第 5 章 Fuchs 型常微分方程式と一般化 Riemann スキーム 31
5.2 Fuchs 型微分方程式
微分方程式P u = 0がx = ∞で確定特異点を持つとは，x 7→ 1x と変換したときに原点で確定特異 点を持つこととする．さてP ∈ W(x) のC¯ := C∪ {∞} での特異点がすべて確定特異点であるとき 微分作用素P と微分方程式P u = 0をFuchs型とよぶことにする．また，C¯ からP の特異点の集合 {c0, c1, . . . , cp} ⊂ C¯ を除いてできる集合をC¯0 := ¯C\{c0, c1, . . . , cp}とかく．このとき微分方程式P は 次のような写像を定義する：
F: ¯C0⊃U(単連結な領域)7→ F(U)⊂ O(U),
ここでF(U) :={u(x)∈ O(U)|P u(x) = 0}とする．さらに特異点{c0, c1, . . . , cp}の近傍として，
Uj,,R =
{{cj +re√−1θ |0< r < , R < θ < R+ 2π} (cj 6=∞), {re√−1θ |r > −1, R < θ < R+ 2π} (cj =∞) を定義する．このときF は次を満たす．
1. F(U)⊂ O(U)であり，dimF(U) = ordP.
2. V ⊂U ⇒ F(V) =F(U)|V ={f|V ∈ O(V)|f ∈ F(U)}
3. 特異点cj に対して >0があって次が成り立つ．任意のφ∈ F(Uj,,R)に対し，ある正数Cと正 整数mがあって，
|φ(x)|<
{
C|x−cj|−m (cj 6=∞, x∈Uj,,R), C|x|m (cj =∞, x∈Uj,,R)
5.2 Fuchs型微分方程式 37 が任意のR∈Rに対して成り立つ．
このような条件を満たす（有限個の特異点を持つ多価の）正則関数の空間Fの全体は，W(x)の作用で閉 じていることが以下の補題からわかる．
補題 5.2.1. Br+:={x∈Br |Imx >0}とおくとき，ψ∈ O(Br+)がある整数mに対して
|ψ(x)| ≤C|x|−m (x∈Br+) を満たすならば，以下の評価が成り立つ．
|ψ0(x)| ≤2|m|+1Cx−(m+1) (0< x < r2) Proof. 0< x < r2 とすると
ψ(x) = 1 2π√
−1
∫
|t−x|=x2
ψ(t)dt t−x であるから
|ψ0(x)|=
1 2π
∫
|t−x|=x2
ψ(t)dt (t−x)2
≤ max
|t−x|=x2|ψ(t)|2
x ≤2|m|+1Cx−(m+1). さらに次がいえる．
定理 5.2.2. Fuchs型常微分方程式と解空間の対応
{W(x)P ⊂W(x) : Fuchs型} −→ {∼ 上の条件1〜3を満たすF }
∈ ∈
P =∂n+∑n−1
i=0 ai(x)∂i 7→ {U 7→ {u∈ O(U)|P u= 0}}
は全単射．F(U) =∑n
ν=1Cφν(x)とかけているとすると，
Φi=
φ(0)1 (x) · · · φ(0)n
... ... ... φ(i1−1)(x) · · · φ(in−1)(x) φ(i+1)1 (x) · · · φ(i+1)n (x)
... ... ... φ(n)1 (x) · · · φ(n)n (x)
(5.4)
としたとき，
ai(x) = (−1)n−idet Φi
det Φn
と書ける．
証明の概略. φν(x) (ν = 1, . . . , n)はF(U)の基底なので，任意のu(x)∈ F(U)に対し，
det
u φ1 · · · φn
u(1) φ(1)1 · · · φ(1)n
... ... ... ... u(n) φ(n)1 · · · φ(n)n
= 0
38 第5章 Fuchs型常微分方程式と一般化Riemannスキーム となる．1列目に関する余因子展開がu(x)の満たす微分方程式を与える．これがFuchs型であることを 確かめればよい．特異点cj のまわりを反時計回りに回るループをγj とおき，Φiをループγj にそって解 析接続したものをγjΦiとかこう．γjφ1, . . . , γjφn ∈ F(U)であり，φ1, . . . , φn はF(U)の基底なので，
Mj ∈GL(n,C)があって，
γjΦi= ΦiMj
となる．ここで解析接続は微分と可換なので，Mj はΦi (i= 1, . . . , n)によらないことに注意しよう．両 辺の行列式を比べると
γjdet Φi= detMjdet Φi
となるので，detMj =e−2πiλなるλ∈Cをとると，
γj
((x−cj)λdet Φi
)= (x−cj)λdet Φi.
