が 表示される

n Delta

は

Weibull

プロットの傾きで

Beta=1/Delta

n Lambda

は

Weibull

プロットの

63.2

％点で

Alpha=e ^Lambda

n Weibull

分布の他に

Exponential Plot

と

LogNormal

Plot

ができる

Motohisa HIRONO 77/186

Kaplan ･ Meier 推定量

n

故障

(

イベント

)

があった時点を とする

n t _i

時点の故障数を

d _i

とする

n t _i

時点の直前までのリスク集合の大きさを

n _i

とする

n リスク集合の大きさとは

,

その直前まで生き残っていた個体数

n 故障が発生するリスクにさらされた個体数

n リスク集合の大きさは

,

故障と打切りにより時点ごとに異なる

(

時間の経過とともにリスク集合の大きさは小さくなる

)

{ }

1 n

t

i i₌

( )

^{1 2}

1 2

ˆ 1 1 1 1

i

n

n i

t t

n i

d d

d d

S t n n n

_<

n

   

   

= −    × −  × × −   =  − 

    ^L   ∏  

Kaplan ･ Meier 推定量

n カプラン･マイヤー推定量は , 各時点の生存 率の積になっている

n 対数を取ると

n 各項は近似的に独立なので

( )

^{1 2}

1 2

ˆ 1 1 1 1

i

n

n i

t t

n i

d d

d d

S t n n n

_<

n

   

   

= −    × −  × × −   =  − 

    ^L   ∏  

( )

1

log ˆ log 1

n

i

i i

S t d

=

n

 

=  − 

 

∑

1

log ˆ log 1

n

i

i i

V S V d

=

n

   

  =   −  

  ∑    

Motohisa HIRONO 79/186

Kaplan-Meier 推定量

n テーラー展開の近似により

n 二項分散により

n したがって ,

2

ˆ 1 ˆ

log ˆ

V S V S

S

 

  ≈   •  

     

( )

log 1

^{i i}

i i i i

d d

V n n n d

   

− =

      −

 

( )

1

log ˆ

n

i

i i i i

V S d

n n d

=

  =

  ∑ −

( )

2 1

ˆ ˆ

^{n i}

i i i i

V S S d

n n d

=

  =

  ∑ −

グリーンウッドの公式

Kaplan-Meier 推定量

n 打切りがない場合は

n 率の分散の公式に一致する

1

1 1

ˆ

n

i i

n d

S n

=

−

= ∑

( ) ¹

ˆ ˆ 1 ˆ /

V S   =   S − S n

Motohisa HIRONO 81/186

補足； 累積ハザード法

n 時点 t _i におけるハザード率は､ハザード関 数による表現により､

( ) ( ^, )

,

i i

i

i i

t t t

h t t

t n

∆ + ∆

× = における故障数 時間以上の寿命を持つ個数

Δｔは微小な値で､限りなく

0

に近づけると

( )

1 i

k i

k

H t t

=

= ∑ ^k

k k

における故障数,r

t 時間以上の寿命を持つ個数n

タイがないときは

1

( ) 1

t i

k

H t

=

= ∑ _逆順位

補足； データ例

n 39 ､ 79 ， 90 ， 115 66 ， 96 （ｈ ) 完全データ 打切データ

から分布関数を推定する

n Excel 関数を使うと簡単である

Motohisa HIRONO 83/186

補足； 計算例

6

観測値 打切り順位 逆順位 故障数 λ(ｔ ) H(t) F(t)

39 0 1 6 1 0.1667 0.1667 0.15352

66 1 2 5 0 0 0.1667

73 0 3 4 1 0.25 0.4167 0.34076 90 0 4 3 1 0.3333 0.75 0.52763

96 1 5 2 0 0 0.75

115 0 6 1 1 1 1.75 0.82623

=count(

データ範囲

)

データ､打切り有無､順位を入力

＝

A$1-C3+1

＝

E3/D3

If

文を使う 累積する

If

文を使い完全データだけ

F(t)

を推定する

補足； ジョンソン法

n 打切りを考慮した平均順位を計算して F(t) を推定する

n 打切りがなければ､故障順位と順位は一致

1 1

1

1 ( 1)

j

j j

n MON MON MON

n i

− −

= + + −

+ − −

打切りがあっても順位を推定できる方法

MON(Mean Order Number)

