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Part III 非線形回帰モデル
1 因子（ 量的変数） の解析
n 要因効果をしらべる
n 製品の信頼性評価は実験研究が多い
n 設計パラメータを変更したことによる改善効果
n 環境要因の寿命加速性の確認
n 加速試験が基本
…
反応論モデルn 比例ハザードモデル
n ハザード比が一定
n 加速モデル
n 生存時間が加速する
Motohisa HIRONO 129/186
加速性と比例ハザード性
加速性
( )
( ) ( ) ( )
a
a o
o
S t
a S t aS t
S t = ⇔ =
比例ハザード性
( )
( ) ( ) ( ) a
a
a o
o
h t a S t S t
h t = ⇔ =
Weibull 分布と比例ハザード性
( )
0( )
aS
at = S t
というべき乗の関係があるとき( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) } { ( ) } { ( ) }
( )
0 0
0 0
ln ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
ln ln ln ln ln
a a
a a
a a
S t S t S t S t
S t S t a S t
a t a t
β
β α β
α
= ⇔ − = −
− = − = −
= − + = − + +
ワイブル分布を仮定すると
二重対数グラフでは
,
水準間の平均値の差 として表現できる これは,
ハザード比(
故障率比)
が時点に無関係に一定ln a
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Weibull 分布と比例ハザード性
二重対数グラフの世界で
,
両者の差を考えると{ ( ) } {
0( ) }
ln ln ln ln
ln ln ln ln
S
at S t
t t
a a
β β
α α
− − −
= − + − = −
Weibull
分布の情報が消える分布が
Weibull
分布でなくても両者が平行であれば比例ハザード性が成り立つ
指数分布 パレート分布
ゴンペルツ分布 ワイブル分布
ｔ ln(ｔ)
Ｈ(t)
lnＨ(t) 縦軸 横軸
( )
H t = β t H t ( ) = β ln / ( ) t α
( ) t
H t α e β
= β H t ( ) ( ) = t / α β
補足； 二重対数プロットと分布
Motohisa HIRONO 133/186
比例ハザードモデル
n ハザード関数に を考える
n h 0 (t) は x が 0 である基準となるハザード関 数とする
n ハザードの比を取ると，共通の h 0 (t) が相 殺されるので，未知数は b のみである
( ) 0 ( ) ( ) exp
h t x = h t bx
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) { ( ) }
0 0
exp exp
exp
i i
i j
j j
h t h t bx
b x x i j
h t = h t bx = − ≠
比例ハザード法の直感的理解
n PWB
．JMP
を読み込むn Survival Distribution
を選ぶn Y
にTime1
をGrouping
に１/kT
を選択n K-M
統計量を保存するn Log(Time)
とLog(-logS(t))
で散布図を描くn Group
に1/kT
を選ぶ信頼性データ解析の累積ハザード紙 に対応している
Motohisa HIRONO 135/186
比例ハザード法の直感的理解
３つの条件でほぼ平行 このグラフで直線的なら
Weibull
分布が仮定できる比例ハザード性が仮定できる
log ( ) 9.326269 2.0330log( ) log ( ) 11.76942 2.0537log( ) log ( ) 12.98731 2.0451log( )
H t Time
H t Time
H t Time
= − +
= − +
= − +
比例ハザード法の直感的理解
n 1/kT=32.** を基準にして各水準の差 ( 切 片の差 ) を計算すると
勾配を計算して
1.92 1
− kT
-13 -12 -11 -10 -9
a
32 32.5 33 33.5 34 34.5
1/kt Linear Fit
a = 52.101959 - 1.9021121 1/kt
Linear Fit
Bivariate Fit of a By 1/kt
統計的に正確な方法は
COX
回帰分析33.** 32.** 2.443 34.** 32.** 3.661
− = −
− = −
Motohisa HIRONO 137/186
比例ハザード法の直感的理解
n COX 回帰を行うと
1/(kT) Term
-2.1750756 Estimate
0.4718532 Std Error
. Lower CL
-1.325551 Upper CL Parameter Estimates
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Baseline Surv
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 time1
Baseline Survival at mean Proportional Hazards Fit
先の直感的な方法と 近い値
-2.1750
が求められている
つまり
,COX
回帰は生存時間の分布を考えなくても 要因効果が推定できる補足； 最尤法
n 尤度関数 L について
n 母集団を決めるために
,
仮定したモデルの母数 θが与えられたn ある標本を得る確率は標本値の関数で表すこ とができる
n 逆に標本値を固定し
,
θを変数とする関数を考 えたものが尤度関数n 尤度を最大とするθが求める母数である しばしば
,
尤度の対数をとりθを推定するMotohisa HIRONO 139/186
補足； 最尤法
n 尤度関数の比を尤度比という
n 尤度比を用いた検定を尤度比検定と呼ぶ
n 対数を取れば , 尤度関数の差として表現さ れる
n 2 倍の対数尤度の差が近似的にχ 2 分布に
従うことを用いて検定するものを尤度比検
定という
反応論モデルと加速モデル
n Arrhenius
アレニウスモデルn
θ℃則モデルn Eyring
モデルn
べき(n)
乗モデル( )
{ 0 1 } ˆ 1 5
exp 1/ a , 8.62 10
Life = b + • b kT E = b k = × −
{ ( ) }
0 1 1 ˆ
exp ln 2 1/
Life = b + b • T b = θ
( )
{ 0 1 } ˆ 1
/ exp 1/ a
Life T = b + b kT E = b
{ 0 1 ( ) } ˆ 1
exp ln
Life = b + • b T n = b
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