従って，(x−cj)λdet Φiはx=cj に高々極を持つことがわかる．すなわち，det Φiは，あるψj ∈ Ocj と ki∈Z≤0があってdet Φi= (x−cj)−λ+kiψi．従って，det Φiとdet Φnの商をとれば(x−cj)−λの項は 打ち消されるので，ai(x)もx =cj に高々極を持つことがわかる．最後にx=cj が確定特異点であるこ とと，すべての解が条件3を満たすことが同値であることに注意すれば（cf. 問5.2.4），定理が従う．
c0, . . . , cp ∈ C¯ を特異点にもつ階数nの Fuchs型微分方程式 P u = 0 に対して，特異点でない点 x0 ∈C¯0を取り，その点のまわりの局所解のなすベクトル空間をV0とかき，V0の基底をφ1, . . . , φn と する．x0を基点として特異点cj のまわりを反時計回りに回るループをγj とし，φi達をこのループに 沿って解析接続したものをγjφi ∈V0と書こう．これにより，V0の線型自己同型が得られ，それを基底 φ1, . . . , φnで書けば，
V0 −→ V0
∈ ∈
v 7→ γjv
(γjφ1, . . . , γjφn) = (φ1, . . . , φn)Mj
なるMj ∈GL(n,C)が得られる．これらMj を集めてM= (M0, . . . , Mn)とかき，P u= 0のモノドロ ミー*3という．
Fuchs型方程式の特異点であってもそこでのモノドロミー行列が単位行列になることがある．その点の
近傍では正則な解が解の基底を張っているが，解のWronskianすなわちdet Φn(x)がその点で消えてい る場合にはこのようなことが起こり，そのような特異点を見かけの特異点という．見かけの特異点におけ る特性指数の集合は{k1, . . . , kn}の形をしている．すなわち，各kj は0≤k1< k2<· · ·< knを満たす 非負整数となる．特にkn=n−1ならばその点は特異点ではない．
定理5.2.2から，直ちに次の結果がわかる*4．
系 5.2.3. n階のFuchs型微分方程式P u= 0に対して以下の条件は同値．
1. P は既約．
*3基底の選び方によるので，MのGL(n,C)共役類といった方がよいかもしれない
*4Airyの微分方程式の例からわかるように，不確定特異点も許すと一般には正しくない
5.2 Fuchs型微分方程式 39 2. 解空間のモノドロミーM= (M0, . . . , Mp)は既約，すなわちMjV ⊂V (j= 0, . . . , p) となるCn
の部分空間V は{0}とCnのみ．
3. 解空間に対応するF は，同様なより次元の少ないF0 （すなわち，{0} $F0(U)$F(U)を満た すもの）を持たない．
問 5.2.4. 記号を簡単にするため一次分数変換を行なってcj = 0とする．
i) 可逆なn次正方行列M に対し, expL:=∑∞
ν=0 Lν
ν! =M となる行列Lの存在を示せ．
ii) F の基底u= (u1, . . . , un)が特異点cj = 0の周りで定義するモノドロミー行列をM とするとき，
i)のLを用いてv=ux−L,x−L:= exp(−Llogx)とおくと，vの成分はcjの近傍で一価でcj を高々極 とすることを示せ．
iii) 特異点cj = 0の近傍でのFの基底が(5.3)のように取れることを示せ．
iv) このときxn−i aai(x)
n(x) はx = 0を除去可能な特異点に持つことを示し，拡張した正則関数のx= 0 での値を求めよ．
以下の定理に述べるように．Fuchs型微分方程式の左W(x)加群として同型類はモノドロミーの共役 類*5と1対1に対応する．
定理 5.2.5. P, Q∈W(x)をFuchs型微分作用素とする．このときW(x)/W(x)P とW(x)/W(x)Qが W(x)加群として同型であることと，P u= 0とQv = 0において，モノドロミー行列が単位行列となら ない特異点の位置が同じで，モノドロミーが共役であることとは同値である．
注意 5.2.6. P =∂n+∑n−1
i=0 ai(x)∂i∈W(x)で定まる微分方程式P y= 0に対し
Y =
y y0
... y(n−1)
, AP(x) =
0 1 0 · · · 0
0 0 1 0
... ... . .. . .. ...
