導波管から見た空洞の入力インピーダンス

前節の結果を敷衍し、導波管側から見た空洞の入力インピーダンスを求めよう。上に述 べたように、入力波はz の正方向（単位ベクトルk方向）へ向かうものとする。また、空 洞の物理的な境界である小孔で発生した空間高調波が十分減衰している場所であれば、空 洞結合孔S_aの位置はさしあたりどこでも良いとしておく。そして反射波は無限遠点で整 合され、再び戻ってこないものとする。

さて空洞結合孔S_a 面上での電磁場は空洞の固有モードで展開されるが、また導波管 モードでも展開できる。空洞固有モードを用いた式 (4.17)ではh_n は定義により結合孔 S_a 面に平行であり、E˜ も同式では平行成分のみ考えればよい。そこで導波管モードにつ いても平行成分、いいかえれば、k方向に垂直な成分（横成分）のみに注目すればよい。

結合孔における電磁場を導波管モードで記述するまえに、導波管を伝搬する波の性質の 要点をとりあえず、まとめておこう。導波管理論によれば、管内を+z 方向に伝わる、あ る特定のモードの波は電場でも磁場でも横成分(t)と縦成分(z)に分け、それぞれはさら に(x, y)とzの変数分離をして

A(x, y, z)e^jωt = [A_t(x, y) +A_z(x, y)]e^{j(ωt∓βgz)} (4.18) の形に表そう。ここでβgは管内波数である。磁場のz成分がないモードをTM (transverse magnetic)モード、電場のz成分がないモードをTE (transverse electric)モードという。導 波管理論によれば、ある特定のモードの電磁場横成分について

Z_gH_t,g(x, y) =±k×E_t,g(x, y) (4.19) という関係が成立することが証明される[27]。この式で+符号はe^−jβgzの形で+z 方向 へ伝わる波について、−^符号はe^jβgz の形で−z 方向へ伝わる波についてである。Z_g は 断面上の位置によらず、今考えているモードに固有の定数であって、波動インピーダンス

（wave impedance）とよばれる。波動インピーダンスは、自由空間の固有インピーダンス

ζ₀ = 376.73 Ω、自由空間波数β、管内波数β_g の間に、TMモードでは Z_g ≡ 1

Y_g = β_g

β ζ₀ (4.20)

TEモードでは 

Z_g ≡ 1 Y_g = β

β_gζ₀ (4.21)

の関係がある。ここでY_g は波動アドミッタンスである。

4.2 導波管から見た空洞の入力インピーダンス 65 ここで電場、磁場の横成分を導波管断面での規格化２次元ベクトル場 e_{g t}(x, y)、 h_{g t}(x, y)を単位にとって次のように表そう。

E˜_g,t(x, y, z) = ˜V(z)e_{g t}(x, y)

H˜_g,t(x, y, z) = ˜I(z)h_{g t}(x, y) (4.22) 規格化ベクトル場e_{g t}(x, y)、h_{g t}(x, y)は導波管断面S_g 上の積分が

Z

Sg

e_{g t}(x, y)

2dxdy= Z

Sg

h_{g t}(x, y)

2dxdy= 1 (4.23)

となるものである。なお式(4.19)と(4.23)から

e_{g t}(x, y) h_{g t}(x, y)

= 1 (4.24)

が成立する。

式(4.22)で表される電圧、電流で+z 方向へ進む進行波成分のものは添字+、−z への

ものは添字−^{を付けて表すと、式}(4.19)、式(4.24)から、

V˜₊(z) =Z_gI˜₊(z) = ˜I₊(z)/Y_g ∝e^−jβgz

V˜−(z) =−ZgI˜−(z) =−I˜−(z)/Yg ∝e^+jβgz (4.25) となることが分かる（電流の符号に注意）。ここで導波管がz = 0において負荷インピー ダンスZ_Lで終端されている場合を考える。任意のz(≤0)での全電圧、全電流は

V˜(z) = ˜V₊(z) + ˜V₋(z)

I(z) = ˜˜ I₊(z) + ˜I₋(z) (4.26) と表されるが、z = 0では

V˜(0) =Z_LI(0)˜ (4.27) を満足しなければならない。式(4.25)、(4.26)、(4.27)を用いれば反射波は

V˜₋(0)

V˜₊(0) = Z˜_L−Z_g

Z_L+Z_g ≡R (4.28)

66 第4章 導波管との結合 となり、Rを反射率という。これらの式 からはまた、任意のzから負荷側を見たインピー ダンスが

Z_in=Z_g1 +Re^2jβgz 1−Re^2jβgz

=ZgZL−jZgtanβgz

Z_g −jZ_Ltanβ_gz (4.29)

となることが導ける。

このような準備をしたうえで、空洞結合孔S_a面での電磁場を導波管モードで表すこと を始めよう。それにはまず

E˜_t(aperture) = ˜V_ge_{g t}

H˜_t(aperture) = ˜I_gh_{g t} (4.30) と置いてみる。以下では、結合孔のあるz位置での電圧、電流を単にV˜_g、I˜_g と表記する。

さて式(4.30)を式(4.17)に代入すれば

I˜_gh_{g t} 'X

n

h_n



 jV˜gR

Sa(n×e_{g t})·h_ndS µ₀

ω− ^jω_Qnⁿ⁰ − ^ω_ωⁿ⁰²



+X

m

g_m

"

jV˜g

µ₀ω Z

Sa

(n×e_{g t})·g_mdS

#

(4.31) となって、左辺の結合孔における導波管電流と右辺の空洞電磁場とが関係づけられる。こ の両辺についてe_{g t}とのベクトル積をとる。ベクトル恒等式

(n×A)·B=n·(A×B) および式(4.23)、(4.24)から導かれる関係

Z

Sa

(e_{g t}×h_{g t})·kdS =− Z

Sa

(e_{g t}×h_{g t})·ndS = 1 (4.32) を使ってS_a上で積分すれば

I˜g ' −jV˜g

X

n

hR

Sa(n×e_{g t})·h_ndSi2

µ₀

ω− ^jω_Qn⁰ⁿ − ^ω_ω⁰ⁿ² −jV˜g

X

m

1 µ₀ω

Z

Sa

(n×e_{g t})·g_mdS 2

(4.33)

という結果がえられる。この式で [ ]内のベクトル積の面積分が導波管と空洞の結合強 度を表わすことが以下の議論で明らかになる。なおこのベクトル積は形式的にはポイン ティング・ベクトルと同形である。