Motohisa HIRONO 85/186

補足； ジョンソン法

6

順位(i) 打切り 故障順位(j) k=i-1 MONj

1 0 1 0 1

2 0 2 1 2

3 0 3 2 3

4 0 4 3 4

5 0 5 4 5

6 0 6 5 6

順位(i) 打切り 故障順位(j) k=i-1 MONj' MONj

1 0 1 0 1 1

2 1 1 1 1

3 0 2 2 2.2 2.2

4 0 3 3 3.4 3.4

5 1 3 4 3.4

6 0 4 5 5.2 5.2

補足； 推定方法の比較

ジョンソン法と累積ハザード法とK-M法

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

87

５．幾つかの処理の違いの比較

1 因子（ 質的変数） の解析

n

処理の違うグループ間の生存時間の比較

n Kaplan-Meier

法の実行

n グループ毎の生存関数の表示

n ノンパラメトリック検定

n ログランク検定

n 一般化

Wilcoxon

検定

n

パラメトリック検定

n 生存時間分布の指定

n パラメトリックモデルの実行

Motohisa HIRONO 89/186

ノンパラメトリック検定

n ログランク検定

n 全ての時点で同じウエイトがかかる

n 一般化 Wilcoxon 検定

n ウエイトがその時点のリスク集合の大きさ

n ｔが小さい初期のウエイトが大きい

補足； ログランク検定

    封止樹脂 A(群 1)：150，170，220，280     封止樹脂 B(群 2)：221，290，340，390 (値は人工データ；

   データ数は説明を簡便にするためのものであり,    このような小さなサンプルサイズを薦めている    のではない)

Motohisa HIRONO 91/186

補足； ログランク検定

 第

j

^時点

( ^{j = 1,2, L , k} )

における 2×2 の分割表を 以下のように表記する.

1 1 1 1 1 1 1 1

11 11 11 11

2 2 2 2 2 2 2 2

21 21 21 21

1 1 1 1

1 1

1

2 2

2

j j

j

j j j j k k k k

j j j j k k k k

j j j j k k k k

t t

t

d n d n d n d n

d n d n

d n d n d n d n

d n d n

d n d n d n d n

d n d n

− −

−

− −

−

− −

−

L L

時点 故障 生存 計 時点 故障 生存 計 時点 故障 生存 計

第 群 第 群

第 群

第 群 第 群

第 群

計 計

計

両群の生存時間が同じという条件（期待度数）では, 故障数は平均的に

1_{j j} 1_j

/

_j

,

2 _{j j} 2 _j

/

_j

m = × d n n m = × d n n

補足； ログランク検定

分散は

( )

( )

( )

( )

1 2

1 1

1 2

1 2

2 2

2 2

1 1

1 1

j j

j

---j j

j

---n -d ,

n -1 n -d

n -1

j j j j j

j j

j j

j j j j

j j j j j

j j

j j

j j j j

n n d n d

n n

v d

n n n n

n n d n d

n n

v d

n n n n

    −

=    −          = −

    −

=    −          = −

,

1

/

j j j

n = d p = n n

^{の二項分布を考え}

下線部分の有限母集団修正を加えたもの と考えれば良い.

Motohisa HIRONO 93/186

補足； ログランク検定

故障数とその平均との差

1_j

d

1_j

m

1_j

,

2 _j

d

2 _j

m

2 _j

δ = − δ = −

が大きくなければ,生存関数に有意な差は認められない

( ) ( )

1_j

d

1_j

m

1_j

,

2_j

d

2_j

m

2_j

δ = − δ = −

∑ ∑ ∑ ∑

を調べれば良いだろう.

この差の二乗を分散で割った値が

近似的にχ2 分布に従うことを使って検定する.

補足； ログランク検定

同時点での故障がなければ

1

1 1

1 1 1

1

1 2

1 2

1

^j

j j j

j j j j

j

j j

j

j j

j

n

n n n

d d d

n

n n

n

n n

v n

δ

 −

     

=    −    =    −    =   −



= ×

∑ ∑ ∑ ∑

∑

群 の故障 1 群2の故障

Motohisa HIRONO 95/186

補足； 一般化ウィルコクスン検定

ログランク検定を少しかき方を変える

( )

( ) ( )

1 1

1

1 1

1 2

1

, 1

1

j j

j

j j j j

j

j j j j j

j j j

j j

w d m w d n

n n n d n d

v w w

n n

δ  

= − =    −   

= − =

−

∑ ∑ ∑

∑

( )

( )

( )

1 1

1

1 1

1 2

1

,

1

j j

j

j j j j

j

j j j j j

j j j j

j j

w d m w d n

n n n d n d

v w w n

n n

δ  

= − =    −   

= − =

−

∑ ∑ ∑

∑

一般化ウィルコクスン検定では

補足； 一般化ウィルコクスン検定

同時点での故障がなければ

( )

( )

( )

1 1

1 2

1

1 1

1

1 2

1 1 2

1

1 2

j j

j j j

j

j j j j

j j

j j j j j

j j j j

j j

n n n

w d n n d n

n n

n n d n d

v w n n

n n

δ =     −     = − = Σ    − = −

= − =

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

群 の故障 群 の故障

Motohisa HIRONO 97/186

ノンパラメトリック検定の比較

ハンズオン 4

ドキュメント内 ＪＭＰ V4 による生存時間分析 (ページ 75-98)