0 0 0 · · · 1
−a0(x) −a1(x) −a2(x) · · · −an−1(x)
としたときに一階の連立系 dxdY =AP(x)Y が得られる．さてP とW(x)加群W(x)/W(x)P との関係 は前にみたが，上の連立系とこのW(x)加群の関係を見てみよう．
P u = 0 を満たす生成元 u ∈ W(x)/W(x)P より，W(x)/W(x)P は C(x) ベクトル空間として u, ∂u, . . . , ∂n−1uによって生成される．従って∂のW(x)/W(x)P への作用をこの基底によって成分が C(x)の列ベクトルv∈W(x)/W(x)P に対する作用として書けば
∂v=tAp(x)v
と行列表示できる．従ってW(x)/W(x)P への∂の作用の行列表示はP から得られる連立系の転置行列 として書けることがわかる*6．
*5見かけの特異点のように単位元となるモノドロミー行列とその特異点は除いて，共役類を考える たとえば，(x−2)F(α, β, γ;x)の満たす方程式は，x= 2に見かけの特異点を持つ
*6MP =W(x)/W(x)P とかき，MPの双対ベクトル空間MP∗ をf∈MP∗ に対し，∂◦f(m) =f(∂m) (m∈MP)とし て右W(x)加群とみることができる．すると上の注意からMP∗ への∂の行列表示は{u, ∂u, . . . , ∂n−1u}の双対基底をと
40 第5章 Fuchs型常微分方程式と一般化Riemannスキーム 定理の証明. W(x)/W(x)P とW(x)/W(x)Qが同型ということは，C(x)ベクトル空間としても同型な ので，
dimC(x)W(x)/W(x)P = dimC(x)W(x)/W(x)Q=n.
P y= 0から上記の注意のようにC(x)ベクトル空間の基底を取ってできる連立系を
∂Y =A(x)Y, (5.5)
同様にQz= 0に対応する微分方程式を
∂Z=B(x)Z (5.6)
と書いておこう．このとき W(x)/W(x)P と W(x)/W(x)Qが W(x) 加群として同型であるという ことは，その同型は C(x) ベクトル空間としての同型でもあるので，G(x) ∈ GL(
n,C(x))
によって Z =G(x)Y として与えられ，∂Y =A(x)Y を満たすということとZ =G(x)Y が∂Z =B(x)Zを満た すということが同値であることを意味する．
言い換えれば，方程式の特異点を含まない任意の単連結開集合U ⊂C¯0に対して，方程式(5.5)の解の 基底y1, . . . , yn∈(
O(U))n
と，方程式(5.6)の解の基底z1, . . . , zn ∈(
O(U))n
を適当に（同型に応じて）
取ったとき，Y= (y1· · · yn)∈GL(
n,O(U))
，Z= (z1 · · · zn)∈GL(
n,O(U))
とおくと ZY−1∈GL(
n,C(x)) となることである．
一方で特異点cj を回るループγj に対して
γjY=YMj, γjZ=ZNj
なるMj, Nj ∈GL(n,C)が決まるが，
ZY−1∈GL(n,C(x))⇔γjZY−1=ZY−1(j= 0, . . . , p)
⇔ZNjMj−1Y−1=ZY−1 (j= 0, . . . , p)
⇔Mj =Nj (j= 0, . . . , p) となって定理の主張が従う．